第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方
苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》教学设计
苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的一个进一步学习的课题。
这部分内容主要让学生掌握相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例，对应角相等，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方。
通过这部分的学习，学生可以更好地理解相似三角形的性质，并为后续的解三角形和不规则图形的面积计算打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生对相似三角形的性质理解不够深入，容易与全等三角形的性质混淆。
因此，在教学过程中，需要针对这部分学生进行重点讲解和引导。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质的理解和运用。
2.相似三角形的面积比的计算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。
通过设置问题，引导学生思考和探索相似三角形的性质；通过案例分析，让学生理解和运用相似三角形的性质；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备教学PPT和板书设计。
3.准备相关的练习题和作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：相似三角形的性质。
例如，已知两个相似三角形的边长比例为2:3，求这两个三角形的面积比。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
通过PPT和板书，展示相似三角形的性质及其证明过程。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题进行自主训练，巩固相似三角形的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一组案例分析，让学生运用相似三角形的性质解决问题。
北师大版数学九年级上册4.7.2相似三角形的性质面积之比教学设计
2.创设生活情境，将几何知识与实际应用相结合，提高学生的应用意识。
-结合现实生活中的实例，如地图、照片等，让学生感受相似三角形面积比在实际中的应用。
-设计相关例题，让学生运用相似三角形面积比解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.注重启发式教学，激发学生的思维能力和创新意识。
-学生代表汇报：“我们小组发现，在地图上，两个相似地区的面积比等于它们的比例尺的平方。”
-教师点评，给予肯定和鼓励。
（四）课堂练习
1.设计练习题：根据相似三角形面积比的知识点，设计具有代表性的练习题。
-练习题：“已知三角形ABC与三角形A'B'C'相似，相似比为3:2，求它们的面积比。”
-学生独立完成练习题，教师进行辅导。
北师大版数学九年级上册4.7.2相似三角形的性质面积之比教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的定义及判定方法，理解相似比的概念。
2.引导学生通过探究发现相似三角形面积的性质，能够运用面积比计算方法解决实际问题。
3.培养学生运用几何图形的性质和定理进行推理、论证的能力，提高几何直观和空间想象能力。
-示例：假设有两块相似的地块，已知它们的相似比为5:3，求这两块地块的面积比。
3.提高拓展题：挑选一道具有一定难度的相似三角形面积比问题，鼓励学生挑战自我，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
-示例：已知三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且三角形ABC的面积为24平方单位，求三角形A'B'C'的面积。
4.小组合作题：以小组为单位，共同探讨相似三角形面积比在生活中的其他应用，并撰写一篇小报告，分享学习心得。
4.7.2相似三角形的性质面积之比(教案)
1.教学重点
a.理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方这一核心性质。
-通过实际图形的观察和比较，让学生感受面积比与相似比之间的关系。
-用具体的数字例证，强化学生对面积比等于相似比平方的理解。
b.学会应用相似三角形的面积比解决实际问题。
-结合实际情境，设计具有挑战性的问题，引导学生运用面积比知识解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的性质面积之比的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形面积比的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，实践活动环节，学生们在操作过程中对实验数据的处理和归纳总结能力还有待提高。针对这一点，我打算在后续的教学中，加强学生对实验数据的分析和总结，让他们在实践中学会如何提炼关键信息，提高归纳总结能力。
在课堂总结环节，虽然大部分学生能够跟随我的思路回顾所学内容，但仍有个别学生显得心不在焉。为了提高课堂总结的效果，我考虑在今后的课程中，尝试让学生自己来总结所学知识点，以此来检验他们对课堂内容的掌握程度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形面积比的概念和计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形面积比相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相似三角形面积比的基本原理。
几何形的相似性质与计算方法
几何形的相似性质与计算方法几何形的相似性质是指在形状上相似的图形，在某些性质上也具有相似的特点。
相似性质的存在使得我们可以通过已知的几何形来推导出其他几何形的信息，从而简化几何问题的解决过程。
本文将介绍几何形的相似性质以及相似形计算方法的应用。
一、几何形的相似性质1. 边长比例相似形的边长比例是相等的，即对于两个相似的三角形，其对应边长之比相等。
例如，若三角形ABC和三角形DEF为相似三角形，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 角度相等相似形的对应角度是相等的，即对于两个相似的三角形，其对应角度相等。
例如，若三角形ABC和三角形DEF为相似三角形，则∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 面积比例相似形的面积比例等于对应边长的平方比例。
