19.1.2矩形的性质(二)
矩形的定义和性质教案
§19.1.1矩形的定义及性质教学目标一、知识与技能1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．并找出矩形特有的性质。
2、发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．。
二、过程方法与问题解决1、通过图形的变化，经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；让学生掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点，经历观察、思考、合作、探究等数学活动；体会化归、建模、归纳等数学思想。
2、通过学习让学生理解、掌握矩形的性质，利用已有的学习经验解决矩形问题。
3、以多方位，多角度刺激学生参与课堂，运用知识解决问题。
三、情感态度与价值观1、通过亲身体验，理解并掌握知识，开拓了学生的视野，也提高了学生的生活实践能力。
2、让学生在自主探究中学到方法，学会合作，学会倾听，在解决问题的过程中体验成功。
3、培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值。
教学重难点重点：矩形定义及其性质难点：矩形的性质在解决问题中的应用教法与学法：团队合作、师生协作，开放式教学。
教学手段：平行四边形模型、实物展台、多媒体课件辅助教学。
教学流程一、复习回顾上节课我们学习了平行四边形，还记得什么样的四边形是平行四边形嘛？它都具有哪些性质？以问题的形式出现，让学生自主回忆并作答，加深对平行四边形的记忆，为本堂课做铺垫。
二、创设情境，导入新课课堂引入1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如桌面、教科书的封面等都有矩形形象．从学生的已有的知识出发，利用教具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。
1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
华东师大版八下数学第19章矩形,菱形和正方形19.1《矩形的性质》优秀教学案例
1.生活情境的创设：通过多媒体展示矩形在生活中的应用场景，使学生能够直观地认识到矩形的重要性，增强了学生的学习兴趣和实际应用意识。这种情境创设不仅引发了学生的学习兴趣，还使他们能够更好地理解矩形的性质和应用。
2.问题导向与小组合作：设计富有挑战性的问题，引导学生进行思考和探究，同时组织学生进行小组合作，培养了学生的团队合作意识和沟通能力。这种问题导向和小组合作的方式，使学生在解决问题的过程中提高了自己的能力，同时也培养了他们的合作精神。
在知识与技能方面，我力求使学生掌握矩形的性质，并能运用矩形的性质解决实际问题。通过观察、操作、思考、交流等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
在过程与方法方面，我注重培养学生的团队合作意识和沟通能力。通过小组合作探究，让学生在解决问题的过程中提高自己的能力，同时培养学生的合作精神。
在情感态度与价值观方面，我力求激发学生的学习兴趣，使他们认识到数学与实际生活的密切联系。树立正确的数学学习观念，培养勇于探究、勇于挑战的精神。
2.学生能够认识到数学与实际生活的密切联系，增强应用数学解决实际问题的意识。
3.学生能够树立正确的数学学习观念，培养勇于探究、勇于挑战的精神。
作为一名特级教师，我深知教学目标的重要性，它不仅关系到学生的学习效果，也关系到学生的成长和发展。因此，在制定教学目标时，我注重将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者紧密结合，力求在教学过程中实现学生的全面发展。
3.反思与评价：在教学过程中，我注重引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习矩形性质的方法和技巧。同时，组织学生进行自我评价和课堂评价，关注学生的学习态度、参与程度和成果。这种反思与评价的方式，使学生能够更好地认识自己的学习情况，提高了他们的自我认知能力。
§19.1.3 矩形的判定(二)
课题§19.1.4 矩形的判定（二）教学目标知识目标：通过探索和交流使学生逐步得出矩形的判定方法，使学生亲身经历知识发生发展的过程，并会用判定方法解决相关的问题。
能力目标：通过探究中的猜想、分析、类比、测量、交流、展示等手段，让学生充分体验得出结论的过程，让学生在观察中学会分析，在操作中学习感知，在交流中学会合作，在展示中学会倾听。
培养学生合情推理能力和逻辑思维能力，使学生在学习中学会学习。
情感目标：使学生经历探究矩形判定的过程，体会探索研究问题的方法，使学生在数学活动中获取成功的体验，增强自信心。
教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具学具多媒体课件教学内容及教师活动二次备课创设情境直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD（或OA=OC=OB=OD）∴四边形ABCD是矩形矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形实践应用例4：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．检测反馈1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A 对角线相等B 对角线垂直C对角线互相平分且相等D对角线垂直且相等2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是cm3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A 菱形B 平行四边形C 矩形D 不能确定4、如图，ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证四边形ABCD是矩形.5、如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证：AB=DE.6、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．交流反思这节课你有哪些收获？作业设计评价与反思。
