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(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且矩阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末复习题

线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。

线性代数期末复习题目

一.单项选择题1.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是【】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [五.特征值,特征向量]2. 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为A,B 的伴随矩阵，则【】.(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [二.四.矩阵及其运算,行列式]3.设矩阵A =33)(⨯ij a 满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为【】.(A) 33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [二.四.伴随矩阵,行列式]4.设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB ,C =A +CA ，则B -C 为【】(A) E . （B ）-E . （C ）A . (D) -A [二.矩阵及其运算]5 .设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【】（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.[二.向量组的线性相关性]6.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则【】（A ）1.-=C P AP （B ）1.-=C PAP （C ）.=T C P AP （D ）.=TC PAP[二.矩阵及其运算,初等矩阵]7.设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量 A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是【】(A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 (C) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (D) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 [二.向量组的线性相关性]8.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是【】 (A) 122331,,;---αααααα (B) 122331,,;+++αααααα (C)1223312,2,2;---αααααα (D) 1223312,2,2+++αααααα. [二.向量组的线性相关性]9.设矩阵211100121,010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，则A 与B 【】(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 既不合同也不相似.[五.矩阵的相似与合同]10.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ，则【】 (A) -E A 不可逆，+E A 不可逆. (B) -E A 不可逆，+E A 可逆. (C) -E A 可逆，+E A 可逆. (D) -E A 可逆，+E A 不可逆.[二.矩阵及其运算,逆矩阵]11.设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【】 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3. [五.矩阵的特征值]12.设1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 则在实数域上与A 合同的矩阵为【】 (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(B) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(C) 2112⎛⎫⎪⎝⎭.;(D) 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.[五.矩阵的合同]13.设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为【】.（A ）101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ）111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. [三. 向量空间，基，过渡矩阵]14.设 A ,B 均为 2 阶矩阵，,**A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A |=2，|B |=3，则分块矩阵00⎛⎫⎪⎝⎭A B 的伴随矩阵为【】. （A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A BO [二. 三..四.伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵，行列式]15.设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且TP A Ｐ＝100010002 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为【】.（Ａ）2101 ⎛⎫ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｂ）11012000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎝⎭ （Ｃ）20001 ⎛⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｄ）100020002 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭[二. 四.伴随矩阵，分块矩阵的行列式与逆矩阵]16.设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则【】.（A ）a =0,b =0（B ）a =0,b ≠0 （C ）a ≠0,b =0 （D ）a ≠0,b ≠0.[一. 矩阵的秩]17.设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则|-2*A |=【】.（A ）52-; （B ）32-; （C ）32 ; （D ）52.[四. 伴随矩阵，方阵的行列式]二.填空题1.设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ，那么=B .[四.方阵的行列式]2. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a = . .[二.四.向量组的线性相关性,行列式] 3.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[四.方阵的行列式]4.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[二.矩阵及其运算]5. 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)=+-A a a a a ，12(,)=B a a .若行列式||6=A ，则||B = .[四.方阵的行列式] 6．设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 . [二.矩阵及其运算,矩阵的秩]7．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10,=A α，2122=+A ααα则A 的非零特征值为 .[五.矩阵的特征值]8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14--=A E .[五.矩阵的特征值,行列式]9.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式248=-A ,则λ= . [五.矩阵的特征值,行列式]10.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 则A 的秩为 . [五.矩阵的特征值,行列式]11.若 3 维向量,a β满足2=Taβ，其中T a 为a 的转置，则矩阵T a β的非零特征值为______.[五.矩阵的特征值与特征向量]12.设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若T β相似于200000000 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，则T βα=___________[五. 相似矩阵，特征值]13.设(1,1,1),(1,0,)k ==αβ，若矩阵Tαβ相似于300000000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，则k =_______[五. 相似矩阵，特征值]14.设向量组(1,0,1),(2,1),TTk ==-αβ(1,1,4)=--Ty 线性相关，则k =______ [二.四. 向量组的线性相关性，行列式]三 .解答题1.已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ）求a 的值；（II ）求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求方程),,(321x x x f =0的解. [五. 二次型,矩阵的特征值, 特征向量,正交变换]2.已知三阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵12324636⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B k （k 为常数），且AB =O , 求线性方程组Ax =0的通解.[二.线性方程组,基础解系,矩阵]3.确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. [二.向量组的线性相关性]4.已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 (ii)⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值. [一.线性方程组求解]5.设⎛⎫= ⎪⎝⎭TAC D CB 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算TP DP ，其中1-⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭mn E A C P OE ；（II ）利用(I)的结果判断矩阵1--T B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. [五.分块矩阵,正定矩阵]6.设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足 1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα.(I) 求矩阵B , 使得123123(,,)(,,)=A B αααααα；（II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]7.已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2R A =; （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. [二.线性方程组求解]8.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()11,2,1Tα=--,()20,1,1Tα=-是线性方程组0=Ax 的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得=TQ AQ Λ;.(Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]9.设4维向量组()11,1,1,1,Ta ∂=+()22,2,2,2,Ta ∂=+()33,3,3,3,Ta ∂=+()44,4,4,4Ta ∂=+.问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关? 当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. [二.向量组的线性相关性]10.设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解. [二.线性方程组求解]11.设3阶实对称矩阵A 的特征值2,2,1321-===λλλ，且T )1,1,1(1-=α是A 的属于1λ的一个特征向量。