例如，若三角形ABC 和三角形DEF为相似三角形，则有面积(△ABC)/面积(△DEF) =(AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
二、相似形的计算方法1. 相似三角形的计算对于已知的相似三角形，我们可以利用已知的信息计算未知的边长和角度。
a. 已知边长比例和一个角度：若知道两个对应边长的比例以及一个对应角度，可以利用正弦定理或余弦定理来计算未知边长或角度。
b. 已知两个角度：若知道两个对应角度，则可以通过求和或差的方法计算第三个对应角度，再利用正弦定理或余弦定理计算未知边长或角度。
c. 已知面积比例和一个边长比例：若知道两个对应边长比例以及面积比例，可以利用边长比例得到未知边长的比例，再利用面积比例计算未知边长。
2. 相似多边形的计算对于相似的多边形，可以利用比例关系和面积比例来计算未知边长和面积。
a. 边长比例：若知道两个相似多边形的对应边长比例，则可以通过边长比例计算未知边长的长度。
b. 面积比例：若知道两个相似多边形的面积比例，则可以通过面积比例计算未知多边形的面积。
三、相似性质的应用举例1. 测量高楼高度当无法直接测量高楼的高度时，可以利用相似性质来计算。
2023年中考数学必考特色题型讲练【选择题】必考重点09 相似三角形的判定与性质
【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。
在解相似三角形的判定与性质的有关题目时，首先要求考生掌握证明三角形相似的条件和方法，相似三角形的对应边成比例、对应角相等，对应角平分线、中线、高的比等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
其次要能够运用相似三角形的性质，列出方程，求出相应线段的长度或者探索各线段之间的数量关系。
【2022·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【考点分析】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．【思路分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部．．被染色的区域面积是______．【考点分析】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．【思路分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【2022·江苏宿迁·中考母题】如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是_____．【考点分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H 运动的路径长为PN 长是解答本题的关键．【思路分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且AQM FQN ∆∆， :1:2,NQ MQ =点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 的长，求出BQ 及PN 的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，△ADE ∽△ABC ，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，若AM AN ＝12，则ADE ABC S S ＝__．【考点分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．【思路分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DE BC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．1．（2022·江苏淮安·一模）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点H 在AD 上，且2AH =，点E 绕着点B 旋转，且3BE =，在AE 的上方作正方形AEFG ，则线段FH 的最小值是______．2．（2022·江苏苏州·二模）如图，在ABC 中，2AC =，AB AD CD ==，36BAD ∠=︒，则AD =________．3．（2022·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为________．4．（2022·江苏泰州·二模）如图1，在Rt ABC 中，90B ，BA BC =，D 为AB 的中点，P 为线段AC上一动点，设PC x =，PB PD y +=，图2是y 关于x 的函数图像，且最低点E 的横坐标是AB ＝______．5．（2022·江苏淮安·一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 和四边形CGFE 的顶点均在格点上，则两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为__________．6．（2022·江苏泰州·一模）如图，直线l 与圆O 相交于A 、B 两点，AC 是圆O 的弦，OC ∥AB ，半径OC 的长为10，弦AB 的长为12，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿射线AB 方向运动．当△APC 是直角三角形时，动点P 运动的时间t 为 _____秒．7．（2022·江苏南京·一模）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 是AC 上一点，过点D 作∥DE BC 交AB 于点E ，DF AB ∥交BC 于点F ．若5AE =，4CF =，则四边形BFDE 的面积为______．8．（2022·江苏苏州·一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG BC⊥于点G，若23DEEC=，则FGAB的值为______．9．（2022·江苏南京·模拟预测）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．10．（2022·江苏扬州·一模）ABCD中，BE CF=，连接AE、BF交于点H，连接DH并延长交BC于点G，若2AB BH==BG=__________．11．（2022·江苏无锡·一模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____．12．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．①以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；②分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．13．