华师大版八下数学19.1.2《矩形的判定》教学设计
华师大版八下数学19.1.2《矩形的判定》教学设计一. 教材分析《矩形的判定》是华师大版八下数学19.1.2的教学内容，本节课主要让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入矩形的定义和性质，引导学生探索矩形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
本节课的内容是学生进一步学习几何图形的基础，对于学生形成完整的几何知识体系具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了矩形的定义和性质，具备了一定的几何知识基础。
同时，学生通过之前的学习，已经掌握了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
然而，学生在运用矩形的判定方法解决实际问题时，仍然存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，深入理解矩形的判定方法，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握矩形的判定方法，能够运用矩形的判定方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：矩形的判定方法。
2.教学难点：运用矩形的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.自主探究法：引导学生通过自主学习，探索矩形的判定方法，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，促进学生之间的思维碰撞，提高学生的团队协作能力。
4.案例教学法：通过分析典型例题，引导学生运用矩形的判定方法解决问题，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习状况，设计教学方案。
2.学生准备：预习相关知识点，了解矩形的定义和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“判断一个四边形是否为矩形”，激发学生的学习兴趣，引导学生思考矩形的判定方法。
矩形的判定
19.1.2矩形的判定导学练习班级 号数 姓名 自我评价【知识准备】1、 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2、 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
3、 矩形的性质：（1）对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形；（2）边：矩形的两组对边分别平行且相等；（3）角：矩形的四个角都是直角(几何语言表述：在矩形ABCD 中，︒=∠=∠=∠=∠90D C B A ）（4）对角线：矩形的对角线互相平分且相等。
（几何语言表述：在矩形ABCD 中，AC=BD,OA=OB=OC=OD ）4、 等腰三角形的性质“三线合一”：在等腰三角形中(前提)顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合。
课前寄语：亲爱的同学们！请将以上几点理解并背熟，下节课我们将会用到它们哦，加油！期待同学们有出色的表现。
【新课知识点引学】矩形的判定方法:1、定义法： 有一个角是 的 是矩形；几何语言： ∵ 中 ， =︒90∴ 是矩形2、判定定理1: 有 个角是直角的四边形是矩形；几何语言： ∵ =︒90∴ 是矩形【寻找“直角”君】1、已知：AB⊥CD，垂足为点0, 则 =900AC O DB2、已知：AB∥CD, ∠A= 900, 则 = 9003、已知在△ ABC中，AB=3,BC=4,AC=5, 则 = 9004、已知在△ ABC中，AB=AC, AD平分∠BAC, 则 = 9005中，∠DAB和∠ABC的角平分线相交于点E，则 = 9006、如图，点O是直线AB上的一点，OE平分∠A0C, OF平分∠BOC,则 =900CE FA B【例题引学】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵ AB∥CD∴∠BAD + ∠ =︒180∵∠BAD=90°，∴∠ =︒180-900 =90°.∵ AB=5，BC=12，AC=13，满足2+2=2，∴是直角三角形，且∠ =90°，∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）【当堂检测】1、（课本第106页习题1）如图,中，AB=6,BC=8,AC=10求证：四边形ABCD是矩形2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BA C的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．【课后作业单】（第1、2、5题必做，第3题期中考分数105分以上同学选做，第4题A等级以上的同学选做）1、（课本第106页练习1）如图，AD、AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线，BE⊥AE，DA⊥BC.求证：四边形AEBD是矩形.2、（课本第124页第5题）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D =90°,AB=CD，求证：四边形ABCD是矩形。
19.1.2矩形的判定
线相等的平行四边形是矩形。
试一试
判断对错，并说明理由： ⒈对角线相等的四边形是矩形（ × ） ⒉对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ √ ⒊有一个角是直角的四边形是矩形（ ⒋有四个角是直角的四边形是矩形（ ⒌四个角都相等的四边形是矩形（ √
× ）
）
√
） ）
⒍对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形 （ × ） ⒎一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形 （ √ ） ⒏对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（ × ）
