椭圆中减少运算量的主要方法
减少解析几何题运算量的有效途径——用定义解题
所 以 Ｍ 点 的 － 、 ３） 、 歹 ５
， ，
此 时 ，ＭＦ ｌ ｌ ２ Ｉ ＋ ＭＦ ｌ
．
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Ｙ＋ 一 ｌ 堑 Ｌ 二
＋ ：２ ２ ） ｖ一１
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＋２ 一
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ｌ１ Ｍ Ｆ
ｌ耋 ＋ 一 易 所 ＝＿ ２ 得 求 －
解题 方法 与技巧 ＩＮＸＥ Ｊ Ｏ Ｕ ＡＫＯ Ｚ０ ＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ １ Ａ
减 少 解 析 几 何 题 运 算 量 的 有 途 径 — — 用 定 义 解 题 效
山 东章丘 市第五 中学（ ５ ２ ０ 刘 ２ ００ ）
椭圆 、 曲线 和抛物线是 三种重要 的二次 曲线 ， 双 高 中数学教材中对它们给出了两种定义 ： 第一定 义和统一 定 义 ． 一 定 义展 示 了三类 曲线 各 自独 特 的性 质 及 几 何 第 特征 ； 统一定义（ 又叫第二定义） 则深刻地揭示 了三类 曲 线 的内在联 系， 焦点 、 使 离心 率和准线 等构成一 个和谐 的整 体． 这两种定 义 ， 不仅是 推导它们各 自的方 程和它 们 各 自的 性 质 的 基 础 ， 是 解 题 的重 要 工 具 ． 活 地 运 也 灵 用 这 两 种 定 义 ， 往 能 收 到 化 难 为 易 、 繁 就 简 的解 题 往 避
一
格 ， 以从 中 充分 感 受运 用定 义 解题 的 简 洁 美． 可
’
【 ４ 在 双 曲线 一Ｘ 一 １ 一 支 上 不 同 的 三点 例 １ － 的
过 向 ｚ 引垂线 ｚ： —ｚ一２ ， 求出 关 于 Ｚ 对 称 点 Ｆ 易 得 的 ， 。 的坐 标 为 （ ， ） 如 图 １ ４２ （ 所示） ． Ｆ Ｆ， ：的方 程 为 一 ３ ２ ． ＋ 一Ｏ
减少解析几何运算量的若干途径
＼ 、
— —
５ 依 据 曲 线 特 征 合 理 设 定 方 程
一
卜 一
一Ｑ 一
根据 题 目 中提 供 的 曲线 信 息 特 征 ， 理 设 定 合 曲线 方程 形式 ， 简化求 解 过程 的有 效途 径 之一． 是
ｈ一 一 ．
作 ＭＦ 的角分线 交 Ｙ轴 于 Ｂ 点 ， 结 Ｂ ， Ｏ 连 Ｍ 则 Ｂ 是 抛物线 的切线 ． 结合 图 ３ Ｍ （ ）
，
一
则
一
一
＿
ｌ ｌ
维普资讯
备参禽 课考
解 ： Ｉ） （Ｉ 由（ 得 轨迹 Ｃ的方 程为 ： ４ ． Ｉ） ｙ ＝ ｘ
图 １
图 ２
２ 寻 根 求 源 回 归 定 义
关注 曲线定 义 的形 成过 程 ， 握 定 义 的 内涵 ， 把 是 减少解 析几何 运算量 的重要 途径 ．
星 中． 点
～ Ｉ Ｗ
ｉ 年
期
证明： 如图 ｌ设 Ａ ， Ｃ直线与ｚ轴交点为 Ｎ， 过
依题
一 ～
、 瘴
直线 ｚ 于点Ｍ， 已知宓
ｌ
＝ ＝ ＝
静
， 商
一 百 求 声，
＋ ２的值 ；
护
定理 ３ 已知 抛物线 Ｙ 一 ２ ｘ （ ： ： ｐ ｐ＞ ０ Ｆ为焦 ， 点 ， 点异 于 ０ 点 ， Ｍ 处 的切 线 和 Ｙ轴 交 于 点 Ｍ 点
Ｂ， Ｂ 平分 ＭＦ 则 Ｆ Ｏ． 证 明 ： Ｍ（ 。 Ｙ ）则 点 Ｍ 处的切 线方程 为 ： 设 ｘ ，。 ， Ｙ Ｙ— ｐ ｘ十 ）则 Ｂ（ ， ） 。 （ 。 ， Ｏ ．
浅谈解析几何中减少运算量的几种策略
曰． 在 圆上 ， 求Ｂ 中点Ｍ的轨 迹 方 程． Ｃ 试 Ｃ
合 理 的 解 题 途 径 是 简 化 运 算 、 速 解 题 迅 的关 键 ．下 面介 绍 几 种 解 析 几 何 中减 少 运算量的策略 ． 大家学习 、 考． 供 参
３ ＝ ５， 是 Ｍ 点 的 轨 迹 方 程 ）＋ ２ 于
３一 ＝ ｘ ８ Ｑ
Ｘ＋ ２
定 义 来 解 ：第 ２ 题 是 通 过 椭 圆 的 第 一 小
评注 ： Ｃ 为圆 曰， 都
２ ＿ 的动 点 ， ５１ ＝
定义求解 的． 圆两种定 义在这道题 中 椭
都 得 到 了合 理 地 运 用 ． 问 题 的解 决 得 使
解 析 （ ） 圆 的 离 心 率 为 ｅ ， １椭 ＝
２
８ ０ 斜 率 分 别 为一 和 ．所 以两 条 直 －的 ２
２