（2022·江苏泰州·二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点E 是△ABC 内部一点（不包括三条边），点F 、G 分别在AC 、AB 边上，且EF ⊥AC ，EG ⊥AB ，垂足分别为F 、G ．点D 是AB 边的中点，连接ED ，若EF ＜EG ，则ED 长的取值范围是_________．14．（2022·江苏常州·二模）如图，正六边形ABCDEF 中，G 是边AF 上的点，113==GF AB ，连接GC ，将GC 绕点C 顺时针旋转60︒得,''G C G C 交DE 于点H ，则线段HG '的长为__________．15．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC 中，8BC =，4sin 5A =，BN AC ⊥于点N ，CM AB ⊥于点M ，连接MN ，则△AMN 面积的最大值是______．16．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD 的边长为5，E 为AD 的中点，P 为CE 上一动点，则AP BP +的最小值为______．17．（2022·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角α的正对（sad α）．例如，在ABC 中，AB AC =，顶角A 的正对BC sadA AB ==底边腰．当36A ∠=︒时，36sad ︒=______________．（结果保留根号）18．（2022·江苏盐城·一模）如图，DE 是△ABC 的中位线，F 为DE 中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，若2EFG S =△，则ABC S =___________．19．（2022·江苏无锡·一模）如图，点P 为线段AB 上一点，3AB =，2AP =，过点B 作任意一直线l ，点P关于直线l 的对称点为Q ，将点P 绕点Q 顺时针旋转90︒到点R ，连接PQ 、RQ 、AR 、BR ，则线段AR 长度的最大值为________．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，在Rt ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE AC ⊥于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接,AF CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且180,2,3CDE EGC FG GC ∠+∠=︒==．下列结论：①12DE BC =；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF EG =；④BC =______．（填序号）21．（2022·江苏连云港·一模）如图，以AB 为直径的半圆O 内有一条弦AC ，P 是弦AC 上一个动点，连接BP ，并延长交半圆O 于点D ．若5AB =，4AC =，则DP BP 的最大值是________．22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，BF ，CE 交于点M ，若三角形BEM 的面积为1，则四边形AEMF 的面积为________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为_____．24．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，2BC=，E在边BC上运动，M、N在AB=，4+的最小值为______．对角线BD上运动，且25．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。
有关相似三角形的比例计算与应用
有关相似三角形的比例计算与应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
在几何学中，我们经常需要计算相似三角形的比例关系以及应用它们解决问题。
在本文中，我们将讨论相似三角形的比例计算和应用。
相似三角形的比例计算主要涉及到三个方面：边的比例、角的比例和面积的比例。
首先，我们来看边的比例。
对于两个相似三角形，它们对应边的长度之比是相等的。
假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB和DE，BC和EF，AC和DF。
那么我们有如下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF这个比例关系可以用来计算相似三角形中未知边的长度。
例如，已知一个三角形的两条边的长度以及它们之间的比例，我们可以通过这个比例关系来计算第三条边的长度。
接下来，我们来看角的比例。
对于两个相似三角形，它们对应角的度数是相等的。
假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应角分别为∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F。
那么我们有如下比例关系：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F这个比例关系可以用来计算未知角的度数。
例如，已知一个三角形的两个角的度数以及它们之间的比例，我们可以通过这个比例关系来计算第三个角的度数。
最后，我们来看面积的比例。
对于两个相似三角形，它们的面积之比等于任意两边长之比的平方。
假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB和DE，BC和EF，AC和DF。
那么我们有如下面积比例关系：(面积ABC)/(面积DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2这个比例关系可以用来计算相似三角形中未知三角形的面积。
例如，已知一个三角形的面积以及它与另一个相似三角形边长的比例，我们可以通过这个比例关系来计算另一个三角形的面积。
除了比例计算，相似三角形还有许多实际应用。
其中一个应用是测量较高物体的高度。
假设我们站在水平地面上的位置，并且测量了我们自己的身高和我们与物体之间的距离。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4探索三角形相似的条件
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4 探索三角形相似的条件一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第四单元“相似三角形”的第四节“探索三角形相似的条件”是本单元的核心内容。
本节课主要让学生通过探究、归纳出三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质，为后续解决实际问题和进行几何证明打下基础。
