第6章 线性回归与曲线拟合
线性回归与拟合
线性回归与拟合在统计学和机器学习领域中，线性回归是一种常见的数据分析方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系模型。
通过该模型，我们可以预测和分析数据的变化趋势，从而对未来的数据进行预测和决策。
一、线性回归的基本原理线性回归的基本原理是基于最小二乘法，它通过寻找最佳的参数估计值来拟合数据。
最小二乘法的目标是使所有数据点到拟合线的距离平方和最小化。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的拟合线。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ϵ其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型的系数，ϵ表示误差项。
线性回归的目标是找到最佳的系数估计值β0、β1、β2、...、βn，使得预测值与实际值之间的误差最小。
二、线性回归的应用线性回归广泛应用于各个领域，例如经济学、金融学、社会科学、医学等。
以下是一些线性回归的应用实例：1. 经济学：通过分析GDP与人口增长率的线性关系，可以预测未来的经济发展趋势。
2. 金融学：通过分析股票价格与市盈率的线性关系，可以预测股票的价值。
3. 社会科学：通过分析教育水平与收入之间的线性关系，可以研究教育对收入的影响。
4. 医学：通过分析吸烟与肺癌发病率的线性关系，可以评估吸烟对健康的影响。
三、线性回归的拟合优度线性回归的拟合优度是衡量拟合程度的指标，常用的拟合优度指标是R方值（R-squared）。
R方值表示拟合线能够解释因变量变异程度的比例，取值范围在0到1之间。
R方值越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好。
然而，R方值并不是唯一的评估指标，我们还需要结合其他统计指标和领域知识来评价模型的可信度和预测能力。
四、线性回归的局限性线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，但实际情况并不总是如此。
当数据存在非线性关系或者误差项不满足正态分布时，线性回归模型可能会失效。
此外，线性回归模型还对异常值和多重共线性敏感。
第6章线性回归与曲线拟合
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
y=lncA 算得：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
15
10
拉伸倍数x
15
7
6.2 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
8
6.3 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
计算方法课件第六章最小二乘法与曲线拟合
例1： y aebx
ln y ln a bx
u ln y, A ln a, B b
u A Bx
例2： y
a
1 bx
u 1 y
1 a bx y u a bx
3.写出矛盾方程组。 4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。 6.将正则方程组的解带回到数学模型中，得到拟 合曲线。
Remark
1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误
差 N [ (xi 和) 最yi大]2 偏差
max
1i N
( xi
t cos 0.669131 0.390731 0.121869 -0.309017 -0.587785
记 a 1 , b e ，得拟合模型：a bt y
p
p
则矛盾方程组为：
1 0.669131
0.370370
1
1 1
0.390731 0.121869 0.309017
a b
0.500000
一、曲线拟合模型
定义：依据某种标准选择一条“最好”的简单
曲线作为一组离散数据(
xi
,
yi
)
N i0
的连续模型。
确定曲线的类型：一般选取简单的低次多项式。
求一个次数不高于N－1次的多项式：
y (x) a0 a1x a2x2 amxm
(m N 1)
（其中a0,a1,…,am待定），使其“最好”的拟合
j 1
j 1
n a1 j x j b1
回归分析曲线拟合通用课件
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
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回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
回归拟合曲线
回归拟合曲线回归拟合曲线是一种数据分析方法，用于确定数据之间的关系模式。
