基于Burgers模型的岩石非定常蠕变模型_康永刚

摘
要：伯格斯（Burgers）模型适合用来描述岩石第三期以前的蠕变曲线。为了描述整个蠕变过程，可以考虑力学参数的
时间效应，用非定常黏壶替换Burgers模型中的定常黏壶，给出一种非定常Burgers模型，并推导出它的蠕变柔量，实验数据 拟合表明该模型能较好地反映岩石的试验曲线。 关 键 词：岩石蠕变；Burgers 模型；非定常 文献标识码：A 中图分类号：TU 452
1 引 言
岩石在恒定的应力作用下蠕变曲线可以分为 如图 1 所示的 3 个阶段
[1–2]
ε (t ) = σ 0 J (t ) 。 Burgers 模型的蠕变柔量 J (t ) 可以表
示为 ： AB 段应变速率逐渐递
⎛ ⎞ ⎛ E1 ⎞ 1 ⎟ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − − + E2 + J (t ) = E1−1 ⎜ 1 exp t t ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ η1 ⎠⎠ ⎝ η2
Abstract: The Burgers model could only describe the behavior of rock material before the third creep-phase. The viscous components of Burgers model are replaced by non-stationary viscous components. The modified Burgers model is also called as non-stationary Burgers model; and its creep compliance is obtained. Comparison between the results obtained from non-stationary Burgers model and the experiment shows that this model can well describe the initial attenuation creep phase, the stabilization creep phase and the speedup creep phase of the creep curve. Key words: rock creep; Burgers model; non-stationary
J (t ) = E
−1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ −1 ⎟⎟ ⎜1 − exp ⎜ ⎜− E1 t α ⎟ ⎜ + E2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ η10α ⎠⎠ ⎜ ⎝ ⎝
(b) α = 0.8
（14）
Fig.4 图 4 非定常 Burgers 模型蠕变柔量 The creep compliance of non-stationary Burgers model
图 4 为 α 、γ 取不同值时式 （13） 的蠕变曲线， 其他参数取定值 E1 = 1 ， E2 = 0 ， E1 / η 10= 0.1 ，
3
−1 η 20 = 10 。当 t = 0 时， J (0) = E2 ，即串联的弹簧
E2 描述瞬时弹性应变；参数 α 取不同值时，衰减和
定常蠕变的曲线形状改变， 即非定常 Kelvin 模型 （非 定常黏壶 η1 (t ) 和弹簧的 E1 并联）描述这两个阶段。 加速阶段的曲线形状随 γ 的改变而改变，即非定常 黏壶 η2 (t ) 描述加速蠕变。 为了验证模型的实用性，拟合了杨彩红等[13]对 天然页岩的蠕变实验数据，如图 5 所示。笔者曾用 非定常分数 Burgers 模型处理过这几组数据。应力 为 45 MPa 时只有 2 个蠕变阶段，采用式（14）拟 合。应力为 55 MPa 和 65 MPa 时，利用式（13）拟 合，参数见表 1。由表可以看出，模型对实验数据 拟合得较好，证明了模型的合理性。文献[9-11]中 用非定常模型拟合不同应力下的蠕变数据，拟合参 数与应力没有关系。而表 1 中各参数随应力规律变 化，尤其是 α 随时间线性变化。
增刊 1
康永刚等：基于 Burgers 模型的岩石非定常蠕变模型
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常黏壶的蠕变柔量 J 2 (t ) = 变柔量：
1
η2
γt
t ，给出非定常黏壶蠕
非线性元件满足此关系，此类元件通常被串联到各 种模型中， 而不是与其他元件并联。 基于上述 2 个 元件，设Kelvin模型中黏壶 η1 随时间的变化满足：
图1 岩石蠕变曲线 Fig.1 Creep curve of rock
结果，文献[6]设此黏壶满足幂律型蠕变。因此，设 其蠕变柔量满足一般形式：
J 2 (t ) = η 20 t m eγ t
（9）