平行 、 垂直 、 相交 、 点共线 等 ） 数量 三 和
右 准 线 为 ｆ ＝ ， 过 Ｍ作 ＭＮ上门 则 ： ４ ｘ Ｎ，
线 互 相 垂 直 ．三 角 形 为 直 角 三 角 形． 由
Ｉ Ｆｌ （ Ｍ Ｉ ４椭圆第一定义）Ｉ Ｐ＋ ｆ － ，Ｍ Ｉ ｌ ＿ Ｉ Ｐ ＋ 一 Ｍ Ｉ ４一 ＩＦｌ Ｍ Ｉ． Ｍ Ｉ４ Ｉ ＦＩ ： （Ｍ ， Ｐ ） 一１ 种 Ｐ 当Ｍ在 延长线上时，１ ＦＩＩ ｌ Ｍ Ｉ 取 — 得 最大值 ｌ ＰＩ 、 ，此 时 ＩＦＩ — ／ ＝ Ｍ Ｉ—
因为 为Ｂ 的 中点 ． 以Ｏ ＿Ｂ 。 肘２ Ｃ 所 Ｍ Ｌ Ｃ０ ＋ Ｍ ｏ ＝ 柱 ＡＣ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｍ＝ Ｍ＝ Ｍ＝
麓
１
１
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
解：设直线与椭圆的交点为 、
为 的中点
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
即 ，故所求直线的方程为 ，即 。
例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆 的一条弦的斜率为3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。
解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点 的坐标为 。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
优化椭圆运算的十种方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。
2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。
3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。
4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。
5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。
6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。
7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。
8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。
9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。
10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。
此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。
这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。
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椭圆曲线中的定点定值问题的四种方法
椭圆曲线中的定点定值问题的四种方法
椭圆曲线密码学是现代密码学领域中的一个重要分支，其核心是解决椭圆曲线上的定点定值问题。
本文将介绍椭圆曲线中的定点定值问题及其四种常用解决方法。
定点定值问题是指给定一个椭圆曲线上的点P和整数k，求kP 的值。
下面将介绍四种方法来解决这个问题：
1. 变形重复平方算法（Double-and-Add Algorithm）：这是最简单和直观的方法，通过将k表示为二进制形式，并根据位的值来迭代地进行计算。
当某一位为1时，将点P加到结果上；当某一位为0时，将点P进行加法运算。
该算法的时间复杂度为O(log(k))。
2. NAF （Non-Adjacent Form）方法：在变形重复平方算法的基础上，在k表示为二进制时可以选择使用加1或减1的方式，使得连续1的位数尽可能少。
这样可以减少加法运算的次数，进而提高效率。
3. 有穷域上的运算法则：将椭圆曲线上的点坐标和系数限定在一个有限域中，通过定义该有限域上的加法和乘法运算法则来求解定点定值问题。
这种方法在实际应用中经常使用，可以利用有限域运算的高效性。