线性代数期末复习题

线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( )2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( )3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( )4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( )5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( )6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( )7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( )8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( )9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( )二、单项选择题 1. 设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ( )n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D (2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )33 )A ( 33 )B (- 56 )C ( 56 )D (-3. 四阶行列式111111111111101-------x 中x 的一次项系数为 ( )1 )A (-1 )B ( 4 )C (4 )D (- 4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )12 )A (D D =12 )B (D D -= 12)1(2)1( )C (D D n n --=1)1(2)1( )D (D D n n --=5. n 阶行列式abb a b a b a D n 0000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=的值为 ( ) n n b a + )A ( n n b a - )B (n n nb a 1)1( )C (+-+ )( )D (b a n +6. 已知,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )1 )A (2 )B (- 2 )C (3 )D (7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )15 )A (+n 15 )B (-n 15 )C (--nn -5 )D (8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则下列运算结果是m 阶方阵的是 ( )AB )A (T T )B (B ABA )C (T )( )D (B A +9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ()E A = )A (E B = )B ( B A = )C ( BA AB = )D (10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( )O B O A == )A (或 O B A =+ )B (0 0 )C (==B A 或 0 )D (=+B A11. 设A 是方阵，若有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( )O A = )A ( O A C B =≠ )B (时 C B O A =≠ )C (时C B A =≠ 0 )D (时12. 已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211 ,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )B P AP =21 )A ( B P AP =12 )B ( B A P P =12 )C ( B A P P =21 )D (13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是 ( )A B AB 11 )A (--- A B AB 11 )B (--+ AB B 1 )C (- 2 )D ()(AB14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 若A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 若A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 若A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 下列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵 16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为0 17. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ，(2) BAC = E ，(3) CAB = E ，(4) CBA = E中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )AE -1)A ( 1 )B (--A E s A A A +++... )C (2 1... )D (-+++s A A E 19. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. 已知A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )3 )A (=*)(A R2 )B (=*)(A R1 )C (=*)(A R0 )D (=*)(A R21. 已知43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T 的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=++++++)(... )( )(222111s s s βαβαβαλλλ(C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=-++-+-)(... )( )(222111s s s βαβαβαλλλ(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( )32 , , )A (αα0321 ,2 , )B (ααα133221 , , )C (αααααα+++133221 , , )D (αααααα---25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 下列命题中正确的是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关(B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. 已知A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. 已知A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( )m R <),( )A (b An R <),( )B (b A m R =),( )C (b A n R =),( )D (b A31. 已知n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A1)( )B (-=n R A0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 已知21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则下列结论错误的是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B))(2121ηη+是b Ax =的一个解 (C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 若4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的基础解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 基础解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 若η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)ξηC + )A (ξηC C + )B ( ξηC C - )C ( ξη+C )D (36. 已知n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( )1 )A (αk2 )B (αk)( )C (21αα+k)( )D (21αα-k37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n0 )B (≠A(C) A 的特征值都等于零(D) A 的特征值都不等于零38. 已知A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则下列矩阵中是可逆矩阵的是 ( )E A - )A (E A + )B ( E A 3 )C (+ E A 2 )D (-39. 已知21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的内积等于零40. 已知A 是一个)3( ≥n 阶方阵，下列叙述中正确的是 ( )(A) 若存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 若存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若321 , ,λλλ是A 的三个互不相同的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 已知0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )3 )A (≤k3 )B (<k 3 )C (=k 3 )D (>k42. 矩阵A 与B 相似，则下列说法不正确的是 ( )(A) R (A ) = R (B )(B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有相同的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组45. 已知A 是正交矩阵，则下列结论错误的是 ( )1 )A (2=AA )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. 已知A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有相同的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 已知44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 已知三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为.3. 已知022150131=---x ，则x = . 4. 已知A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. 已知A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行列矩阵.8. 已知矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. 已知T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，若321 , ,ααα线性相关，则x ，y 满足关系式 .11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，若21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为 .14. 已知A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系中含有解的个数为 .15. 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a = .16. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足 .17. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则x = .18. 已知向量α、β的长度依次为2和3，则向量内积[, ]+-=αβαβ .19. 已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ ，c = .20. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a = ，b = . 21. 已知三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为 . 22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形),,,,(54321z z z z z f 为 .23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为 .24. 已知二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 已知二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足 .四、行列式计算1. 已知A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 已知行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010...201...02MOM M =n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xaa ax D n .........MO M M =.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012M M O M M M =n D .6. 计算行列式dx cbad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (3)212121+++=n n n n x x x x x x x x x D M O M M .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求X .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵X 满足关系式E B C X =-T )(，求X .5. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求X .6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规范正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；若是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x k x x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 已知非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A M=，A 经过初等行变换为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λM M M A ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系；(2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，若方阵A 与B 相似，求x 、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值.3. 已知三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 已知矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵.8. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵.九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 已知向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 已知方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n AA .6. 已知向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 已知向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b 线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个基础解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. 已知A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 已知方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. 已知A 为正交阵，k 为实数，证明：若A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 若A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。

