_分式方程1PPT课件
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北师大版数学八年级下册《第五章-分式与分式方程-1-认识分式-第1课时-分式的概念》PPT课件
x2
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B
可以表示成 A
B
的形式.如果B中含有字
母，那么称 A 为分式，其中A称为分式
B
的分子，B称为分式的分母.对于任意一
个分式，分母都不能为零.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
（1）分式是否有意义，与分子无关.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
x 3 0
②
由①得x=±3，
由②得x≠3.
所以当x=-3时，分式
x2 9 x3
的值为零.
随堂练习
1.无论x取什么值，下列分式中总有意义的
是（ A ）
2x
A. x 2 1
3x
C. x 3 1
x
B. 2 x 1
x5
D. x 2
2.若分式 x 2 4 的值为零，则x的值为（ C ）
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B
可以表示成 A
B
的形式.如果B中含有字
母，那么称 A 为分式，其中A称为分式
B
的分子，B称为分式的分母.对于任意一
个分式，分母都不能为零.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
（1）分式是否有意义，与分子无关.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
x 3 0
②
由①得x=±3，
由②得x≠3.
所以当x=-3时，分式
x2 9 x3
的值为零.
随堂练习
1.无论x取什么值，下列分式中总有意义的
是（ A ）
2x
A. x 2 1
3x
C. x 3 1
x
B. 2 x 1
x5
D. x 2
2.若分式 x 2 4 的值为零，则x的值为（ C ）
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第2课时分式的基本性质pptx课件鲁教版五四制
x
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
12.1 分式 - 第1课时课件(共18张PPT)
谈一谈
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：，；；，
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类？
分母不含字母
分母含字母
知识点1 分式的概念
定义
一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，分母必须含有字母.分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商.
12.1 分式第1课时
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.知道分式的概念，发展符号感.2.经历由类比、猜想获得分式基本性质的过程，发展学生的合情推理能力.
学习重难点
掌握分式的概念.
理解并掌握分式的基本性质.
难点
重点
问题导入
1.一项工程，甲施工队5天可以完成。甲施工队每天完成的工程量是多少？3天完成的工程量又是多少？如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？b（b<a）天完成的工程量又是多少？2.已知甲、乙两地之间的路程为m km。如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各为多少？
分式的基本性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 分式的基本性质
分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
做一做
分式
随堂练习
1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）
2.当x取何值时，下列分式有意义？
3.
（3）（4）（5）
拓展提升
B
归纳小结
分式
分式的概念
例题解析
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.
归纳：
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：，；；，
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类？
分母不含字母
分母含字母
知识点1 分式的概念
定义
一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，分母必须含有字母.分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商.
12.1 分式第1课时
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.知道分式的概念，发展符号感.2.经历由类比、猜想获得分式基本性质的过程，发展学生的合情推理能力.
学习重难点
掌握分式的概念.
理解并掌握分式的基本性质.
难点
重点
问题导入
1.一项工程，甲施工队5天可以完成。甲施工队每天完成的工程量是多少？3天完成的工程量又是多少？如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？b（b<a）天完成的工程量又是多少？2.已知甲、乙两地之间的路程为m km。如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各为多少？
分式的基本性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 分式的基本性质
分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
做一做
分式
随堂练习
1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）
2.当x取何值时，下列分式有意义？
3.
（3）（4）（5）
拓展提升
B
归纳小结
分式
分式的概念
例题解析
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.
归纳：
13.3分式方程(一)(课件)2024-2025学年七年级数学上册(沪教版2024)
左边=
= =右边
3×3+1 2
所以原方程的解是x=3.
典例分析
1
例2 解方程
+1=
.
−1
−1
解： 方程两边同乘x-1,得x+(x-1)=1.
移项，化简，得
x=1
将x=1代入原方程检验，此时方程中分式的分母的值为0,分式无
意义.
所以x=1不是原方程的解，原方程无解.
新课讲授
你能归纳出解分式方程的一般步骤吗?
新课导入
京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约1318km.如果某趟列车的平
1
均速度提高 ，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短37min，
6
那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少(结果精确到1km/h)?
新课讲授
设火车提速前的平均速度是xkm/h，根据问题可以列出方程
1318 1318 37
2 1
(3) + =
2
1;
2x=x-2
移项，化简，得
x=-2
将x=-2代入原方程检验，得
2
1
左边=
=- =右边
−2−2 2
所以原方程的解是x=-2.