4. 同态映射方法：根据椭圆曲线的同态性质，将定点定值问题转化为其他更容易求解的问题，并利用同态映射的特性进行计算。
这种方法具有较高的复杂性和灵活性，适用于特定的情况。
通过掌握这四种方法，我们可以更好地理解和应用椭圆曲线密码学中的定点定值问题。
根据实际情况选择合适的方法可以提高计算效率和保证系统的安全性。
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
2024圆锥曲线大题计算方法
2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。
本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。
一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。
在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。
2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。
二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。
注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。
2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。
在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。
三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。
2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。
四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。
1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。
2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。
3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。
五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。
解析几何中减少运算量的常用方法
定义是事物本质属性的概括与反映’ 圆 锥曲 线 许 多 性 质 都 是 由 定 义 派 生 出 来 的 & 对 某些 圆 锥 曲 线问 题 & 若 采 取? 回 归 定义 @ 的策 略& 把定量的计算和定性的分析有机地结合 达到 准确 判断 * 合理 运算 * 灵活 解题 的目 的 ’ 例 > 3 年全 国卷 B& 已 知双 曲线 $ $ A C 4
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巧用对称
以美启真
对称既是数学美的主要表现形式& 又是 一种 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ’ 解析几何中具有 对称 美 的 内 容 可 谓 比 比 皆 是 & 灵活恰当的应 用对 称 思想 能 起到 优 化解 题 思路 和 简 化 解题 过程 的 功 效 ’ 特别是普遍化的逻辑意义上的 地位 对等 & 更 能 简化 一 些复 杂 的 解 题过 程 & 其 表现 形式 如 ? 同 理可 得 @ 不妨 设 @ 等’ * ? 例 R 如 图 &在 的 三 个 顶 点 ST U V T * U * V处分别有动 点 W * X * , & 并且 它们 分别 沿 射线 T U * 向 做 匀 速 直 线 U V * V T 运 动’ 已 知它 们 同时 出 发 & 并同 时 分 别 到 达 U * V * T 图 -
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中学数学
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解 析 几 何 中 减少 运 算 量 的 常 用 方 法