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 一个角是直角
平行四边形
矩形
边
矩形的对边平行且相等
矩 形 的 性 质
角
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的两条对角线相等且互相平分
1、记住矩形的判定方法
2、会灵活运用判定方法判断四边
形是否为矩形 3、在探索矩形的判定条件的过程 中,进一步发展推理论证的能力
思 考
有一个角是直角的 四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的 四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的 四边形是矩形吗？
归纳：有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：有三个角是直角的四边形是矩形。
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. A D 求证:四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180° . ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形（有一 个角是直角的平行四边形是矩 形）
a
达标检测
b
矩形的判定方法
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的平行四边形是矩形
2020-2021学年华东师大版数学八年级下册同步训练：19.1.1 第2课时 矩形性质的应用
19.1.1第2课时矩形性质的应用知识点1利用矩形的性质计算角的度数1.如果矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那么对角线与相邻两边所夹的角的度数分别是()A.22°,68°B.44°,66°C.24°,66°D.40°,50°2.在矩形ABCD中,过点D作DE⊥AC于点E.若∠ADE∶∠EDC=3∶2,则∠BDE的度数为()A.36°B.9°C.27°D.18°3.如图在矩形ABCD中,连结AC,延长BC至点E,使BE=AC,连结DE.若∠BAC=40°,则∠E的度数是.知识点2利用矩形的性质计算线段的长度4.[2019·眉山]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是()A.1B.C.2D.5.如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3 cm和5 cm的两部分,那么矩形的较短边长为()A.3 cmB.5 cmC.3 cm或5 cmD.以上都不对6.[教材例3变式]如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,CE垂直平分DO,AB=1,则BE 的长度为()A.B.C.D.27.如图在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上.若MA平分∠DMB,则DM的长是.8.如图在矩形ABCD中,AB=6,AD=10.以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E;以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F.求EF的长.知识点3利用矩形的性质解决与面积有关的问题9.[教材练习第1题变式]如图,四边形ABCD和四边形BDEF均为矩形,点A在EF边上,设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为()A.S1=S2B.S1>S2C.S1<S2D.3S1=2S210.如图,矩形ABCD的对角线的交点为O,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.B.C.D.11.如图在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AC交BC于点E,CE=5,则矩形ABCD的面积为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=3 cm,E是CD的中点,BF=FC,则四边形DBFE的面积为.13.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E.若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中等腰三角形(虚线也视为角的边)共有()A.2个B.3个C.4个D.5个14.如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE,交AB于点F,DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF.求AE的长.15.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于G,H两点.求证:(1)四边形AFCE是平行四边形;(2)EG=FH.16.某研究性学习小组在探究矩形时,将一块三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图,图中M,N分别为三角板的直角边与矩形ABCD的边CD,BC的交点.(1)该学习小组中的一名成员意外地发现:在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角板的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.(2)试探究图②中BN,CN,CM,DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.教师详解详析1.A[解析] 根据矩形的对角线相等且互相平分,四个角为直角求解.2.D[解析] 如图,∵∠ADE∶∠EDC=3∶2,∠ADC=90°,∴∠ADE=54°,∠EDC=36°.