4
1
(4)
=
−3 3−
+2.
学以致用
基础巩固题
2.解方程：
2
(1) =5;
2 1
(2)
= ;
−2
解： (3)方程两边同乘2x,得
2 1
的分母的值为0，所以x=2不是原分式方程
−2
的解.
沪教版（2024）七年级数学上册
第13章 分式
13.3 分式方程(一)
= =右边
3×3+1 2
所以原方程的解是x=3.
典例分析
1
例2 解方程
+1=
.
−1
−1
解： 方程两边同乘x-1,得x+(x-1)=1.
移项，化简，得
x=1
将x=1代入原方程检验，此时方程中分式的分母的值为0,分式无
意义.
所以x=1不是原方程的解，原方程无解.
新课讲授
你能归纳出解分式方程的一般步骤吗?
新课导入
京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约1318km.如果某趟列车的平
1
均速度提高 ，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短37min，
6
那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少(结果精确到1km/h)?
新课讲授
设火车提速前的平均速度是xkm/h，根据问题可以列出方程
1318 1318 37
2 1
(3) + =
2
1;
2x=x-2
移项，化简，得
x=-2
将x=-2代入原方程检验，得
2
1
左边=
=- =右边
−2−2 2
所以原方程的解是x=-2.
4
1
(4)
=
−3 3−
+2.
学以致用
基础巩固题
2.解方程：
2
(1) =5;
2 1
(2)
= ;
−2
解： (3)方程两边同乘2x,得
2 1
的分母的值为0，所以x=2不是原分式方程
−2
的解.
沪教版（2024）七年级数学上册
第13章 分式
13.3 分式方程(一)
6.5 分式方程 课件1 (苏科版八年级下)
去括号（注意先确定符号）
合并同类项； 移项； 未知数的系数化为1； 验根（解分式方程必须要验根）。
分式方程 一元一次方程 求出根
看求出的根是否使最 简公分母的值等于0 不等于0 等于0 是增根,所以 是原方程的根 原方程无解.
精讲点拨
例1: 解下列分式方程
30 20 （1） x x 1
（2） x 2 x 2 16 2 x2 x2 x 4
x5 x9 x 8 x6
相信你能成功！思考后，你有什么收获？
课堂小结
1、解分式方程的一般步骤是什么？运用 了何种数学思想方法？ 2、解分式方程和我们前面学习的解一元 一次方程有什么样的不同之处？又有什么样的 联系？ 3、谈谈本节课你有哪些收获？还有哪些 疑惑？
学习是件很愉快的事
例2 解下列方程：
（3）
x 8 x7
2x 9 = 3x 9
1 =8 7x
（4）
4x 7 + 2 x3
例3
• 若关于x的方程 mx 1 1 无解，求m的 x3 值。
拓展提高
m4 x 有增根 0 1 、若方程 , x 1 x 1 则增根只能是x=_________ 1 m4 x 有 0 变式：已知方程 x 1 x 1 增根, 试求出m的值.
预习导航
解下列分式方1 （2 ） x 2 3x 6
合作探究
1、比较方程（1）和方程（2）的求 解步骤有差异吗？
2、在这里，x=2不是原方程（2）的 根，因为它使得原分式方程的 为零， 我们称它为原方程的增根. 在分式方程的两 3、产生增根的原因是： 边同乘了值为0的代数式.
1 1 1 1 2、解方程： x 5 x 6 x 8 x 9
2022八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程1ppt教学课件鲁教版五四制
解：
x 5
69000 x 3
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加 电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。 后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠， 一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的 费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原
定是x人，那么 x 满足怎样的分式方程?
解：10 x 5 . 80 x 7
7.从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长 600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度 比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到 乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地 到乙地所需要的时间？ 解：该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的 时间为xh
(1) 1 (x 3) 1.x找找（看，否下）列方程哪; 些(是2)分式1方程 1：（ 是）
2
2x
(3)
x 3 1 x 1 2 x
（是） ; (4)
x 2
x 3
1（否
）
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项
重还hm要林2 生与态退工耕程还．草某的地面规积划比退为耕5∶面3积，共设退69耕00还0 ，林退的耕面 积为 x ，那么 x 满足怎hm样2 的分式方程？
解：设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏
9000
15000
x x 3000
6.李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物， 用80hm2耕地种植经济作物。为了增加粮食 作物的种植面积，该村计划将部分种植经济 作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作 物的种植面积与经济作物的种植面积之比为 5:7.设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植 粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
《分式》PPT教学课件(第1课时)
第十二章 分式和分式方程
分式
第1课时
-.
