第九章 第5讲 椭圆 配套课时作业
2019年高考数学总复习第九章平面解析几何第5讲椭圆课时作业
第5讲 椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5B.3C.5或3D.8解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3.答案 C2.“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆.则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件.答案 B 3.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c 2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D. 答案 D4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A.3B.6C.9D.12 解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案 B5.(2017·东阳调研)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a 的值为( ) A.32 B.233C.932D.2327 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b （y 1－y 2）（y 1＋y 2）a （x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 答案 B二、填空题6.(2017·宁波月考)焦距是8，离心率等于0.8.(1)若焦点在x 轴，则椭圆的标准方程为________；(2)若焦点在y 轴，则椭圆的标准方程为________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4， 又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3. 当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1. 答案 (1)x 225＋y 29＝1 (2)y 225＋x 29＝1 7.(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，。
高考数学 9-5 椭圆配套课时作业 文
【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-5 椭圆配套课时作业文 新人教A 版一、选择题1．(2012年东北四校高三模拟)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C.答案：C2．(2012年甘肃兰州高三诊断)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 212＋y 216＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是A ．2 3B ．4 3C ．8D ．16解析：由椭圆定义可知，△ABC 的周长等于4a ＝4×4＝16. 答案：D3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D4．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，3b (其中c 为椭圆的半焦距)，若线段PF 1的中垂线恰好过点F 2，则椭圆离心率的值为A.33B.13C.12D.22解析：由题意，|PF 2|＝|F 1F 2|，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c 2＋(3b )2＝(2c )2.又b 2＝a 2－c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c 2＋3(a 2－c 2)＝(2c )2.整理得6e 4－e 2－1＝0，∴(2e 2－1)(3e 2＋1)＝0.∴2e 2－1＝0，e ＝22. 答案：D5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．答案：B6．(2013年西安质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 答案：C 二、填空题7．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，至F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________． 解析：由椭圆定义知，当定常数等于两定点距离时点的轨迹为线段．答案：线段F 1F 28．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案：159．(2012年兰州诊断)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝ca＝2－ 3. 答案：2－ 3 三、解答题10．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3. 解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2a在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2a依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2＝103.即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，代入A 、B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 11．(2012年安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝＝43ac 5＝235a 2＝403，解得a＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知， |BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．(2012年湖南)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12. 故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. 则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得 |2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0. 从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧－x 02－2≠0，Δ＝－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－2－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 2012＝1，y 2－2－x 02－2＝12得5x 20－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2，或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.[热点预测]13．(2012年安徽名校模拟)(1)方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为A.12B.13C.14D.15(2)(2013届安徽省示范高中高三摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，AB ⊥AF 2.①求椭圆C 的离心率；②D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．解析：(1)设点D (0，b )，则DF 1→＝(－c ，－b )，DA →＝(－a ，－b )，DF 2→＝(c ，－b )，由3DF 1→＝DA →＋2DF 2→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.(2)①设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →＝(x 0，－b )∵AF 2→⊥AB →，∴cx 0＋b 2＝0，x 0＝－b 2c，由BF 1→＝F 1F 2→知F 1为BF 2中点，故－b 2c＋c ＝－2c∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2，故椭圆C 的离心率e ＝12②由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2(12a,0)，B (－32a,0)，△ABF 的外接圆圆心为F 1(－12a,0)，半径r ＝a ，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以|－12a －3|2＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：(1)D (2)见解析。
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本第九章 平面解析几何 第五节 椭圆 Word版含解析
第五节椭圆
组基础题组
.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
.(∞).().
.(黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,直线与轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( )
.矩形中,则以为焦点,且过两点的椭圆的短轴的长为( )
.设椭圆的焦点为,点在椭圆上,若△是直角三角形,则△的面积为( )
或或
.已知椭圆(<<)的左,右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为,则的值是( )
.
.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且过点(),则椭圆的标准方程为.
.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(),且长轴长与短轴长的比是∶,则椭圆的方程是.
.椭圆的左,右焦点分别为,点在椭圆上,若,则∠的大小为.
.已知椭圆的两焦点为()(),离心率.
()求此椭圆的方程;
()设直线,若与此椭圆相交于两点,且等于椭圆的短轴长,求的值.
.已知椭圆(>>)分别为椭圆的左,右焦点为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点.
()若∠°,求椭圆的离心率;
()若,·,求椭圆的方程.
组提升题组
.已知椭圆的左,右焦点分别为,椭圆上的点满足⊥.若点是椭圆上的动点,则·的最大值为( )
.