线性代数复习题

,
2 )T 3
，= α 2
(
2 3
,
1 3
,
−
2 )T 3
，α=3
( 2 , − 2 , 1)T 是 R3 的一组标准正 3 33
交基，则向量 β = (1,1,1)T 在这组基下的坐标为
.
28．设矩阵 A 的特征多项式 λE − A = (λ + 1)(λ + 5)(λ + 7) ，则 A−1 = __ _ .
A.
r
(α1
,
α
2
,
,
α
r）≥
r(β1,
β
2
,
,
βs )
B. r ≥ s
C. r(α1,α2 ,,αr）≤ r(β1, β2 ,, βs )
D. r ≤ s
14．设α1 , α2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则下列仍为线性方程组 AX = b 的解的
（
）.
A. α1 + α2 B. α1 − α2
3.
已知向量组 α1
=
−421,α
2
=
3 1 2
,α
3
=
−5 3 6
,
α
4
=
−2 2 0
,α
5
=
−8611,
.求向量组的秩
和一个极大线性无关组；将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a
4.
已知线性方程组
3x1
+2 x2
− 1
1
β1 = 1 ， β 2 = 1 ，则 AX = b 的全部解可表示为

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《线性代数》复习一：选择题a11 a12 a13 2a11 2a12 2a131.如果a21 a22 a23 = M，则2a21 2a22 2a23 = （）a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33A. 8MB. 2MC. MD.6M2. 若 A，B 都是方阵，且 |A|=2， |B|=-1，则 |A -1B|= （）A. -2B.2C. 1/2D. –1/23. 已知可逆方阵 A 1 3 7则 A （）1 2A. 2 7B.2 7C.3 7D.3 7 1 3 1 3 1 2 1 24. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A.AOB. r(A)> 0C. r(A)< nD. r( A) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 A O 且 AB O 则下列结论必成立的是（）A. BA OB. B OC. (A B)( A B) A2 B2D. (A B)2 A2 BA B26. 下列各向量组线性相关的是（）A. 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) 3 (0 0 1)B. 1 (1 2 3) 2 (4 5 6) 3 (2 1 0)C. 1 (1 2 3) 2 (2 4 5)D. 1 (1 2 2) 2 (2 1 2) 3 (2 2 1)7. 设 AX b 是一非齐次线性方程组 1 2 是其任意 2 个解则下列结论错误的是（）A. 1 2是 AX O 的一个解 B. 1 12是 AX b 的一个解+ 2 1 2C. 1 2是AX O 的一个解D.2 1 2是AX b 的一个解8. 设 A为 3阶方阵 A的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 3 6 9C.12 3D. 1 1/2 1/39. 设 A 是 n 阶方阵且 |A| 2 A*是 A 的伴随矩阵则 |A*| （）A. 1B. 2nC. 1D. 2n 12 2 n 11 y 210. 若 x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案 :1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设30 ，则取值为（）2 1A. λ=0 或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0 且λ≠ -3D. λ≠02. 若 A 是 3 阶方阵，且 |A|=2， A* 是 A 的伴随矩阵，则 |A A* |=（）A. -8B.2C.8D. 1/23. 在下列矩阵中可逆的是（）0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0 A. 0 1 0B.2 2 0 C. 0 1 1D. 1 1 10 0 10 0 1 1 2 11 0 14. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A+3E O 则 A 1 （）A. EB. 1C. 2A 3ED. A(2E A)31 a a a5. 设 Aa 1 a aa a 1 a ,若 r(A) 1, 则 a （）aaa 1A.1B.3C.2D.46.x 1 x 2 x 3 0,若齐次线性方程组x 1 x 2x 3 0, 有非零解则常数（）x 1 x 2 x 3 0A.1B.4C.2D.1 7. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论正确的是（）A. BA ABB.(A B)2 A 2BA ABB 2C. (A B)(A B) A 2B 2D. (A B)2A 22 AB B 28. 已知 1(10 0) 2(200)3 (0 0 3) 则下列向量中可以由123 线性表示的是（）A. (1 2 3)B.