# $ $ $ # % 北 京宏 志中 学 王芝 平 张超月
解析 几 何 是在 坐 标 系的 基 础 上 & 用代数 方法 研 究 几 何 图 形 性 质 的 一 门 数 学 学 科 ’ 因 此& 代数运算就不可避免地出现在解析几何 问题 中 ’ 在解 决 某些 解 析几 何 问 题时 & 如果 方 法选 择不 当 & 往 往会 导 致计 算 繁 琐 & 不 仅会 浪 费宝 贵的 时 间 & 而 且还 不 易得 到 正 确的 结 果 ’ 那么 如何 恰 当地 选 择方 法 & 减 少 运算 量 呢 ( 下 面介 绍几 种常用 的方 法 & 供同 学们 参考 ’
高考数学椭圆解题方法总结
高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
减少运算量的途径
嗓由 （x-2）2+y2=3， y=-x，
扇设
x= 设
设 设 设
2-
姨 2
2
，
扇设
x= 设
设 设 设
2+
姨 2
2
，
解得 设 缮 设
或设 缮 设
设
y= 设
设 设 墒设
姨2 2
-2
，
设
设设设y=-
墒设
2+
姨 2
2
。
不妨设
C（
2+
姨 2
2
，姨
2 2
-2
），D（
2+
姨 2
2
，
-
2+
姨 2
2
），则 NC 2=2- 姨 2
这样一来，就显得格外复杂。因此，不能这样蛮干，
必须另想办法。
观察原不等式，有 a＜|a|，说明 a＜0。这就是 隐含条件。利用这一点，可将原不等式转化为 a＜ 9a3-11a＜-a。
由于 a＜0，则有 -1＜9a2-11＜1，即
嗓 9a2-11＞-1，
9a2-11＜1。
解得
a∈（-
2
姨 2
3
，-
姨10 3
P
的坐标是（ t+22
，t-22
）。
NP 是直角三角形△CDN 斜边 CD 的中线，则
NP=
1 2
CD=PD。连接 DE，则 NP2=DP2=3-EP2，即
（
t+2 2
-1）2+（
t-2 2
）
解得 t=0 或 t=3。因为 C，D 两点均在 x 轴下
方，故取 t=0，CD 的方程是：y=-x。
巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)
巧用定义求椭圆中四类最值问题聂文喜圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。
一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。
例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。
这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。
NAF标量乘算法的改进
Im provem ent of NAF Scalar M ultiplication A lgorithm
SH EN Xue- l,i ZHANG Long- hua, JIANG L i
( Schoo l o f E lectron ic and Inform ation Eng ineering, L iaon ing T echnical U niversity, H u ludao L iaoning 125105, Ch ina)
本文提出的改进的naf标量乘算法利用滑动窗口算法的原理和对大整数k的转换减少了椭圆曲线上点的加法次数提高了传统naf算法的效率使改进后的naf算法总体上比传统的naf算法效率提高了近30加快了椭圆曲线上标量乘的运算速度有助于椭圆曲线密码体制的快速实现
第 27 卷 第 2期 文章编号: 1006 - 9348( 2010) 02 - 0316- 04
l j=
0
sj
2j,
sj
- 1, 0, 1
Step2: W h ile k > 0 do
if( k是奇数 )
Sj = 2 – ( k m od 4) ;
平面几何帮解析几何——妙用平面几何知识减少解析几何问题中的运算量
得
一
图 ３
ＯＨ １口 ｌ Ｑ１ １ — ｌ Ｒｌ一ｒ ， ． 一 ０ ．０Ｐｌ Ｏ
多 ， 里 给 出一 个 非解 析 这 几何 的解 法． 解 如 图 ２所 示 ， 过
Ｐ 点 分 别 作 、 Ｙ轴 的 垂 线 ， 足 分 别 为 Ｅ、 则 垂 Ｆ，
Ｓ 量 Ｆ一 ６ 又 Ａ ＡＥＰ ∽ Ｐ ．
ＡＰＦ 所 以 一 Ｐ Ｂ， Ｅ
．
图 ２
从解析几何繁复的运算 中解放出来 ， 甚至能让你拍案 叫绝 ， 信 吗？请 你看 好 了． 不
维普资讯
非 常 道
妙 用 平 面 几何 知 识 减 少 解 析 几何 问题 中 的 运 算 量
