椭圆中减少运算量的主要方法

网+-15^1= \A8\+ \BN\>\AN\> \AM\ 则 当且仅当B 点是线段AM 与椭圆的交点时等号成立。

椭圆中减少运算量的主要方法

张钟谊 椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法， 以下的四种主要方法比较常用，能 够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。 、追根溯源，回归定义 椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质, 把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。 二 + 乙二 1 例1.（全国高中数学联赛）给定 A （ -2，2）,已知B 是椭圆’ " 上的动 \BA 3 取得最小值时，求B 点坐标。 点，F 是左焦点，当

分析：如果设点B 的坐标■-：，再求 用椭圆的第二定义，把. 转化为B 点到左准线的距离就简单的多。

3 则计算量相当大，而如果利

解：由已知椭圆方程得： 过B 点作左准线的垂线, 圆的第二定义得： 垂足为 3 25 5，左准线为 3。如图1, N 。过A 点作此准线的垂线，垂足为 M 根据椭 \BN\ = e

二、充分运用平面几何性质

结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之

2 __ 卜』—[

例2.椭圆' 的焦点为「'「，点P为其上的动点。当一「八'：为钝角

时，点P的横坐标的取值范围是__________________ 。

分析：用一J宀：为钝角的充要条件和焦半径公式

『国二口士处以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。

解：依题意”"7 以原点为圆心，-=为半径作圆，贝U --是圆的直径。

若P点在圆外，贝U —T匚为锐角；若P点在圆上，贝U -为直角；若P点在圆内，则Z国PF2为钝角。

f 2 2

二+j

| 9 4

联立卜+声二5

消去•得：'

即为所求。

三、利用图形的性质化繁为简细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。

例3.（四川高中数学竞赛）已知P点在圆'''一上移动，Q点在椭圆/ , 一

9”上移动，求『°的最大值。

分析：如图2,本题如能从图形出发，看到『口的最大值，等于1°厨的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。

（543

可解得B点的坐标是'-

5

兀。2 [

解：设■ ■■-1，贝• ，即—

=J9 - 9尹；+$； - 8j0+16

-J-睨-眺+ 25

尸a的最大值为*⑴ 四、利用“点差法”，设而不求与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。

i 2

二+ 乙二1

例4•椭圆::中，过点P (1,1)的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在

的直线方程。

解：设札「「「—，则

4 2

（可+也X® -衍）（” +旳）（乃-几）門

------------- 十 ------------ —U

由<1>—<2>得：

儿_比=-2（羊+叼丁=_丄

则直线AB的斜率为：匚'

丿_1 二—扣_1）

故弦AB所在直线的方程为：

即''n

利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘述了。

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