北师大版高中数学必修一第四章 §1

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2019学年北师大版高中数学必修一：4.1.1(ppt课件)

【拓展类型】一元二次方程区间根问题
【备选例题】(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1(a<b),且m,n是
方程f(x)=0的两个根(m<n),则实数a,b,m,n的大小关系可能是
(
A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.m<a<n<b D.a<m<b<n
2.借助对应值表中提供的有关ex与x+2的对应数值的大小关系
作出判断.
【自主解答】(1)选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,
f(b)f(c)<0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
【即时练】若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足 f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零
点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(3)判断函数f(x)= log 1 x－ x 的零点个数.
2
【解题探究】1.题(1)中的函数是什么函数?如何判断其零点个数? 2.题(2)中函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在 (a,b)上只有一个零点吗? 3.如何判断题(3)中的函数的零点个数?
【探究提示】1.题(1)中的函数是二次函数,可借助判别式的符
【微思考】函数的零点就是函数图像与x轴的交点吗? 提示：不是.函数的零点是个实数,而函数图像与x轴的交点是个点的坐标.

第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版

例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴

4
4
3

4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:

新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册

【对点练习】❶ 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；
1
(3)42＝2；(4)log132＝－5．
2
[解析] (1)log416＝2 ． (2)lg 100＝2．
(3)log42＝12．
(4)21－5＝32．
题型二
对数基本性质的应用
例 2求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(ln x)＝1； (4)lg(ln x)＝0． [分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
【对点练习】❷ 求下列各式中 x 的值：
(1)x＝log116； 2
(2)log8x＝－13；
(3)log( 2 －1)
1 3＋2
2＝x．
[解析] (1)∵x＝log2116，∴12x＝16，即 2－x＝24．∴－x＝4，即 x＝－4．
(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13＝318＝12．
5．若ln e－2＝－x,则x＝____2_． [解析] 由题意可知e－2＝e－x,故x＝2．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
对数的定义
例 1 (1)在对数式 y＝log(x－2)(4－x)中，实数 x 的取值范围是 ___2_＜__x_＜__4_且__x_≠__3____．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log 5125＝6．
第四章对数运算与对数函数
§1 指数幂的拓展
【素养目标】 1．能结合指数幂解对数的相关概念,常用对数、自然对数．(数学抽象) 3．能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值．(数学运算)

高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改

精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的元素；在集合B 中都有元素和它对应；这样的对应叫做到的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的叫做象；叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的；记作 .2．函数的三要素为、、；两个函数当且仅当分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有、、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的域是外函数f (x )的域.③实际应用问题的定义域；就是要使得有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑；取决于；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用法；④ y ＝x －x-1；可采用法；⑤ y ＝x －21x -；可采用法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个；②都有；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若；则f (x )在这个区间上是增函数；②若；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为； 3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有；则称f (x )为奇函数；若；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称. 2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值的变化当x >0时；______；当x <0时；________ 当x >0时；________；当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性在(0；＋∞)上是增函数在(0；＋∞)上是减函数共点性图像过点______；即log a 1＝0函数值特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。

北师大版高中数学选择性必修第一册4.1 数学建模实例

验相关的还有哪些问题呢?
待研究问 1.漂洗的次数多少与残留的污物量的关系;
题
2.每次漂洗后是否拧干及拧干的程度与残留的污物量的关系
1.在总用水量A一定的条件下平均分配每次用水量漂洗效果
总结
最佳.(经n次漂洗后衣服上残留的污物量最少) 2.衣服上最后残留的污物量与原衣服上的污物量相关(衣服
越脏越难洗净与实际感受一样,因此建议衣服要勤洗为好)
202X
第四章 §1 数学建模实例
课标定位素养阐释
1.综合实践活动是基于学生的直接经验、密切联系学生自身生活和社会生活、体现对知识的综合运用的实践性课程. 2.了解洗衣服的过程,学会洗衣服的技能、方法.认识常见的衣服质地标识和衣服洗涤说明的标识. 3.培养学生动手能力和生活实践的能力.通过动手操作,让学生进一步掌握正确的洗涤方法,并懂得怎样使衣服洗得更干净.帮助学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,培养学生数学建模的核心素养.
本课结束
m0 (1+nAb ) n
测量数据与计算结果
第一次
项目用Biblioteka 量具体操作方法及测量数据
第一种(两次漂洗所用的清水量不相等)
5 kg
第二种(两次漂洗所
用的清水量相等) 10 kg
第二次残留的污物量是本来
用水量的几分之几,设b=1 kg
1
15 kg
96
1
10 kg
121
与本次实本次实际操作只是进行了漂洗两次的污物残留问题,相关的
中水中,漂洗拧干后,衣服上残留的污物量为 m1 kg,衣服上留有的清水量
的数
b
kg.满足mb1
=
m0 a+b