.如图,已知椭圆的中心为原点()为的左焦点为上一点,满足,且,则椭圆的方程为( )。
高二数学课时作业1.2《椭圆的简单几何性质》
高二数学课时作业§ 1.2《椭圆的简单几何性质》一．单选题1.椭圆22449196x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．7,2,7B．14,4,7C．7,2,7D．14,4,72.椭圆221259x y +=与椭圆221(09)925x y k k k+=<<--的关系为（）A ．有相同的长轴长与短轴长B ．有相同的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的离心率3.已知椭圆+=经过点s ，则+的取值范围是（）A ．sB ．sC ．s +∞D ．s4.若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三）A ．221129x y +=B ．221129x y +=或221912x y +=C ．D ．5.已知椭圆E 的左焦点为F ，E上关于原点对称的两点A、B ，若BFAF的最小值为12，则E 的离心率为（）A．3B ．2C D ．136.设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“2e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．多选题7.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为，若，则下列结论正确的有（）A ．2200143x y +<B ．2200143x y +>C ．2200431x y +<D ．2200431x y +>8.已知椭圆22:1(08)8x y C m m +=<<，焦点为12,F F ，则（）A ．C 的短轴长为4B ．C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥22139x y +=221912x y +=()00,y x 21l l ⊥C ．C 上存在点P ，使得21PF PF ⋅=D ．C 4重合三．填空题9.设椭圆()222210,0x y m n m n+=>>的一个焦点为()0,2，离心率为12，则此椭圆的方程为．10.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为．四.解答题11.已知椭圆22154x y +=.(1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率；(2)求与椭圆22154x y +=有相同的焦点，且过点⎭的椭圆的标准方程．12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =P 是椭圆C 上的一个动点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤，求点P 的横坐标的取值范围．。
2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆课时作业含解析北师大版
椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解 由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2， 则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0， 整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ， 所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
课时作业5：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1 D.3 解析：选B.由x 24＋y 23＝1得右焦点为(1,0)．则右焦点到直线y ＝3x 的距离：d ＝|3×1－0|3＋1＝32. 2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A 、B 两点，则|AB |＝( )A ．4B ．2 3C ．1D ．43解析：选C.∵x 24＋y 2＝1中a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝3，∴右焦点坐标F (3，0)，将x ＝3代入x 24＋y 2＝1得，y ＝±12， 故|AB |＝1.3．椭圆y 225＋x 29＝1上的点P 到上焦点的距离的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为1 解析：选D. a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴P 到上焦点的距离的最大值为a ＋c ＝9，最小值为a －c ＝1. 4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2＋2y 2＝4，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0， 设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点坐标为(x 中，y 中)，则x 1＋x 2＝－43，∴x 中 ＝－23.从而y 中＝x 中＋1＝－23＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．5．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆．若过点P (a 2c ，0)作圆的两条切线互直垂直，则该椭圆的离心率为( )A.32 B.22 C.13 D.12解析：选B.如下图，切线P A 、PB 互相垂直，又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，易知四边形OAPB 是正方形，∴△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ≥2b >0)，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：离心率e ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 1－b 2a 2.∵a ≥2b ，∴0<b a ≤12， ∴e ＝ 1－b 2a 2≥ 1－14＝32，又0<e <1，∴e ∈[32，1)． 答案：[32，1) 7．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 23＋y 2＝1得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322. 答案：3228．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为________．解析：不妨设椭圆的右焦点为F 2(1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 22＋y 2＝1，得3x 2－4x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝43.根据弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝423. 椭圆的左焦点为F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|－1－0－1|1＋1＝2，∴S △F 1AB ＝12d |AB |＝12×2×423＝43.答案：439．已知椭圆x 28＋y 22＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)．(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值．解：(1)由题可知k l ＝k OM ＝12，当m ＝3时，直线l 的方程为y ＝12x ＋3.由⎩⎨⎧y ＝12x ＋3x 28＋y22＝1，得x 2＋6x ＋14＝0.∵Δ＝36－4×14＝－20<0，∴原方程组无解，即直线l 和椭圆无交点， 此时直线l 和椭圆相离．(2)设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切，设直线a 的方程为y ＝12x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋b x 28＋y22＝1，得x 2＋2bx ＋2b 2－4＝0，∴Δ＝(2b )2－4(2b 2－4)＝0，解得b ＝±2，∴直线a 的方程为y ＝12x ±2.所求P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线y ＝12x ＋2的距离d ＝3－212＋122＝255.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q 两点，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴c a ＝32，∴c 2a 2＝34，∴b 2＝14a 2，∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2，将x ＋2y ＋8＝0代入x 2＋4y 2＝a 2消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＝162－4×2×(64－a 2)>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]．解之得a 2＝36，b 2＝9，∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.能力提升1．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233 D ．以上都不对解析：选C.y x －2表示椭圆上的点(x ，y )与定点(2,0)连线的斜率．不妨设yx －2＝k ，则过定点(2,0)的直线方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －24x 2＋y 2＝4，得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0.令Δ＝(－4k 2)2－4(k 2＋4)·(4k 2－4)＝0，得k ＝±233，∴k min ＝－233，即y x －2的最小值为－23 3.2．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7.故长轴长为27. 答案：273．求椭圆x 23＋y 2＝1上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值．解：设与直线x －y ＋6＝0平行且与椭圆x 23＋y 2＝1相切的直线方程为 x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1x －y ＋m ＝0，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝0， 解得m ＝2或m ＝－2，显然与直线x －y ＋6＝0距离最近的直线为x －y ＋2＝0， 所以所求最小距离为d ＝|6－2|2＝2 2.4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2＋3)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝42×52172， 所以|AB →|＝46517.。
63第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围、最值问题
第1课时 范围、最值问题
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
师生共研
题型一 范围问题
例 1 (2016·天津)设椭圆ax22＋y32＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知|O1F|＋ |O1A|＝|F3Ae|，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.