教材从学生已知的图形出发，引导学生观察、思考、归纳，从而得出三角形相似的条件。
首先，通过两组三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状。
然后，引导学生通过测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
最后，通过几何图形的变换，让学生理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对三角形的相关概念有一定的了解。
但是，对于三角形相似的判定方法和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会引导学生从直观的图片出发，通过实际操作、观察、思考，逐步理解和掌握相似三角形的判定方法和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的判定方法，相似三角形的性质。
2.教学难点：对相似三角形性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过两组相似三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状，引发学生的兴趣。
2.探究：引导学生观察、测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
3.归纳：学生进行小组讨论，归纳出三角形相似的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
一类三角形的面积比问题
一类三角形的面积比问题在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形的面积比问题就像是一个藏在神秘宝盒里的小秘密，等着我们去揭开它的面纱。
今天，咱们就来好好聊聊这一类有趣的三角形面积比问题。
先来说说我曾经遇到过的一件小事儿。
有一次，我去公园散步，看到园丁师傅在修剪草坪。
那片草坪被分成了不同形状的区域，其中就有几个三角形。
这一下子就让我想到了三角形的面积比。
我就在想啊，如果这几个三角形的形状和大小不一样，它们的面积比会是怎样的呢？咱们回到数学的世界里。
三角形的面积比问题，其实在很多地方都能派上用场。
比如说，在几何图形的组合中，知道了两个三角形的面积比，就能更好地理解整个图形的构成和特点。
那怎么来算三角形的面积比呢？这可得从三角形的面积公式说起。
我们都知道，三角形的面积等于底乘以高除以 2 。
如果两个三角形的底和高的比例关系确定了，那它们的面积比也就清楚啦。
假设我们有两个三角形，一个三角形的底是 6 厘米，高是 4 厘米；另一个三角形的底是 3 厘米，高是 2 厘米。
第一个三角形的面积就是6×4÷2 ＝ 12 平方厘米，第二个三角形的面积就是 3×2÷2 ＝ 3 平方厘米。
它们的面积比就是 12 ： 3 ，化简一下就是 4 ： 1 。
再复杂一点，如果两个三角形有一个角相等，那它们的面积比就等于对应边的乘积之比。
比如说，有两个三角形，它们有一个角都是 60度，对应的两条边分别是5 厘米和2 厘米，那它们的面积比就是5×5 ：2×2 ，也就是 25 ： 4 。
有时候，题目会给我们一些更巧妙的条件。
比如告诉你一个三角形被一条中线分成了两个三角形，这时候，这两个三角形的面积是相等的哟！因为中线把底边平分了，高又是一样的，所以面积就相等啦。
还有一种情况也很常见，就是两个相似三角形的面积比。
相似三角形的对应边成比例，面积比就等于对应边比例的平方。
比如说，两个相似三角形的对应边比例是 3 ： 2 ，那它们的面积比就是 3²： 2²，也就是 9 ： 4 。
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的认识对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定方法根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
三角形相似的判定定理的推论推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的面积比
相似三角形的面积比在数学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
而这两个相似三角形的面积之间存在着一定的比例关系。
本文将介绍相似三角形的性质，并推导相似三角形的面积比公式。
一、基本概念在讨论相似三角形的面积比之前，先来回顾一下相似三角形的基本概念。
1. 相似三角形的定义两个三角形是相似的，当且仅当它们的对应角相等。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，即对应边之比相等。
3. 相似三角形的符号表示在表示相似三角形时，通常用大写字母表示大三角形的顶点，用对应的小写字母表示小三角形的顶点。
例如，大三角形的顶点为A、B、C，小三角形的顶点为a、b、c，那么可以表示为△ABC∼△abc。
二、相似三角形的面积比公式给定两个相似三角形△ABC∼△abc，它们的边长比为k，则有以下公式计算相似三角形的面积比：面积比 = (边长比)^2推导过程如下：设大三角形ABC的边长为a、b、c，小三角形abc的边长为x、y、z。
根据相似三角形的性质，有如下等式：a:x = b:y = c:z由此可得：x = a * (x/y) = a * (x/c) * (c/y)y = b * (y/c) * (c/b) = b * (y/c) * (c/a)z = c * (z/a) = c * (z/b) * (b/a)那么，相似三角形的面积比可表示为：面积比 = (小三角形abc的面积) / (大三角形ABC的面积)= (1/2) * x * y * sin∠A / (1/2) * a * b * sin∠A= (x * y) / (a * b)= (a * (x/c) * (c/y)) * (b * (y/c) * (c/a)) / (a * b)= (x/c)^2因此，相似三角形的面积比公式为：面积比 = (边长比)^2三、实例分析通过一个实例来说明相似三角形的面积比的用法。
已知△ABC∼△abc，且AB = 6 cm，AC = 8 cm，BC = 10 cm，ab = 3 cm，bc = 4 cm。
九年级数学上册《相似三角形周长比等于相似比面积比等于相似比平方》教案、教学设计
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的性质、全等三角形等内容有了较为深入的了解。在此基础上，本章节将引导学生探索相似三角形的性质和应用。考虑到学生的实际情况，他们在以下方面可能存在困难：
1.对相似三角形的定义和性质理解不够深入，需要通过具体实例和图形帮助学生加深理解。
2.在运用相似三角形的性质解决实际问题时，可能会对计算过程和方法感到困惑，需要教师进行针对性的指导。
1.复习全等三角形的性质，引导学生思考全等三角形中对应边和对应角的关系。