北师大版高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

北师大版数学必修一第4章 1.2

数
∴Δ＝b2－4＝0，即 b＝±2，故选 C．
学
必
修
①
·
北
师
大
版
返回导航
第四章函数的应用
2．下列函数中能用二分法求零点的是导学号 00814943 ( C )
数
学
必
修 ①
[解析] 从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不
·
北师
能运用二分法．故选C．
大
版
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第四章函数的应用
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第四章函数的应用
〔跟踪练习 1〕导学号 00814947 下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( A )
数学
[解析] A、B、C、D 四个选项中只有 A 的图像没有穿过 x 轴，此零点属不
必
修 ①
变号零点，不能用二分法求解．
·
北
师
大
版
返回导航
第四章函数的应用
命题方向2 ⇨二分法求函数零点的近似值
试判断方程 x3＋3x－5＝0 在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出
该解的近似值(精确到 0.01). 导学号 00814948
[思路分析] 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，
然后再利用二分法求出其近似值．
[规范解答] 设函数 f(x)＝x3＋3x－5，由于 f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此
么下一个有根区间是___[_2_,2_._5_] __. 导学号 00814945
数学
[解析] 由计算器可算得 f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所

2018学年高中数学北师大版必修一课件：第四章函数应用-第1节-1.1 精品

[再练一题] 4．若本例中的方程至少有一个正根，求实数 a 的取值范围．【解】 (1)当 a＝0 时，方程变为－2x＋1＝0，解得 x＝12，符合题意．
Δ＝4－4a≥0，
(2)当 a＞0 时，1a＞0， f0＞0，
解得 a≤1，故 0＜a≤1.
(3)当 a＜0 时，因为 f(0)＝1，故函数 f(x)＝ax2－2x＋1 与 x 轴一定有两个交点，故方程 ax2－2x＋1＝0 必有一个正根．
2．函数 y＝x－1x的零点是________．【解析】令 y＝x－1x＝x2－x 1＝0，解得 x＝±1. 【答案】 ±1
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：
解惑：
求函数的零点
[小组合作型]
求下列函数的零点： (1)y＝－x2－x＋20； (2)f(x)＝x4－1. 【精彩点拨】先因式分解，再确定函数的零点．
【解析】由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．
【答案】 ①②③
4．函数 f(x)＝2x－3 的零点在区间( k，k＋1)内，则整数 k 的值为________.【导学号：04100073】
【解】由题意 f(k)f(k＋1)＝(2k－3)(2k－1)＜0，解得12＜k＜32.又因 k 为整数，故 k＝1. 【答案】 1
A.0，18
B.18，14
C.14，12
D.12，1
【解析】【答案】
f14·f12＝π4＋log214π2＋log212＝π4－2π2－1＜0. C
零点个数的判断
判断下列函数零点个数： (1)y＝ex＋2x－6； (2)y＝log2x－x＋2. 【精彩点拨】借助函数的单调性和图像解答．

北师大版高中数学必修一第四章第1节函数与方程(第1课时)