(12 0)C. (0 2 3)D. (3 0 5)9. n 阶方阵 A 可对角化的充分条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B.A 的不同特征值的个数小于 nC. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为fy 12y 223 y 32 ，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4 阶方阵，且 |A|=2，则 |-2A |=（）A. 16B. -4C. -32D. 32 2. 3 4 6行列式 k 5 7 中元素 k 的余子式和代数余子式值分别为（）1 2 8A. 20， -20B.20，20C. -20，20D. -20，-203. 已知可逆方阵 A2 7则 A1）1 3 （A.2 7B.2 7C.3 7 D.371 31 31 2 124. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A | 0则下列正确的是（）A.AOB. r (A )> 0C. r(A)< nD. r(A ) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论中正确的是（）A. (A B)(A B) A2 B 2B. (AB )k A k B kC. |kAB | k|A | |B |D. |(AB )k| |A |k |B|k6. 设矩阵 A n n的秩 r(A ) n 则非齐次线性方程组 AX b（）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解7. 设 A 为 n 阶方阵 A 的秩 r(A) r n 那么在 A 的 n 个列向量中（）A.必有 r 个列向量线性无关B.任意 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出8.已知矩阵 A4 4的四个特征值为 4， 2， 3， 1，则 A =（）A.2B.3C.4D.249. n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性无关的特征向量10. n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是（）A. A 的秩为 nB. |A| 0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案 : 1.D 2. A 3. D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D3 4 61. 行列式 2 5 7 中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）y x 8A. 2，-2B. –2， 2C. 2，2D. -2， -22. 设 A B 均为 n(n 2)阶方阵则下列成立是（）A. |A+B| |A |+|B|B. AB BAC. |AB | |BA |D. (A+B) 1 B 1+A 13. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A E 则(A-2E ) 1 （）A. AB. 2 AC. A+2ED. A-2E4. 矩阵A 1 1 1 12 2 2 2 的秩为（）3 3 3 3A.1B.3C.2D.45. 设 n 元齐次线性方程组AX O 的系数矩阵 A 的秩为 r 则方程组 AX 0 的基础解系中向量个数为（）A. rB. n- rC. nD. 不确定6. 若线性方程组x1 x2 2x3 1无解则等于（）x1 x2 x3 2A.2B.1C.0D. 17. n 阶实方阵 A 的 n 个行向量构成一组标准正交向量组，则 A 是（）A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D.| A |= n8. n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于 nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设 1 2 是非齐次线性方程组Ax=b 的任意 2 个解则下列结论错误的是（）A.1+ 2 是 Ax =0 的一个解 B. 1 η1η2 1 2 2是 Ax =b 的一个解C.12 是 Ax =0 的一个解D. 2 1 2 是Ax=b的一个解10.设二次型的标准形为f y12y223y32，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1. D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A10.D1.a b 0设 D b a 0 0 ，则 a， b 取值为（）1 0 1A. a=0， b≠ 0B. a=b=0C. a≠ 0， b=0D. a≠0， b≠ 02. 若 A 、B 为 n 阶方阵且AB=O 则下列正确的是（）A. BA OB. |B | 0 或|A| 0C.B O或A OD. (A B)2 A2 B23. 设A是3 阶方阵，且 | A | 2，则|A 1|等于（）A. 2B. 1C.2D.1 2 24. 设矩阵 A B C满足AB AC 则 B C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵5. 