它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
本文将介绍回归拟合曲线的基本概念、常见的回归方法以及如何使用这些方法进行曲线拟合。
回归拟合曲线是通过找到最佳拟合线来描述两个或多个变量之间的关系。
拟合曲线可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归使用一条直线来拟合数据，而非线性回归使用其他类型的函数来拟合数据。
回归分析通常用于预测一个变量的值，基于已知的自变量值。
在回归拟合曲线中，有两个主要的变量：自变量和因变量。
自变量是我们用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测的变量。
我们假设自变量能够解释因变量的变化。
回归分析的目标是找到自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的因变量。
回归分析有很多不同的方法，包括线性回归、多项式回归、指数回归等。
线性回归是最简单的回归方法之一，它使用一条直线来拟合数据。
线性回归的基本原理是找到一条直线，使得这条直线与数据点的距离最小。
这种方法被广泛应用于各种领域，例如经济学、统计学和工程学等。
多项式回归是一种非线性回归方法，它使用多项式函数来拟合数据。
它可以适应各种曲线形态，并能更好地拟合非线性数据。
多项式回归的原理是在数据中添加多项式项，使得拟合曲线能够更好地适应数据点。
通过选择合适的多项式次数，我们可以调整曲线的形状和适应性。
指数回归是一种应用较广泛的非线性回归方法，它使用指数函数来拟合数据。
指数回归在研究生长速度、衰变速度等方面非常有用。
指数回归的原理是将因变量和自变量取对数，使拟合曲线变为线性形式。
然后使用线性回归分析来获得最佳拟合直线。
在进行回归拟合曲线之前，我们需要明确两个事项：回归分析的目标和回归模型的选择。
回归分析的目标是什么，决定了我们要解决什么问题。
回归模型的选择取决于我们的数据类型和问题需求。
回归分析在实际应用中非常有价值。
例如，在销售预测中，我们可以使用历史销售数据来预测未来销售额。
拟合曲线算法
拟合曲线算法
拟合曲线算法是一种统计学的方法，用于找到一条曲线（或函数）来最好地描述给定数据集的趋势。
拟合曲线算法的目标是通过找到最合适的函数参数，使得拟合曲线与数据点的差距最小化。
常见的拟合曲线算法包括线性回归、多项式回归、指数拟合、对数拟合、幂函数拟合等。
1. 线性回归：首先假设数据之间存在线性关系，通过最小化残差平方和来找到最佳拟合直线。
使用最小二乘法来求解回归系数，使得拟合直线与数据点的残差平方和最小。
2. 多项式回归：假设数据之间存在多项式关系，通过增加多项式的次数来找到最佳拟合曲线。
多项式回归可以通过最小二乘法来求解拟合参数。
3. 指数拟合：假设数据呈指数上升或下降的趋势，通过拟合指数函数来找到最佳拟合曲线。
指数拟合可以通过线性化处理来求解参数。
4. 对数拟合：假设数据呈对数增长或减少的趋势，通过拟合对数函数来找到最佳拟合曲线。
对数拟合可以通过线性化处理来求解参数。
5. 幂函数拟合：假设数据呈幂函数关系，通过拟合幂函数来找到最佳拟合曲线。
幂函数拟合可以通过线性化处理来求解参数。
拟合曲线算法的选择取决于给定数据的特点和需求。
不同的算法可能会有不同的适用性和精度。
纤维绳索强度分析中线性回归与曲线拟合法的比较
，
ｃ ａ ｔ ａ ｄ ｔ ｅｒ ｄ ｖａ ｉｎ ｉ ｔｎ ａ ｄ ｉ ｄ ｘ ｖ ｌ ｅ ｎ ｎ ｌｚ ｓ ｔ ｅ ｄｆ ｒ ｎ ｅ ｂａ ｎ ｄ ｆ ｍ ｈ ｈ ｅ ｈ ｒｓ ｎ ｈ ｉ ｅ ｉ ｔ ｓ ｗ ｔ ｓ ｄ ｒ ｎ ｅ ａｕ ｓ ａ ｄ ａ ａｙ ｅ ｈ ｉ ｅ ｅ ｃ ｓ ｏ ｔｉ ｅ ｒ ｏ ｈ ａ ｆ ｏ ｔｅ ｔｒｅ ｍｅｈ ｄ ． Ｔ ｅ ｒ ｔｒ ａ ｕ ｓ ｏ ａｕ ａ ｌ ｇ ｒｔ ｍｉ ｆ ｎ ｔ ｎ ｍｏ ｔ ａ ｐ ｏ ｉ ｔｄ ｔ ｈ ｏ ｅ ｓａ ｄ ｒ ｎ ｅ ｔｏ ｓ ｈ ｕ ｎ ｖ ｌｅ ｆｎ ｔｒ ｏ ａｉ ｅ ｌ ｈ ｃ ｕ ｃ ｉ ｓ ｐ ｒ ｘ ｍａ ｅ ｏ ｔ ｅ ｒ ｐ ｔｎ ａ ｄ ｉ ｄ ｘ ｏ
ｒｐ ｓ Ｂ ｓ ｇ ｍａｈ ｍａｉａ ｓａｉｔ ａ ｍ ｔｏ ｏ ｅ ． ｙ ｕ ｉ ｔｅ ｔ ｌ ｔｔ ｎ ｔ ｅ ｄ ｔｒ ｎ ｔ ｎ ｏ ｈｅ ｎ ｃ ｓｃ ｔ ｌ ｂ ｒ ｅ ｕａ ｔ ｉ ｈ ｅｅｍｉａｉ ｆ ｔ ｌ ｉ ｏ
标准指标值 最为接近。以 自然对数 函数对聚丙烯 、 聚乙烯和聚酰胺绳索产 品国际标准建立 了断裂强度 与直径
关系的数学模 型。采用这 种数 据分析方法 ， 制定 系列规格 的产 品标 准中确定技术指标 ， 在 比较具有规律性 。 关键词 ：纤 维绳 索 ； 断裂强度 ；拟合法 中图分 类号 ：￥ ７ ． ９ １３ 文献标识码 ：Ａ
线性回归模型的拟合及其预测性
线性回归模型的拟合及其预测性线性回归模型是一种广泛使用的统计分析方法，经常用于建立因变量与自变量之间的关系。