1．1 利用函数性质判定方程解的存在1．了解函数的零点与方程的根的关系．2．掌握函数零点存在性的判定方法．3．探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的______称为这个函数的零点．(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程______的解．①方程f(x)＝0有解函数f(x)的图像与x 轴有交点函数f(x)有零点．②并非所有的函数都有零点．例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，则该函数无零点．【做一做1－1】函数y＝x的零点是( )．A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在【做一做1－2】函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．32．函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是____曲线，并且在区间端点的函数值符号______，即______＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有____零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y ＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．例如：①二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3，4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以有f(3)·f(4)＝0，但3是函数f(x)的一个零点.②函数f(x)＝x2在区间[－1，1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.③函数f(x)＝1,0,2,0,3,0x xxx x+>⎧⎪-=⎨⎪-<⎩在区间[－1，1]上有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图像知函数f(x)在区间(－1，1)内无零点.【做一做2－1】已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )．A．(3,4) B．(2,3)C．(1,2) D．(0,1)【做一做2－2】函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是__________．答案：1．(1)横坐标(2)f(x)＝0。

2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第四章对数运算与对数函数第1节对数的概念

第四章 §1A 组·素养自测一、选择题1．如果N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，则有( D ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log a 2＝ND ．log a N ＝2[解析] ∵N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，∴2＝log a N .2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C ) A ．32＝9与log 39＝2 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．(－2)5＝－32与log (－2)(－32)＝5D ．100＝1与lg 1＝0[解析] 对数的底数和真数都不能为负数． 3.⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72 C ．8 D ．37[解析] ⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 124＝2×4＝8.4．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln 3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln 3，∴f (3)＝ln 3，故选B . 6．设函数f (x )＝错误!则满足f (x )＝错误!的x 值为( C ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14得x ＝3. 二、填空题 7．log (2－1)(3－22)＝__2__．[解析] 原式＝log (2－1)(2－1)2＝2.8．log 4[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝__8__．[解析] 由log 4[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1，得log 2x ＝3，得x ＝23＝8. 9．若log 31－2x9＝1，则x ＝__－13__．[解析] 因为log 31－2x 9＝1，所以1－2x9＝3，所以x ＝－13.三、解答题10．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋1)(x －1)2.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＞－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，故x 的取值范围是{x |x ＞1且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1，x －1≠0，得⎩⎨⎧x ＞－1，x ≠0，x ≠1.故x 的取值范围是{x |x ＞－1且x ≠0，x ≠1}． 11．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log 32；(2)3log 34－lg 10＋2ln1.[解析] (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1＝43＋1＝73.B 组·素养提升一、选择题1．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝30＝1，∴a ＝3，故选B .2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ACD ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD . 3．(多选题)下列等式中正确的是( AB ) A ．lg (lg 10)＝0B ．lg (ln e )＝0C ．若lg x ＝10，则x ＝10D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2[解析] 对于A ，lg (lg 10)＝lg1＝0；对于B ，lg (ln e )＝lg1＝0；对于C ，若lg x ＝10，则x ＝1010；对于D ，若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故选AB .4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A .1100B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110.二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__．[解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 6．log333＝__3__．[解析] 令log 333＝x ，∴(3)x ＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.7．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12＝4． [解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x －12＝8－12＝18＝122＝24.三、解答题8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4， ∴2－x2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝⎝⎛⎭⎫124＝116. 9．设x ＝log 23，求23x －2－3x 2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.。

