长沙市雅礼中学2020-2021学年第一学期高一第一次月考数学试卷 ( PDF版,手写答案)
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一上学期第一次月考化学试题
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一上学期第一次月考化学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 反应TiCl4+4Na=Ti+4NaCl可制取金属钛，该反应属于（）A．化合反应B．分解反应C．置换反应D．复分解反应2. 下列属于胶体区别于其它分散系的本质的是（）A．胶体分散质能透过滤纸B．胶体分散质粒子直径在1～100 nm 之间C．胶体均有颜色D．胶体属于混合物3. 下列物质分类正确的是（）A．SO2、CO2、CO均为酸性氧化物B．雾、有色玻璃、氯化铁溶液均为胶体C．烧碱、醋酸、稀硫酸均为电解质D．石灰乳、Fe(OH)3胶体、氨水均为混合物4. 下列不属于氧化还原反应的是A．S＋O2 SO2B．Fe(OH)3＋3HCl===FeCl3＋3H2OC．2Mg＋CO22MgO＋C D．4HNO3(浓) 4NO2↑＋O2↑＋2H2O5. 亚硝酸（HNO2）及其钠盐参加反应时既可作氧化剂又可作还原剂。
当它们作还原剂时，生成的含氮产物可能是：（）A．NO B．N2C．NO2D．NH36. “纳米材料”是指直径从几纳米至几十纳米的材料，目前已广泛应用于催化剂及军事技术中，若将纳米材料分散到液体分散剂中，对于所得混合体系的说法正确的是（）①是溶液②是胶体③能产生丁达尔效应④能透过滤纸⑤能透过半透膜A．①④⑤B．②③④C．②③⑤D．①③④7. 菜谱中记载：河虾不能与西红柿同食，主要原因是因为河虾中含有+5价砷(As)，而西红柿中含有比较多的维生素C，两者同食会产生有毒的+3价砷，下列说法中正确的是（）A．中毒过程中，维生素C作氧化剂B．因为河虾中含有砷元素，所以不能食用C．在此中毒的过程中，+5价砷表现出还原性D．中毒过程中，产生含+3价砷的物质为还原产物8. 下列离子能大量共存的是（）A．无色透明的溶液中：Cu2+、K+、SO、NOB．无色酚酞试液呈红色的溶液中：Na+、K+、SO、COC．含有大量Ba(NO3)2的溶液中：Mg2+、NH、SO、Cl-D．紫色石蕊试液呈红色的溶液中：Ca2+、K+、HCO、NO 9. 下列反应的离子方程式书写正确的是（）A．碳酸钙与稀硝酸反应：CO+2H+=H2O+CO2↑B．硝酸银溶液与饱和食盐水反应：Ag++Cl-=AgCl↓C．碳酸钠溶液与石灰乳反应：CO+Ca2+=CaCO3↓D．氢氧化钡溶液与硫酸铁溶液反应：Ba2++SO=BaSO4↓10. 有一固体混合物，可能由Na2CO3、Na2SO4、FeSO4、CaCl2、NaCl等中的一种或几种混合而成，为检验它的成分，某学生做了如下实验：①将固体混合物溶于水，搅拌后得无色透明溶液；②往此溶液中滴加硝酸钡溶液，有白色沉淀生成；③过滤，将沉淀物置于稀硝酸中，发现沉淀全部溶解而且产生无色气体。
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（）A.{}08x x ≤< B. 182xx≤<C.{}216x x ≤< D. 1162xx≤<2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ）A.3B.2C.－2D.－33.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B.1C.D.24.函数sin exx xy =的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ）A 1B.2C.-1D.-2.6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象.C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）的在A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−.的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx≤<C. {}216x x ≤<D. 1162xx≤<【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.详解】{}{}2|log 4|016Mx x x x =<=<<，1|2N x x=≥ ，则1162M N x x ∩=≤<.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3 B. 2C. －2D. －3【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d = += 即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d = += ，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）【A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =−=−+=−，所以21i z =−=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ===++.故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x −−−−===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy >，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x −为方程220x kx m +−=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−， 所以=1x −为方程220x kx m +−=的一个根， 所以2k m +=． 故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10R ABAC=，100tan10RBC =−=− ， 25250.760.985RR ==， 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==−=−. 【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x −，又由()()40f x f x ++−=，得()()4f x f x +=−−，所以()()()846f x f x f x +=−−−=−+，所以()()2f x f x +=−，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==−=−．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE，则CE BE ==，AE DE ==，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF=4AF =，点O 为最大球球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==， 因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF==1R =， 即1OM OF ==，则413AO =−=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ， 连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =−=−， 又JK a b =+，所以33b a a b −=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=−=−，故432b R =−=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +×+×=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα+，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用二倍角公式化简得到()f x ，由正切型函数的周期性可求得结果知D 正确.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα++−+===，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π−=，即()2sin 2g x x =，B 错误；对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π=+=++， 则由222262k x k πππππ−+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ−+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈，C 正确； 对于D ，()22tan tan 21tan xf x x x ==−，tan 2y x ∴=的最小正周期为2π，D 正确.故选：ACD.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11A C D ， 平面11AC D ∩平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ， 所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A的点D 到平面11ACC A 的最大距离为R ，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x −−=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x −−，故()()0e e x xa b b a −−+−=， 即()()2e =xa b a b −−，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b −+−+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b −+−+++，因为e 0x >，e 0x −>，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xa f xb −−′，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxa xb f −−>′恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxa xb f −−<′恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x −−−′， 令()=0f x ′得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>，当1,ln 2b x a∈−∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a∈−∞，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a −⋅−<可得：20221a −和20231a −异号，即202220231010a a −> −< 或202220231010a a −<−> . 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q −=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =−<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ×= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=−=，可得(1,1)a bλ+=+ ， 又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b ba λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=−， 所以(2,4)a =−−，所以a =故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象如下：由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.的【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S .16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y ′=+=，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y ′=+=，则()20201192000011.111.121.1201.1211.1n n n n n y y n =′=+=×+×++×+×∑∑L ， 可得2012202101.111.121.1201.1211.1nn n yy =′×=×+×++×+×∑L ，两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.1211.1211.11 1.1n n n y y =−′−×=+++−×=−×−∑L 2121221 1.10.1211.11 1.118.1491.40.10.10.1−+××++====−−−−， 所以20914nn n yy =′=∑.故答案为：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解.的【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CACB ==，所以CM AB ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ∩=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==×⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ， 因为11A B CM B ACM V V −−=,所以111133B CM ACM S d S AA ××=×× ,所以11ACM B CMS AA dS ×= .