3
2 4
y02 4x0
3
2.
因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
多维探究
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，
A.[4,5]
√B.[7,8]
C.[6,7]
D.[5,6]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.已知椭圆 C1： mx＋2 4－yn2＝1 与双曲线 C2：xm2＋yn2＝1 有相同的焦点， 求椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围.
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跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
证明 设 P(x0，y0)，A41y21，y1，B41y22，y2. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y22＋x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.
高中数学高考58第九章 平面解析几何 高考专题突破5 第2课时 定点与定值问题
技能提升练
5.(2018·保定模拟)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝ 23，左顶点 M 到 直线ax＋by＝1 的距离 d＝455，O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程；
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(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明： 点O到直线AB的距离为定值.
思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究 变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点 与变量无关.
跟踪训练 1 已知焦距为 2 2的椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右顶点为 A，直 线 y＝43与椭圆 C 交于 P，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且 四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆 C 的方程；
(1)求C的方程；
解 由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，
①
由垂直得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，
②
由题意得 S△MF1 F2 ＝12|MF1|·|MF2|＝1，
③
由①②③，可得 b2＝1，C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求 证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.
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2.(2018·威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交 点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|. (1)求p的值； 解 设 Q(x0，4)，由抛物线定义，|QF|＝x0＋2p， 又|QF|＝2|PQ|，即 2x0＝x0＋p2，解得 x0＝p2， 将点 Qp2，4代入抛物线方程，解得 p＝4.
2020年高中数学 课时作业本 椭圆的标准方程(含答案)
2020年高中数学 课时作业本椭圆的标准方程1.已知椭圆C ：＋=1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标x2a2y2b2准方程为( )A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋=1x236y232x29y28x29y25x216y2122.已知椭圆C ：＋=1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )x2a2y24A ．B ．C ．D ．1312222233.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C 的方程是( )12A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋y 2=1x23y24x24y23x24y23x244.已知圆(x ＋2)2＋y 2=36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5.椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是________.6.已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________.7.已知F 1，F 2为椭圆＋=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A|＋|F 2B|=12，x225y29则|AB|=________.8.已知P 为椭圆＋=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为x2254y275________.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点为焦点，且经过M(2，).610.如图，设点P 是圆x 2＋y 2=25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD=45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.答案解析1.答案为：B ；解析：椭圆长轴长为6，即2a =6，得a =3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c =·2a =2，得c =1，因此，b 2=a 2－c 2=9－1=8，13∴此椭圆的标准方程为＋=1．故选B ．x29y282.答案为：C ；解析：根据题意，可知c =2，因为b 2=4，所以a 2=b 2＋c 2=8，即a =2，2所以椭圆C 的离心率为e ==．故选C ．222223.答案为：C ；解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c =1，e =⇒a =2，b 2=a 2－c 2=3，因此其方c a程是＋=1，故选C ．x24y234.答案为：B ；解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM 是圆的半径，所以|PM|＋|PN|=|PM|＋|PA|=|AM|=6>|MN|，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．5.答案为：(0，±320)解析：椭圆的标准方程为＋=1，故焦点在y 轴上，其中a 2=，b 2=，x2125y2116116125所以c 2=a 2－b 2=－=，故c=.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)6.答案为：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1可化为＋=1.x21k2－1y213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k>2或k<－2.7.答案为：8解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)=|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|=2a ＋2a ，又由a=5，可得|AB|＋(|BF 2|＋|AF 2|)=20，即|AB|=8.8.答案为：25 34解析：在△F 1PF 2中，F 1F =PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，即25=PF ＋PF －PF 1·PF 2.①2212212由椭圆的定义，得10=PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2=25，∴S △F 1PF 2=PF 1·PF 2sin 60°=.1225 349.解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋=1(a>b>0).y2a2x2b2∵2a=26,2c=10，∴a=13，c=5.∴b 2=a 2－c 2=144.∴所求椭圆的标准方程为＋=1.y2169x2144(2)法一：由9x 2＋5y 2=45，得＋=1，c 2=9－5=4，y29x25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2).设所求椭圆的标准方程为＋=1(a ＞b ＞0).y2a2x2b2由点M(2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2=2a ，6即2a=＋=4，所以a=2， 2－0 2＋ 6－2 2 2－0 2＋ 6＋2 233又c=2，所以b 2=a 2－c 2=8，所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋=1(λ＞0)，y2λ＋4x2λ将M(2，)代入，得＋=1(λ＞0)，解得λ=8或λ=－2(舍去).66λ＋44λ所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x2810.解：设M 点的坐标为(x ，y)，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y)2=25.54即轨迹C 的方程为＋=1.x225y216。
高中数学课时作业9直线与椭圆的位置关系新人教A版选修21
高中数学课时作业9直线与椭圆的位置关系新人教A 版选修21课时作业9 直线与椭圆的位置关系|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B. 答案：B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A.22 B.233C.922D.2327解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n . 由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A. 答案：A 3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个解析：因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， 所以4m 2＋n 2>2， 所以m 2＋n 2<4，所以n 2<4－m 2， 所以m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1， 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.答案：B 4．(高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，② ①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2， 即k ＝－b 2a 2×2－2， 所以b 2a 2＝12.③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④ 由③④得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D5．