最新微分方程建模简介
微分方程建模基本方法
容器内含盐量为
x x (t )
,
x ( 0 ) 10
到
t dt
容器中的含盐量的改变量为
dx x 100 t 2 dt
dx
即
x x (t )
满足的微分方程为
2x dx 100 t dt x ( 0 ) 10
解之得
x 10
5 2
(100 t )
1 y'
这是不显含
的二阶微分方程，并有初值条件：
，y ( 0 ) 0
y (0 ) 0
解此初值问题，可得导弹运行的曲线方程为
y 5 8
4
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
5 24
当
x 1
时
y
5 24
，即当乙舰航行到点 (1 , 5 /24 )
处时被导弹击中。
解 设导弹的轨迹曲线为
导弹位于点
P ( x, y)
y y ( x ) ，并设经过时间 t
，乙舰位于点 Q (1, v t ) 。
0
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹 的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有
y' v0t y 1 x
亦即
v 0 t (1 x ) y ' y
（三）模拟近似法
例3 （给药方案）
给药方案：每次注射剂量多大，间隔时间多长
一室模型：将整个肌体看作一个房室，称中心室， 室内的血液浓度是均匀的。 问题：
设所研究药物的最小有效浓度 c
1
10
，最大治疗
浓度
c 2 25 ( g / ml )
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程建模.
vw dy 1 dx
2
代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非
线性微分方程,加上初值条件,则初值问题
d 2 x (H y) ve dy 2 2 vw dx dy 1 x y 0 0 dx y 0 0 dy
dx dy 2 v dt dt
2
2
(3.1)
7
其中 vw 450(km / h) 另外在 t 时刻, 敌艇位臵为 M (vet , H ) , 其中 ve 90(km / h) 。由于导弹轨迹的切 线方向必须指向敌艇，即直线 PM 的方向就是导弹轨迹上点 P 的切线方向,
p2 1 dp dy Hy
d (H y) Hy
dp p2 1
易得 由初值条件(3.7)即 p
H y
y 0
C p p2 1
0, 得C H , 从而
p
H y p2 1 H
10
注意到上式可改写为
故有
dy Hy dx vet x
(3.2)
或写为
dy dx H y dt dt vet x
(3.3)
方程(3.1),(3.3)连同初值条件
x(0) 0, y(0) 0
为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t, 由式(3.2)得
(3.4)
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
微分方程建模
卢长娜
changnalu@
1
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函 数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或 微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模 型的方法来研究该问题。
第四部分微分方程建模
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
的时间称为药物的血浆半衰期：
t1
2
ln 2 k
环境 机体
只输出不 输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
K0
kx
dt
（x(0)=0）
设的水内即从部：小磨孔擦dd流力ht 出和的表[R0速面.26S度张(R2为力hgh的v)(2]t假)，定由下力，学有定：律，在不计水
这是可 (分t) 离0变.6 量2g的h 一阶微分方程，得
因体积守T衡dV，R0 又[可0Rr.622d得Sh(R2：gshh)d2t] dh
l
mg
图4-1
例2 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了
水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻
被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？ 解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分 方程。
微分方程模型
解
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、‚每天‛：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉
私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟
踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
缉私艇 D(x,y)
O
(c,0)
x
几何关系
dy y at tg dx x dy 即 x y at dx
模型的解：
k k dy 1 x c p dx 2 c x
y (c ) 0