如果 n 阶方阵 A O 且行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A. 0<r( A) < nB. 0 r(A) nC. r(A )= nD. r(A) 07 x1 8x2 9x3 06. 若方程组x2 2 x3 0 存在非零解则常数 b （）2 x2 bx3 0A.2B.4C.-2D.-47. 设 A 为 n 阶方阵且 |A| 0 则（）A.A 中必有两行 (列 )的元素对应成比例B.A 中任意一行 (列 )向量是其余各行 (列) 向量的线性组合C.A 中必有一行 (列 )向量是其余各行 (列 )向量的线性组合D.A 中至少有一行 (列 ) 的元素全为零8. 设A为 3阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 369C.123D. 1 1/2 1/39. 如果 3阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2 ，则下列命题正确的是（）A. A 不能对角化B. A 0C. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为 f y12 y22 3 y32，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案:1.B 2.B 3. B 4. C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D10.Ca11 a12a13 4a a a a11 11 12 131. 如果 a21 a22a23 =M，则 4a21 a21 a22 a23 =（）a31 a32a33 4a31a31a32a33A. -4MB. 0C. -2 MD. M2. 设 A ij 是 n 阶行列式 D |a ij |中元素 a ij的代数余子式则下列各式中正确的是（）nB. n nD.nA. a ij A ij 0 a ij A ij 0 C. a ij A ij D a i1A i 2 Di 1 j 1 j 1 i 11 0 02 0 03. 已知A 0 1 0 ，B 2 2 1 ，则 |AB |=（）3 0 1 3 3 3A.18B.12C.6D.364. 方阵 A 可逆的充要条件是（）A.AOB. |A| 0C. A* OD. |A| 15. 若 A 、B 为 n 阶方阵 A 为可逆矩阵且 AB O 则（）A. B O 但 r( B) nB. B O 但 r(A) n, r (B ) nC. B OD. B O 但 r(A) n, r(B) n6. 设 1 2 是非齐次线性方程组AX b 的两个解则下列向量中仍为方程组解的是（）A. 1 2B. 1 2C. 1D.+2(β1 2β2)7. n 维向量组 1 2 s线性无关为一 n 维向量则（）A. 12 s 线性相关B. 一定能被12C. 一定不能被12 s 线性表出D. 当 s n 时一定能被8. 设 A 为三阶矩阵 A 的特征值为 2 1 2 则A 2E 的特征值为（3β2β1 25s线性表出12s 线性表出）A. 212B.-4-10C.124D.41-49.若向量α=（ 1， -2，1）与β=（ 2， 3， t）正交，则 t=（）A.-2B.0C.2D.41 y 210. 若x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案:1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C3 4 6中元素 x 的余子式和代数余子式值分别为（1. 行列式 2 5 7 ）y x 8A. –9， -9B. –9，9C. 9， -9D. 9，91 1 1 12.2 3 4 53 3 3 3 =（）4 3 4 4A.2B.4C.0D.1 3. 设A 为4 阶矩阵 |A | 3 则其伴随矩阵A *的行列式 |A *| （）A.3B.81C.27D.9 4. 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T A T +B TB.(A +B) 1 A 1+B 1C.(AB)1B 1A 1D. (AB )T B T A T 5. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A +EO 则(A+E ) 1（）A. AB. -(A+E )C. –AD. -(A 2+A )6. 设 n 阶方阵 A B 则下列不正确的是（）A. r(AB )r(A)B. r(AB )r(B)C. r( AB ) min{ r(A )， r(B )}D. r(AB )>r (A )7. 已知方程组 AX b 对应的齐次方程组为 AX O ，则下列命题正确的是（）A. 若AX O 只有零解则 AX b 有无穷多个解B. 若AX O 有非零解则 AX b 一定有无穷多个解C. 若AX b 有无穷解则 AX O 一定有非零解D. 若AXb 有无穷解则 AXO 一定只有零解8.10 1已知矩阵 A 02 0 的一个特征值是 0 则 x （）1 0 xA.1B.2C.0D.31 09.与A02 1 相似的对角阵是（）0 1 21111A.Λ1B.Λ2C. Λ1 D. Λ 1 333 410. 设 A 为 3 阶方阵 A 的特征值为 1 0 3则A 是（）A. 正定B.半正定C.负定D. 半负定参考答案 : 1. C 2. C3. C4. B5. C6. D7. C8.A 9.A 10.B1. 设 A B 都是 n 阶方阵A. 若|A| 0 则A Ok 是一个数 B. |kA|则下列（|k| |A |）是正确的。