学习目标
1.理解分式的概念，能正确区分整式和分式. 2.掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件.（难点） 3.掌握分式的基本性质，并能够运用分式的基本性质对分 式进行变形.(重点）
导入新课
问题引入
材料 “中国沙化土地达174万平方公里，占国土面积的 18.2%，沙化面积每年仍以3436平方公里的速度扩展.”
2a
2
mn
m
的值相等吗？
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看.
知识要点
分式的基本性质 类比分数的基本性质，得到：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零 的整式 ，分式的值不变.
用公式表示为: A AM , A AM . B BM B BM (其中M 是不等于零的整式)
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
0
无 -1 意 …
义
x-1 4x+1 …
32 73
-1
x -1 …
-1
无 意
-1
x+1
义
1… 09
0
1 3
一 分式的概念
问题 请将刚才得到的几个代数式按照你认为的共同特征进 行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不 够可再画），并说明理由.
2.6 , 5 , 5 , x , y , 2004 , 2004 5 13 a x y x y x x 30
分式
第1课时
-.
学习目标
1.理解分式的概念，能正确区分整式和分式. 2.掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件.（难点） 3.掌握分式的基本性质，并能够运用分式的基本性质对分 式进行变形.(重点）
导入新课
问题引入
材料 “中国沙化土地达174万平方公里，占国土面积的 18.2%，沙化面积每年仍以3436平方公里的速度扩展.”
2a
2
mn
m
的值相等吗？
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看.
知识要点
分式的基本性质 类比分数的基本性质，得到：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零 的整式 ，分式的值不变.
用公式表示为: A AM , A AM . B BM B BM (其中M 是不等于零的整式)
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
0
无 -1 意 …
义
x-1 4x+1 …
32 73
-1
x -1 …
-1
无 意
-1
x+1
义
1… 09
0
1 3
一 分式的概念
问题 请将刚才得到的几个代数式按照你认为的共同特征进 行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不 够可再画），并说明理由.
2.6 , 5 , 5 , x , y , 2004 , 2004 5 13 a x y x y x x 30
《分式方程》分式与分式方程PPT(第1课时)
多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．
解答方案：设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：
200
(1)李明原计划读完这本书需用 x 天；
(2)改变计划时，已读了 5x 页,还剩 200-x 页； 200 5x (3)读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需 x+5 天；
B. 80 70 x x5
C. 80 70 D. 80 70
x5 x
x x5
个性化作业
3.甲做90个机器零件所用的时间与乙做120个机器零件所用的时间相等，又已知 平均每小时甲、乙两人一共做了35个零件.
90 = 120
设甲每小时做x个，则乙每小时做（35-x）个，由题意可列方程为 x 35 x .
(4)根据问题中的相等关系，列出相应方程
200 -1= 200 5x
x
x+5
5
.
随堂检测
4.某工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走.怎样调配
劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工。解决此问题，可设派 x 人挖土，其他人运土，
列方程为① 72 x 1 ②72- x = x ③ x +3 x =72 ④ x 3 上述所列方程正
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为xh,那么它由普通公路从甲地
到乙地所需的时间为 2x h. 根据题意，可列方程:
480 x
=
600 2x
45
.
随堂检测
1．甲、乙两地相距5千米，汽车从甲地到乙地，速度为v千米／时，可按时到
5 5
达．若每小时多行驶 千米，则汽车提前 v v+a 小时到达.
（4） 1 = 1 是分式方程. x 1 y -1
解答方案：设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：
200
(1)李明原计划读完这本书需用 x 天；
(2)改变计划时，已读了 5x 页,还剩 200-x 页； 200 5x (3)读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需 x+5 天；
B. 80 70 x x5
C. 80 70 D. 80 70
x5 x
x x5
个性化作业
3.甲做90个机器零件所用的时间与乙做120个机器零件所用的时间相等，又已知 平均每小时甲、乙两人一共做了35个零件.
90 = 120
设甲每小时做x个，则乙每小时做（35-x）个，由题意可列方程为 x 35 x .
(4)根据问题中的相等关系，列出相应方程
200 -1= 200 5x
x
x+5
5
.