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
c 1 x y 2 1 k c
y 当x=0时，
W (t ) 81.25 C3e
C3 23.9968
则
0.0016t
初始条件为： W (4) 57.40625，代入解出
W (t ) 81.25 23.9968e
0.0016t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e , 0t 3 0.0016t W (t ) 143.75 86.8981e , 3t 4 81.25 23.9968e0.0016t , t 4
微分方程建模理论概要课件
04
CATALOGUE
微分方程稳定性分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
01
对于一个微分方程的解，如果其导数在所有时间上都为非正，
则该解被称为稳定。
局部稳定性
02
如果存在一个有限的初始时间，当时间超过此初始时间时，解
的导数恒为非正，则该解被称为局部稳定。
全局稳定性
03
如果对于所有时间，解的导数都恒为非正，则该解被称为全局
电磁学中的微分方程
电场和磁场
描述电荷在电场和磁场中的运动和相互作用， 可以通过微分方程求解电场和磁场的变化规 律。
电磁波
电磁波的传播和反射等现象可以通过微分方 程描述，进而研究电磁波的特性和应用。
热力学中的微分方程
要点一
热传导
描述热量在物体中的传播和变化，可以通过微分方程求解 温度随时间和空间的变化规律。
有广泛的应用。
线性常微分方程
定义
线性常微分方程是指导数与变量之间为线性关系的常 微分方程。
解法
线性常微分方程的解法通常采用分离变量法、积分因 子法等。
应用
线性常微分方程在描述物理、工程和社会科学等领域 的问题时具有广泛的应用。
03
CATALOGUE
偏微分方程模型
一阶偏微分方程
01
定义
一阶偏微分方程是一阶微分方程或常微分方程的统称，它 的一般形式为F(x,y,y',…,y^(n)) = 0，其中F为给定的函数， x,y,y',…,y^(n)为未知函数及其各阶导数。
稳定。
线性稳定性分析
线性化
通过将非线性微分方程线性化来分析稳定性，即将非线性微分方程的解的线性 部分视为新的微分方程。
数学建模---微分方程模型简介
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
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Logistic阻滞增长模型
hR £ ¹
r c E R (1 ) 2 pN
N c xR 2 2p
比较：
è ò ¾ £ Ì ªÎ ¬ Ø ¬ï ¬ï §æ à î Á ¬ Ò ² À Ã Ï Ç ¼ £ Ó «Æ é ´ Ï Ñ µ Ó Ó Î £ ¶ Ë ¾ Ç ©Õ ð ò ¾ ñ Ï ñ î × ¬ ð æ ¡ ß ¾ æ È ª ² ¿ Æ ¶ » ³ Ï ² À ½ Ò Ê » È £ ¶ Ò ³ Ò À Ê ³ ½ c à ï Ò ð ï Ò ¬ «Î µ É ° ï £ µ Ó » ¶ Ó » £ ñ ¹ É » Æ ¾ ¡
x
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§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微 分 方 程 建 模
世界人口数量统计数据：
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口 5 亿
10 20 30 40 50 60
中国人口数量统计数据：
年 1908 1933 1953
象。 2
几何级数的增长
N/人
1.5
1
0.5
0 1950
2000Βιβλιοθήκη 2050 t/年2100
2150
2200
2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
增长从的(3)种而式群还有个有：体另d，d一Nt当解种释r(群，N数)由N量于过空多间时和，资由源于都（人1是）均有资限源的占，有不率可的能下供降养及无环限境
大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效
果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有
0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%
的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量
375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic
微分模型
当我们描述实际对象的某些特性随 时间（空间）而演变的过程、分析它 的变化规律、预测它的未来形态、研 究它的控制手段时，通常要建立对象 的动态模型。
在许多实际问题中，当直接导出变量之 间的函数关系较为困难，但导出包含未知 函数的导数或微分的关系式较为容易时， 可用建立微分方程模型的方法来研究该问 题。
人 3.0 4.7 6.0 口
1964 1982 1990 2000 7.2 10.3 11.3 12.95
微分方程建模
r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
指数增 dx rx 长模型 dt
dx/dt
yc 0
要继续求 y 是 x 的怎样一个函数，必须进一步确定 k （1）若 a b ，从而 k 1 ，积分上式得
c 1 x y 2 1 k c