线性代数期末复习题

线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 假设一个行列式等于零，则它必有一行〔列〕元素全为零，或有两行〔列〕完全一样，或有两行〔列〕元素成比例. () 3. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. () 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. () 5. 假设矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. () 6. 假设矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A )=R (B ). () 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. () 8. 假设向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. () 9. 向量组s ααα,...,,21中，假设1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. () 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. () 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. () 12. 齐次线性方程组一定有解. ()13. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. () 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. () 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. () 16. 假设矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). () 二、单项选择题 1.设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ()2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )3.四阶行列式111111111111101-------x 中*的一次项系数为 ( )4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )5.n 阶行列式a b b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )6. ,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则以下运算结果是m 阶方阵的是 ( ) 9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ( )10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( ) 11. 设A 是方阵，假设有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( ) 12. 方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则以下矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是 ( )(A) 假设A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 假设A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 假设A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 假设A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 以下结论正确的选项是 ( )(A) 降秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为017. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， (4) CBA = E 中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )19. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )21. 43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得 (C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 以下命题中正确的选项是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关 (B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( ) 31. n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A 1)( )B (-=n R A 0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则以下结论错误的选项是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B) )(2121ηη+是b Ax =的一个解(C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 假设4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的根底解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 根底解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 假设η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)36. n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( ) 37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n 0 )B (≠A (C) A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则以下矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的积等于零40. A 是一个)3( ≥n 阶方阵，以下表达中正确的选项是 ( )(A) 假设存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 假设存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 假设321 , ,λλλ是A 的三个互不一样的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )42. 矩阵A 与B 相似，则以下说法不正确的选项是 ( )(A) R (A ) = R (B ) (B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有一样的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D)A 的n 个列向量是一个正交向量组45. A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 ( )1 )A (2=A A )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有一样的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++ 对应的三阶行列式为.3. 022150131=---x ，则* = . 4. A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行列矩阵.8. 矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，假设321 , ,ααα线性相关，则*，y 满足关系式.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，假设21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为.14. A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系中含有解的个数为.15. 方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a =.16. 假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足.17. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则* =.18. 向量α、β的长度依次为2和3，则向量积[, ]+-=αβαβ. 19. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ，c =.20. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a =，b =. 21. 三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为.22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规形),,,,(54321z z z z z f 为.23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为.24. 二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足. 四、行列式计算1. A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010 (201) (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx c b ad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (32)12121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求*.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵*满足关系式E B C X =-T )(，求*.5. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求*.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；假设是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λA ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系； (2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，假设方阵A 与B 相似，求*、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值. 3. 三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵. 8. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵. 九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？ 2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n A A .6. 向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个根底解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. A 为正交阵，k 为实数，证明：假设A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 假设A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。