随堂检测
4.某工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走.怎样调配
劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工。解决此问题，可设派 x 人挖土，其他人运土，
列方程为① 72 x 1 ②72- x = x ③ x +3 x =72 ④ x 3 上述所列方程正
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为xh,那么它由普通公路从甲地
到乙地所需的时间为 2x h. 根据题意，可列方程:
480 x
=
600 2x
45
.
随堂检测
1．甲、乙两地相距5千米，汽车从甲地到乙地，速度为v千米／时，可按时到
5 5
达．若每小时多行驶 千米，则汽车提前 v v+a 小时到达.
（4） 1 = 1 是分式方程. x 1 y -1
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
1.3分式方程 第1课时 课件(人教版八年级下)(1)
解得 x＝
因此a的取值范围是a＜2且a≠－4．
【想一想】 若分式方程 2x a －1 无解，则方程2x+a=-（x-2）中x=0吗？ 提示：不是. 分式方程 2x a －1 无解，则方程
x－2 x－2
2x+a=-（x-2）中的x=2.
【微点拨】分式方程解的符号问题的解题思路
1.解关于未知数x的分式方程.
4.分式方程 1 x 2 1
去分母，得1-x+2=1.（ × ）
知识点一
分式方程的定义及解法
x 2 1 ＋ ＝ . 2 x －4 x 2 x－2
【示范题1】（2013·资阳中考）解方程: 【教你解题】
【想一想】
1 x－2 1 的最简公分母是3(x－3)(3－x)吗？为什么？ x－3 9－3x 1 x2 提示：不是. 原方程可化为 － 1 ， x－3 3 x－3
∴最简公分母为3（x-3）.
【备选例题】
5 x－ 1 1 ． x－2 2－x
【解析】方程两边都乘以x－2得，5+x－2=－x+1， 解得x=－1, 检验：把x=－1代入x－2，得－1－2=－3≠0. 所以x=－1是原方程的解， 原方程的解是x=－1．
【方法一点通】 解分式方程的“三步骤” 1.去分母,将分式方程转化为整式方程. 2.解所得的整式方程. 3.验根作答.
15.3 分式方程 第1课时
1.分式方程的定义： 未知数 的方程. 分母中含_______ 2.分式方程的解法： 整式 方程. (1)基本思想：把分式方程化为_____ 最简公分母 (2)具体做法：去分母.即方程的两边同乘___________.
3.验根的方法：
最简公分母 ，如果___________ 最简公分母 的值 将整式方程的解代入___________
初中数学人教版《分式方程》_(ppt)1
1 x
500 10
·1
1 3
=
4
000 x
,
解得x=20.经检验,x=20是所列方程的解.
1 500÷(20-10)=150(元).
答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金是150元. (5分)
分钟到达终点,求a的值.
(2016南平,18,8分)解分式方程: = .
(2016三明,18,8分)解方程: =1- .
(2018宁德质检,9)某校为进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批篮球和足球,已知购买足球数量是
篮球数量的2倍,购买足球用了4 000元,购买篮球用了2 800元,篮球单价比足球单价贵16元,若可用方程
经检验,x=-4是原方程的解,x=2是原方程的增根.
∴原方程的解为x=-4.
,方程 2x - 8 =1的解
x 2 x2 2x
3.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程
2x a x 1
-
1
1
x
=3的解为非负数,则a的取值范围为
.
答案 a≤4且a≠3
解析 方程两边同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a, 由题意得x≥0且x≠1,
(3)选第一个方程 400 = 600 .
x x 20
解方程,得x=40. (5分) 经检验:x=40是原分式方程的解,且符合题意.∴x=40. (6分) 答:甲队每天修路的长度为40米. (7分)
选第二个方程 600 - 400 =20. 解方程,得y=10. y (5分y ) 经检验:y=10是原分式方程的解,且符合题意.
(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程 + = 无解,则m的值为
鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程1第一课时分式及其相关概念课件
(x 1)(2x 3)
C
A.分式的值为0 C.分式无意义
B.分式的值为 2
5
D.分式有意义
解析 当x=1时,分式的分母(x-1)(2x+3)=0,∴分式无意义.故 选C.
13.(2024山东烟台招远期中,11,★☆☆)若分式 x有1意
x(x 3)
义,则x的取值范围是 x≠0且x≠3 .