1 k 1 k
1 x 1 k c
ck 1 k 2
位置发现走私船在 0 ,0 处。 设在缉私舰发现走私船时算起的时间为 t ，走私 船到达 R 0 , at 点，缉私舰到 D x , y 因直线
DR 与路线相切，由几何关系得 dy y at tan , dx x
或
dy x y at dx
为消去
代入
A x(t0 ) I L T v0
其中 T 是驾驶员的反应时间，于是
v0 I L A T 2 g v0
假设 ，T 1s L 4.5m ，
I 9m
另外，我们选取具有代表性的
0.2 。当 v0 45km / h 65km / h 以及 80km / h
时，黄灯时间如 8-1所示。表中给出了经验法的值。
，
v0
45
65 80
km / h
A( s)
5.27
6.35 7.28
经验法
s
3
4 5
我们注意到，经验法的结果一律比我们预测 的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉 路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转红 灯时正处于交叉路口。
010微分方程方法建模(预备知识)
特征方程的两个特征根是
所以(2)的通解是
(2)的通解是 其实值解为
2．二阶常系数线性非齐次方程 由通解结构定理，方程(1)的通解等于对应的齐次方程通解与(1) 的一个特解之和。 前面我们已得到了齐次方程的通解，因而下面的问题是讨论如 何求(1)的一个特解。
代人(1)后得 解上式得
说明： (1)对于二阶方程所提供的解法，可完全类似 地推广到n阶方程中。 (2)在求解问题过程中，可视具体情况将高阶 方程转化成一阶微分方程组进行讨论。 例如，对于二阶方程
两边积分得
(3) 2)一阶线性非齐次微分方程的通解 方程(1)的解可用“常数变易法”求得。即将 其对应的齐次方程通解(3)中的任意常数c，换成待 定函数c(x)，设(1)具有如下形式的解 对上式关于x求导，得
代人(1)，得
积分得 其中c是任意常数，代入(3)式得
不难验证，它就是原方程的通解。
例5 解一阶线性微分方程
则与方程等价的一阶线性微分方程组为
返回
5 微分方程的稳定性简介
在现实世界中，任何系统总会受各种各样的干 扰作用，这种作用常常使系统偏离原来的给定的 运动状态，因而有必要研究这种作用对原来给定 运动的影响。这就是微分方程的稳定性问题。 下面简单介绍方程的平衡点及稳定性概念，并 给出判断方程解稳定的初等方法。 设有微分方程 （1）
定义2 在微分方程中，未知函数最高阶 导数的阶数，称为微分方程的阶。 定义3 一个函数代人微分方程中，使得 它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微 分方程的解。 由于微分方程的解是函数，将这个函数 代人方程，是经过微分运算使等式成立的， 因此微分方程的解有无穷多个。 定义4 对于n阶微分方程，含有n个(相 互独立的)任意常数的解．称为微分方程的通 解。
几种重要的微分方程应用模型
生态竞争模型的解可以表现出多种动态行为，如周期振荡和混沌运动等， 取决于物种之间的竞争参数。
斐波那契序列模型
01
斐波那契序列是一个经典的数学序列，每个数字是前两个数字 的和。
02
斐波那契序列模型可以用于描述许多自然现象，如植物生长、
模型等。
02 线性微分方程模型
线性微分方程的解法
分离变量法
通过将方程中的未知函数和其导数分 离到等式的两边，从而将微分方程转 化为代数方程。
变量代换法
通过引入新的变量来简化微分方程， 例如使用积分因子或积分因子法。
参数法
当微分方程中包含参数时，可以通过 令参数等于某个特定的值来求解微分 方程。
幂级数法
拉普拉斯变换法
将高阶微分方程转化为代数方 程，适用于初值问题和具有特
定边界条件的问题。
阻尼振动模型
1 2
线性阻尼
阻尼力与速度成正比，导致振动逐渐减小并趋于 静止。
非线性阻尼
阻尼力与速度的幂函数相关，如速度的二次方、 三次方等，导致振动表现出不同的非线性行为。
3
阻尼振动应用
描述机械系统、电磁振荡器等物理系统的振动现 象，用于预测系统的稳定性和动态响应。
热传导方程的一般形式为：$frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u$，其中 $u$ 表示温度分布，$alpha$ 是热扩散系数，$nabla^2$ 表示拉普拉斯算子。
波动方程模型
01
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，如声波、光波和水 波等。
02
它的一般形式为：$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u$，其中 $u$ 表示波动场，$c$ 是波速。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
微分方程方法建模
10 Q ( t )， Q (0) 0
3
0.001t
),0 t 1800,
且 Q(1800) 0.00835
当 t 1800时 ， 有 dQ dt (10
3
5 10 ) Q ( t ), Q (1800) 0.00835,
0.0015 t
4
运动消耗量/天=69(J/kg.d) ×w(t)(kg) w (t t ) w (t ) w 体重的变化/天= ( kg / d ) t t 在上述描述中，等式两边的单位是不相匹配 的，下面公式将两个单位换算成统一形式： J /d 1kg / d 41868 J / kg 建模 由上面分析，体重w(t)满足下面关系式
结果：u = tan (t+c1)
例2
求微分方程的特解.