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b +，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B −=−， 所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B −=−, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =， 所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b aR A B R=， 所以sin 2sin sin 12b a C R A b A R=== ,所以1sin A b =， 因为2A B C C ππ=−−=− ，所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C++ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C −+−=−−+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C −<<， 当1cos 24C =−时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A =×−= ，()1111224P B =×−= ， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1−，()()()()11111346P X P AB P A P B =−===−×= ，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=×+−×−=()()()()11111344P X P AB P A P B ====×−= ，所以X 的分布列为：()1711101612412E X =−×+×+×=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ==， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P =×=， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分的概率为2233111C 4632P =×= ， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P =××=， 所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=.20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +−+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c −−=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=， 11n n n b a a +=−+ ，则12112b a a −+，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++−−=−+=+−+−+=−+=，所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b −=×=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +−=−，可得2123211212121n n n a a a a a a −−−=− −=−−=− ， 累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n −−−−=+++−−=−−=−−− ，21n n a n ∴=−−.213n n n n c −−∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++−+−−−==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++−−−−+−∴−=−=， 令()212nf n n =+−，则()11232n f n n ++=+−，所以，()()122nf n f n +−=−.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =−<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +−=或11n n a a q −=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n −= = −≥ 进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n −−=，即第n 项与第n 1−项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a −=，即第n 项与第n 1−项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：�一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b −=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m −+=+，得到()1b k m =−，1b m k =−，可得出数列1n b a k+ −是以k的等比数列，可求出n a ；�取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p∗−−=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； �1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N ∗∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用�中的方法求解即可. 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −±，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−= ，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −= ，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=．将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−．整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−. 【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. （2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥−≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>−×，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x ′=−+，设()sin s x x x =−+，则()cos 10s x x ′=−+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数， 故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥−≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =−+≥，则()2cos 1()02x u x x f x ′=−+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥−≥恒成立. 当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i ig g k ++++ − ==− − 11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++=−=×−由（1）可得()2cos 102x x x ≥−>，故12311cos 1022i i ++≥−>， 故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++ ×−≥×−−1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++ ×−≥−− × 2222224422117111711111622626262i i i i i +++++ =−−=−×+×>−× × , 故1214627111...16222n nk k k n −+++>−−+++41111771112411166123414n n n n −− =−−×=−−×−× −771797172184726n n n n =−−+×>−>−. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。
长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(答案解析)
雅礼中学2022年高一上学期第一次检测数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为（ ） A ．x ∀∈R ，23230x x --≤ B ．x ∀∉R ，23230x x --≤ C ．x ∃∈R ，23230x x --≤D ．x ∃∉R ，23230x x --≤【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得， 命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为：x ∃∈R ，23230x x --≤． 故选：C ．2．已知集合{}33A y y =-≤≤，{}3B x x =≥-，则A B =（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)0,+∞C ．(]3,3-D ．[]3,3-【分析】直接进行交集的运算即可．【解析】解：∵{}33A y y =-≤≤，{}3B x x =≥-； ∴[]3,3AB =-．故选：D ．3．等式a b a b +=+成立的充要条件是（ ）A ．0ab =B ．0ab >C ．0ab ≥D ．0ab ≤ 【分析】根据a 、b 取值分类讨论即可．【解析】解：当a 、b 同号或为0时满足等式||||||a b a b +=+，当a 、b 异号时不满足等式||||||a b a b +=+，∴等式||||||a b a b +=+成立的充要条件是0ab …． 故选：C ． 4．若0x >，则42x x+-有（ ） A ．最小值1 B ．最小值2 C ．最大值1 D ．最大值2【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解析】解：∵0x >，∴4222x x +-≥=，当且仅当4x x =，2x =时取等号．因此42x x+-的最小值为2． 故选：B ．5．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．U NM ðB ．U MN ð C ．MNN ðD ．()()U UMN 痧【分析】由图象可知元素属于N 但不属于M ，则阴影部分对应的集合为()U M N ð．【解析】解：由Venn 图，元素属于N 但不属于M ， 即阴影部分对应的集合为U N M ð，故选：A ．6．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，125x y -≤-≤，则y 的取值范围是（ ） A ．{}09y y ≤≤B ．{}54y y -≤≤C ．{}113y y ≤≤D ．{}013y y ≤≤【分析】利用不等式的性质进行运算即可得出． 【解析】解：令x y m -=，2x y n -=，则2x n my n m =-⎧⎨=-⎩，∵41x y -≤-≤-，125x y -≤-≤， 即41m -≤≤-，15n -≤≤ ∴228m ≤-≤ ∴1213n m ≤-≤ 即113y ≤≤ 故选：C ．7．已知集合{}21,S s s n n ==-∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T =（ ）A ．SB ．TC ．RD ．∅【分析】由集合{}21,S s s n n ==-∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，推导出T S ⊆，由此能求出ST ．【解析】解：任取t T ∈则()412213t n n =+=-+，n ∈Z ，t S ∴∈，T S ∴⊆，∴S T S =．故选：A ．8．已知不等式20ax x c ++≥的解集为R，且不等式)()2102x a c x a c +++-≥的解集为R ，则()20cx a c x a +++≥的解集是（ ）A ．∅B ．RC ．{}0D ．不能确定【答案】B【解析】∵不等式20ax x c ++≥的解集为R ；不等式)()2102x a c x a c +++-≥的解集为R∴)()214001402a a a a c c c ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎡⎤⎡⎤⎪+-+-≤⎢⎥⎣⎪=-≤⎦=⎦⎣⎩△△解得：1212a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()20cx a c x a +++≥转化为211022x x ++≥ ∵410221211a ⎧=>⎪⎪⎨⎪⨯⎪=⨯=⎩-△，抛物线开口向上∴不等式()20cx a c x a +++≥恒成立即不等式()20cx a c x a +++≥的解集为R故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．12．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√64．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．25．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣27．