线性代数期末考试题及答案

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

线代期末试题及答案

线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。

《线性代数》期末考试复习题

《线性代数》复习题一一、单项选择题⒈已知11122122b b b b =2，则11122111221222b b b b b b -- =( )A.0B.1C.2D.4⒉行列式1 02 1中元素12a 的代数余子式为（）A.0B.1C.2D.-2⒊已知A=a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ d ,则*A =（） A.⎛⎫⎪⎝⎭d -b -c a B.⎛⎫⎪⎝⎭d c b a C.⎛⎫⎪⎝⎭a cb d D.⎛⎫⎪⎝⎭-a c b -d ⒋E 为三阶单位矩阵，E=(,,εεε123)则下列错误的是（）A. ,,εεε123为3R 中的一组基。

B. ,,εεε123两两正交。

C. ,,εεε123线性无关。

D.j T i εε =1 （i j ≠）⒌若β可被1s αα线性表示，则下列各式一定成立的有（）A.11,s βαα线性无关。

B. 11,s βαα线性相关。

C. 1s αα线性相关。

D.β一定是零向量。

⒍有m 个方程组成的n 元齐次线性方程组AX=0仅有零解，则（） A.()()r A r A ≠。

B.()r A n =。

C.det 0A ≠。

D.()0r A =。

⒎若向量(1,1,1)(2,5,)k αβ=-=-、,若0=βαT ，则k=( ) A.3B.2C.-3D.-7⒏若B A ~，则下列各式不完全正确的是 ( )A.det det A B =B.det det T A B =C.1det det A B -=D.det det T A B =⒐若n 阶矩阵A 合同于B ，则（） A. 存在n 阶可逆矩阵p 使得T p Ap B =。

B. B A ~ C. detA=detBD. A 与B 有相同的特征值⒑二次型222221121...),...,,(n n n x d x d x d x x x f +++=为正定二次型的充分必要条件是（）A.0(1,2)i d i n <=B.二次型矩阵A 可逆C.detA=0D. 0(1)i d i n >=二.填空题⒈已知p 为n 阶初等矩阵，A 为n 阶可逆矩阵，则r(PA)=_________。

线性代数复习题及参考答案

6、已知向量组a1,a2,a3线性无关,判定向量组A=a1,B2=a+a2,B1=a1+a2+a1
线性相关性
7、解矩阵方程
解：
四、综合应用题:(每题12分,共24分)
1、A为何值时下列方程组无解,有唯一解,有无穷解?
2求矩阵A的特征值与特征向量,并判断该矩阵能否对角化
解题过程如下，愿意抄的就抄抄，不愿意抄的就直接写上面的。
3、n元齐次方程组有非零解,则()
A:任意n个数都是方程组的解B:有有限个非零解C:有无限个非零解D:有唯一非零解
4、方程组Ax=b(b≠0)有唯一解的充要条件,下列说法错误的是()
计算题:(每题8分,共506分)
1、计算行列式
2、
3、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、向量组a=3a2=xa2=12a=|-1的秩为2
求,的值
5、已知AP=PA,且P=/12
线性代数复习题及参考答案
一、填空题:(每题2分,共10分)
1、AB都是n阶方阵,且42+4B=0,4≠0则A+B
2、9
3、
4.在A中,A的所有r(≤m,n)阶子式的个数为
5、设AB.C都是n阶矩阵且A=BC,则秩Amin{秩B,秩C
、选择题:(每题2分,共10分
1、下列说法正确的是B
2、下列矩阵是正定矩阵的是()

线性代数期末考试试卷(doc 6页)

线性代数期末考试试卷(doc 6页)学院：专业：班级：2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.6.5一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（）。

A．n阶行列式中，零的个数多于2n n-个；B．行列式中每行元素之和为a；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。

2．若A是（），则A不一定为方阵。

A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。

3．若A、B均为n阶方阵，则有（）。

A．()()(){}maxR A B R A R B+≥；B．()()(){}minR A B R A R B+≤；C．()()()R A B R A R B+>+；D．()()()R A B R A R B+≤+。

4．下列条件不是向量组12.nααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（）。

A．12.nααα⋅⋅⋅都不是零向量；B．12.nααα⋅⋅⋅中任意两个都不成比例；C．12.nααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其它向量线性表示；题号一二三四五总分：总分人：复核人：11 12 13 14 15 16 17 18得分签名得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。

