第6章 线性回归与曲线拟合

将上二式求解并简化即可求出 a，b。
n
( xi x)( yi y)
b i1 n
，
(xi x)2
i 1
a y bx 。
若以 L 代表离差，
n
Lxx (xi x)2 ， i 1
n
Lyy ( yi y)2 ， i 1
n
Lxy (xi x)( yi y) 。 i 1
b Lxy ， Lxx
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
i 1
i 1
由上式可知，当 y 与 x 之间存在严格的线性关系时，所有的数据点应落在回归线上，则有
yi=Yi，r2=1，当 y 与 x 之间存在相关关系时，r 值在 0 与 1 之间，r 是表示 y 与 x 相关程度的
一个系数，它的符号取决于回归系数 b 的符号，若 r＞0，则称 x 与 y 正相关，y 随着 x 的增加
求误差平方和的最小值
令 Q 代表各实验点误差的平方和，则有：
n
n
Q ( yi Yi2 ) = ( yi a bxi )2 ，
i 1
i 1
使 Q 值最小，只需将上式对 a，b 求偏微分，并令其为零，
Q a
n
2 ( yi
i 1
a
Fra Baidu bibliotek
bxi )
0
，
Q b
n
2 ( yi
i 1
a
bxi )xi
0
。
-1
lnc， lnt 关系图
1
2
3
4
lnt
系列1
作 lnc ~lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这 个类型的经验公式更不适合了。
21
Ⅳ、又重新选型，选用 y=aebx 型，再试探
y=lncA
x=t
lnc， t 关系图
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
-1
i 1
i 1
i 1
n
n
( yi Yi )2
(xi x)2
i 1
1 b 2 i1
，
n
n
(yi y)2
(yi y)2
i 1
i 1
令相关系数 r 等于下式，
n
n
(xi x)2
( yi Yi )2
r 2 b 2 i1
1 i1
L2xy
。
n
(yi y)2
n
(yi y)2
Lxx Lyy
16
第7章 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
二元溶液的溶解热与浓度的函数关系 反应物的浓度与反应时间的函数关系 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关
求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
22
系数对比，求出常数
17
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，
试作出其经验方程。
浓度随时间的变化关系
时间
2
5
8 11 14 17 27 31
t(min)
浓度 cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391
1/cA~ t 数表
T
2
5
8
11
14
1/cA
1.005 1.018
1.28
1.335 1.445
17 1.568
27 2.028
31 2.273
35 2.507
1/c
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
0
1/c， t 关系图
10
20
30
40
t
系列1
20
Ⅲ、再选用 y=axb 型作试探，将此曲线变直
y=lncA 算得：
数据，然后，作散点图，以便直观地观
察两个变量之间的关系。
合成纤维强度与拉伸倍数的关系， 24组实验。
3
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
编号 拉伸倍数
x
1
1.9
2
2
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
12
4.6
强度 y
kgf/cm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
10
拉伸倍数x
15
7
6.2 一元回归方程的求法和配线过程
Y=a+bx； a--截距，b--斜率。
8
求计算值与实验值的误差
当 x 为 x1，x2，…，xn 时，则相应有 Y1=a+bx1， Y2=a+bx2，
…
Yn=a+bxn。 这些 Y1，Y2，…，Yn 是回归方程计算值，
由于在实际测定过程中存在着实验误差
Ⅰ、首先将实验数据 t~cA 作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。
18
c（mol/L）
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
c, t关系图
10
20
30
40
t（min）
系列1
19
Ⅱ、选 y 1 型试探，将曲线变直，这时
ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
a y bx 。
Y=a+bx
这就是说回归直线一定通过（x, y ）这一点，
即由各数据的平均值组成的点，这一点对作图是很重要的。
6.3 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
编号 拉伸倍数
x
13
5
14
5.2
15
6
16
6.3
17
6.5
18
7.1
19
8
20
8
21
8.9
22
9
23
9.5
24
10
强度 y
kgf/cm2 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
4
强度y
10 8 6 4 2 0 0
5
10
拉伸倍数x
15
5
从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
，因此，相应于 x1，x2，…，xn 就有实际测定值 y1，y2…，yn，y1，y2…，yn 与 Y1，Y2，…，Yn 是不等同的， 即实验点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
并不一定落在回归直线上。
每个实验点（xi，yi）相对于回归直线存在着误差 yi Yi yi (a bxi ) ，
12
由于 Yi a bxi ， y a bx ，
则 y Yi b(x xi ) ，
yi Yi ( yi y) b(xi x) ，
n
n
2
( yi Yi )2 ( yi y) b(xi x) ，
i 1
i 1
经变换、化简，
n
n
n
( yi Yi )2 ( yi y)2 b2 (xi x)2 ，
Y=a+bx Y 是 y 的计算值，与实际值不完全相同。 Y 与 x 之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。 确定回归方程 Y=a+bx 中的回归系数 a、b。 y 随 x 增大，称为正相关； y 随 x 减小，称为负相关。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
6
强度y
10 8 6 4 2 0
0
5
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应，
a 相当于反应物 A 的初始浓度 cA0。 b 相当于反应速率常数 k。
第6章 线性回归与曲线拟合
1
线性回归
y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。
而增加；若 r＜0，则称 x 与 y 负相关，y 随 x 的增加而减小。R 的绝对值越接近于 1，x 与 y
的线性关系越好，当 x 与 y 之间没有任何依赖关系时，r=0。
相关关系的检验标准
在实际应用中，判断r值与1接近到何程度 时，才认为x与y是相关的，或者说，所配出的 回归方程才是有意义的，需要对照相关系数临 界值表来判断，当计算的相关系数r的绝对值 大于表中显著性水平为0.05 和相应的自由度 f=n-2下的临界值r0.05,f时，则表示y与x是显著相 关的。如显著性水平取0.01，r计算＞r0.01,f时， 则表示y与x有非常显著的相关关系。