解析 ∵分式 x 有1意义,∴x(x-3)≠0Βιβλιοθήκη ∴x≠0且x-3≠0,x 1
8.(2023重庆沙坪坝期末)若分式 x 的2 值为零,则x的值是
x2
(C)
A.-2
B.2或-2
C.2
D.4
解析 由题意可知x-2=0,x+2≠0,解得x=2.故选C.
9.已知当x=-4时,分式 x 无b 意义,当x=2时,此分式的值为零,
2x a
求分式 a 的b 值.
a 3b
解析 ∵当x=-4时,分式 x 无b 意义,
第二章 分式与分式方程
1 认识分式
第一课时 分式及其相关概念
基础过关全练
知识点1 分式的概念
1.(2024山东东营期中)代数式 x , y , 1 , 2 ,x y中,x是分式
6 a 1 x a b
的有 ( B )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析 x 和y x的分母中不含有字母,不是分式; 1, ,2
A.2-x
B.x-2
C.2x+4
D.x+4
解析 当x=-2时,分式无意义,所以分母“□”的值应为0.当x =-2时,2-x=2-(-2)=2+2=4≠0,A选项不符合题意;x-2=-2-2=-4 ≠0,B选项不符合题意;2x+4=2×(-2)+4=-4+4=0,C选项符合题 意;x+4=-2+4=2≠0,D选项不符合题意.故选C.
C
A.分式的值为0 C.分式无意义
B.分式的值为 2
5
D.分式有意义
解析 当x=1时,分式的分母(x-1)(2x+3)=0,∴分式无意义.故 选C.
13.(2024山东烟台招远期中,11,★☆☆)若分式 x有1意
x(x 3)
义,则x的取值范围是 x≠0且x≠3 .
解析 ∵分式 x 有1意义,∴x(x-3)≠0Βιβλιοθήκη ∴x≠0且x-3≠0,x 1
8.(2023重庆沙坪坝期末)若分式 x 的2 值为零,则x的值是
x2
(C)
A.-2
B.2或-2
C.2
D.4
解析 由题意可知x-2=0,x+2≠0,解得x=2.故选C.
9.已知当x=-4时,分式 x 无b 意义,当x=2时,此分式的值为零,
2x a
求分式 a 的b 值.
a 3b
解析 ∵当x=-4时,分式 x 无b 意义,
第二章 分式与分式方程
1 认识分式
第一课时 分式及其相关概念
基础过关全练
知识点1 分式的概念
1.(2024山东东营期中)代数式 x , y , 1 , 2 ,x y中,x是分式
6 a 1 x a b
的有 ( B )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析 x 和y x的分母中不含有字母,不是分式; 1, ,2
A.2-x
B.x-2
C.2x+4
D.x+4
解析 当x=-2时,分式无意义,所以分母“□”的值应为0.当x =-2时,2-x=2-(-2)=2+2=4≠0,A选项不符合题意;x-2=-2-2=-4 ≠0,B选项不符合题意;2x+4=2×(-2)+4=-4+4=0,C选项符合题 意;x+4=-2+4=2≠0,D选项不符合题意.故选C.