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b → B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ）A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．10910．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或1611．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ ．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z 1z 2，求z 的共轭复数z ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ．22．在①2a cos C+c＝2b，②cos2B−C2−cosBcosC=34，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．1【解答】解：∵复数z =i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i 21−i 2=1+i 2=12+12i ，∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故选：A ．2．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）【解答】解：向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（5，7）． 故选：D ．3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√6【解答】解：∵B ＝30°，C ＝105°， ∴A ＝45°， 由正弦定理可得：4sin45°=b sin30°，解得b =4×12√22=2√2．故选：A ．4．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．2【解答】解：∵BA →⋅BC →=|BA →||BC →|cosB ，CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cosC ，|BC →|=|CB →|=2，∴BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|=2cosB +2cosC ，∵cosA =12，A +B +C =π，A 为△ABC 的内角， ∴sinA =√32，A =π3，∴2cos B +2cos C ＝2cos B ﹣2cos （A +B ）＝cos B +√3sinB =2sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3， ∴0＜sin(B +π6)≤1， ∴0＜2siin(B +π6)≤2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值为2．故选：D ．5．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i【解答】解：设z ＝a +bi ，因为|z |﹣z ＝1+i ，所以√a 2+b 2−(a +bi)=1+i ，即√a 2+b 2−a −bi =1+i ，所以{√a 2+b 2−a =1−b =1，解得a ＝0，b ＝﹣1，所以z ＝﹣i ． 故选：B ．6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣2【解答】解：z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）＝3a +2ai ﹣9i ﹣6i 2＝3a +6+（2a ﹣9）i ， 所以复数z 的实部与虚部分别为3a +6，2a ﹣9， 则3a +6+2a ﹣9＝7，得a ＝2． 故选：C ．7．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b →B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →【解答】解：设c →=x a →+y b →，即（5，4）＝x （1，2）+y （﹣2，1），则{x −2y =52x +y =4，得x =135，y =−65，即c →=135a →−65b →，故选：A ．8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ） A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154【解答】解：最大角是A ，根据余弦定理：cosA =b 2+c 2−a 22bc =9+4−162×3×2=−14，且A ∈（0，π），∴sinA =√1−cos 2A =√1−116=√154． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．109【解答】解：因为（1+i ）2＝1+2i ﹣1＝2i ，（1﹣i ）2＝1﹣2i ﹣1＝﹣2i ， 又（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ， 所以(1+i)n=[(1+i)2]n2=(2i)n2，(1−i)n=[(1−i)2]n2=(−2i)n2，故(2i)n2=(−2i)n 2，即2n 2⋅(i)n2=(−1)n 2⋅2n 2⋅(i)n 2，故当n2为偶数时，（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ．故选：AC ．10．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或16 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），若a →∥b →，则3m ＝﹣8，则m =−83，A 错误； 对于B ，若m ＝0，则a →=（0，2），则|a →|＝2，|b →|＝5，a →•b →=6，则cos ＜a →，b →＞=610=35，则sin ＜a →，b →＞=45，B 正确，对于C ，若a →⊥b →，则a →•b →=−4m +6＝0，解可得m =32，C 错误，对于D ，a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），则a →+b →=（m ﹣4，5），若|a →+b →|＝13，即（m ﹣4）2+25＝169，解可得m ＝﹣8或16，D 正确， 故选：BD ．11．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【解答】解：对于A ，|z |＝0，则z ＝0，故A 正确；对于B ，设z 1＝a 1+b 1i （a 1，b 1∈R ），z 2＝a 2+b 2i （a 2，b 2∈R ）．由|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，得|z 1+z 2|2＝（a 1+a 2）2+（b 1+b 2）2＝|z 1﹣z 2|2＝（a 1﹣a 2）2+（b 1﹣b 2）2，则a 1a 2+b 1b 2＝0，而z 1•z 2＝（a 1+b 1i ）（a 2+b 2i ）＝a 1a 2﹣b 1b 2＝2a 1a 2不一定等于0，故B 错误；对于C ，z ＝a +ai （a ∈R ），若a ＝0，则z 为实数，若a ≠0，则z 为虚数，z 不可能为纯虚数，故C 错误；对于D ，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1，或{a =−2b =−1． ∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故D 正确． 故选：AD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3【解答】解：对于A ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得8＝9+b 2﹣2×3×b ×23，即b 2﹣6b +1＝0，解得b ＝3±2√2，可得△ABC 有两个解，故错误；对于B ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得16＝9+b 2﹣2×3×b ×13，即b 2﹣2b ﹣7＝0，解得b ＝1+2√2，（负值舍去），可得△ABC 有一个解，故正确； 对于C ，由a ＜b ，sin B =23，可得cos B ＝±√53，可得角B 不唯一，故错误； 对于D ，由sin π3=√32＞13，且B ＜2π3，故B 为锐角且有唯一解，可得△ABC 有一个解，故正确； 故选：BD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= i ．【解答】解：−1+4i 4+i=(−1+4i)(4−i)(4+i)(4−i)=−4+i+16i−4i 242+12=−4+17i+417=17i 17=i ．故答案为：i ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ √7 ． 【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，|a →−b →|=1， ∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1， ∴2a →⋅b →=1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+2+1=√7．故答案为：√7．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ 6 ．【解答】解：在△ABC 中，a =2√7，b =2，A =60°， 根据正弦定理，2√7sin60°=2sinB，∴sinB =√2114， ∴cosB =5√714，根据余弦定理，5√714=22⋅2√7⋅c，解得c ＝4或6，据题意知，B ＜60°，C ＞60°， ∴c ＞2√7， ∴c ＝6． 故答案为：6．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 √5 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 −3π4． 【解答】解：a →⋅b →=2sin x +cos x =√5sin （x +φ），其中tan φ=12， ∵x ∈R ，∴a →⋅b →的最大值为√5． ∵a →∥b →，∴2sin x cos x ＝1，即sin2x ＝1， ∴2x =π2+2k π，即x =π4+k π，k ∈Z ， ∵x ∈（﹣π，0），∴取k ＝﹣1，x =−3π4． 故答案为：√5；−3π4．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z1z 2，求z 的共轭复数z ．【解答】解：（1）复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，所以z 1+az 2＝（1﹣2i ）+a （3+4i ）＝（1+3a ）+（4a ﹣2）i ； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以{1+3a ＞04a −2＜0，解得−13＜a ＜12，所以实数a 的取值范围是（−13，12）；（2）化简z =z 1z 2=1−2i 3+4i =(1−2i)(3−4i)32−(4i)2=−5−10i 25=−15−25i ，z 的共轭复数z =−15+25i ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2），a →∥b →， ∴2cosθ1=sinθ−2，∴tan θ＝﹣4， ∴3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=3×(−4)−22×(−4)+1=2．（2）∵θ＝45°，∴a →=（√2，√22）， ∴2a →−t b →=（2√2−t ，√2+2t ），√2a →+b →=（3，﹣1）， ∵2a →−t b →与√2a →+b →垂直，∴（2a →−t b →）•（√2a →+b →）＝（2√2−t ）×3+（√2+2t ）×（﹣1）＝0， 解得t =√2．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值． 【解答】解：（1）由已知可得，a 2+b 2﹣2a +2bi ＝7+4i ，∴{a 2+b 2−2a =72b =4， 解之得{a =3b =2，或{a =−1b =2，∴z ＝3+2i 或z ＝﹣1+2i（2）由复数相等的性质，可知a =1−3+5−7+9−11+⋯−2019+2021=1+2+2+⋯+2︸505个=1011，b =2−4+6−8+10−12+⋯+2018−2020=−(2+2+⋯+2)︸505个=−1010．∴a ﹣b ＝2021．另解：z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020① ∴zi ＝1i +2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+…+2020i 2020+2021i 2021②∴①﹣②得：z （1﹣i ）＝1+i +i 2+i 3+i 4+…+i 2020﹣2021i 2021＝1﹣2020i ∴z =1−2021i 1−i =(1−2021i)(1+i)(1−i)(1+i)=2022−2020i2=1011−1010i ， ∴a ＝1011，b ＝﹣1010， ∴a ﹣b ＝2021．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得c sinC=2R ，所以b 2−a 2a+c=c ，整理可得：c 2+a 2﹣b 2＝﹣ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac =−ac 2ac =−12， 因为B ∈（0，π）， 可得B =2π3． （2）因为B =2π3，b =√7，c ＝2， 所以由正弦定理b sinB=c sinC，可得sin C =c⋅sinB b=√217， 因为c ＜b ，C 为锐角，可得cos C =√1−sin 2C =2√77，所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√32×2√77+（−12）×√217=√2114． 21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ． 