当 m = 0， 为指数形式蠕变； 当m = 1， 为式 （3） 。 当 γ =1 时 ， 为 幂 律 型 蠕 变 。 黏 壶 蠕 变 时 ，
= Aσ n t m ε
黏滞系数随时间不断地减小，最终导致黏滞力 为 0 使得岩石破坏。本构方程为 ⎛ E1 E ⎞ dσ d ⎛ σ ⎞ σ + ⎜1 + 1 ⎟ + η1 (t ) ⎜ ⎟+ η2 (t ) E2 ⎠ d t d t ⎝ η2 (t ) ⎠ ⎝ d2 σ dε d2 ε η1 (t ) 2 = E1 + η1 (t ) 2 dt dt dt
(a) γ = 0.04
η2 (t ) 满足式（11） ，则
⎛ ⎞ ⎛ E α⎞ 1 γt ⎟ −1 ⎜1− exp ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎟ J (t ) = E1−1 ⎜ t te − ⎜ ⎟ + E2 + ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ η α η ⎝ 10 ⎠⎠ ⎝ 20
（13） 当 α = 1 ，且 γ = 1 时，式（13）是 Burgers 模 型蠕变柔量式（1）。初始应力 σ 0 < σ s 时，开关闭 合，非定常黏壶 η2 (t ) 不起作用，为非定常 Kelvin 模型和弹簧的串联， 用于描述 2 个阶段的蠕变曲线， 蠕变柔量为
ε e 为瞬时弹性应变。传统的模型没有考虑参数的时
间相关性，而岩体在水化、风化、地下水渗流和应 力水平等因素的影响下某些力学参数随着时间的变 化而变化，要准确地了解岩石的变形性能，需要考 虑岩石力学参数的时间效应。 Burgers 模型适合用来描述第三期以前的蠕变 曲线，如图 2 所示。由Kelvin体（弹簧 E1 和黏壶 η1 的并联）和弹簧 E2 、黏壶 η 2 串联而成。蠕变时， 常 应 力 σ0 、 应 变
J 2 (t ) =
1
η20
te
（3）
η1 (t ) = η10 t1−α
（5）
熊良宵等[6]建立了一个与时间、应力状态有关 的非线性黏滞体，替换黏壶 η 2 ，得到一种非定常
式中： η10 、 α 为常数。定常弹簧 E1 与非定常粘壶
η1 (t ) 组成的非定常 Kelvin 模型满足：
σ = E1ε + η1 (t )
（4）
为蠕变速率； σ 为应力； A 、 n 、 m 均为 式中： ε
常数，即蠕变柔量 J (t ) ∝ t m+1 。有些研究者构造的
（12）
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岩
土
力
学
2011 年
Fig.3
图 3 非定常 Burgers 模型 Non-stationary Burgers model
蠕变柔量为非定常 Kelvin 模型、弹簧 E2 和非 定常黏壶 η2 (t ) 的蠕变柔量之和。若非定常黏壶
模型和弹簧 E2 、满足式（2）的黏壶串联，给出一 种非定常分数 Burgers 模型。本文用不同的非定常 黏壶分别替换Burgers模型中的 2 个黏壶， 构造一种 非定常 Burgers 模型，推导出它的蠕变柔量。
∫0 η (t ) d t = ∫0 σ − E ε d ε 0 1
求出非定常Kelvin模型的蠕变柔量：
η2 (t ) = η20 e−γ t
（2）
ε (t ) 和 蠕 变 柔 量 J (t ) 满 足
式中：η20 为常数。文献[5]中直接把式（2）代入定
收稿日期：2010-11-22 基金项目：防灾科技学院防灾减灾青年科技基金资助（No. 201008） 。 第一作者简介：康永刚，男，1981 年生，硕士，讲师，从事分数微积分应用的研究工作。E-mail：81624304@
J (t ) ∝ t ，且 0 ≤ β ≤ 1 。孙均
β
η2 (t ) =
η20 e−γ t t m−1 (m + γ t )
e−γ t 1+ γ t
（10）
令 m = 1 ，式（3）对应的黏滞系数为
η2 (t ) = η20
（11）
[12]
指出，对于非线
性黏弹性问题，其经验公式可写为一种幂律型蠕变 方程：
分离变量求定积分：
Burgers模型；Koeller[7]利用分数阶导数引入一种介
于弹簧和黏壶的力学元件； Friedrich[8]把它叫做黏 弹性的分数单元。弹簧与分数单元并联组成分数
dε dt
（6）
Kelvin 模 型 ； 孙 海 忠
[9]
、殷德顺
[10–11]
等用分数
Kelvin模型模拟过软土的蠕变。 笔者曾把分数Kelvin
第 32 卷增刊 1 2011 年 4 月
文章编号：1000－7598 (2011)增刊 1－0424－04
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.32 Supp.1 Apr. 2011
基于 Burgers 模型的岩石非定常蠕变模型
康永刚，张秀娥
（防灾科技学院 基础部，河北 三河 065201）
σ0 /MPa
45 55 65
表1 非定常Burgers模型的拟合参数 Table 1 Fitting parameters of non-stationary Burgers model