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝54(4＋24)＝35. 答案：357．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：右焦点为(1,0)，故直线为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1y ＝2(x －1)消去y ， 得3x 2－5x ＝0.所以x ＝0或x ＝53， 从而A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. 所以|AB |＝259＋1009＝1259＝553. 又O 到AB 的距离d ＝25＝255， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×553×255＝53. 答案：538．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则PM →的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)9．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围． 解析：∵直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)．由题意知，点A 在椭圆x 25＋y 2m＝1内或椭圆上， ∴025＋12m≤1，∴m ≥1.又椭圆焦点在x 轴上，∴m <5，故m 的取值范围为[1,5)．10．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．解析：(1)法一：(根与系数关系法)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.法二：(点差法)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12. 所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0，联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0. 法一：解方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4＋2，y 1＝2－22，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为 [(4＋2)－(4－2)]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝14.所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10. |能力提升|(20分钟，40分)11．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a的值为( ) A.32 B.233 C.932 D.2327 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)， by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1， 所以b a ×(－1)×32＝－1， 所以b a ＝233.故选B. 答案：B 12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：6 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a 2c＝32，求椭圆方程； (2)直线l 过点C (－1,0)交椭圆于A ，B 两点，且满足：CA →＝3BC →，试求△OAB 面积的最大值．解析：(1)因为椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2， 得a 2＝3b 2，又2a 2c ＝32，所以a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 23b 2＋y 2b2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2，因为直线l 交椭圆于两点，且CA →＝3BC →，所以点C 在椭圆内部，所以a >1，所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 因为CA →＝3BC →，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，。
2021年高考数学一轮总复习 9.5椭圆课时作业 文(含解析)新人教版
2021年高考数学一轮总复习 9.5椭圆课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( ) A．30°B．60°C．120° D．150°解析：由题意得a＝3，c＝7，则|PF2|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理得cos∠F2PF1＝42＋22－2722×4×2＝－12.又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝2π3.答案：C2．(xx·河北邯郸一模)椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的( )A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍解析：设线段PF2的中点为D，则|OD|＝12|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．∴|PF1|＝b2a＝323＝32.又∵|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF2|＝43－32＝732.∴|PF 2|是|PF 1|的7倍． 答案：A3．(xx·北京丰台期末)在同一平面直角坐标系中，方程ax 2＋by 2＝ab 与方程ax ＋by ＋ab ＝0表示的曲线可能是( )A B C D解析：直线方程变形为y ＝－abx －a ，在选项B 和C 中，⎩⎪⎨⎪⎧－a b＞0，－a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＜0，所以ax 2＋by 2＝ab 表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线， 故B 和C 都是错误的；在选项A 中，⎩⎪⎨⎪⎧ －a b＜0，－a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＞0，所以ax 2＋by 2＝ab 表示的曲线是椭圆；在选项D 中，⎩⎪⎨⎪⎧－a b＜0，－a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，a ＜0，所以ax 2＋by 2＝ab 不可能表示双曲线，故选项D 错误．答案：A4．(xx·福建福州期末)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或7 解析：因为已知实数4，m,9构成一个等比数列，所以可得m 2＝36，解得m ＝6或m ＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x 2m ＋y 2＝1的方程为x 26＋y 2＝1.所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5.所以离心率e ＝c a ＝56＝306. 当是双曲线时可求得离心率为7. 答案：C5．(xx·河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析：从椭圆上长轴端点向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小． 若椭圆C 1上存在点P ′.令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°， ∴sin α＝ba ≤sin45°＝22. 又b 2＝a 2－c 2，∴a 2≤2c 2， ∴e 2≥12，即e ≥22.又∵0＜e ＜1，∴22≤e ＜1，即e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 答案：C6．(xx·大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，∴c a ＝33，∴a ∶b ∶c ＝3∶6∶ 3. 又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝ 3.故c ＝1，∴b ＝2，∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.答案：A 二、填空题7．(xx·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于__________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·KF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：338．(xx·四川绵阳二诊)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为__________．解析：cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255， ∴sin β＝11525或－55(舍去)．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.答案：579．(xx·辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12 三、解答题10．(xx·北京卷)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解析：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以 |AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋24－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.11．(xx·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝2 2.求椭圆的方程．解析：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )． 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c2＝23c ，进而圆的半径 r ＝x 1－02＋y 1－c2＝53c . 由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2，又|MF 2|＝22，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3.所以，所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.12．(xx·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.2 35957 8C75 豵26049 65C1 旁34533 86E5 蛥32831 803F 耿Q30876 789C 碜n29983751F 生32385 7E81 纁30152 75C8 痈30961 78F1 磱21584 5450 呐30599 7787 瞇。
高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文含解析新人教A版