2.提问：“在全等三角形中，如果对应边成比例，那么对应角有什么关系？”通过这个问题，自然过渡到相似三角形的定义。
3.展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的画面等，让学生观察并思考相似图形的特点和美感。
（二）讲授新知
九年级数学上册《相似三角形周长比等于相似比面积比等于相似比平方》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义，掌握判断两个三角形相似的方法。
2.掌握相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算周长、面积等。
4.学会使用相似比、周长比和面积比进行三角形相关的计算。
-通过绘制图形，观察并证明相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.实践应用题：
-设计一道与实际生活相关的题目，如测量并计算校园内某些建筑物的相似比例，或利用相似三角形的知识解决家庭生活中的实际问题。
-要求学生将问题解决过程和结果以书面形式呈现，注重解题步骤的清晰性和逻辑性。
3.思考探究题：
4.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、交流，共同解决问题，提高合作意识。
新浙教版九年级数学相似三角形
新浙教版九年级数学相似三角形相似三角形是九年级数学中的一个重要知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
首先，我们来了解一下相似三角形的定义。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。
相似三角形具有许多重要的性质。
例如，相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
这意味着，如果我们知道两个相似三角形中一组对应边的比例以及其中一个三角形的边长，就可以求出另一个三角形中相应边的长度。
同时，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
在判断两个三角形是否相似时，我们有多种方法。
其中，最为常见的是“两角对应相等的两个三角形相似”。
因为三角形的内角和为 180 度，当两个角对应相等时，第三个角也必然相等。
另外，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及“三边对应成比例的两个三角形相似”也是常用的判定方法。
相似三角形在实际生活中的应用非常广泛。
比如，在测量建筑物的高度时，如果我们无法直接测量建筑物的高度，可以通过测量建筑物的影子长度以及一根已知长度的标杆的影子长度，利用相似三角形的原理来计算建筑物的高度。
假设我们要测量一座高楼的高度，在同一时刻，我们测量出标杆的高度为 2 米，其影子长度为 1 米，同时测量出高楼的影子长度为 20 米。
由于太阳光线的角度相同，所以标杆和其影子以及高楼和其影子构成的两个三角形相似。
设高楼的高度为 x 米，根据相似三角形对应边成比例的性质，可以列出方程：2/1 ＝ x/20，解得 x ＝ 40 米，即高楼的高度为 40 米。
在地图绘制中，相似三角形也发挥着重要作用。
地图是对实际地理区域的缩小表示，地图上的图形与实际地理区域的图形是相似的。
通过测量实际距离和地图上的距离，利用相似三角形的知识，可以计算出地图的比例尺，从而更准确地反映实际地理情况。
在数学解题中，相似三角形常常与其他几何图形相结合。
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》说课稿
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》说课稿一. 教材分析浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》这一章节是在学生已经掌握了三角形的基本知识的基础上进行讲解的，目的是让学生能够理解和掌握相似三角形的性质及其应用，并能够运用到实际问题中。
本章的内容包括相似三角形的定义、性质以及相似三角形的应用。
在性质方面，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等等。
在应用方面，主要是解决实际问题中的几何问题，如测量问题、面积问题等。
二. 学情分析学生在学习这一章节之前，已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的分类、三角形的性质等。
但是，学生对于相似三角形的性质及其应用可能还存在一些困难，如对相似三角形的定义理解不深刻、对于如何运用相似三角形解决实际问题还不够熟练等。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我制定了以下教学目标：1.让学生理解和掌握相似三角形的定义和性质。
2.培养学生运用相似三角形解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.相似三角形的定义和性质。
2.如何运用相似三角形解决实际问题。
五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，突破教学重难点，我采用了以下教学方法与手段：1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形的性质及其应用。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题，帮助学生更好地理解和运用相似三角形。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示一些实际问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出相似三角形的概念。
2.讲解相似三角形的定义和性质：通过讲解和示例，让学生理解和掌握相似三角形的定义和性质。
3.应用相似三角形解决实际问题：通过示例和练习，让学生学会如何运用相似三角形解决实际问题。
4.小组合作学习：让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
冀教版数学九年级上册25.4《相似三角形的判定》说课稿
冀教版数学九年级上册25.4《相似三角形的判定》说课稿一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.4节《相似三角形的判定》是本册教材中的重要内容，是对之前学习的三角形相似概念的进一步深化。