北师大版高中数学必修一学案：第四章1

北师大版高中数学必修一学案：第四章1学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．知识点一二分法的原理思考通过上节课的学习，我们知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？梳理二分法的概念如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是______________________，且__________________，则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解．依次取有解________________，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度____________，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．像这样每次__________________，________________________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．知识点二精度与精确到思考“精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？梳理在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足__________________，就称x0是满足精度ε的近似解．为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，________________________，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－|<ε.知识点三二分法求方程近似解的步骤利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．在这里：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．类型一二分法的操作例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)引申探究如何求的近似值？(精度为0.01)反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练 1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精度为0.1)类型二二分法取中点的次数问题例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )A．5次B．6次C．7次D．8次反思与感悟对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，…，二分n次区间长度为.令<ε，即2n>，nlg 2>lg，n>，从而估算出至少要使用多少次二分法．跟踪训练 2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于______．1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝()x－x2．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( ) 3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)4．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f()＝0时，则函数f(x)的零点是( )A．(a，b)外的点B．x＝a＋b2C．区间(a，)或(，b)内的任意一个实数D．x＝a或b5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )A．(2,4) B．(2,3)C．(3,4) D．无法确定1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．答案精析问题导学知识点一思考①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．梳理一条连续的曲线f(a)·f(b)<0区间的中点越来越小取区间的中点将区间一分为二知识点二思考不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得 1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精度为0.1，则近似值可以是 1.25，也可以是1.34.梳理|x0－|<ε使得区间长度b－a≤ε题型探究例1 解由于f(0)＝－3＜0，f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.引申探究解设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：由于，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265 625.跟踪训练1 解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下：有零点x0.取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5)．再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，所以原方程的近似解可取为1.437 5.例2 C [设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.第1次二等分后区间长为；第2次二等分后区间长为；第3次二等分后区间长为；…第n次二等分后区间长为.根据题意，得＜0.01，∴n＞log2100.∵6＜log2100＜7，∴n≥7.故对区间(1,2)至少二等分7次．]跟踪训练2 5解析∵初始区间的长度为1，精度为0.05，∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N*，∴n≥5，∴取中点的次数不小于5.当堂训练1．D 2.A 3.C 4.B 5.B。

北师大版高中数学课件必修第1册第四章 §1 对数的概念

前面.
2.两种特殊的对数:
名称定义
常用对当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,N的常用对数
数
log10N,简记为lg N
自然对在科学领域,常常使用无理数e=2.718 281…为底数的对数,称
数
之为自然对数,并将logeN简记为ln N.
微拓展
给定底数后,对数运算是指数运算的逆运算.
式的相互转化求出第三个.
变式训练 2求下列各式中的x值:
1
(1)log2x=
2
;(2)log216=x;(3)logx27=3.
1
1
解(1)∵log2x= ,∴x=22 .∴x= 2.
2
(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27.即x3=33.∴x=3.
(3)∵ln e2=x,∴ex=e2.∴x=2.
2
3
3
(4)∵logx27= ,∴ 2 =27.∴x=273 =32=9.
2
(5)∵lg 0.01=x,∴10x=0.01=10-2.∴x=-2.
要点笔记指数式ax=N(a>0,且a≠1)与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三
个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数
例2求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
(3)ln
e2=x;
(4)logx27=
3
2
;
(5)lg 0.01=x.
分析利用指数式与对数式之间的关系求解.
44 Nhomakorabea解(1)∵4x=5·3x,∴ =5.∴

北师大版高中数学必修一：4.1.1 25号讲课课件

形
方程f(x)=0 的实数根
数
观谢看谢
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•12
判断函数零点的个数的主要方法 (1)利用判定定理法判断：对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数． (2)利用图像法判断：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝ h(x)，在同一坐标系中作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，利用图像判断方程根的个数．
四、归纳总结，布置作业
一、题型及对应思想方法 1：求零点：解方程（方程思想） 2：判断零点所在区间：零点存在性定理（转化与化归思想） 3：判断零点个数：（1）图像法（数形结合思想）（2）解方程（3）存在性定理结合函数单调性
二、作业：完成课后巩固1,2,3题
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标
（2）同理可得方程x2－2x－3=0在区间[2,4]上也至少存在一个实数解.
y
.
.
2
1
. . －2 －1 0 1 2 3 4 x －1
－2 －3
. －4
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数
值符号相反，即 f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内，函数y＝f(x) 至少有一个零点，
即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．（3）小结：从数的角度看，函数的零点是对应方程的实数解.
从形的角度看，函数的零点是对应函数图像与x轴交点的横坐标.
[点睛] (1)方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点． (2)f(a)·f(b)<0 只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2)．