【解答】解：由sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A •sin B sin C 得，b 2+c 2﹣a 2＝2√33bc sin A ＝2bc cos A ， 故√33sinA =cosA ，即tan A =√3， 由A 为三角形内角得A =π3，因为b =√3c ，△ABC 的面积为S ＝3=12bc ×√32=√34×√3c 2，故c ＝2，b ＝2√3； （2）因为A =π3， 故sin B +sin C ＝sin C +sin （2π3−C ）=32sinC +√32cosC =√62， 即√32sinC +12cosC =√22， 所以sin （C +π6）=√22，由C 为三角形内角得，C =π12． 22．在①2a cos C +c ＝2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 _____． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）选①，由正弦定理得2sin A cos C +sin C ＝2sin B ， 所以2sin A cos C +sin C ＝2sin （A +C ）＝2（sin A cos C +cos A sin C ），即sin C （2cos A ﹣1）＝0，又C ∈（0，π），所以sin C ＞0，所以cosA =12， 又A ∈（0，π），从而得A =π3． 选②，因为cos 2B−C2−cosBcosC =1+cos(B−C)2−cosBcosC =1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈（0，π），所以A =π3． 选③因为（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C ， 所以sin 2B +sin 2C +2sin B sin C ＝sin 2A +3sin B sin C ， 即sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ， 所以由正弦定理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，因为A∈（0，π），所以A=π3．（2）由（1）得A=π3，又a＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣ab≥2bc﹣bc＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取得等号，S¡÷ABC=12bcsinA≤12×4×√32=√3，所以ABC面积的最大值为√3．。
2020-2021学年湖南省长沙市某校高一(上)1月月考数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市某校高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1. 已知M ={y|y =x 2−4, x ∈R}，P ={x|2≤x ≤4}，则M 与P 的关系是( ) A.M ⊇P B.M ∈P C.M ∩P =⌀ D.M =P2. 已知命题p:∀x ∈[0,2],x 2−3x +2>0，则¬p 是( ) A.∃x ∈[0,2],x 2−3x +2<0 B.∃x ∈[0,2],x 2−3x +2≤0C.∃x ∈(−∞,0)∪(2,+∞),x 2−3x +2<0D.∀x ∈[0,2],x 2−3x +2≤03. 设a =30.1，b =lg5−lg2，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D.c <a <b4. 已知 f(x)={3x +1，x >0，2x 2−1，x <0， 若f(a)+f(−1)=8，则实数a 的值为( )A.−2B.2C.±2D.±35. 已知α∈(0,π)， cos (α+π6)=35，则cos (π6−2α)=( ) A.2425B.−2425C.−725D.7256. 为了得到函数y =sin2x 的图象，可以将函数y =sin (2x +π3)的图象( )A.向左平移π6个单位 B.向右平移π6个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7. 已知p ：m −1<x <m +1，q ：(x −2)(x −6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为( ) A.3≤m ≤5 B.3<m <5C.m >5或m <3D.m >5或m ≤38. 若函数f(x)=(x −a)(x −b)(a >b)的图象如图所示，则g(x)=a −x +b 的图象可能是( )A. B.C. D.二、多选题下列式子不正确的是( )A.1.52.5>1.53.4B.1.70.3<0.92.3C.(15)23<(12)23D.0.80.5<0.90.4若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A.若ab ≠0且 a <b ，则1a >1b B.若0<a <1，则a 3<a C.若a >b >0，则b+1a+1>baD.若c <b <a 且 ac <0 ，则cb 2<ab 2给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A.函数y =(12)−x2+1的最大值为12B.已知函数y =log a (2−ax)在(0, 1)上是减函数，则a 的取值范围是(1, 2)C.已知定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞, 0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为2021D.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(x +5)是偶函数，则f(2000)+f(2010)+f(2020)=0高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的”高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.4]=2. 已知函数f (x )=e x1+e x −12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )A.g (x )是偶函数B.f (x )是奇函数C.f (x )在R 上是增函数D.g (x )的值域是{−1,0,1}三、填空题函数f(x)=2x−11−x(x ∈[−2,1))的值域为________.四、解答题 (1)(12)−3+(7√3)0−(16)34+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2.已知函数f(x)=x 2−x +m ． (1)当m =−2时，解不等式f(x)>0；(2)若m >0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b 的最小值．已知sinα=4√37，cos (α+β)=−1114，且α,β∈(0,π2).(1)求cos (2α+β)的值；(2)求β的值．已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)图象上相邻的两个最值点为(π12,2)，(7π12,−2). (1)求f (x )的解析式：(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)求函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值．小李大学毕业后选择自主创业，开发了一种新型电子产品.2020年9月1日投入市场销售，在9月份的30天内，前20天每件售价P （元）与时间x （天，x ∈N ∗）满足一次函数关系，其中第一天每件售价为63元，第10天每件售价为90元；后10天每件售价均为120元．已知日销售量Q （件）与时间x （天）之间的函数关系是Q =−x +50(x ∈N ∗)．(1)写出该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；(2)9月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额．（日销售金额=每件售价×日销售量）.已知函数f (x )=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性，并利用结论解不等式： f (x 2−2x )+f (3x −2)<0；(3)是否存在实数k ，使得函数f (x )在区间[m,n ]上的取值范围是[k 4m ,k4n ]？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市某校高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先利用二次函数y=x2−4的值域化简集合M，最后结合两个集合之间的包含关系即得M与P的关系．【解答】解：∵y=x2−4≥−4，∴M={y|y=x2−4,x∈R}={y|y≥−4}，∵P={y|2≤y≤4}，∴M⊇P．故选A.2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】根据特称命题其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，即可得答案．【解答】解：命题p：∀x∈[0,2]，x2−3x+2>0是全称命题，¬p：∃x∈[0,2]，x2−3x+2≤0.故选B.3.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数，对数的性质即可比较得解．【解答】解：由题意可得：a=30.1>30=1，b=lg5−lg2∈(0, 1)，c=log3910<0，则a>b>c．故选C.4.【答案】C【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)={3x+1,x>02x2−1,x<0,∴x=−1时，f(−1)=1.∵f(a)+f(−1)=8，∴f(a)=7，当a>0时，3a+1=7，解得a=2，符合题意；当a<0时，2a2−1=7，解得a=±2，a=2，不符合题意，舍去，故a=−2.综述，a=±2.故选C.5.【答案】A【考点】诱导公式二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】先用二倍角公式求出cos(2α+π3)，再由诱导公式可得答案.【解答】解：sin(π6−2α)=sin(π6+π2−π2−2α)=sin[(−2α−π3)+π2]=cos(−2α−π3)=cos(2α+π3)=cos2(α+π6)=cos2(α+π6)−sin2(α+π6)=2cos2(α+π6)−1=−725，所以cos(π6−2α)=2425.故选A . 6. 【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据sin2x =sin [2(x −π6)+π3],即可解决本题. 【解答】解：sin2x =sin [2(x −π6)+π3]，∴ 需将函数y =sin(2x +π3)向右平移π6个单位．故选B ． 7. 【答案】 A【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】先解(x −2)(x −6)<0得2<x <6，而根据q 是p 的必要不充分条件便得到{m −1≥2m +1≤6，解该不等式组即得m的取值范围． 【解答】解：由题易得，p ：m −1<x <m +1， q ：2<x <6，∵ q 是p 的必要不充分条件， 即由p 能得到q ，q 不能得到p ， ∴ {m −1≥2，m +1≤6，∴ 3≤m ≤5，∴ m 的取值范围是[3, 5]． 故选A . 8. 【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 指数函数的图象 【解析】根据二次函数的图象，确定a ，b 的范围，结合指数函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：由二次函数的图象知，a >1，−1<b <0， 则g(x)=a −x +b =(1a )x +b ， 则0<1a<1，则g(x)是减函数，排除A ，B ，g(0)=1+b ∈(0, 1)，排除D .故选C . 二、多选题 【答案】 A,B【考点】有理数指数幂的化简求值 指数函数单调性的应用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】利用指数函数单调性进行函数值大小比较，借助中间量，幂函数单调性的应用. 【解答】解：因为y =1.5x 是单调递增函数，又2.5<3.4，所以1.52.5<1.53.4，所以A 不正确； 因为1.70.3>1.70=1，0.92.3<0.90=1，所以1.70.3>0.92.3，所以B 不正确； 因为y =x 23在(0,+∞)上单调递增，所以(15)23<(12)23，所以C 正确； 因为0.80.5=2√55，0.90.4>0.90.5=3√1010>2√55，所以0.80.5<0.90.4，所以D 正确.故选AB . 【答案】 B,C【考点】不等式的基本性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，取a =−2,b =1，则1a >1b 不成立，故A 错误； B ，若0<a <1，则a 3−a =a(a 2−1)<0， ∴ a 3<a ，故B 正确；C ，若a >b >0，则a(b +1)−b(a +1)=a −b >0， ∴ b+1a+1>ba ，故C 正确；D ，若c <b <a 且 ac <0 ，则a >0，c <0， 而b 可能为0，∴ cb 2<ab 2不正确，故D 错误. 故选BC .【答案】C,D【考点】复合函数的单调性函数的零点函数的周期性【解析】举出反例可说明选项A错误，由函数的单调性得到关于a的不等式组可得实数a的取值范围，由奇函数的性质可得函数的零点个数，由题意首先确定函数的周期性，然后计算f(2000)+f(2010)+f(2020)的值即可．