冯志 强 （ 苏州 市相 城 实验 中学）
在 最近 几年 的教 学 中 ， 我发 现 了 同学 们 学 习中存
在 的一 个普遍 问题 ： 哪 一 段 就 用 哪一 段 的方 法 ， 学 这
例 １ 如 图 １所 示 ， 直
又 因为 Ｆ Ｐ一 ２ ￡一 ３ ，Ｐ ，所 以 Ｂ Ｅ Ｆ・ Ａ一 ６ ，故
３． ＥＡ
．下
一９ 即 Ｓ ． ， 以 ， 】ｓ 一９ 所
线４ ＋３ 一１ ＝０与 ｚ轴 、 ２ Ｙ轴 交 于点 Ａ 、 求 Ｂ Ｂ， ＡＯ 平分 线所 在 的直线 方程 ．
２
方 为（ ） 玉 （ ０ 程 ：一 一 ） ＋ ≠・
到 目前 为 止 ， 是我 所 见 到 的 本 题 最 简 洁 的 解 ． 这
浅谈减少解析几何中运算量的几种方法
由椭 圆 的定义 知 ，点 Ｐ的轨迹 是 以 Ｆ（ｃ ０ ， Ｆ（，） 焦 点 ， ， － ，） ２ｃ ０ 为 长 轴长为 ２ （ ａ 等于 尺）的椭 圆 ． ｂ ＝口 一 ．椭 圆方程 为 ： ｃ， ・ ．
口一
＼
—
ＦＯ ｌ
—
一
大 ．基于这样的分析 ，笔者认为，在 高三复 习中有 必要 引导学 生探求优化解题过程 ，降低计算量的方 法与技巧 ．这对培养学生的思维品质 ，提高数学解 题 能 力 很 有好 处 ．那 么 如何 正 确地 选择 方法 ，减 少 解析几何题 的计算量呢？ 下面介绍几种减少计算量的 常 用方法 ． １ 巧建坐标系 曲线 的方程 依 赖于 坐 标 系 而存 在 ，坐 标 系选 择
ｌ 值）． Ｉｌ ＝ Ｐ ＝Ｒ （ ＴＩ 定
较低 ．究其原 因，一是解析几何部分考题 的题序通
常 比较靠后 ，题 目本身难且计算量大 ，大多数学生 平时害怕， 不愿做 ， 故练得少 ， 考试得分 自 然低 ． 二 是没有掌握一定 的计算方法 ．在解决有些解析几何
问 题 时 ，如 果 方 法 选 择 不 当 ，往 往 导 致 计 算 量 过
－・ Ｉ
） ：则 ｛ ｌ ， ， ， ， 由ｙ＋ （ ） 【 一 １
—
分析 利用 曲线定义 结合 平面几何容易找到动
点 Ｑ要满 足 的条 件 ，避免 通过 解 析 法 ，减 少繁杂 的 计算 ． 解 设 Ｑｘ， ） （ Ｙ ，延 长 Ｑ和直 线 Ｍ 相 交于 Ｐ，
（） 当 ≠ ，且 Ｙ ≠Ｙ 时 ，不 妨设 Ｘ＜Ｘ ， ３ ２ Ｊ ２ Ｊ ２
（ｉ 若 ＞ ２ 类似于 由条件①可得 ｉ） Ｙ，
二
Ｘ ２ Ｘ
（ ）若 ＜ ｉ Ｙ ，则 由 （ ）中的证明知，要使 １
二次齐次方程在椭圆中的妙用
二次齐次方程在椭圆中的妙用摘要：椭圆中斜率的和、积问题用传统方法解决运算量很大，非常麻烦，学生容易出差，如果能巧妙的借助二次齐次方程来解决运算量会大大降低，提高准确率，二元二次方程对学生来说不陌生，但是二次齐次方程这个词以往的学习中没有提到过对学生来说是陌生的，二次齐次方程其实就是二元二次方程的特殊形式，就是方程中的每一项都是二次的，如何进行转化和应用二次齐次方程是本文要探讨解决的问题。
关键词：二次齐次方程，圆锥曲线，斜率，触类旁通，巧妙转化，类比迁移正文：数学问题的解决方法是多种多样的，一题多解很常见，但不同的解决方法运算量不同，最终导致运算的准确率也不一样，这就需要找到解决问题的最优解法。
圆锥曲线问题更是如此，尤其是椭圆中牵涉到斜率问题，大多数学生思路都会但因为运算量大而导致准确率很低，对于二次齐次方程ax2+bxy+cy2=0左右同时除以x2就变成了，此方程可以当作的一元二次方程，就能很好的利用韦达定理解决斜率和与积的问题，这样就能够化繁为简，化腐朽为神奇。
一、用二次齐次方程巧解传统的斜率问题典例：分析：此题的传统方法就是直线方程与椭圆联立借助韦达定理求出直线方程，一、举一反三分析：由于该题点A不是坐标原点，若想借助典例的方法就要做平移变换，以A为坐标原点来建系二、类比迁移触类旁通例2.【2017年高考全国I理数】已知椭圆C：，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．分析：此类问题常用的方法就是直线方程与圆锥曲线联立转化为x或y的一元二次方程然后用韦达定理，但直线P2A与直线P2B的斜率之和可以联想得到的二次方程的两根之和的形式通解通法：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为 .（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l： .将代入得.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= .而 .由题设，故 .即 .解得 .当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点（2，-1）.针对第二问二次齐次方程的解法：为了使解题更加方便快捷，准确率更高，首先对图形做适当的平移把坐标原点o（0，0）平移到P2（0,1）,则（x,y)所以，此时椭圆方程转化为将代入这样做显然运算量要小的多，但是要提醒大家的是做完平移变换，得到直线过的定点不要忘了再平移回去求出原来直线过的定点。