本节课通过实例引导学生探究相似三角形的判定方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材从生活实例出发，引入相似三角形的概念，然后通过一系列的例题和练习，使学生掌握相似三角形的判定方法，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对三角形的相似概念有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对相似三角形的判定方法理解不够深入，容易与三角形的全等混淆。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生区分相似与全等的不同，加深对相似三角形判定方法的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握相似三角形的判定方法，并能应用于实际问题中。
2.教学难点：引导学生区分相似与全等的不同，理解相似三角形的判定方法。
五.说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，探索相似三角形的判定方法。
同时，利用多媒体手段，展示实例和图形，帮助学生直观地理解相似三角形的性质。
六.说教学过程1.导入：从生活实例出发，引入相似三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：引导学生观察、操作，探索相似三角形的判定方法。
3.例题讲解：通过一系列的例题，使学生掌握相似三角形的判定方法。
4.练习巩固：设计相关的练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。
5.课堂小结：引导学生总结本节课所学内容，加深对相似三角形判定方法的理解。
相似三角形面积比和边长比的关系证明
相似三角形面积比和边长比的关系证明示例文章篇一：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊相似三角形面积比和边长比的关系证明！这可太有趣啦！咱们先想想看，相似三角形就好像是一对双胞胎，虽然长得不完全一样，但是有着相似的模样。
那它们的面积和边长之间到底有啥秘密呢？比如说有两个相似三角形，一个大一个小。
咱们假设大三角形的边长是小三角形边长的k 倍。
那这意味着什么呢？我们来仔细琢磨琢磨。
如果小三角形的一条边是a ，那对应的大三角形的同位置的边不就是ka 嘛！那面积呢？三角形的面积公式是底乘高除以2 。
咱们假设小三角形的底是b ，高是h ，那它的面积就是bh/2 。
大三角形和小三角形相似，那大三角形对应的底就是kb ，高就是kh ，它的面积就是kbh/2 。
这时候咱们来比较一下它们的面积，小三角形面积是bh/2 ，大三角形面积是kbh/2 。
难道你们不觉得这里面有规律吗？大三角形面积除以小三角形面积，不就是(kbh/2)÷(bh/2) 吗？算一算，这结果不就是k² 嘛！这不就说明了相似三角形的面积比等于它们边长比的平方吗？哎呀，是不是感觉一下子就清楚啦？所以说呀，相似三角形面积比和边长比的关系就是这么神奇！我们通过仔细的分析和计算，就把这个秘密给揭开啦！你们说有趣不有趣？我觉得这可太有意思啦，数学的世界里到处都是这样神奇的规律等着我们去发现呢！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来一起探索一下相似三角形面积比和边长比的关系，这可有趣啦！先来说说相似三角形是啥吧。
就好像两个双胞胎，长得特别像，但是大小可能不一样。
相似三角形就是这样，它们的角都相等，边成比例。
那面积比和边长比到底有啥关系呢？咱们来假设一下，有两个相似三角形，一个大的，一个小的。
就像大苹果和小苹果。
大三角形的边长是小三角形边长的k 倍。
咱们想想，三角形的面积怎么算？是底乘以高除以2 对吧？那大三角形的底和高不就是小三角形底和高的k 倍嘛！比如说，小三角形的底是a ，高是b ，那面积就是ab÷2 。
相似三角形的性质(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.24 相似三角形的性质（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；2、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；3、运用相似三角形的性质解决综合问题。
【要点梳理】性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一图二性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则特别说明：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形性质的应用1．如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．21122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSkS B C A D B C A D'''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△【答案】2：1【分析】根据相似三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因为AF是∠BAC 的平分线，所以∠BAF＝∠CAF，然后根据三角形外角的性质求得∠AGD＝∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根据相似三角形的性质求得AGAF＝ADAC＝23，即得AG：GF＝2：1．解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，∴∠AGD＝∠AFC，∴△AGD∽△AFC，∴AGAF＝ADAC＝23，∴AG：GF＝2：1．【点拨】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似？请说明理由。
2022年北师版数学《相似三角形的对应周长比与面积比》精品教案
第2课时 相似三角形的对应周长比与面积比【知识与技能】理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.【过程与方法】经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合理推理和有条理的表达能力.【情感态度】培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的价值.【教学重点】相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系.【教学难点】相似三角形的面积比等于相似比的平方.一、情境导入，初步认识我们已经学过哪些三角形的性质？有一块面积为100平方米，周长为80米的三角形绿地一块，由于学校改建，绿地被削去一角，变成一个梯形，原来绿地一边AB 的长由原来的30米，缩短成20米，你能求出被削去的部分面积和周长是多少吗？【教学说明】通过这个情境，目的是为了让学生了解学习相似三角形的性质是生活的需要.激发学生探索新知，验证自己猜想的欲望，同时揭开本节课所要学习内容的实质.