在实际应用中，线性回归模型被广泛应用于数据分析、预测和建模等领域。
本文将详细探讨线性回归模型的拟合及其预测性。
一. 线性回归模型的构建线性回归模型是一种基于统计学原理的模型，通常由两个变量组成：因变量和自变量。
因变量是需要预测的量，自变量是影响因变量的因素。
具体而言，我们可以将线性回归模型表示为：y = a + bx + e其中，y为因变量，x为自变量，a和b是常数项和自变量系数，e为误差项，描述了模型对实际数据的预测不准确之处。
二. 线性回归模型的拟合线性回归模型的拟合是通过寻找最佳拟合线来实现的。
最佳拟合线是使所有观测值与模型估计的值之间的误差最小的拟合线。
一般来说，我们可以通过最小二乘法来确定最佳拟合线。
最小二乘法是一种基于平方误差的方法，它的目的是最小化观测值与估计值之间的平方误差。
为了用最小二乘法估计线性回归模型，我们需要通过样本数据估计出a和b，然后根据估计的常数项和系数构建线性方程。
估计常数项和系数的公式如下：b = Σ(x- xbar)*(y- ybar)/ Σ(x- xbar)^2其中，xbar和ybar是x和y的样本平均数。
拓展公式可以使用：a = ybar - bxbar通过这个公式，我们可以得到一个具有优良拟合优度的线性回归模型。
线性回归模型的拟合程度可以通过R^2来衡量。
R^2是由估计的线性回归模型中解释的总方差与实际总方差之比。
三. 线性回归模型的预测性线性回归模型的预测性可以使用两种方法来评估：内部比较和外部比较。
内部比较测试是通过比较模型拟合的数据和新收集的数据的结果来评估模型预测的能力。
如果模型表现出足够的精确度和可靠性，则我们可以使用它来预测未来数据的变化。
外部比较测试是通过将模型应用于不同的数据集来评估模型的结果。
如果模型在使用不同的数据时表现的一致性和可靠性，则我们可以将其用于实际应用中。
线性回归拟合
线性回归拟合线性回归拟合是一种统计学工具，它可以用来根据一组观测值（称为自变量）产生一条拟合线（称为回归线），并用以预测与其他自变量相关的响应变量（称为因变量）。
它可以用来获得一组变量之间的线性关系，可以用来预测变化以及进行预测性分析。
这是一种非常有用的技术，可以用来确定已知变量与未知变量之间的关系，以便做出更好的决策。
线性回归拟合的步骤主要是：收集数据、构建线性模型、评估模型效果和优化模型。
首先，要准备数据集，其次要选择最佳拟合所需要的评估度量。
通常，首先要扫描数据集，以确定两个变量之间似乎存在线性关系，然后使用线性回归来训练模型。
下一步是评估模型的准确性，检查残差的分布情况（残差是预测值和实际值之间的差异），以及检查回归系数的大小。
如果该系数为负值，则说明变量减少时响应变量也将减少；反之，若该系数为正值，则说明变量增加时响应变量也将增加。
最后，可以优化模型，以获得尽可能准确的预测，主要包括以下几种常用优化方法：正则化（regularization）、多项式回归（polynomial fitting）和加权回归（weighted regression）。
线性回归拟合在实践中有很多应用，它可以用于以下几种情况：生物学领域，例如分析预测远端基因表达变化、研究与疾病相关的遗传因素、设计运动课程等；心理学领域，例如研究个体特质和社会环境因素之间的关系；经济学领域，例如预测经济发展趋势以及宏观经济模拟；营销领域，例如深入了解客户偏好、预测客户行为和收入预测等。
此外，现在大数据时代来临，线性回归拟合也可以应用于大数据的深度学习（deep learning）。
在深度学习中，线性回归拟合可以用来学习大量非线性数据中的非线性关系，从而准确预测大数据中的未知变量。
此外，深度学习中的线性回归拟合还可以用于识别计算机视觉中的图像，从而帮助提高视觉计算机的性能。
综上所述，线性回归拟合既是一种有用的统计学工具，也是一种实用的预测性分析工具。
回归分析曲线拟合
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实例分析
例：某单位对8名女工进行体检，体检项目包括体重和肺 活量，数据如下：
体重
42 42 46 46 46 50 50 50
肺活量 2.55 2.2 2.75 2.4 2.8 2.81 3.41 3.1
利用回归分析描述其关系。
整理ppt
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结果分析
描述性统计量
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雇员对其主管满意度的调查
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模型拟差分析
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回归分析结果
拟合结果为：Y=A*X1+B*X2+C**X3+D ?
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结果解读
剔除变量列表