又∵DE⊥AC,∴∠DCE=90°-36°=54°.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=54°,∴∠BDE=∠ODC-∠EDC=54°-36°=18°.故选D.3.65°[解析] 连结BD,与AC交于点O.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∴∠ABD=∠BAC=40°,∴∠DBE=90°-∠ABD=90°-40°=50°.∵AC=BD,AC=BE,∴BD=BE,∴在△BDE中,∠E=(180°-∠DBE)=×(180°-50°)=65°.4.B[解析] 连结CE,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC.∵EF⊥AC,∴AE=CE.设DE=x,则CE=AE=8-x.在Rt△CDE中,由勾股定理,得x2+62=(8-x)2,解得x=,即DE=.故选B.5.C6.A[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OD=OC.∵CE垂直平分OD,∴OC=CD,OE=DE=OD,∴OC=OD=OB=1,则OE=,∴BE=1+=.故选A.7.2-[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,CD=AB=2.∵MA平分∠DMB,∴∠AMD=∠AMB.又∵AB∥CD,∴∠AMD=∠MAB,∴∠AMB=∠MAB,∴BM=AB=2.在Rt△BMC中,CM==,∴DM=CD-CM=2-.故答案为2-.8.解:如图,连结DF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=6,AD=BC=10.∵以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E,∴BE=6.∵以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F,∴DF=10.在Rt△DFC中,CF===8.∵EF=BE+CF-BC,∴EF=6+8-10=4.9.A[解析] ∵S1=2S△ABD,S△ABD=S2,∴S1=S2.故选A.10.B[解析] ∵矩形ABCD的边AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.在矩形ABCD中,OB=OD.在△BOE和△DOF中,∵∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(A.S.A.),∴S△BOE=S△DOF,∴阴影部分的面积=S△AOB=S矩形ABCD.故选B.11.32[解析] 连结AE.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∠ABC=90°,BC=AD=8,∴BE=BC-CE=3.∵OE⊥AC,∴AE=CE=5,∴AB===4,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=8×4=32.故答案为32.12.6 cm2[解析] ∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,E是CD的中点,∴∠C=90°,AB=DC=6 cm,DE=CE=3 cm.∵BC=3 cm,BF=FC,∴CF=2 cm,BF=1 cm,∴四边形DBFE的面积=S△BDC-S△CEF=×6×3-×3×2=6(cm2).故答案为6 cm2.13.B[解析] 由矩形的性质,得∠ABC=∠A=∠C=90°,AD∥BC,∴∠BDE=∠DBC=22.5°,由折叠的性质,得∠C'BD=∠DBC=22.5°.∠C'=∠C=90°,∴∠CBC'=45°,∠C'BD=∠BDE,∴∠ABE=45°,∴△ABE,△BDE是等腰三角形,∴∠C'ED=∠AEB=45°,∴△C'DE是等腰直角三角形,∴图中的等腰三角形共有3个.故选B.14.解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠CED+∠DCE=90°.∵EF⊥CE,∴∠CEF=90°,∴∠CED+∠AEF=90°,∴∠DCE=∠AEF.又∵CE=EF,∴△DCE≌△AEF,∴CD=AE.由题意可知2(AE+DE+CD)=16且DE=2,∴2AE=6,∴AE=3.15.[解析] (1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)证明EG和FH所在的△DEG,△BFH全等即可.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,即AE∥CF.∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=AD,CF=BC,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.(2)由(1)可知,DE=BF.∵四边形AFCE是平行四边形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠DHA=∠BHF.∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH.在△DEG和△BFH中,∵∠DGE=∠BHF,∠EDG=∠FBH,DE=BF,∴△DEG≌△BFH,∴EG=FH.16.解:(1)选择不唯一,如选图①.如图①,连结DN.∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD.∵∠DON=90°,∴BN=DN.∵∠BCD=90°,∴DN2=CD2+CN2,∴BN2=CD2+CN2.(2)BN2+DM2=CM2+CN2.理由:如图②,延长NO交AD于点P,连结PM,MN.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO.在△BON和△DOP中,∵∠NBO=∠PDO,∠BNO=∠DPO,OB=OD,∴△BON≌△DOP(A.A.S.),∴ON=OP,BN=PD.∵∠MON=90°,∴PM=MN.∵∠ADC=∠BCD=90°,∴PM2=PD2+DM2,MN2=CM2+CN2,∴PD2+DM2=CM2+CN2,∴BN2+DM2=CM2+CN2.。