d 2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 15
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x) 作图命令：ezplot(y,[1.0,4])
10 5 10 3 Q ( t ), 0 t 1800 dQ 3 4 dt 10 Q ( t ) 5 10 Q ( t ), t 1800 当 0 t 1800时 ， 有 解 得 Q(t)=0.01(1-e dQ dt 10
5
w t 5429( J / d ) 69 w ( J / d ) 41868( J / kg )
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型及软件求解
04
微分方程求解的数值方 法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是微分方程求解中最简单的一种数值方法，其基本 思想是用离散的点上的函数值来近似代替连续的函数值。
详细描述
欧拉方法基于函数在离散点上的取值来近似表示函数在连续 区间上的变化。它通过设定初始条件和微分方程，逐步计算 出各个离散点上的函数值，从而得到整个区间上的近似解。
微分方程用于描述市场供需关系、经济增长和预测经 济趋势。
微分方程的数值解法
01
欧拉方法
一种简单的一阶数值方法，通过迭 代逼近微分方程的解。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程进行求 解。
03
02
龙格-库塔方法
一种高阶数值方法，适用于求解非 线性微分方程。
软件求解
使用数学软件如MATLAB、Python 等求解微分方程。
05
微分方程求解的软件应 用实例
MATLAB求解一阶微分方程
总结词
MATLAB是一款功能强大的数学计算软件， 可用于求解各种微分方程，包括一阶微分方 程。
详细描述
在MATLAB中，可以使用内置的`dsolve`函数 来求解一阶微分方程。例如，要解方程 `dy/dx = y`，可以使用以下代码
MATLAB求解一阶微分方程
= sin(π√x2+y2)
MATLAB求解偏微分方程
[px, py] = gradient(-f); % 计算函数f的梯 度
pdepe(px, py, x, y) % 解偏微分方程 Δy=0Δy=0Δy=0
MATLAB求解偏微分方程
```
这将得到偏微分方程的数值解。
THANKS FOR WATCHING
``` 这将得到方程的数值解。
微分方程模型(动态模型)
例1：池水含盐问题 ：
池中有一定体积的盐水， 池中有一定体积的盐水，从池的一端向 池中注入一定浓度是盐水。 池中注入一定浓度是盐水。混合的盐水将 从池的另一端流出。 从池的另一端流出。建模描述池中盐水浓 度的动态。 度的动态
模型假设：假设注入池中的盐水迅速与池中原有的盐水 均匀的混合，从而改变池中盐水的浓度. 符号设定： V0： 池 中 原 有 盐 水 的 体 积 ， p0： 池 中 原 有 盐 水 的 浓 度 . V ( t )： t 时 刻 池 中 盐 水 的 体 积 ， p( t )： t 时 刻 池 中 盐 水 的 浓 度 . r1 ( t ), p1 ( t )： 表 示 盐 水 注 入 的 速 度 和 浓 度 ， r0 ( t ), p0 ( t )： 盐 水 流 出 的 速 度 和 浓 度 ， 显 然 ： p0 ( t ) = p( t ). 模型分析：池中盐水的体积、浓度将仅仅依赖于盐水注入 的速度、注入的浓度和流出的速度和浓度.