【解答】解：A，当x=1时，y=1，函数的最大值不是12，故A错误；B，由a>0可得函数y=2−ax单调递减，若要使函数y=log a(2−ax)在(0, 1)上是减函数，则{a>1,2−a≥0,解得a∈(1, 2]，故B错误；C，由奇函数的性质可得函数f(x)在(0, +∞)内有1010个零点，且f(0)=0，所以函数f(x)的零点个数为2021，故C正确；D，因为函数f(x)是奇函数，f(x+5)是偶函数，所以f(x+5)=f(−x+5)=−f(x−5)，所以f(x+20)=−f(x+10)=f(x)，所以函数f(x)的周期为20，所以f(2000)=−f(2010)即f(2000)+f(2010)=0，f(2020)=f(0+20×101)=f(0)=0，所以f(2000)+f(2010)+f(2020)=0，故D正确．故选CD.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为g(1)=[f(1)]=[e1+e −12]=0，g(−1)=[f(−1)]=[11+e−12]=−1，所以g(1)≠g(−1)，g(1)≠−g(−1)，所以函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)=e x1+e x−12=1+e x−11+e x−12=12−1e x+1，定义域R，且f(−x)=e−x1+e−x−12=11+e x−12=−f(x)，故f(x)为奇函数，故B正确；设x1<x2，f(x1)−f(x2)=e x11+e x1−e x21+e x2=e x1−e x2(1+e x1)(1+e x2)<0，所以f(x)在R上是增函数，故C正确；因为函数f(x)=ex1+e x−12=12−11+e x，由e x>0，则1+e x>1，则有−12<f(x)<12，则g(x)=[f(x)]={−1,0}，故D错误.故选BC.三、填空题【答案】[−53,+∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离常数法，将f(x)变形为f f(x)=2x−11−x=2x−2+11−x=−2−1x−1，判断其单调性后，即可得解．【解答】解：f(x)=2x−11−x=2x−2+11−x=−2−1x−1，所以f(x)在[−2,1)单调递增，因为f(−2)=−53，且当x→1时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为[−53,+∞).故答案为：[−53,+∞).四、解答题【答案】解：(1)原式=23+1−(24)34+(213×312)6=8+1−8+22×33=109.(2)原式=log22log214+lg42+lg58+e ln2=−12+lg(16×58)+2=52.【考点】有理数指数幂的化简求值对数及其运算 【解析】 【解答】解：(1)原式=23+1−(24)34+(213×312)6=8+1−8+22×33=109. (2)原式=log 22log 214+lg42+lg 58+e ln2=−12+lg (16×58)+2=52.【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=x 2−x −2． 令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0， 解得x >2或x <−1．∴ 不等式的解集为{x|x >2或x <−1}． (2)∵ f(x)<0的解集为(a,b)，∴ a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根， ∴ a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数， ∴ 1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+ba+4a b≥5+2√4=9，当且仅当b a=4a b，即b =2a 时，等号成立，故1a +4b 的最小值为9．【考点】一元二次不等式的解法基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0，解之即可；（2）由题知，a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根，由韦达定理得，a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数，再利用“乘1法”即可求得1a+4b 的最小值．【解答】解：(1)当m =−2时，f(x)=x 2−x −2． 令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0， 解得x >2或x <−1．∴ 不等式的解集为{x|x >2或x <−1}． (2)∵ f(x)<0的解集为(a,b)，∴ a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根， ∴ a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数， ∴ 1a +4b =(a +b)(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当b a=4a b，即b =2a 时，等号成立，故1a+4b的最小值为9．【答案】解：(1)∵ α,β∈(0,π2)，sinα=4√37，∴ cosα=√1−sin 2α=17，∵ α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， ∴ cos(2α+β)=cosαcos(α+β)−sinαsin(α+β)=−7198. (2)sinβ=sin (α+β−α)=sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα=√32. 又∵ β∈(0,π2)，∴ β=π3. 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 两角和与差的正弦公式 【解析】 【解答】解：(1)∵ α,β∈(0,π2)，sinα=4√37，∴ cosα=√1−sin 2α=17，∵ α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， ∴ cos(2α+β)=cosαcos(α+β)−sinαsin(α+β)=−7198. (2)sinβ=sin (α+β−α)=sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα=√32. 又∵ β∈(0,π2)，∴ β=π3.【答案】解：(1)由题知，A=2，12T=7π12−π12=π2，所以T=π=2πω，ω=2. 所以f(x)=2sin(2x+φ),代入点(π12,2)，有2sin(2×π12+φ)=2,π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).(3)令t=2x+π3，则y=2sint，因为x∈[0,π2]，所以t∈[π3,4π3]，当t∈[π3,4π3]时，sint∈[−√32,1]，所以当t=π2即x=π12时，f(x)有最大值2；当t=4π3即x=π2时，f(x)有最小值−√3.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：(1)由题知，A=2，12T=7π12−π12=π2，所以T=π=2πω，ω=2. 所以f(x)=2sin(2x+φ), 代入点(π12,2)，有2sin(2×π12+φ)=2,π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).(3)令t=2x+π3，则y=2sint，因为x∈[0,π2]，所以t∈[π3,4π3]，当t∈[π3,4π3]时，sint∈[−√32,1]，所以当t=π2即x=π12时，f(x)有最大值2；当t=4π3即x=π2时，f(x)有最小值−√3.【答案】解：(1)设P=kx+b，由题意{k+b=63,10k+b=90,解得k=3，b=60．故该电子产品9月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式为P={3x+60,1≤x≤20,x∈N∗,120,21≤x≤30,x∈N∗.(2)设9月份的日销售金额为y元，则y={(3x+60)(−x+50),1≤x≤20,x∈N∗,120(−x+50),21≤x≤30,x∈N∗,当1≤x≤20时，y=(3x+60)(−x+50)=−3x2+90x+3000=−3(x−15)2+3675，则当x=15时，y取得最大值为3675元；当21≤x≤30时，y=120(−x+50)为减函数，当x=21时，y取最大值为3480元．综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元．【考点】根据实际问题选择函数类型分段函数的应用【解析】(1)设P =kx +b ，由题意列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，再由分段函数可得9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；(2)分段利用配方法及函数的单调性求最值，则答案可求． 【解答】解：(1)设P =kx +b ， 由题意{k +b =63,10k +b =90,解得k =3，b =60．故该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为 P ={3x +60,1≤x ≤20,x ∈N ∗,120,21≤x ≤30,x ∈N ∗.(2)设9月份的日销售金额为y 元，则y ={(3x +60)(−x +50),1≤x ≤20,x ∈N ∗,120(−x +50),21≤x ≤30,x ∈N ∗,当1≤x ≤20时，y =(3x +60)(−x +50)=−3x 2+90x +3000=−3(x −15)2+3675， 则当x =15时，y 取得最大值为3675元；当21≤x ≤30时，y =120(−x +50)为减函数， 当x =21时，y 取最大值为3480元．综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元． 【答案】 解：(1)∵ f (x )=a⋅4x −14x +1是定义域在R 上的奇函数，∴ f (0)=0， 即a =1.(2)f (x )是在R 上的增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=24x 2+1−24x 1+1=2(4x 1−4x 2)(4x 2+1)(4x 1+1). ∵ x 1<x 2，∴ 4x 1<4x 2，4x 1+1>0，4x 2+1>0， ∴ f (x 1)<f (x 2)，∴ f (x )在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵ f (x 2−2x )+f (3x −2)<0且f (x )是奇函数， ∴ f (x 2−2x )<f (2−3x )， ∴ x 2−2x <2−3x ， ∴ −2<x <1.(3)假设存在实数k ，使之满足题意， 由(2)可得函数f (x )在[m,n]上单调递增，∴ {f (m )=k 4m ，f(n)=k4n ，∴ {4m −14m +1=k4m ，4n −14n +1=k4n，∴ m ，n 为方程4x −14x +1=k4x 的两个根，即方程4x −14x +1=k4x 有两个不等的实根. 令4x =t >0，即方程t 2−(1+k)t −k =0有两个不等的正根， ∴ {1+k2>0，Δ>0，−k >0， ∴ −3+2√2<k <0，∴ 存在实数k ，使得函数f (x )在[m,n ]上的取值范围是[k4m ,k4n ]， 并且实数k 的取值范围是(−3+2√2,0)． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质 奇偶性与单调性的综合 一元二次不等式的解法 函数恒成立问题 函数的值域及其求法 【解析】左侧图片未给出解析 【解答】 解：(1)∵ f (x )=a⋅4x −14x +1是定义域在R 上的奇函数，∴ f (0)=0， 即a =1.(2)f (x )是在R 上的增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=24x 2+1−24x 1+1=2(4x 1−4x 2)(4x 2+1)(4x 1+1).∵x1<x2，∴4x1<4x2，4x1+1>0，4x2+1>0，∴ f(x1)<f(x2)，∴ f(x)在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵ f(x2−2x)+f(3x−2)<0且f(x)是奇函数，∴ f(x2−2x)<f(2−3x)，∴x2−2x<2−3x，∴−2<x<1.(3)假设存在实数k，使之满足题意，由(2)可得函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴{f(m)=k4m，f(n)=k4n，∴{4m−14m+1=k4m，4n−14n+1=k4n，∴ m，n为方程4x−14x+1=k4x的两个根，即方程4x−14x+1=k4x有两个不等的实根.令4x=t>0，即方程t2−(1+k)t−k=0有两个不等的正根，∴{1+k2>0，Δ>0，−k>0，∴−3+2√2<k<0，∴ 存在实数k，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n]，并且实数k的取值范围是(−3+2√2,0)．。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年第一学期高一第一次月考数学试卷(含评分细则)