矩形性质[五篇范文]
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矩形性质[五篇范文]第一篇：矩形性质矩形性质：1.矩形的四个角都是直角2.矩形的对角线相等且互相平分3.对边相等且平行4.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等5.矩形是轴对称图形，对称轴是任何一组对边中点的连线矩形判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.有三个角是直角的四边形是矩形4.四个内角都相等的四边形为矩形5.关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6.对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
矩形的中点四边形是菱形。
菱形性质对角线互相垂直且平分；四条边都相等；对角相等,邻角互补；每条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线判定一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四边相等的四边形是菱形关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形。
第二篇：矩形的性质的教学反思数学学习应体现以教师为主导、以学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。
在教学“矩形的性质” 一课时反思如下：1、手脑并用，走进课堂以“一个活动的平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了合本质相关的认知结构，取得了良好的教学效果。
2、探索理解。
平行四边形变形为矩形的过程的演示；同时举例生活中给人以矩形形象物体；给学生一个感性认知。
学生画矩形；学生探究矩形性质时通过学生主动观察、猜想、测量、交流、归纳、并验证等数学活动；从而使学生形成对矩形的性质的理解和有效的学习策略，引导学生利用实验由特殊到一般认识的对矩形的性质研究，得出结论，并让所有的学生用推理的形式给以证明。
矩形重点知识点总结
矩形重点知识点总结一、矩形的定义矩形是一个特殊的四边形，有如下几个特点：1. 四条边两两相等；2. 两条对边互相平行；3. 两条对角线互相垂直且相等；4. 每个角是直角。
二、矩形的性质1. 对角线矩形的对角线相等，可以用勾股定理证明：设矩形的长为a，宽为b，对角线为d，有d^2 = a^2 + b^2。
因此，矩形的对角线相等。
2. 周长矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2(a + b)。
3. 面积矩形的面积等于长和宽的乘积，即ab。
4. 对边矩形的两条对边相互平行且长度相等。
三、矩形的计算公式1. 周长周长C=2(a+b)其中a代表矩形的长，b代表矩形的宽。
2. 面积面积S=a*b其中a代表矩形的长，b代表矩形的宽。
四、矩形的相关定理1. 如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，则这个四边形是矩形。
2. 如果一个四边形的对边相等且互相平行，则这个四边形是矩形。
3. 矩形的对角线相等。
五、矩形的相关题型1. 已知周长求面积如果已知矩形的周长C和长a，可以用如下公式求出面积S：S = (C-2a)*a2. 已知面积求周长如果已知矩形的面积S和长a，可以用如下公式求出周长C：C=2(a+√S)六、矩形的常见应用1. 房屋设计在房屋设计中，矩形是常见的房间布局形状，较为简洁方便。
2. 画框制作制作画框时常采用矩形的形状，易于制作。
3. 园艺设计在园艺设计中，矩形的围墙、花坛等结构也常见矩形的形状，易于建造。
4. 地板铺设地板铺设时，地砖、木地板等材料常常使用矩形形状，便于铺设。
总之，矩形是高中数学中的一个重要知识点，掌握好矩形的定义、性质、计算公式和相关定理对于学习数学和应用数学都有重要意义。
希望本文能对大家的学习有所帮助。
(课件) 19.1.2矩形的判定2
又∵AE∥DC ∴四边形ADCE是平行四边形
B
C
D
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
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本节课你学习图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC， EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
例6 如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC垂足为点
D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB交
AG于点E，求证：四边形ADCE是矩形。
证明：∵AB=AC,AD⊥BC ∴∠B=∠ACB,BD=CD 又∵AG是∠FAC的平分线，
F
A
1E
G
2
1 1 CAF 1 (B ACB) B B
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角D 形。
∴∠AOB=∠CDB=60°
C
又∵M,N是BC,AD边的中点。
N
M
∴BN⊥AD,DM⊥BC, ∠BDM=30° A ∴∠DNB=∠DMB=90 °
B
∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°
∴四边形BMDN是矩形(三个角都是直角的四边形是矩形）
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2
2
∴AE∥BC
又∵ DE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形
C D
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例6 如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC垂足为点