高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文含解析新人教A 版9-5 椭圆课时作业A 组——基础对点练1．已知直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点．若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【答案】B2．(2019·武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 【答案】B3．(2019·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59【答案】B4．(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3 C.3－12D.3－1 【答案】D5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A .35B.12C.23D.34【答案】A6．以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】C7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为__________． 【答案】x 216＋y 24＝1 8．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为__________．【答案】249．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)． (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点． 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程．(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．B 组——能力提升练1．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)【答案】A2．由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.由右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的焦点F 0和左椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)的焦点F 1，F 2确定的△F 0F 1F 2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，33 【答案】C 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x ＋2y －3＝04．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．【答案】6＋ 2 6－ 25．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程．(2)求m的取值范围．。
课时作业9：2.1.2椭圆的几何性质
2.1.2椭圆的几何性质一、选择题1．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.232．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1,0)，F 2(3,0)，则其离心率e 是( ) A.34B.23C.12D.143．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1 B.－2－mmC.2mm D ．－21－m m －14．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点5．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.336．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.13图1二、填空题7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________．8．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．9．若椭圆x 2k ＋2＋y 24＝1的离心率e ＝13，则k 的值等于________．三、解答题10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63.11．如图2，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．图212．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M (x 0，y 0)，使得∠F 1MF 2＝π3，求离心率e 的取值范围．参考答案一、选择题 1．B【解析】∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝c a＝1－b 2a2＝1－m 2＝12，∴m ＝32.2．C【解析】由椭圆定义知|OF 1|＋|OF 2|＝2a ，∴2a ＝4，∴a ＝2，又∵c ＝1，∴e ＝c a ＝12.3．C【解析】椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.4．C【解析】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a ；x 2a 2＋y 2b 2＝k 可化为x 2a 2k ＋y 2b 2k ＝1(k >0)，其离心率e 2＝a 2k －b 2k a 2k＝a 2－b 2a .∴e 1＝e 2.5．B【解析】由题意知b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.6．B图1【解析】∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝12|PF 2|，∴32|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝43a ， |PF 1|＝23a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|F 1F 2|2＝|PF 2|2，∴⎝⎛⎭⎫23a 2＋(2c )2＝⎝⎛⎭⎫43a 2⇒e ＝c a ＝33，故选B . 二、填空题7．15【解析】由题意知a ＋c a －c ＝32，即1＋e 1－e ＝32，∴e ＝15.8．x 236＋y 29＝1 【解析】设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6.又e ＝c a ＝32，故c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.9．52或149【解析】当焦点在x 轴上时，a ＝k ＋2，b ＝2，c ＝k －2，e ＝ca ＝k －2k ＋2＝13，解得k＝52；当焦点在y 轴上时，a ＝2，b ＝k ＋2，c ＝2－k ，e ＝c a ＝2－k 2＝13，解得k ＝149.所以k ＝52或k ＝149.三、解答题10．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝3b 且椭圆过点(3，－1)，∴323b2＋1b 2＝1或13b2＋32b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82，b 2＝829.故所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时， 由题意知a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.图211．解：法1：设焦点坐标为F 1(－c ,0)、F 2(c ,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53. 法2：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M (x 0，y 0)，使得∠F 1MF 2＝π3，求离心率e 的取值范围．解：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，有(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3＝(r 1＋r 2)2－3r 1r 2，又r 1＋r 2＝2a ，∴4a 2－4c 2＝3r 1r 2≤3(r 1＋r 22)2＝3a 2，即a 2≤4c 2，∴e 2＝(c a )2≥14.又0<e <1，∴12≤e <1(当且仅当r 1＝r 2，即△F 1MF 2为等边三角形时等号成立)。
课时作业9：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2 椭圆的简单几何性质同步测控1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则下列说法正确的是( ) A ．点(－2,3)在椭圆外 B ．点(3,2)在椭圆上 C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠33．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________． 4．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x 24＝1的下焦点，交椭圆 于A 、B 两点，求弦AB 之长．课时训练一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．a <－2或a >2C ．－2<a <2D ．－1<a <12．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A.12 B.32C ．1 D.33．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6C.9017D ．7 4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－5,5) B ．(－12,12)C ．(－13,13)D ．(－15,15)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.126．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13 二、填空题 7．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 8．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 9．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 三、解答题 10．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程． 11．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下 方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的 方程． 12．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答 案同步测控1．【答案】D2．【答案】B3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________． 【答案】(－2，2)4．【答案】解：令A 、B 坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4，∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)，∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1·x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫432－4×(－43)＝823.课时训练一、选择题1．【答案】A2．【答案】B.【解析】椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32.3．【答案】C.【解析】椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017.4．