湖南省雅礼中学2020年下学期高一第一次月考试卷数 学（时间：120分钟分值：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是(D )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2、集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝(D )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}3、设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式中错误的是(B )A ．(∁U A )∪B ＝U B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩(∁U B )＝∅D ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U B4、“b a ,为正数”是“ab b a 2>+”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知命题p ：01x ∃＞，2010x -＞，那么p ⌝是（C ）A ．2110x x ∀-，＞＞B ．200110x x ∃-，≤＞C ．2110x x ∀-，≤＞D ．200110x x ∃-≤，≤6、已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．3C ．4D ．57、已知命题“∃x ∈R ,使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是(D)A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．a >948、已知2>x ，则函数421)(-+=x x x f 的最小值为（A ）A.22+ B.222+ C.2D.22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9、使ab >0成立的充分不必要条件可以是(ACD )A ．a >0，b >0B ．a ＋b >0C ．a <0，b <0D ．a >1，b >110、下列说法中，正确的是（BC ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0>ab 11、已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（CD ）.A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.12、下列说法正确的是（BCD ）A.若R x ∈，则21≥+xx B.若51≤<≤-y x ，则06<-≤-y x C.“1>x 或2>y ”是“3>+y x ”的必要不充分条件D.若||||b b a a >，则ba >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_a ≤－1_______．14、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,10,10,0)(x x x x x f ，则)))1(((-f f f 的值是_____2_____．15、若}31|{≤≤∈∃x x x ，使得不等式022≥++a x x 成立，则实数a 的取值范围为15-≥a .16、已知1,=+∈+b a R b a ，,则：（1）2121+++b a 的最小值是__54_________;（2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是2+.【解析】（1）由于1,=+∈+b a R b a ，，则5)2()2(=+++b a 所以54)222121512121≥++++++=+++b a b a b a （，当且仅当21==b a 时等号成立；（2）22222111()22(2b b a b b a ab b a b abab ab ++++++===当且仅当a =即2a =，1b =-时等号成立.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.【解析】（1） 集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤，则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2) 集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，则MA ⊆622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-，故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<-18、设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有⎩⎨⎧≤--≥--1131a a ，解得02a ≤≤.19、已知函数x x x f 2622)(-+-=.（1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的值域.【解析】（1）由⎩⎨⎧≥-≥-026022x x 得)(x f 的定义域为]3,1[；（2）易知0)(≥x f .又121642426)26)(22(222)(22-+-+=-+--+-=x x x x x x x f =1)2(442+--+x .由于)(x f 的定义域为]3,1[，易得]8,4[)(2∈x f ，故求)(x f 的值域为]22,2[.20、已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，得实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-.由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又p、q⌝均为真命题，所以实数m需满足12mm<-⎧⎨<-⎩，解得2m<-，所以实数m的取值范围为2m<-.21、某单位决定投资3200旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元；两侧墙砌砖，每1m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每21m造价20元，则当仓库占地面积S取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为()0x x>米，一侧砖墙长为()0y y>米，则仓库占地面积S（1）402453200x y+⨯=，6400493209S xyx y+==≥≤当且仅当9160,40==yx时取等号.故该仓库占地面积S的最大值为96400.（2）依题设，得40245203200x y xy+⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S≥+=+=，则1600S+-≤，即)10160+≤，故10≤S，从而100≤S，当且仅当4090x y=且100xy=即15x=时取等号，所以S的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米.22、（1）已知a，b，c均为正数,求证:aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba；（2）已知正数x，y满足2x y+=，若2122+++<yyxxa恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明∵a，b，c均为正数,∴ab2+ba2≥2ac3+ca3≥2bc23+cb32≥2以上三式相加,得ab2+ba2+ac3+ca3+bc23+cb32≥6∴（ab2+ba2-1）+（ac3+ca3-1）+（bc23+cb32-1）≥3即aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).（2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以(1)(2)5x y +++=，所以：12155x y +++=则2222(11)(22)1212x y x y x y x y +-+-+=+++++，22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++，14122412x y x y =+-+++-+++，14112x y =+-++，1214()()15512x y x y ++=++-++14(1)24155(2)5(1)5x y y x ++=+++-++≥4115-+，当且仅当34,32==y x 等号成立要使2122+++<y y x x a 恒成立，只需满足min21）（+++<y x a 即可，故54<a ．。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文(含解析)
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B =I （） A. {|12}x x -<< B. {|1x x <-或2x >} C. {|01}x x << D. {|0x x <或}【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}A B x x =<<I .故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数a 等于 A. -2 B. 2C.12D. -1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.3.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4.如果()()221f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（ ）A. (]0,1B. [)0,1C. [] 0,1D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对a 进行讨论，即可推得答案。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确； 当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确； 当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()A B =R（ ）A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤【答案】D【解析】根据{}1B x x =<，利用补集的定义求得RB ，然后再利用交集运算求解.【详解】因为{}1B x x =<， 所以{}R1B x x =≥.又{}12A x x =-≤≤，(){}R 12A B x x ∴⋂=≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.3．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U =B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U =【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 4．“a ，b 为正数”是“2a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过举反例可得答案. 【详解】当0a b =>时，2a b ab +=，故“a ，b 为正数”是“2a b ab +>的不充分条件当1,0a b ==时，满足a b +>a ，b 为正数，故“a ，b 为正数”是“a b +>的不必要条件综上：“a ，b 为正数”是“a b +>的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.5．已知命题p ：01x ∃>，2010x ->，那么p ⌝是（ ）A ．01x ∀>，210x ->B ．01x ∃>，2010x -≤ C ．01x ∀>，2010x -≤D ．01x ∃≤，2010x -≤【答案】C【解析】直接利用特称量词的否定得到答案. 【详解】解：命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝：01x ∀>，2010x -≤.故选：C. 【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.6．已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令21x a -=，则12a x +=，再由1()43152+=⨯+=a f a 求解. 【详解】令21x a -=，则12a x +=， 所以1()43252a f a a +=⨯+=+， 由2515a +=， 解得5a =. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题.7．已知命题“x ∃∈R ，使()214204x x a ++-≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．04a ≤≤ C ．4a ≥ D ．94a >【答案】D【解析】根据特称命题的真假关系即可得到结论． 【详解】 解：命题“x R ∃∈，使()214204x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使()214204x x a ++->”是真命题， 即判别式()21144204a ∆=-⨯⨯-<，所以94a >， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，基础题．8．已知2x >，则函数()124f x x x =+-的最小值为（ ）A ．2+B ．2+C ．2D ．【答案】A【解析】对()11222242f x x x x x =+=-++--进行变形，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 当2x >时，()1122222242f x x x x x =+=-++≥=--当且仅当1222x x -=-，即22x =+取等号，所以()f x 的最小值为2 故选： A.本题考查了利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.二、多选题9．使0ab >成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．0a >，0b > B ．0a b +>C ．0a <，0b <D ．1a >，1b >【答案】ACD【解析】根据题意逐一判断即可. 【详解】由0a >，0b >可以推出0ab >，反之不成立，故A 满足题意 当5,4a b ==-时满足0a b +>，但不满足0ab >，故B 不满足题意 由0a <，0b <可以推出0ab >，反之不成立，故C 满足题意 由1a >，1b >可以推出0ab >，反之不成立，故D 满足题意 故选：ACD 【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单. 10．（多选题）下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则22c ca b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 【答案】BCD 【解析】当0c 时，可判断选项A 不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确． 