分式方程(1)课件
例3
解方程
2 3 x 3 x
x( x 3)
解：在方程两边同乘最简公分 母 得 2 x 3x 9 解得
x 9
检验：将x=9代入 x( x 3) 0 所以x=9是原分式方程的解。
例3
解方程
x 3 1 x 1 ( x 1)( x 2)
解：在方程两边同乘最简公分母 得
一化二解三检四答
分式方程的增根
1.使分式方程最简公分母为0（分母为0）的未知 数的值叫做分式的增根，增根一定要舍去。
例1：
2x x 若方程 2 x 1 x 2 x2 1 1 若方程 x 1 x 1 有增根， 则x=________
1 或2 2 2 则x=________ 有增根，
一化二解三检四答
1、解分式方程的思路是：
分式方程
去分母
整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
x2 x (1) 2 3
4 3 7 x y
整式方程
1 3 (2) x2 x
x ( x 1) (4) 1 x
(3)
3 x
x 1 x 2 10 （6） x 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
分式方程
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
100 60 20 v 20 v
解：在方程两边都乘以最简公分母(20 v)(20 v) 100 去分母： (20 v) 60(20 v) 解 2000 100 v 1200 60 v 去括号： 这 个 移项： 100 v 60v 1200 2000 整 合并同类项： 160 v 800 式 方 系数化为1： v 5 程 检验 检验：将v=5代入原方程中，左边=右边。 写解 所以v=5是原方程的解。
2020青岛版八上3.7分式方程第1课时ppt课件
思考下列问题，并与同学交流：
1、王师傅承担了310个工件的焊接任务， 加工了100个后开始采用焊接新工艺，工效提 高到原来的1.5倍，共用了8天完成了任务，如 果不采用新工艺，王师傅还需要多少天才能 完成任务？
工的工1如0件0果个是设工采1件.用5需x 个新要，工1加艺0x0工前天剩王；余师采的傅用工每新件天工用焊艺了接后x王个210师工天傅件。每，天那加么工加
x x3
分母中含 有未知数。
这两个方程是 一元一次方 程吗？
1、下列方程中，哪些是分式方程？
1 1 －2
x
2
x x－2
2
3
1－4 x－1 x 1
2 x2－1Biblioteka 4 2－x － x 4＝0
35
2、一个分数的分子比分母小2，当分子与分母都加上3时， 这个分数等于 2 ，求这个分数（只列方程）
1.5x
问题中给出的等量关系是：
焊接100个工件用的时间＋焊接剩余工件用的时间＝8天
100 ＋ 210 ＝ 8
x
1.5x
2、甲乙两班的同学参加植树，乙班每小时比 甲班多植3棵，甲班植60棵树时，乙班植了 66棵树，甲乙两班每小时各植树多少棵？
(1)在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？
乙每小时比甲多植3棵甲植60棵时，乙植66棵 甲乙每小时各植多少棵
3
设这个分数的分母为x,则它的分子是x-2,则：
x-23 2 x3 3
预习下一节课
(2)如果选取一个未知量用x表示，那么其他量能用x表示？
设甲每小时植x棵，则乙每小时植(x 3)棵
(3)在这个问题中，给出的等量关系是什么？ 甲植60棵与乙植66棵用时相等
(4)选择哪个等量关系可以得到关于未知数量x的方程？
1、王师傅承担了310个工件的焊接任务， 加工了100个后开始采用焊接新工艺，工效提 高到原来的1.5倍，共用了8天完成了任务，如 果不采用新工艺，王师傅还需要多少天才能 完成任务？
工的工1如0件0果个是设工采1件.用5需x 个新要，工1加艺0x0工前天剩王；余师采的傅用工每新件天工用焊艺了接后x王个210师工天傅件。每，天那加么工加
x x3
分母中含 有未知数。
这两个方程是 一元一次方 程吗？
1、下列方程中，哪些是分式方程？
1 1 －2
x
2
x x－2
2
3
1－4 x－1 x 1
2 x2－1Biblioteka 4 2－x － x 4＝0
35
2、一个分数的分子比分母小2，当分子与分母都加上3时， 这个分数等于 2 ，求这个分数（只列方程）
1.5x
问题中给出的等量关系是：
焊接100个工件用的时间＋焊接剩余工件用的时间＝8天
100 ＋ 210 ＝ 8
x
1.5x
2、甲乙两班的同学参加植树，乙班每小时比 甲班多植3棵，甲班植60棵树时，乙班植了 66棵树，甲乙两班每小时各植树多少棵？
(1)在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？
乙每小时比甲多植3棵甲植60棵时，乙植66棵 甲乙每小时各植多少棵
3
设这个分数的分母为x,则它的分子是x-2,则：
x-23 2 x3 3
预习下一节课
(2)如果选取一个未知量用x表示，那么其他量能用x表示？
设甲每小时植x棵，则乙每小时植(x 3)棵
(3)在这个问题中，给出的等量关系是什么？ 甲植60棵与乙植66棵用时相等
(4)选择哪个等量关系可以得到关于未知数量x的方程？
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中考典例精析
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(1)(2010·咸宁)分式方程x－x 3＝xx＋ －11的解为(
)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
(2)(2009 中考变式题)若解分式方程mxx－＋11＝－1 时产生增根，则 m 的值是(
程的解．
(2)由(x－1)(x＋2)＝0 得增根可能是 x＝1 或 x＝－2，把方程两边
都乘(x－1)(x＋2)得 x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当 x＝1 时，得 m＝
3；当 x＝－2 时，得 m＝0，此时方程变为x－x 1－1＝0，即 x＝x－1，此
时方程无解，故 m＝0 舍去，∴当 m＝3 时， 原方程有增根 x＝1.