【答案】C.【解析】联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．【答案】D.【解析】如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a .设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ，∴c a ＝12. 6．【答案】B. 【解析】不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)， 则直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－43＋1＝－13. 二、填空题7．【解析】由题意可设椭圆方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7. 【但】278．【解析】两焦点的坐标分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100.而|PF 1|＋|PF 2|＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝196.∴100＋2|PF 1|·|PF 2|＝196.∴|PF 1|·|PF 2|＝48.【答案】489．【解析】椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0， ∴x ＝0或x ＝53， ∴A (0，－2)，B (53，43)， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |) ＝12×1×(2＋43)＝53. 【答案】53三、解答题 10．【答案】解：设此椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)， 且a 2－b 2＝(52)2＝50 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2， 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， ∴a 2＝3b 2 ②，此时Δ>0，由①②得a 2＝75，b 2＝25，∴x 225＋y 275＝1. 11．【答案】解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，即△BAP 是等腰直角三角形，|AB |＝2|AP |.∵AB →·AP →＝9，∴|AB ||AP |cos 45°＝2|AP |2cos 45°＝9，∴|AP |＝3.∵P (0,1)，∴|OP |＝1，|OA |＝2，即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1. 12．【答案】解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．。
高中数学课时分层作业5椭圆及其标准方程(含解析)北师大版选修11
高中数学课时分层作业5椭圆及其标准方程（含解析）北师大版选修11课时分层作业(五) 椭圆及其标准方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32 D ．(0，±3)C [∵y 21＋x 214＝1，∴椭圆的焦点在y 轴上，并且a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，即焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32.]2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1A [由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.]3．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2D [∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，∴a ＞3或－6＜a ＜－2.]4．已知A (0，－1)，B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2)B.y 24＋x 23＝1(y ≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D.y 24＋x 23＝1(y ≠0)B [∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．] 5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 A [由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝6，故椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.] 二、填空题6．椭圆方程mx 2＋ny 2＝mn (m >n >0)中，焦距为________．[解析] 椭圆方程可化为x 2n ＋y 2m＝1，∵m >n >0，∴椭圆焦点在y 轴上．∴c ＝m －n ，即焦距为2m －n .[答案] 2m －n7．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．[解析] 方程可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α，即sin α>cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12|PF 1||PF 2|＝9，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，解得a 2－c 2＝9，即b 2＝9，所以b ＝3. [答案] 3 三、解答题9．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍． [解] 原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3， 则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)． 设P (x ，y )是椭圆上任一点， 由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即⎩⎨⎧(x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－154，y ＝347或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，347或⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，－347.10．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 如图，设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.[能力提升练]1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16C [设A 为椭圆左焦点，而BC 过右焦点F ，如图． 可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线B [由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．]3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．[解析] 如图所示，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， |MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8.∵N ，O 分别是MF 1，F 1F 2的中点． ∴|ON |＝12|MF 2|＝12×8＝4.[答案] 44．已知△ABC 的顶点A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin Bsin C ＝________.[解析] 设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 1，b 1，c 1，a ＝4，b ＝23，c ＝a 2－b 2＝2. a 1＋b 1＝2a ＝8，c 1＝2c ＝4，由sin A ＝a 12R ，sin B ＝b 12R ，sin C ＝c 12R 得sin A ＋sin B sin C ＝a 1＋b 1c 1＝84＝2.[答案] 25.如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求该椭圆的标准方程．[解] 设F 1(－c 0)，F 2(c0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.。
2021_2022学年高中数学课时分层作业9椭圆的几何性质(二)(含解析)新人教B版选修1_1
课时分层作业(九) 椭圆的几何性质(二)(建议用时：40分钟)[根底达标练]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交．]2．假设直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，那么过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n2＞2，所以m 2＋n 2＜4，那么－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，那么过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．应选A.]3．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 B [设P (x ，y )，直线PA 1，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，那么k 1k 2＝y x ＋2·y x －2＝y2x 2－4＝3－34x 2x 2－4＝－34，因为k 2∈[－2，－1]，所以k 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.] 4．假设椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，那么nm的值为( ) A ．22 B ． 2 C ．32D ．29B [由直线x ＋y －1＝0，可得y ＝－x ＋1，代入mx 2＋ny 2＝1得(m ＋n )x 2－2nx ＋nA ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2n m ＋n ，y 1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－(x 1＋x 2)＝2m m ＋n.设AB 的中点为M ，那么M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫n m ＋n ，m m ＋n ，∴OM 的斜率k ＝m n ＝22，∴n m ＝ 2.]5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，假设直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，那么k 的值为( )A ．±1B ．± 2C ．±33D ．± 3C [因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.]6．直线y ＝x －1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为________．825 [联立直线与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 24＋y 2＝1⇒5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，∴弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×85＝825.]7．