二、思考探究，获取新知如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，=''AB k A B ，AD 、A ′D ′为高线. （1）这两个相似三角形周长比为多少？（2）这两个相似三角形面积比为多少？分析：（1）由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k，由等比性质可知（AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k，（2）由题意可知△ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k，因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2.【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法.【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.三、运用新知，深化理解△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（B ）A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（A ）A.8，3B.8，6C.4，3D.４，6分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，AB∶A′B′=2分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AB∶A′B′=24.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12倍，那么边长应缩小到原来的22倍.解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22，所以边长应缩小到原来的2倍. 5. 已知△ABC 的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的面积S.解：设△ABC 的三边依次为：BC =5，AC =12，AB =13，则∵AB 2=BC 2+AC 2，∴∠C =90°.又∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠C ′=∠C =90°.BC AC AB B C A C A B =='''''' =1326=12，而11·5123022∆==⨯⨯=ABC S AC BC .所以2∆=ABC S k S，S=120. 6.（1）已知235==x y z ，且3x +4z -2y =40，求x ，y ，z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560cm ，求它们的周长.分析：（1）用同一个字母k 表示出x ，y ，z .再根据已知条件列方程求得k 的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.解：（1）设235==x y z =k ，那么x =2k ，y =3k ，z =5k ， 由于3x +4z -2y =40，∴6k +20k -6k =40，∴k =2，∴x =4，y =6，z =10.（2）设一个三角形周长为C cm ，则另一个三角形周长为（C +560）cm ，则356010=+C C ，∴C =240，C +560=800，即它们的周长分别为240cm ，800cm. 【教学说明】“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这些例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系.【归纳结论】（1）解此类题目先设一个未知量，再根据已知条件列方程求得未知量的值，从而代入求解；（2）此题需熟悉相似三角形的性质：相似三角形周长比等于对应高的比.四、师生互动、课堂小结1.两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，对应高的比等于它们的相似比，面积比等于相似比的平方.2.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.能够利用相似三角形的性质解决问题.1.布置作业：教材“”中第2 、3 题.2.完成练习册中相应练习.本节课从实际问题引入课题，强调自主学习，让学生在探究过程中进行观察分析、合理猜想、解决问题，体验并感悟相似三角形的性质，使学生感受到学习的快乐，真正成为学习的主人.第1课时定义与命题【知识与技能】1.了解定义、命题的概念.2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，学会用反例说明一个命题是假命题.【过程与方法】通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.【情感态度】在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.【教学重点】命题的概念及真假的判断.【教学难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”形式.一、创设情境，导入新课（1）阅读新华社酒泉2013年6月11日这篇报导：神舟十号载人飞船于6月11日上午发射，……°，近地点高度为200千米，远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道.要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？（2）什么叫做平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线）.什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）.【教学说明】用熟悉的背景和提出的两个问题引入，为下面给出定义的概念得以顺理成章.二、思考探究，获取新知问题1：从以上两个问题中，你能得出什么是定义吗？并举例说明.【教学说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用学生举例的形成加深对概念的理解与掌握.【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.问题2：下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.【教学说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排了不是命题的问题参入，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断.【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流.