北师大版高中数学必修一第四章 §1

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第四章§1

一、选择题

1．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

[答案] C

[解析]∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，

即f(0)f(1)<0，

∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．

2．二次函数y＝mx2＋x＋n中，m·n<0，则函数的零点有()

A．0个B．1个

C．2个D．不确定

[答案] C

[解析]由题知m≠0，m·n<0，∴Δ＝1－4mn>0.

∴有2个零点．

3．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝()

A．0 B．2

C．4 D．无法判断

[答案] C

[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．

∴x 1＋x 2＝4.

4．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C

[解析] 本次考查一元二次方程根的个数问题．

“方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m 2－4>0，解得m >2或m <－2. 5．(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

[答案] B

[解析] 函数f (x )的零点个数，即方程f (x )＝0的实数根个数，

令f (x )＝0得，2x |log 0.5x |＝1， ∴|log 12

x |＝(12)x ，

令g (x )＝(1

2)x ，h (x )＝|log 12

x |，

在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f (x )有两个零点． 6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 [答案] D

[解析] 对于A ：f (1)＝4，f (2)＝9，f (1)·f (2)>0，无法判断f (x )在[1,2]上是否有零点； 对于B ：f (1)＝－9，f (2)＝－7，f (1)·f (2)>0，同选项A 一样，无法判断； 对于C ：f (1)＝3，f (2)＝ln2，f (1)·f (2)>0，同选项A 、B 一样，无法判断； 对于D ：f (1)＝e －3，f (2)＝e 2，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在[1,2]上有零点． 二、填空题

7．函数f (x )＝x 2－4

x －2的零点是________ .

[答案] －2

[解析] f (x )＝(x －2)(x ＋2)

x －2

＝x ＋2(x ≠2)，

令f (x )＝0，得x ＝－2.

8．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内的实根情况是________．

[答案] 有唯一实根

[解析] f (x )＝－x －x 3图像在[a ，b ]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f (a )·f (b )<0，可得f (x )＝0在[a ，b ]内有唯一一个实根．

三、解答题

9．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点． (1)求m 的取值范围；

(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值． [解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，

有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，

即当m ≤－5

9且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点，

综上可知，当m ≤－5

9时，此函数的图像与x 轴总有交点．

(2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1

m ＋6.

∵1x 1＋1

x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，

当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.

一、选择题

1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0，在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )

A ．(1.25,1.5)

B ．(1,1.25)

C ．(1.5,2)

D ．不能确定

[答案] A

[解析] ∵f (1.5)>0，f (1.25)<0，

∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.

2．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞) D ．(0,1)∪(1,2)

[答案] A

[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f (x )＝a x －x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x 与y 2＝x ＋a 有两个交点．

(1)当a >1时，y 1＝a x 过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a )点，而(0，a )点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．

(2)当0

∴a 的取值范围为a >1. 二、填空题

3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为________． [答案] m ≤1

[解析] ①m ＝0时，x ＝－1

2

适合题意．

②m ≠0时，应有m <0或⎩⎪⎨⎪⎧

m >0

－2

2m <0，

Δ≥0

解得m <0或0

4．方程lg x ＋x ＝0的实数解的存在区间为________． [答案] (1

10

，1)

[解析] 令f (x )＝lg x ＋x ，则f (110)＝lg 110＋110＝－9

10

<0，f (1)＝lg1＋1＝1>0.