动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，假设A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，那么|PM →|的最小值是________．3 [易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3.]8．两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，那么椭圆C 的离心率的最大值为________．105[A (－1,0)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为A ′(－2，1)，连接A ′B 交直线l 于点P ，那么椭圆C 的长轴长的最小值为|A ′B |＝(1＋2)2＋1＝10，所以椭圆C 的离心率的最大值为c a＝1102＝105.] 9．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，F 1，F 2为其焦点，一直线过点F 1与椭圆相交于A ，B 两点，且△F 2AB 的最大面积为2，求椭圆的方程．[解] 由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1， 所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2. 设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －c ，x 2＋2y 2＝2c2得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0，Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2)＝8c 2(m 2＋1)＞0. 设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么y 1，y 2是方程的两个根． 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mcm 2＋2，y 1y 2＝－c2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22c m 2＋1m 2＋2，S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2，当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号，∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)假设椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． [解] (1)证明：椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0，消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)＞0得a 2＋b 2＞1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0. ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b2＝2.∴1a 2＋1b2等于定值．(2)∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2， 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2， ∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)， 即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．[能力提升练]1．以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，那么椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎨⎧mx 2＋ny 2＝1，x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y2＋83my ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m＝16①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4 ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17，n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.应选C.]2．椭圆x 212＋y 216＝1，那么以点M (－1,2)为中点的弦所在直线方程为( )A ．3x －8y ＋19＝0B ．3x ＋8y －13＝0C ．2x －3y ＋8＝0D ．2x ＋3y －4＝0C [设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 2112＋y 2116＝1，x 2212＋y2216＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)12＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)16＝0，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝23，∴弦所在的直线的斜率为23，其方程为y －2＝23(x ＋1)，整理得2x －3y ＋8＝0.应选C.]3．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，假设M 是线段AB 的中点，那么椭圆C 的离心率为________．22[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b2＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0. 又M (1,1)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以2a 2＋－12×2b 2＝0，所以a 2＝2b 2，所以e ＝22.] 4．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆一动点，假设∠F 1PF 2为钝角，那么点P 的横坐标的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 [设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，那么F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2＜2，∴x 2＜83. 解得－263＜x ＜263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.]5．设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .解：(1)由得F (1,0)，当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝1. 由可知，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.那么2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0， 故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .。
课时作业6：9.5 椭 圆
9.5 椭 圆一、选择题1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．0<a <bD ．0<b <a2．(2015·运城二模)已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－23.如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13B.23C.15D.254．(2015·河北邯郸一模)椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则1F P ·2F A 的最大值为( )A.32B.332C.94D.1546．(2015·辽宁沈阳二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)二、填空题7．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点，过点F 2作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．8．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________________．9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且1PF ⊥2PF .若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.三、解答题11．(2015·衡水中学二调)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．12．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答案1．选C 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .2．选B 设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，∴2x 1－x 29＝－4y 1－y 29， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.3．选B 由题意知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝23.4．选A 设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴． ∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．5．选B 设向量1F P ，2F A 的夹角为θ.由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半，即|AF 2|＝b 2a ＝32，则1F P ·2F A ＝32|1F P |cos θ，于是1F P ·2F A 要取得最大值，只需1F P 在向量2F A 上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以1F P ·2F A ＝32|1F P |cos θ≤332，故选B.6．选D 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2a e ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e <2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－e 1＋e <2，2<1＋e2，解得2－1<e <1.7．【解析】 由已知可得△F 1AB 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8. 【答案】88．【解析】 直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)， 即为椭圆的顶点，故b ＝1. 故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆方程为x 25＋y 2＝1. 【答案】 x 25＋y 2＝19．