D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB交
AG于点E，求证：四边形ADCE是矩形。 F
A
E
G
∴AE=BD,AB=DE
∴AC=DE,AE=DC
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19.1.2矩形的判定（课件）
新知讲解 例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外 角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E． 求证：四边形ADCE是矩形．
分析：根据已知条件AB＝AC，我们可以先通过证 明四边形ABDE是平行四边形，得到DE＝AB＝AC， 因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这 一判定定理证明四边形ADCE是矩形．
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
□ABCD
□ ABCD
A
AC = BD
是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？ B 结论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
AOCO,BO DO
AC BD
四边形ABCD 是矩形
D
O C
新知讲解
你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？用什么方法？为什么？ 1、测量相框的对角线是否相等来判断所做的相框是否是矩形．因为对角线 相等的平行四边形是矩形． 2、测量相框的三个内角是否是直角来判断所做的相框是否是矩形．因为有 三个角是直角的四边形是矩形．
课堂练习
3．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为 53cm，这个桌面 合格 ．（填“合格”或“不合格”）． 4．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工 人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书 架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
课堂练习
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一 个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ D ） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 2．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（ B ） A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
矩形综合知识点总结
矩形综合知识点总结一、矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，其拥有两对相等的对边，并且每一对相对的边都是平行的。
同时，矩形的内角均为90度。
换句话说，矩形是一种特殊的平行四边形，其具有如下特点：四边相等，对角线相等，内角为90度，相邻角相加为180度。
二、矩形的特性1.两对对边相等矩形拥有两对相等的对边，即AB=DC，AD=BC。
2.角度特性矩形的内角均为90度，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
此外，相邻角的和为180度，即∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。
3.对角线性质矩形的对角线是相等的且平分彼此，即AC=BD以及AC与BD相互平分。
4.尺规作图矩形的特性使得它成为了尺规作图中一个重要的图形。
可以利用矩形的对角线性质进行尺规作图。
三、矩形的性质1.面积矩形的面积等于其长和宽的乘积，即S=长*宽。
这是矩形的一个重要性质，可以通过这个公式计算矩形的面积。
2.周长矩形的周长等于其长和宽的两倍之和，即P=2*(长+宽)。
3.对角线长度矩形的对角线长度可以通过勾股定理来计算，即对角线的长度等于长和宽的平方和的平方根，即d=√(长²+宽²)。
4.装订问题在现实生活中，经常会遇到长方形物体需要用绳子或者胶带来固定的情况。
这时候就需要考虑长方形的对角线长度，以便确定合适的尺寸。
5.矩形的判断矩形的判断方法有多种，常见的方法包括通过边长检验、通过对角线长度检验、通过角度检验等。
6.矩形的判定定理有许多关于矩形的判定定理，包括矩形对角线相等定理、矩形两对边平行且相等定理、矩形对角线垂直定理等。
7.矩形的分类根据矩形的特性和性质，可以将矩形进行分类，包括正矩形、直角矩形、等腰矩形、菱形、正方形等。
8.矩形的变换矩形可以进行平移、旋转、镜像等变换，这些变换可以改变矩形的位置、角度和大小。
9.矩形的分割将矩形进行分割可以得到许多有趣的图形，包括平行四边形、三角形、梯形等。
19.1.2矩形的判定2
例4.如图,矩形ABCD的两对角线交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别 交AD、BC于点E、F,连接CE,已知△CDE的周长为24 cm,求矩形ABCD 的周长. 解: ∵四边形ABCD矩形 ∴点O为AC中点 ( ? ) ∵EF垂直AC ∴EF是AC的中垂线 ∴EA=EC ( ? ) ∵△CDE的周长为24cm, ∴DC+DE+EC=24cm x E B A 即:DC+AD=24cm 2 3 ∴C矩形ABCD=2×24=48cm. x 练习:如图,在矩形ABCD中,AE=BF=3,EF⊥ED 1 F 交BC于点F,矩形的周长为22,求EF的长. C D
作者:李先贵(平昌县信义小学)
10
1.弄清矩形的性质与判定的区别与联系.并能熟练应用. 2.会应用矩形的性质与判定来证明和计算一些几何问题. 3.进一步理解矩形与平行四边形之间的关系. 4.矩形(平行四边形)与勾股定理、等腰三角形、中垂线及
全等的综合应用，学会看图与读题，理顺已知与未知关系， 并在头脑中构思好解答步骤，然后写出解答过程.
