第二节微分方程的基本概念一阶微分方程-PPT精品文档31页

代入 du1 cosu 即 du cosu1
dx
dx
解得 cotu x c
2
从而 cotyxxc.
2
三.可化为齐次方程的方程
dyf(a1xb1yc1) dx a2xb2yc2
解
设
a1xb1yc10的交点为
a2xb2yc20
( x0 ,
y0 )
令
uyy0
ydy1ex dx
ln yln1 (ex)ln c
方程通解 yc(1ex).
二.齐次方程
一般形式:
dy f ( y ) dx x
解
令 y u 则 yxu
x
dy u x du
dx
dx
代入 uxdu f(u)
dx
即 du1[f(u)u]
dx x
解得 u(x,c)
从而通解 x22x yy22x6yc特解
例7 解方程 ( 2 x 3 y 4 ) d ( 4 x x 6 y 5 ) d 0 . y
解 dy 2x3y4 2x3y4
dx 4x6y5 2(2x3y)5
令 u2x3y 则 du 23 dy
从而 y (x,c).
x
y
例4 求方程 (xex y)dxxdy的通解.
解 一般形式
dy

y
ex

y
dx
x
令 y u 则 yxu
x
dy u x du
dx
dx
代入 uxdueu u 即 du 1 eu
dx
dx x
分离变量 eudu 1 dx
x
两边积分 lnxeuc
分离变量
11 u2 du xdx
两边积分
ln x 1 c u
原方程通解为 y x
特解 y x .
ln x c
ln x 1
补充:
例 求方程 dysinx(y1)的通解.
dx
解 令 xy1u则 yux1 dy du 1
dx dx
代入
du1 sinu dx
1 u
v
令 u z 则 uvz du z v dz
v
dv
dv
代入上式得 z v dz 1 z
dv 1 z
即 dz112zz2
dv v 1z
亦
1z 12zz2
dz1d v
v
积分得
1ln1(2zz2) lnv 1 ln c
2
2
即 (12zz2)v2c 故 v22u vu2c
第九章 微分方程
第九章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节
微分方程的基本概念 一阶微分方程 高阶微分方程 微分方程在经济学中的应用
第一节 微分方程的基本概念
一.微分方程的定义
1.微分方程 含有自变量、未知函数以及未
知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.
2.阶 未知函数最高阶导数(或微分)的阶数.
例8 求方程
y n y xnex x
的通解.
解 P(x) n
x
Q(x)xnex
y e P (x )d[xQ (x )eP (x )dd x x c]
e(n x)d[xxnexe(n x)dd x xc]
xn(ex c).
补充 微分方程 (yx2ex)dxxdy0
的通解.
解
dy y dx 2x y2
dx

2x

y2
dy y
x

2 y
x


y
P( y) 2 y
Q(y)y
x e P (y)d[yQ (y)eP (y)dd y y c]
e(2 y)d[y(y)e(2 y)dd y yc]
y2(clny).
作业题 习题九(A)1、2、4、5.
谢谢！
31
例6
求解
dy dx

x x
y1 y3
y(0)0.
解
方程组
xy10的解为
xy30
x0
1
y02
令
u

y2
vx1
则 dy du
dx dv
代入原方程得 du v u
dv v u
即 du
dv

1 1
u
v u
v
即
du dv
1 u v
dx
dx
代入 du 7u22
dx 2u5
解得 2u9ln7u (2)2xc
7 49
从而 1 y 4 7 x 3 l1 n x 4 2 (y 1 2 ) c 2 .
四.一阶线性齐次微分方程
一般形式: yP(x)y0
解
分离变量 1 dy P(x)dx
y
两边积分 1ydyP(x)dx
1
1
1
1sinu du 1cos( u) du 2cos2( u) du
2
42
se2(cu 24)d(u 24)tanu2(4)c.
补充:
例 求方程 dycosy(x) 的通解.
dx
解 令 yxu则 yux dy du 1
dx dx
dx x
解 dy 4 yx y

1 y
1 2
dy2
1
y2

x
dx x
2 dx x 2
1
令 z y2
则
dz

1

y
1 2
dy
dx 2 dx
z 2 z x x2
ze(2 x)d[x xe(2 x)dd x x c] x2(1l nxc)
2
2
故 yx4(1lnxc)2.
c(x)eP(x)dxc(x) [P(x)eP(x)dx ]P(x)c(x)eP(x)dxQ(x)
c(x)Q(x)eP(x)dx
常
c(x) Q(x)eP(x)dx dxc
数 变
y e P (x )d[xQ (x )eP (x )dd x x c]
易 法
2
总结
一.可分离变量方程
dy f(x) g(y) dx
二.齐次方程
dy f ( y ) dx x
三.可化为齐次方程的方程
dyf(a1xb1yc1) dx a2xb2yc2
四.一阶线性齐次微分方程 yP(x)y0
五.一阶线性非齐次微分方程 yP (x)yQ (x) 六.伯努利方程 yP(x)yQ (x)yn
即 du 1sinu
dx
解得 tanu()xc
24
从而 tan x(y1)xc.
24