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共线性检验指标
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3、因变量与自变量之间的关系用一个线性
方程来表示
整理ppt
5
线性回归的过程
一元线性回归模型确定过程
一、做散点图(Graphs ->Scatter->Simple) 目的是为了以便进行简单地观测（如：
Salary与Salbegin的关系)。 二、建立方程
若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方 程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）。
计或预测因变量的取值
整理ppt
2
回归分析的模型
一、分类 按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归和多元回归
二、基本的步骤
利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的？ 要看回归方程的显著性检验（F检验）
名词解释 曲线的拟合
名词解释曲线的拟合曲线的拟合是指通过一组已知的离散数据点，找到与这些数据点最匹配的数学函数曲线的过程。
它在许多领域有着广泛的应用，包括数学建模、统计学、机器学习和工程等。
曲线的拟合可以帮助我们理解数据之间的关系、预测未知数据点的值，以及寻找隐含在数据背后的规律和趋势。
在进行曲线的拟合之前，我们首先需要明确所使用的数据点以及期望的拟合函数类型。
常见的拟合函数包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。
其中最简单的情况就是拟合一条直线，被称为线性回归。
而如果拟合的函数是一个高次的多项式，就被称为多项式拟合。
在实际应用中，我们根据数据的特点和需求选择合适的拟合函数类型。
曲线的拟合的关键在于确定拟合参数的取值，使得拟合函数与实际数据点尽可能地吻合。
我们使用拟合误差来衡量拟合的好坏。
拟合误差通常使用最小二乘法来计算，即将实际数据点到拟合函数曲线的距离平方求和最小化。
最小二乘法的优势在于能够将拟合误差平方化，避免正负误差相互抵消的情况产生。
在进行曲线的拟合过程中，我们可以使用一些常见的数学工具和算法。
例如，最小二乘法可以通过解线性方程组或最优化算法来求解最优拟合参数。
而在多项式拟合中，常常使用最小二乘多项式拟合，将实际数据点与多项式函数进行匹配。
此外，还有一些高级的拟合技术，如样条插值、非线性回归和神经网络等，可以在特定情况下提供更加精确和灵活的拟合结果。
曲线的拟合不仅仅是数学方法的应用，更是一门艺术。
在实际拟合过程中，我们需要不断地调整参数和拟合函数的选择，以寻找到最佳的拟合解。
拟合结果的质量取决于多个因素，包括数据的质量、调整参数的准确性，以及拟合函数的合理性等。
因此，拟合过程往往是一个经验丰富和反复试验的过程。
曲线的拟合还涉及到一些限制和问题。
例如，过度拟合是指拟合函数与实际数据点过于吻合，导致对未知数据的预测效果不佳。
解决过度拟合的方法之一是正则化，通过在拟合过程中引入惩罚项来控制模型参数的大小。
曲线拟合问题讲解
曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。
针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。
针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。
针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。
针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。
针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。
本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。
关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。
目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
如何在报告中准确解读回归与拟合曲线
如何在报告中准确解读回归与拟合曲线一、回归分析的基本原理和概念1.1 回归分析的定义和应用领域1.2 简单线性回归与多元线性回归的区别1.3 回归分析中的相关系数和确定系数的含义二、回归线的解读2.1 回归线的方程及参数估计2.2 利用回归线进行预测和精确度评估2.3 回归线的显著性检验和解释三、拟合曲线的解读3.1 拟合曲线的定义和建立方法3.2 拟合曲线的优度评估指标3.3 拟合曲线中的过拟合与欠拟合问题四、误差项的解读4.1 误差项的定义和性质4.2 常见的误差分布假设4.3 残差分析和异常值的处理五、多元回归的解读5.1 多元回归模型的基本构建和参数估计5.2 多元回归模型的显著性检验和系数解释5.3 多重共线性和变量选择的问题六、回归与拟合曲线的应用案例解析6.1 金融领域中的回归分析应用6.2 生物医学中的拟合曲线应用6.3 工程领域中的多元回归分析案例回归分析在统计学和数据分析中被广泛应用，用于探究变量之间的关系和预测未来趋势。
