含参变量的积分课件

第十五章含参变量的积分

教学目的与要求

1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；

2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.

3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；

6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；

7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学重点

1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；

2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；

3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等

6 Beta函数和Gamma函数的性质。

教学难点

1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；

2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分

教学目的

1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；

2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.

教学过程

1 含参变量的常义积分的定义 （P373）

2 含参变量的常义积分的分析性质 连续性定理P374

Theorem 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续 , 则函数

⎰=d

c

dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .

Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和

)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数⎰

=)()

(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.

例 1 求下列极限 (1)dx y x y ⎰

-→+1

1

2

20lim

(2) dx n

x

n

n ⎰

++∞→1

)1(11lim

积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.

积分号下求导定理P375—376

Theorem 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰

=

d

c

dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且

⎰⎰=d

c d c x dy y x f dy y x f dx

d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) .

Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函

数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分

⎰

=)

()

(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且

()())()(,)()(,),()(112

2)()

(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+='⎰

. 例2 求下列函数的导数 (1) ⎰>+=

1

2

2

)0()ln()(y dx y x

y F (2) ⎰-=2

2

)(x x

xy dx e

y F

例3 计算积分 dx x x I ⎰++=

1

021)

1ln(.

例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ⎰---=

x n dt t f t x n x 01)()()!1(1

)(φ 的1-n 阶导数存在 , 且 )()()

(x f x n =φ.

(P376定理15.1.4) 例4 求⎰++=

y

b y a dx x yx

y F sin )(的导数

例5 研究函数 ⎰

+=1

0 2

2)

()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。

解 令2

2)

(),(y

x x yf y x g +=

，则),(y x g 在],[]1,0[d c ⨯连续，其中],[0d c ∉。从而)(y F 在0≠y 连续。当0=y 时，0)0(=F

当0>y 时，记 0)(min ]

1,0[>=∈x f m x ，则

⎰

+=1

0 22)()(dx y x x yf y F ⎰+≥1 0 22dx y x y m y m 1

arctan = 若)(lim 0

y F y +→存在，则 ≥+→)(lim 0

y F y y m y 1arctan

lim 0

+→)0(02

F m =>=π

故)(y F 在0=y 不连续。

或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈∃ξ，使