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网+-15^1= \A8\+ \BN\>\AN\> \AM\ 则 当且仅当B 点是线段AM 与椭圆的交点时等号成立。
椭圆中减少运算量的主要方法
张钟谊 椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法， 以下的四种主要方法比较常用，能 够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。
、追根溯源，回归定义 椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质, 把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。
二 + 乙二 1 例1.（全国高中数学联赛）给定 A （ -2，2）,已知B 是椭圆’ " 上的动 \BA 3 取得最小值时，求B 点坐标。
点，F 是左焦点，当
分析：如果设点B 的坐标■-：，再求 用椭圆的第二定义，把. 转化为B 点到左准线的距离就简单的多。
3 则计算量相当大，而如果利
解：由已知椭圆方程得： 过B 点作左准线的垂线, 圆的第二定义得： 垂足为 3 25 5，左准线为 3。
如图1, N 。
过A 点作此准线的垂线，垂足为 M 根据椭 \BN\ = e
二、充分运用平面几何性质
结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之
2 __ 卜』—[
例2.椭圆' 的焦点为「'「，点P为其上的动点。
当一「八'：为钝角
时，点P的横坐标的取值范围是__________________ 。
分析：用一J宀：为钝角的充要条件和焦半径公式
『国二口士处以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。
而充分运用平面几何性质则会得以简解。
解：依题意”"7 以原点为圆心，-=为半径作圆，贝U --是圆的直径。
若P点在圆外，贝U —T匚为锐角；若P点在圆上，贝U -为直角；若P点在圆内，则Z国PF2为钝角。
f 2 2
二+j
| 9 4
联立卜+声二5
消去•得：'
即为所求。
三、利用图形的性质化繁为简细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。
例3.（四川高中数学竞赛）已知P点在圆'''一上移动，Q点在椭圆/ , 一
9”上移动，求『°的最大值。
分析：如图2,本题如能从图形出发，看到『口的最大值，等于1°厨的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。
（543
可解得B点的坐标是'-
5
兀。
2 [
解：设■ ■■-1，贝• ，即—
=J9 - 9尹；+$； - 8j0+16
-J-睨-眺+ 25
尸a的最大值为*⑴ 四、利用“点差法”，设而不求与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。
i 2
二+ 乙二1
例4•椭圆::中，过点P (1,1)的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在
的直线方程。
解：设札「「「—，则
4 2
（可+也X® -衍）（” +旳）（乃-几）門
------------- 十 ------------ —U
由<1>—<2>得：
儿_比=-2（羊+叼丁=_丄
则直线AB的斜率为：匚'
丿_1 二—扣_1）
故弦AB所在直线的方程为：
即''n
利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘述了。
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