在报告中准确解读回归与拟合曲线是非常重要的，能够帮助读者对数据进行深入理解和正确的应用。
本文将从回归分析的基本原理和概念开始，逐步展开，通过六个小标题进行详细论述。
首先，我们需要了解回归分析的基本原理和概念。
回归分析是一种用于研究因变量与一个或多个自变量之间关系的统计方法。
在不同的应用领域中，回归分析有着广泛的应用，比如金融领域的股市预测和走势分析，生物医学领域的药物疗效评估等。
同时，我们还介绍了简单线性回归和多元线性回归的区别，以及回归分析中使用的相关系数和确定系数的含义。
接下来，回归线的解读是非常重要的一环。
我们介绍了回归线的方程及参数估计的方法，以及如何利用回归线进行预测和精确度评估。
此外，还需要进行回归线的显著性检验和解释，以确定回归模型是否具有统计学意义。
在拟合曲线的解读中，我们首先介绍了拟合曲线的定义和建立方法，说明了拟合曲线的优度评估指标。
同时，我们讨论了拟合曲线中的过拟合与欠拟合问题，这对于解读拟合曲线的准确性和稳定性有着重要意义。
线性回归与曲线拟合演示文稿
6.3 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
二元溶液的溶解热与浓度的函数关系 反应物的浓度与反应时间的函数关系 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
强度y
10 8 6 4 2 0
0
5
10
15
拉伸倍数x
6.2 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
c（mol/L）
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
c, t关系图
10
20
30
40
t（min）
系列1
Ⅱ、选 y 1 型试探，将曲线变直，这时
ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
1/cA~ t 数表
T
2
5
8
11
14
1/cA
1.005 1.018
1.28
1.335 1.445
17 1.568
27 2.028
31 2.273
35 2.507
1/c
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
0
1/c， t 关系图
10
20
30
40
t
系列1
系数对比，求出常数
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，
sup曲线拟合与回归分析 ppt课件
sup曲线拟合与回归分析
10
提示
左除的概念，可記憶如下：原先的方程式是 A*theta = y，我們可將 A移項至等號右邊， 而得到 theta = A\y。必須小心的是：原先 A 在乘式的第一項，所以移到等號右邊後，A 仍 然必須是除式的第一項。
若我們要解的方程式是 theta*A = y，則同樣 的概念可得到最小平方解 theta = A/ y。
範例10-2： census01.m
load census.mat
% 載入人口資料
plot(cdate, pop, 'o');
% cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop;
theta = A\y;
% 利用「左除」，找出最佳的 theta 值
迴歸分析與所使用的數學模型有很大的關係
模型是線性模型，則此類問題稱為線性迴歸 （Linear Regression）
模型是非線性模型，則稱為非線性迴歸
（Nonlinear Regsurp曲es线s拟i合o与n回）归。分析
2
線性迴歸：曲線擬合
觀察資料是美國自 1790 至 1990 年（以 10 年為一單位）的總人口，此資料可由載入檔案 census.mat 得到
通常不存在一組解來滿足這 21 個方程式。
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
sup曲线拟合与回归分析
8
第6章 线性回归与曲线拟合讲解
n
Lyy ( yi y)2 ， i 1
n
Lxy (xi x)( yi y) 。 i 1
b Lxy ， Lxx
a y bx 。
Y=a+bx
这就是说回归直线一定通过（x, y ）这一点，
即由各数据的平均值组成的点，这一点对作图是很重要的。
每个实验点（xi，yi）相对于回归直线存在着误差 yi Yi yi (a bxi ) ，
求误差平方和的最小值
令 Q 代表各实验点误差的平方和，则有：