13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。

得分得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。

15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。

得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。

线性代数期末试题及答案

线性代数
一、填空题（每小题2分，共20分）
1. 如果行列式，则。

2. 设，则。

3. 设=。

4. 设齐次线性方程组的基础解系含有2个解向量，则。

5. A、B均为5阶矩阵，，则。

6. 设, 设，则。

7. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，若是矩阵的一个特征值，则的一个特征值可表示为。

8. 若为正定二次型，则的范围是。

9. 设向量，则与的夹角。

10. 若3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则。

二、单项选择（每小题2分，共10分）
1. 若齐次线性方程组有非零解, 则（）
.1 或2.－1或－2.1或－2.－1或2.
2. 已知4阶矩阵的第三列的元素依次为，它们的余子式的值分别为，则（）
.5.-5.-3.3
3. 设A、B均为n阶矩阵，满足，则必有（）
..
. 或.或
4.设是非齐次线性方程组的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（）
A ．B．C．D．
5. 若二次型的秩为2，则（）
. 1.2. 3. 4
三、计算题( 每题9分，共63分)
1. 计算阶行列式
2. 设均为3阶矩阵，且满足，若矩阵，求矩阵。

3. 已知向量组和；已知可以由线性表示,且与具有相同的秩, 求a ,b 的值。

线性代数期末考试考核试卷

（答题括号：________）
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵

线性代数复习题

线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

线性代数期末习题库及答案.docx

一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、《线性代数》补充练习练习一行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二？ z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解，求2的取值。

兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。

bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题：(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关；(B)任意r个行向量均可构成极大无关组；(C)任意r个行向量均线性无关；(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关；a, p, 6线性相关，贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示；(B) B必不可由a, y, 6线性表示；(C) 6必可由a, B, 丫线性表示；(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示；(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1； a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：( )(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。

大学线性代数期末试卷及答案

大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

线性代数期末考试题库资料大全(20201213125119).docx

.-期末考试试题线性代数 I一、填空（ 15分，每 3 分）31、 (12 3) 2 =。

2 、若(0,2,4,t )T ， ( 0,3, t,9) T ， (1, t,2,3)T 性相关， t =。

13、 A 是 2 方， B 是 3 方， | A | 2 ， | B | 4 ， || A | 1B | =。

4、若 A 是 3 方，且 2IA ，I A ， IA 均不可逆，A 的特征。

5、二次型 fx 12 4x 22 4x 322 x 1 x 22x 1 x 34x 2 x 3 是正定二次型，的取范是。

二、（ 15分，每3 分）1、已知 x n 列向量， x T x 1， Axx T ， In 位，。

A 、 A 2AB 、 A 2IC 、 A 2I D 、 A 2A2、 A 是 4 方， A 的行列式 | A | 0 ， A 中。

A 、必有一列元素全零B、必有两列元素成比例C 、必有一列向量是其余列向量的性合D、任一列向量是其余列向量的性合3、 1 是 A 的特征，。

A 、 1 是A 2的特征B 、2 是2A 的特征AAC 、 2 是A 2的特征 D、1 是2A 的特征AA4、向量1，2 ，⋯ ,n 的秩 r，此向量中。

A 、任意 r 个向量性无关B 、任意 r 个向量性相关C 、任意 r1个向量性相关D、任意 r1个向量性相关5、二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 12 4x 22 6x 32 4x 1 x 2 6x 2 x 3 的矩。

2 412 02 2 01 4 0 A 、 44 6 B 、 22 3 C 、 2 43 D 、4 260 660 333666三、算行列式：（ 16分，每8 分）41 2 312 3 ... n1 0 3 ... n1、 34 1 22 、120 ... n2 3 4 1123 4123 021 1 1 1 3 四、（10 分）求解矩方程X 2 1 04 32 111.-五、（10 分）已知向量1 ，2 ,3 ，4 性无关， 11t 1 2， 2 2t 2 3， 3 3 t 3 4 ，其中 t 1 ，t 2 ， t 3 是数，向量 1 ， 2 ，3 性无关。