数列中裂项求和的几种常见模型(学习资料)

数列中裂项求和的几种常见模型

数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。

模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 n a d n ，则

)1

1(111

1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x

的图像经过坐标原点，其导函数为

'()62f x x ，数列{}n a 的前

n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x

的

图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T 对所有n N

都成立的最小

正

整

数

m ；

（2006年湖北省数学高考理科试题）

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2

+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2

－2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x

的图像上，所以n S ＝3n

2

－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－ )1(2)132 n n （

＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12

－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N ）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13

n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3

n n ＝)1

61561(21 n n ， 故T n ＝ n

i i b 1＝21

)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161 n ）. 因此，要使2

1（1－

161

n ）<20

m （n N ）成立的m,必须且仅须满足2

1

≤20

m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m

为10..

例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P

),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在

函数)0(2 x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:n n n n S T S S S T

L 求证

解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径， ,)()(,||1212111 n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121 n n n n y y x x

由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212 n n n n n n n x x x x x y r

),(211,2,01

111

N n x x x x x x x x n

n n n n n n n 即

11

}1{

1 x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以1

21,122)1(11 n x n n x n n 即

（II ）4

4

22)12(

n x y r S n n n n

，

])

12(1

311[2221

n S S S T n n 因为 ))

12)(32(1

5.313.111(

n n