8 16 x x 2
2 2
解得：x=10 即：DE=10
A
练习:将一个边长分别为4、8的矩纸片 ABCD折叠,使C与A重合,求折痕EF的长.
x x 3 8-x
E
F
D
4
B
N
C
作者:李先贵(平昌县信义小学)
9
巩固练习
A
D
1.如图,矩形ABCD两条对角线相交于点O: O 若AB=3,BC=4，则△AOB的周长为 8 ； C B 若矩形的对角线长10㎝,一条边长6cm,则矩形的面积= 10cm . 若∠AOB=60°,AB=4，则△AOB是 正 三角形,对角线BD= 8 . 2.矩形ABCD中，两条对角线的夹角为60°，并且较短边AB与对角线 AC的和为6cm，则较长边BC的长为_____ 2 3 3.一个矩形的对角线长为8，对角线与一边的夹角是45°，则矩形 的两邻边长为_____ 4 2 4 _. 2 4.在矩形ABCD中,AB=3,BD=5交于O,则△AOB的周长为 8 ,△AOB的 面积为 3 ． 5.一条直线把矩形的周长平分，这样的直线有 无数 条.
1.2矩形的性质及判定(最新整理)
A
D
B
C
【例15】☆如图，有一矩形纸片 ABCD ， AB 10，AD 6 ，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE ， 在将 AED 以 DE 为折痕向右折叠， AE 与 BC 交于点 F ，则 CEF 的面积为
A
BA
D
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
BA
F
D
C
E
C
E
C
【巩固】如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为
PF BH 交 BH 于点 F ，当 AB，BC 满足条件
时，四边形 PEHF 是矩形
【例2】 如图，在四边形 ABCD 中， ABC BCD 90 ， AC BD ，求证：四边形 ABCD 是矩形．
A
D
13.1.2 矩形的性质和判定
讲义·学生版
B
C
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【巩固】☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
矩形的性质 及判定
中考要求
知识点 A要求
B要求
Ｃ要求
掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判 会运用矩形的知识解决有关
矩形 会识别矩形
定解决简单问题
问题
中考要求
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中， 30 角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的性质知识点总结
矩形的性质知识点总结矩形是我们常见的几何形状之一，具有一些独特的性质和特点。
在本文中，我们将对矩形的性质进行详细总结。
请注意，本文将采用总结性文字描述的方式，以便清晰地介绍矩形的性质。
1. 定义：矩形是一个四边形，其中相对的边是平行的，并且对角线相等且相交于垂直的点。
矩形的四个内角是直角（90度）。
2. 边长关系：矩形的相对边长相等，也就是说，相邻的边是相等的。
如果一个矩形的长度为L，宽度为W，则其周长等于2(L + W)。
3. 面积计算：矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积来计算，即面积 = 长度 ×宽度。
如果一个矩形的长度为L，宽度为W，则其面积为LW。
4. 对角线关系：一般情况下，矩形的对角线并不相等。
然而，在特殊情况下，即正方形中，对角线是相等的。
对角线相等并且垂直相交的特性使得矩形有更多的几何性质。
5. 对称性：矩形是一个对称图形，具有两个对称轴。
一个矩形可以有两个对称轴：一个通过中点的垂直轴和一个通过中点的水平轴。
这些对称轴将矩形分为四个完全相同的部分。
6. 相似性：当两个矩形的对应边长比例相等时，我们可以说这两个矩形是相似的。
相似的两个矩形具有相同的形状，但大小可能不同。
7. 矩形的角特性：矩形的四个内角都是直角（90度）。
此外，相邻两个内角的和为180度。
例如，如果一个内角的度数是x度，则与其相邻的内角的度数为(180 - x)度。
8. 矩形与其他几何形状的联系：矩形在几何学中与其他几何形状有许多联系。
例如，矩形的一条边可以与一个正方形的边相等，其对角线可以与一个菱形的边相等，等等。
总结：矩形具有许多特殊的性质和特点，包括对称性、直角角度、相等的对角线等。
矩形的边长、面积和周长之间有一些关系，可以通过简单的计算方法得出。
了解和熟悉这些性质对于几何学的学习和问题解决非常重要。
无论是在学校还是在日常生活中，矩形都是我们经常会遇到的形状之一，理解其性质有助于我们更好地理解周围的世界。