【解析】 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，1PF ⊥2PF ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2.∵S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，∴b ＝3.【答案】 310．【解析】 因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－ae ，0，(0，a )． 设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e e －1，y 0＝ea ，(*)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得e －12e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12. 【答案】5－1211．解：(1)由题意知c ＝1， 2a ＝⎝⎛⎭⎫322＋ ⎝⎛⎭⎫322＋22＝4， a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎫－1，－32，B ⎝⎛⎭⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12k 2＋13＋4k 2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， ∴△AF 2B 的面积为12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227， 代简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2. 12．解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知 M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ， 由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x ）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.。
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配套课时作业1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12(2a －|MF 1|)＝12(10－2)＝4，故选B.2．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.3．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)答案 D解析 ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.5．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.6．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.13 D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)， ∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12.9．(2019·长安质检)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A.463B.263C.433D.233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.10．(2019·江西临川模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)答案 B解析 ∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1<45°，∴tan ∠AF 2F 1<1，∴b 2a 2c <1，整理，得b 2<2ac ，∴a 2－c 2<2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2－1(舍去)，∵0<e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1)，故选B.11．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14答案 D解析 依题意易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，且P 在第一象限内，由∠F 1F 2P ＝120°可得P 点的坐标为(2c ，3c )．又因为k AP ＝36，即3c 2c ＋a ＝36，所以a ＝4c ，e ＝14，故选D.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A.x 236＋y216＝1 B.x 240＋y215＝1 C.x 249＋y 224＝1 D.x 245＋y 220＝1答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y224＝1，故选C.13．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________．答案 x 216＋y 212＝1解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.14．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案 33解析 解法一：∵|F 1F 2|＝2c ，MF 1⊥x 轴， ∴|MF 1|＝233c ，|MF 2|＝433c .∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝23c .∴e ＝2c 2a ＝33.解法二：由F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得y ＝b 2a ，∵|F 1F 2||MF 1|＝3，∴2cb 2a ＝ 3.∵b 2＝a 2－c 2，∴2ac a 2－c 2＝3，即2e1－e 2＝ 3. 解得e ＝－3(舍去)或e ＝33.15．(2019·开封摸底考试)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵a 2＝9，b 2＝2，∴c 2＝7，c ＝7. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴在△PF 1F 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析 如图所示，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)．由|AF 1|＝3|F 1B |， 可得AF 1→＝3F 1B →， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程，可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.17．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎨⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不符合题意，舍去； 当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意． 所以k 的值为－12.18．(2019·湖南益阳联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F (1,0)，A (2,0)．由题意知，当直线CD 的斜率存在时，斜率不为0.设直线CD 的方程为x ＝my ＋1， 与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得 (3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S 四边形OCAD ＝S △OCA ＋S △ODA ＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2|＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝12t3t 2＋1＝123t ＋1t， 其中t ＝m 2＋1，t ≥1. ∵当t ≥1时，3t ＋1t 单调递增，3t ＋1t ≥4， ∴S 四边形OCAD ≤3(当m ＝0时取等号)． ∴四边形OCAD 面积的最大值为3.19．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0,1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，AC →＝2CB →，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆M 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵2c ＝4，∴c ＝2，∴a 2－b 2＝c 2＝4. 又椭圆M 过点(1，3)，∴3a 2＋1b 2＝1.由⎩⎨⎧a 2－b 2＝4，3a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆M 的方程为y 26＋x 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0.此时点A ，B 的坐标分别为(0，－6)和(0，6)，不满足AC →＝2CB →，∴直线l的斜率一定存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 26＋x 22＝1，消去y 并整理，得(3＋k 2)x 2＋2kx －5＝0.∵直线l 与椭圆交于A ，B 两点， ∴Δ＝4k 2＋20(3＋k 2)＝24k 2＋60>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k 3＋k 2，x 1x 2＝－53＋k 2. 又∵AC→＝2CB →，∴(－x 1,1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2， ∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，∴x 2＝2k3＋k 2；x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2， ∴8k 2(3＋k 2)2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5， 解得k 2＝5，满足Δ>0.∴k ＝±5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.20．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)，所以4a 2＋1b 2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2，则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 28＋y 22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0，(*)则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1. 因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0.即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.(**)代入得2k(4m2－8)4k2＋1－8km(m－1－2k)4k2＋1－4m＋4＝0，整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.因为直线l不经过点A，所以2k＋m－1≠0，所以k＝1 2.所以直线PQ的斜率为定值，该值为1 2.。