【详解】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B : 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C : 22222211000,0c ca b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D :111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题； 故选:BCD ．本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】设2()6f x x x a=-+，其图象是开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式260x x a-+的解集中有且仅有3个整数，则(2)0{(1)0ff>，从而解出所有符合条件的a的值．【详解】设()26f x x x a=-+，其图像为开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x=，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩aa解得58a<≤，又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选：CD【点睛】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．下列说法正确的是（）A ．若x ∈R ，则12x x+≥ B ．若15x y -≤<≤，则60x y -≤-<C ．“1x >或2y >”是“3x y +>”的必要不充分条件D ．若a ab b ，则a b >【答案】BCD【解析】A. 由0x <判断； B.根据15x y -≤<≤，由不等式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，利用函数的单调性判断；如图所示：【详解】A. 当0x <时，12x x+≥不成立，故错误； B.因为15x y -≤<≤，所以51y -≤-≤，由不等式的基本性质，则60x y -≤-<，故正确；C. “1x >或2y >”，则“3x y +>”的逆否命题是“3x y +≤”，则“1x ≤且2y ≤”是假命题，故不充分，“1x >或2y >”，则“3x y +>”的否命题是“1x ≤且2y ≤” ，则“3x y +≤”是真命题，故必要，故正确；D.当()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图所示：()f x 在R 上递增，由()()f a f b >则a b >，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．设{}|13A x x=-<≤，{}|=>B x x a，若A B⊆，则a的取值范围是______.【答案】1a≤-【解析】依据题中条件:“A B⊆”结合数轴求解即可，本题即要考虑a对应的点与区间[]1,3-的端点的关系即得.【详解】根据题意画出数轴，如图所示，结合数轴:A B⊆,a∴对应的点必须在区间[]1,3-的左端点1-的左侧，1a∴≤-.故答案为：1a≤-.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.14．已知()0,01,01,0xf x xx x<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则()()()1f f f-=______．【答案】2【解析】先求出()1f-，进而可求出()()1f f-，最后即可求出()()()1f f f-【详解】解：因为10-<，所以()10f-=，则()()()101f f f-==，因为10>，所以()()()()112f f f f-==，故答案为:2.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，属于基础题.15．若{}13x x x∃∈≤≤，使得不等式220x x a++≥成立，则实数a的取值范围为______．【答案】15a ≥-【解析】令()22f x x x =--，求出()f x 的最小值即可.【详解】解：即{}13x x x ∃∈≤≤，使22a x x ≥--成立， 令()()22211f x x x x =--=-++，{}13x x x ∈≤≤时，()()22211f x x x x =--=-++单调递减，()()()31513f f x f =-≤≤=-，则实数a 的取值范围为15a ≥-.故答案为：15a ≥-. 【点睛】考查不等式能成立求参数的取值范围，基础题.四、双空题16．已知a ，b R +∈，1a b +=，则： （1）1122a b +++的最小值是______． （2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是______．【答案】452+ 【解析】(1)将1a b +=配凑为()()225a b +++=，然后利用常数代换后，再利用基本不等式，即可求出1122a b +++最小值； (2)将11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通分后可得21b ab+，然后将分母中的利用1的代换可得2222b a ab ab ++，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】(1)由于a ，b R +∈，1a b +=，则()()225a b +++=所以11111[(2)(2)]22522a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 12211522b a a b ++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭1222522b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立； (2)()2222211122b a b b b a ab b a b ab ab ab+++++⎛⎫+===⎪⎝⎭2)2ab ab=≥，当且仅当a =，即2a =，1b =时等号成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式，主要思路为：(1)对所求目标函数的不等式求解，常用方法为：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法；(2)根据条件变形，常用“1”的代换求目标函数的最值.五、解答题17．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可 （2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可 【详解】 （1）集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤集合{}|22A x x =-≤≤， 则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤ (2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解． 18．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-， 因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.19．已知函数()f x = （1）求()f x 的定义域； （2）求()f x 的值域．【答案】（1）[]1,3；（2）2,⎡⎣.【解析】（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数()y f x =的定义域；（2）把()f x =()24f x =+，再求241612x x -+-的值域即可，然后逆推回去即可求解函数()y f x =的值域.【详解】 解：（1）由220620x x -≥⎧⎨-≥⎩，得()f x 的定义域为[]1,3；（2）易知()0f x ≥．又()222624f x x x =-+-=+4=+2x =时，()221x --+有最大值1，1x =或3x =时，()221x --+有最小值0，所以[]1,3x ∈时，易得()[]24,8f x ∈，故求()f x 的值域为2,⎡⎣．【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知p ：x R ∀∈，()221x m x >+，q ：0x R ∃∈，200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）条件可转化为方程2210x x m +--=有实根，然后可求出答案； （2）先求出p 为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）因为q ：0R x ∃∈，200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥， 得实数m 的取值范围为2m ≥-．（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若p ：R x ∀∈，()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立； 当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，∴1m <-．由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-． 【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元；两侧墙砌砖，每1m 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S 的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每21m 造价20元，则当仓库占地面积S 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？ 【答案】（1）64009；（2）15米． 【解析】（1）设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积S xy =，由条件可得402453200x y +⨯=，然后利用基本不等式求出xy 的最大值即可；（2）根据题意可得40245203200x y xy +⨯+=，然后利用基本不等式可求出答案. 【详解】设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积Sxy =．（1）402453200x y +⨯=，49320x y +=≥=64009S xy =≤ 当且仅当40x =，1609y =时取等号，故该仓库占地面积S 的最大值为64009． （2）依题设，得40245203200x y xy +⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S ≥==，则1600S +≤，即)10160≤10≤，从而100S ≤，当且仅当4090x y =且100xy =即15x =时取等号，所以S 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米． 【点睛】本题考查的是基本不等式的实际应用，考查了学生的阅读理解能力，属于基础题. 22．（1）已知a ，b ，c 均为正数，求证：233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥； （2）已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x y a x y <+++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）45a <. 【解析】（1）利用综合法结合基本不等式证明不等式；（2）先求出12155x y +++=，再结合基本不等式求出2212x y x y +++的最小值，即得解. 【详解】（1）证明∵a ，b ，c 均为正数，∴222b a a b +≥ 323c a a c +≥ 32223c bb c+≥ 以上三式相加，得233262323b a c a c b a b a c b c+++++≥ ∴233211132323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥．（当且仅当23a b c ==时等号成立）． （2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以()()125x y +++=，所以：12155x y +++= 则()()222211221212x y x y x y x y +-+-+=+++++，()()()()221211242412x x y y x y +-+++-++=+++， 14122412x y x y =+-+++-+++14112x y =+-++，121415512x y x y ⎛⎫++⎛⎫=++-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()4112441115525155x y y x ++=+++-≥-+=++， (当且仅当23x =，43y =等号成立) 要使2212x y a x y <+++恒成立，只需满足22min12x y a x y ⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭即可，故45a <． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题(教师版)
由基本不等式得 ，
则 ，即 ，故 ，从而 ，
当且仅当 且 即 时取等号，所以 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米．
22、【解析】（1）证明∵ ， ， 均为正数，
∴
以上三式相加，得
∴
即 ．（当且仅当 时等号成立）．
（2）解：由于正数 ， 满足 ，所以 ，所以：
则 ， ，
， ， ，
，
当且仅当 ， 等号成立
要使 恒成立，只需满足 即可，故 ．
三、填空题
13、 14、2
15、
16、（1） （2）
【解析】（1）由于 ， ， ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）
当且仅当 即 ， 时等号成立.