问题分析： 由物理知识知道，水瓶中热水降温的速 度与水温减去环境温度之差成正比。利用 dC = −k (C − C0 ) 热力学规律，可以得出温度C与降温时间t dt 的关系——降温曲线C=C(t)。找出通过点 其中：C为水瓶内的温度,它为时间t的函数， (100，0)，(60，24)的降温曲线，就可知道 C0为外界环境温度，k为比例系数，取正值. 3小时后的对应温度C1。因此，若在3小时 后测得温度不低于C1，那么，水瓶的保温 性能就可以认为是合格的。
产生这种现象的主要原因是,随着人口的 增加,自然资源、环境条件等因素对人口继续 增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少 时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常 数的话,那么当人口增加到一定数量之后,增长 率就会随着人口的继续增加而逐渐减小.许多 国家的人口增长的实际情况完全证实了这一 点. 为了使人口预报特别是长期预报更好的 符合实际情况,必须修改”人口增长率是常数” 这一基本假设.
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微分方程建模简介第三章微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）«Skip Record If...»(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）«Skip Record If...»(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： «Skip Record If...»(2) 齐次方程：«Skip Record If...»常数变易法：(1) 线性方程，«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) 伯努里方程，«Skip Record If...»«Skip Record If...»积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程«Skip Record If...»有参数法：(1) 不含x或y的方程:«Skip Record If...»(2) 可解出x或y的方程：«Skip Record If...»对于高阶方程，有降阶法：«Skip Record If...»恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。
本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。
3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。
4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。
5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。
6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。
7．差分方程。
8．偏微分方程。
二、数学建模的微分方程方法微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。
其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。
1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。
这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的[5]。
又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族(c)，求曲线«Skip Record If...»（等角轨线或正交轨线），使«Skip Record If...»与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐含的条件是：在«Skip Record If...»与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程[5]。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻力系数为«Skip Record If...»，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为«Skip Record If...»，初始条件：«Skip Record If...»。
由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：«Skip Record If...»求解模型可得：«Skip Record If...»由上式可知，当«Skip Record If...»时，物体具有极限速度：«Skip Record If...»，其中，阻力系数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为与物体形状有关的常数，«Skip Record If...»为介质密度，s为物体在地面上的投影面积。
根据极限速度求解式子，在«Skip Record If...»一定时，要求落地速度«Skip Record If...»不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来。
3．利用导数的定义建立微分方程模型。
导数是微积分中的一个重要概念，其定义为«Skip Record If...»，商式«Skip Record If...»表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率。
函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。
由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。
这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。
例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。
我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t 的函数，由裂变规律，我们可以建立微分方程模型:«Skip Record If...»期中«Skip Record If...»是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。
求解该模型，我们解得：«Skip Record If...»，其中c是由初始条件确定的常数。
从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。
（参考碳定年代法）另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。
4．利用微元法建立微分方程模型。
一般的，如果某一实际问题中所求的变量p符合下列条件：p是与一个变量t的变化区间[a, b]有关的量；p对于区间[a, b]具有可加性；部分量«Skip Record If...»的近似值可表示为«Skip Record If...»。
那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间[a, b]；在区间[a, b]中随便选取一个任意小的区间并记作[«Skip Record If...»]，求出相应于这个区间的部分量«Skip Record If...»的近似值。
如果«Skip Record If...»能近似的标示为[a,b]上的一个连续函数在t处的值«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的乘积，我们就把«Skip Record If...»称为量«Skip Record If...»的微元且记作«Skip Record If...»。