水和水流的速度，在下列式子中填空.
v顺＝vv＋顺－vv逆水 v＝_____2_____
v逆＝vv－顺－_v_v水_逆_ v水＝___2______
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考点知识精讲
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在轮船航行问题中，知v顺、v逆、v、v水中的任何两个量，总能求出
其他的量． (5)教育储蓄问题． ①利息＝___本__金__×__利__率__×__期__数__； ②本息和＝___本__金__＋__利__息____＝本金×(1＋利率×期数)； ③利息税＝_利__息__×__利__息__税__率__； ④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
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中考典例精析
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(1)(2011·芜湖)分式方程2xx－－25＝2－3 x的解为(
)
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝1 或 x＝2
(2)
2011·绥化
分式方程x－x 1-1=
x－1
m x＋2
有增根,则 m
的值为( )
A．0 和 3
B．1
C．1 和－2
D．3
【点拨】(1)去分母得 2x－5＝－3，解得 x＝1.经检验 x＝1 是原方
根据题意得：3x0＋x＋3025＝1. 方程两边同乘 x(x+25),得 30(x+25)+30x=x(x+25),即 x2-35x-750＝0. 解之，得 x1＝50，x2＝－15. 经检验，x1＝50，x2＝－15 都是原方程的解． 但 x2＝－15 不符合题意，应舍去． ∴当 x＝50 时，x＋25＝75. 答:甲工程队单独完成该工程需 50 天,乙工程队单独完成该工程需 75 天． (2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可． 方案一：由甲工程队单独完成． 所需费用：2 500×50＝125 000(元)． 方案二：甲、乙两队合作完成． 所需费用为：(2 500＋2 000)×30＝135 000(元)． 其他方案略．
解得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx＝－1.
检验：把 x＝－1 代入 x－2 中 x－2≠0.
∴x＝－1 是原方程的解 方法总结：
解分式方程时，一定要记得验根，使分母为零的未知数的值，即是方
程的增根.
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中考典例精析
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(2011·德州)为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城 区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公 用设施全面更新改造，根据市政府建设的需要，须在60天内完成工程，现 在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程，经调查知道：乙队单独完成此 项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30 天，甲队每天的工程费用2 500元，乙队每天的工程费用2 000元．
【解答】(1)C (2)D
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中考典例精析
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(2011·大连)解方程：x－5 2＋1＝x2－－1x. 【点拨】本题考查分式方程的解法，一般步骤为：(1)去分母，转化 为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根．这三步缺一不可． 【解答】x－5 2＋1＝－xx－－12，
去分母得 5＋(x－2)＝－(x－1)．
(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ (2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验 求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意．
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中考典例精析
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【解答】设甲工程队单独完成该工程需 x 天，则乙工程队单独完成该工 程需(x＋25)天．
4．增根
在方程变形时,使原分式方程的分母为零的根,称为原方程的增根.解
分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根(其方法是代入最
简公分母中，使最简公分母为0的是增根，否则不是)．
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考点知识精讲
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考点二 与增根有关的问题 1．分式方程的增根必须同时满足两个条件 (1)____使__最__简__公__分__母__为__零________； (2)_是__由__分__式__方__程__化__成__的__整__式__方__程__的__根___. 2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：(1)将原方程化为整式方程；(2) 确定增根；(3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．
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考点知识精讲
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考点三 列分式方程解应用题
1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样,不同之处是列出 的方程是分式方程.
求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要 缺少了这一步.
2.应用问题中常用的数量关系及题型
（1）数字问题.（包括日历中的数字规律）
①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 _1_0_0_a_+_1_0_b_+__c_；
②日历中前后两日差__1_，上下两日差__7___.
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考点知识精讲
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（2）体积变化问题.
（3）打折销售问题.
①利润=__售__价___-成本；
利润
②利润率=__成__本_____×100%. （4）行程问题.
路程=_速__度_×_时__间__.
若用v表示轮船的速度，用v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆
目录
第8讲 分式方程
考点知识精讲 中考典例精析
举一反三
考点训练
考点知识精讲
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考点一 分式方程及解法
1．分式方程 分母里含有__未__知__数__的方程，叫做分式方程．
2．解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程，即
分式方程__去―_转_分 ―_化_→母_____整式方程
(1)去分母，转化为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根．