1
1 s inu
du


1sinu cos2 u du
注
1 sinu
1
sinu

( c
o2suc
o2su)d
u
c o2u sd u
c o2u sd u
s e2u c duc1 o2u sdcoustanuco1us c
例1
求方程
dy dx

2 xy
的通解.
解 分离变量
1 dy 2xdx y
两边积分

1 y
dy


2xdx
ln y x 2 c
方程通解为 y cex2 (c为任意常数).
注 本题中相关问题.
例2
求方程 dy
dx

x y
满足初始条件 y(1)2
的特解.
解 分离变量 ydyxdx
六.伯努利方程
yP(x)yQ (x)yn
解 y nyP (x )y1 nQ (x )
( 1 n ) y n y ( 1 n ) P ( x ) y 1 n ( 1 n ) Q ( x )
令z y1n 则 dz (1 n)yn dy
dx
dx
解
设
a1xb1yc10无交点,
a2xb2yc20
则
a2 a1

b2 b1

k
原方程可化为 ddxyf[k(aa11xxbb11yy)c1c2](a1xb1y)
令 ua1xb1y 则
du
dy
dxa1 b1 dx
代入上式得
du dxa1
b1(u)
解出此一阶方程再将 ua1xb1y代入.

v

xx0
则 dy du
dx dv
代入
du f(a1vb1u)
a1 f(
dv a2vb2u
a2

b1 b2
u
v u
v
)
(u) v
解出此一阶齐次方程再将
uyy0

v

xx0
代入.
三.可化为齐次方程的方程
dyf(a1xb1yc1) dx a2xb2yc2
的通解是 y .
(08年考研真题4分) 解 y 1 y xex
x
y e P (x )d[xQ (x )eP (x )dd x x c] e(1 x)dx[ xexe(1 x)dxdxc]
x(ex c).
例9 求方程
dy y dx 2x y2
y
yxyx2ysix n (xex y)dxxdy
y z x z 0 x y
常微分方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程 函数方程 微分方程 偏微分方程
二.微分方程的解
1.解 如果将已知函数 y (x) 代入方程后 能使两端恒等,则称其为方程的解.
2.通解 如果微分方程的解所含任意常数的 个数等于方程的阶数,则称其为微分 方程的通解.
原方程通解为
y
lnxe x c.
例5 求 (y2x)d y xx2d y0满足 y(1) 1的特解.
解 一般形式 dy y ( y)2
dx x x
令 y u 则 yxu dy u x du
x
dx
dx
代入
uxduuu2 dx
即 du 1 (u2)
dx x
整理得
lnyP(x)dxl nc
yceP(x)dx.
补充 微分方程 xyy0,y(1 )1 , 求方程的特解 y . (08年考研真题4分)
解 yceP(x)dx

ce


1 x
dx
c x
特解 y 1 . x
五.一阶线性非齐次微分方程
一般形式: yP (x)yQ (x) 讨论: 设有解 yc(x)eP(x)dx 代入上式得
两边积分 ydy(x)dx
即得通解
1 y2 1 x2 c
2
2
将 x1 y2 代入得 c 5
2
故特解为 x2 y2 5.
例3 求方程 (1ex)dyyexdx的通解.
解 一般形式
dy ex dx 1ex y
分离变量
1
ex
y dy 1ex dx
两边积分
1
ex
z ( 1 n ) P ( x ) z ( 1 n ) Q ( x )
z e ( 1 n ) P (x ) d [x ( 1 n ) Q ( x ) e ( 1 n ) P (x ) d d x c x ]
再将 z y1n代入即可.
例10 求方程 dy 4 yx y 的通解.
3.特解 给任意常数以特定的值所得到的解.
4.初始条件 用来确定任意常数的条件.
本章中心任务
求部分一阶、二阶常微分方程的通解.
第二节 一阶微分方程
一.可分离变量方程
一般形式:
dy f(x) g(y) dx
解 分离变量 1 dy f(x)dx
g(y)
两边积分 g(1y)dy f(x)dxc