n
n
Q ( yi Yi2 ) = ( yi a bxi )2 ，
i 1
i 1
使 Q 值最小，只需将上式对 a，b 求偏微分，并令其为零，
则 y Yi b(x xi ) ，
yi Yi ( yi y) b(xi x) ，
n
n
2
( yi Yi )2 ( yi y) b(xi x) ，
i 1
i 1
经变换、化简，
n
n
n
( yi Yi )2 ( yi y)2 b2 (xi x)2 ，
求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
L2xy
。
n
(yi y)2
n
数学建模优秀课件回归分析曲线拟合PPT文档共75页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
在曲线拟合APP中是如何进行线性回归分析的
在曲线拟合APP中是如何进行线性回归分析的线性回归是一种统计学方法，用来建立自变量和因变量之间的线性关系。
它假设自变量和因变量之间存在一个线性关系，即因变量是自变量的线性组合。
线性回归的目标是通过拟合模型，从数据中推测出自变量和因变量之间的关系，并预测新数据样本的因变量。
在线性回归中，自变量和因变量之间的关系可以用一个简单的公式来表示:y=a+b某其中，y是因变量，某是自变量，a是截距，b是斜率。
当我们拟合数据时，我们需要找到最佳的截距和斜率，使得模型的拟合效果最优。
我们可以使用梯度下降等算法来拟合线性回归模型，并计算出截距和斜率的最优值。
一旦我们得到了最佳的截距和斜率，我们就可以使用这个模型来预测新的数据样本了。
下面是线性回归的主要步骤：收集数据：首先，需要收集一个包含自变量和因变量的数据集。
确定回归模型：然后，需要选择一个适当的线性回归模型来拟合数据。
这通常涉及确定适当的模型假设、选择自变量等。
拟合回归模型：一旦确定了回归模型和自变量，就可以使用最小二乘法等方法来拟合回归模型，以使预测误差最小化。
评估模型：在拟合回归模型后，需要评估其拟合程度。
这可以通过计算拟合优度、检查残差图、Q-Q图和其他统计量来实现。
使用模型：最后，可以使用已拟合的回归模型来进行预测。
此时，给定自变量值，可以通过回归方程直接计算因变量的估计值。
需要注意的是，回归分析并不是一定要采用线性回归模型。
实际上，有许多其他类型的回归分析可以使用，如多元回归、非线性回归、广义线性回归等。
具体选择哪种回归分析方法，取决于数据的性质和研究问题的特征。
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并不一定落在回归直线上。
每个实验点（xi，yi）相对于回归直线存在着误差 yi Yi yi (a bxi ) ，
而增加；若 r＜0，则称 x 与 y 负相关，y 随 x 的增加而减小。R 的绝对值越接近于 1，x 与 y
的线性关系越好，当 x 与 y 之间没有任何依赖关系时，r=0。
相关关系的检验标准
在实际应用中，判断r值与1接近到何程度 时，才认为x与y是相关的，或者说，所配出的 回归方程才是有意义的，需要对照相关系数临 界值表来判断，当计算的相关系数r的绝对值 大于表中显著性水平为0.05 和相应的自由度 f=n-2下的临界值r0.05,f时，则表示y与x是显著相 关的。如显著性水平取0.01，r计算＞r0.01,f时， 则表示y与x有非常显著的相关关系。
12
由于 Yi a bxi ， y a bx ，
则 y Yi b(x xi ) ，
yi Yi ( yi y) b(xi x) ，
n
n
2
( yi Yi )2 ( yi y) b(xi x) ，
i 1
i 1
经变换、化简，
n
n
n
( yi Yi )2 ( yi y)2 b2 (xi x)2 ，
Ⅰ、首先将实验数据 t~cA 作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。
18
c（mol/L）
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
c, t关系图
10
20
30
40
t（min）
系列1
19
Ⅱ、选 y 1 型试探，将曲线变直，这时
ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
将上二式求解并简化即可求出 a，b。
n
( xi x)( yi y)
b i1 n
，
(xi x)2
i 1
a y bx 。
若以 L 代表离差，
n
Lxx (xi x)2 ， i 1
n
Lyy ( yi y)2 ， i 1
n
Lxy (xi x)( yi y) 。 i 1
b Lxy ， Lxx
i 1
i 1
i 1
n
n
( yi Yi )2
(xi x)2
i 1
1 b 2 i1
，
n
n
(yi y)2
(yi y)2
i 1
i 1
令相关系数 r 等于下式，
n
n
(xi x)2
( yi Yi )2
r 2 b 2 i1
1 i1
L2xy
。
n
(yi y)2