（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2;（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.【教学说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深了命题的理解.“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.问题4：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c;（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.【教学说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自己学的知识对命题做出正确的判断.【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.三、运用新知，深化理解1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是，结论是.2=b2命题（填“真”或“假”）.3.下列语句不是命题的有（）个①相等的角是直角；②两点之间线段最短；③煤球是白色的；④连线A、B 两点.4.下列句子哪些是命题？是命题的判断真假.①对顶角相等；②画一个角等于已知角；③两直线平行，同位角相等；④a，b两直线平行吗？⑤鸟是动物；⑥若a2=4，求a的值；⑦若｜a｜=｜b｜，则a=b.【教学说明】由学生自主完成，通过练习，使学生对知识的理解由浅入深，从感性上升到理性，及时反馈，便于发现问题、解决问题、提高课堂效率.提高45分钟的质量.【答案】1.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行；2.假；3.B;4.命题有：①③⑤⑦；真命题有：①③⑤；假命题有：⑦.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾定义、命题、条件、结论、真命题、假命题和反例的概念等知识点.2.谈谈你对本节课的收获.【教学说明】使学生对本节课的知识有一个完整的认识，进一步形成知识网络.不断对知识进行提炼和归纳，有助于概念的理解.1.布置作业：习题7.2中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.“如果……那么……”的形式有些困难，这方面有待今后不断强化提升.。
八上数学三角形的知识点
八上数学三角形的知识点数学中的三角形是一个非常重要的几何图形，它有着独特的性质和特点。
在八年级上册的数学课程中，我们学习了许多与三角形相关的知识点。
本文将围绕三角形的性质、分类、相似性和面积等方面展开讨论。
一、三角形的性质三角形是由三条线段组成的图形，它有着许多独特的性质。
首先，三角形的内角和等于180度。
这是三角形最基本的性质之一。
我们可以通过计算三角形内角的和来验证这一性质。
其次，三角形的任意两边之和大于第三边。
这是三角形的三边关系，也是构成三角形的重要条件之一。
我们可以通过比较三条边的长度来判断一个图形是否为三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，我们可以将三角形分为不同的类型。
首先，根据边长的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，而普通三角形的三条边长度都不相等。
其次，根据角度的大小，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
直角三角形的一个内角为90度，锐角三角形的三个内角都小于90度，而钝角三角形的一个内角大于90度。
三、三角形的相似性相似是指两个或多个图形在形状上相同，但大小可能不同。
在三角形中，如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
我们可以通过比较三角形的内角来判断它们是否相似。
相似的三角形有着许多有趣的性质。
首先，相似三角形的对应边的比例相等。
这意味着我们可以通过已知三角形的边长比例来求解未知三角形的边长。
其次，相似三角形的面积比等于对应边的平方比。
这意味着我们可以通过已知三角形的面积比来求解未知三角形的面积。
四、三角形的面积计算三角形的面积是数学中一个重要的问题。
在八年级上册的数学课程中，我们学习了两种计算三角形面积的方法。
首先是通过边长和高的关系来计算三角形的面积。
我们可以通过已知三角形的底和高来计算面积，公式为面积等于底乘以高的一半。
其次是通过三角形的两边和夹角的关系来计算三角形的面积。
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第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方
Prepared on 22 November 2020
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的认识
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）。
互为相似形的三角形叫做相似三角形
相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）
1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
三角形相似的判定定理的推论
推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的特例
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（congruent triangles）
全等三角形是相似三角形的特例。
全等三角形的特征：形状完全相同，相似比是k=1。
全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。
因此，相似三角形包括全等三角形。
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应、、半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形的比等于相似比。
4.相似三角形的比等于相似比的。
5.相似三角形内切圆、外接圆比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a:c =c:b，即c的平方=ab,则c叫做a,b的比例中项
d=a/b 等同于ad=bc.
8.必须是在同一平面内的三角形里
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
（3）相似三角形周长的比等于相似比
特例--全等三角形
1.相似比为1
2.对应角相等
3.对应边相等
4.对应高相等
5.对应中线相等
6.对应角平分线相等
7.周长相等 8.面积相等。