n
(yi y)2
Lxx Lyy
编号 拉伸倍数
x
13
5
14
5.2
15
6
16
6.3
17
6.5
18
7.1
19
8
20
8
21
8.9
22
9
23
9.5
24
10
强度 y
kgf/cm2 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
4
强度y
10 8 6 4 2 0 0
5
10
拉伸倍数x
15
5
从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
10
拉伸倍数x
15
7
6.2 一元回归方程的求法和配线过程
Y=a+bx； a--截距，b--斜率。
8
求计算值与实验值的误差
当 x 为 x1，x2，…，xn 时，则相应有 Y1=a+bx1， Y2=a+bx2，
…
Yn=a+bxn。 这些 Y1，Y2，…，Yn 是回归方程计算值，
由于在实际测定过程中存在着实验误差
数据，然后，作散点图，以便直观地观
察两个变量之间的关系。
合成纤维强度与拉伸倍数的关系， 24组实验。
3
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
编号 拉伸倍数
x
1
1.9
2
2
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
12
4.6
强度 y
kgf/cm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
i 1
i 1
由上式可知，当 y 与 x 之间存在严格的线性关系时，所有的数据点应落在回归线上，则有
yi=Yi，r2=1，当 y 与 x 之间存在相关关系时，r 值在 0 与 1 之间，r 是表示 y 与 x 相关程度的
一个系数，它的符号取决于回归系数 b 的符号，若 r＞0，则称 x 与 y 正相关，y 随着 x 的增加
第6章 线性回归与曲线拟合
1
线性回归
y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。
系数对比，求出常数
17
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，
试作出其经验方程。
浓度随时间的变化关系
时间
2
5
8 11 14 17 27 31
t(min)
浓度 cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391
Y=a+bx Y 是 y 的计算值，与实际值不完全相同。 Y 与 x 之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。 确定回归方程 Y=a+bx 中的回归系数 a、b。 y 随 x 增大，称为正相关； y 随 x 减小，称为负相关。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
6
强度y
10 8 6 4 2 0
0
5
-1
lnc， lnt 关系图
1
2
3
4
lnt
系列1
作 lnc ~lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这 个类型的经验公式更不适合了。
21
Ⅳ、又重新选型，选用 y=aebx 型，再试探
y=lncA
x=t
lnc， t 关系图
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
-1
a y bx 。
Y=a+bx
这就是说回归直线一定通过（x, y ）这一点，
即由各数据的平均值组成的点，这一点对作图是很重要的。
6.3 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
22
1/cA~ t 数表
T
2
5
8
11
14
1/cA
1.005 1.018
1.28
1.335 1.445
17 1.568
27 2.028
31 2.273
35 2.507
1/c
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
0
1/c， t 关系图
10
20
30
40
t
系列1
20
Ⅲ、再选用 y=axb 型作试探，将此曲线变直
y=lncA 算得：
求误差平方和的最小值
令 Q 代表各实验点误差的平方和，则有：
n
n
Q ( yi Yi2 ) = ( yi a bxi )2 ，
i 1
i 1
使 Q 值最小，只需将上式对 a，b 求偏微分，并令其为零，
Q a
n
2 ( yi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
a
bxi )
0
，
Q b
n
2 ( yi
i 1
a
bxi )xi
0
。
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从