四、解答题
17、【解析】（1）∵集合 ．则
∵集合 ，则
（2）∵集合 ，且 ，则
∴ ，解得 ，故实数 的取值范围为
18、【解析】（1） ．
因为 ，所以 ，因此 ；
（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积 的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每 造价20元，则当仓库占地面积 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？
22．（1）已知 ， ， 均为正数，求证： ；
（2）已知正数 ， 满足 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
湖南省长沙雅礼中学2020-2021学年上学期高一
19．已知函数 ．
（1）求 的定义域；
（2）求 的值域．
20．已知 ： ， ， ： ， ，
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 、 均为真命题，求实数 的取值范围．
21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 长造价40元；两侧墙砌砖，每 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．
雅礼中学2021年上学期高一第一次月考教师版
, An
若 P 点坐标为 (0, 3) ，则 | PA1 PA2 PAn | （
）
A.0
B.2
C.6
D.10
【答案】D 【解析】
函数
f
(x)
4 sin( 2
2
x
)和直线
g ( x)
x 1的所有交点从左到右依次记为
A1,
A2 ,
, A5 ，且
A1和A5, A2和A4 都关于点 A3 对称，如图所示：
D．若△ABC 为非直角三角形，则 tan A tan B tan C tan Atan B tan C
【答案】ABD
【解析】对于 A，∵△ABC 为锐角三角形，∴ A B ，∴ A B ，根据正弦
22
2
函数单调性，可得
sin
A
sin
2
B
cos
B
，∴ sin
A
cos
B
，故
A
3 / 14
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分｡在每小题给出的四个选项中，至 少有两项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分｡
9、下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．一条直线
B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线
D．两条平行的直线
A：任取 x1,
y1 M
，则
y1
1 x12
，取
x2
1 x1
，
5 / 14
故 x1x2 y1 y2
x1(
1 x1
)
1 x12
1 x22
x1
(
1 x1
)
2020-2021学年湖南省长沙一中高一上学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)
【详解】
解：根据题意得： ， ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能的取值组成的集合为________.
【答案】
【解析】确定集合 中的元素，由 得 ，由子集的定义求解．
A． ，
B． ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为 或
【答案】BCD
【解析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式 的解后可得不等式 的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A， ，则 ，故 ，故A不成立.
对于B， ，则 ，
故 ，所以 ，故B成立.
对于C，设 ，其中 ，
对D：令 ，定义域为
所以函数为偶函数且在 单调递增，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.
4．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由命题的否定的定义判断．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
则 ， ，
若 ，则 ， ，故 ；
若 ，则 ， ，故 ，故C成立.
对于D，由不等式 可得 或 ，
故 或 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题
13．已知函数 ，则 ________.
【答案】8
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷(一)数学(理)试题 Word版含解析
雅礼中学2020届高三月考试卷(一)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数的除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z .【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{}{}/10,/A x x B x x a =-<<=≤,若A B ⊆,则a 的取值范围为( ) A. (,0]-∞ B. [0,)+∞C. (),0-∞D. ()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】画出集合,A B 的数轴表示,利用数轴解题.【详解】画出集合A,B 的数轴表示,因为A B ⊆,所以0a ≥,故选B. 考点：集合包含关系判断及其应用3.在ABC △中,(BC uuu r +BA u u u r )·AC u u u r =|AC u u u r|2,则ABC △的形状一定是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】由(BC uuu r +BA u u u r)·AC u u u r =|AC u u u r |2,得AC u u u r ·(BC uuu r +BA AC -u u u r u u u r )=0,即AC u u u r ·(BC uuu r +BA u u u r +CA u u u r )=0,∴2AC u u u r ·BA u u u r =0,∴AC u u u r ⊥BA u u u r,∴A =90°.即ABC V 的形状一定是直角三角形. 本题选择C 选项.4.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似的不难得到11111+=++⋅⋅⋅（ ）51-- 51- 51+ 51-+ 【答案】C 【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.详解：由已知代数式求值方法，列方程，求解，舍负根. 可得 11(0)x x x+=> 解得x x ==（舍） 故选C.点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.5.()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A. 35- B. 5-C. 5D. 35【答案】A 【解析】 【分析】将二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭表示为()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出其通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.【详解】()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 展开式通项为()()626628266661111krk r k k r r k k rr C x x C x C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅-=⋅-⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令620820k r -=⎧⎨-=⎩，得34k r =⎧⎨=⎩，因此，二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为346635C C --=-，故选：A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.6.给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A. ②③ B. ①②C. ①②③D. ②【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判断出命题①的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误.【详解】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误； 对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂Q 平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β. 同理可得//HF 平面β，EH HF H =Q I ，∴平面//EFH 平面β. 又Q 平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂Q 平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A. s≤34?B. s≤56?C. s≤11 12?D. s≤25 24?【答案】C 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，k的值依次为0,2,4,8,，因此1111124612s=++=（此时6k=），因此可填1112s≤，故选C.考点：程序框图及循环结构.8.若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）A. (-∞B. (⎤⎦C. 92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}3【答案】A 【解析】 【分析】由题意得知，全称命题“1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥”是真命题，利用参变量分离法得出12x x λ≤+，然后利用基本不等式求出12x x+的最小值，可得出实数λ的取值范围.【详解】因为01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，所以1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥恒成立是真命题， 即1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x xλ≤+恒成立是真命题， 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得12x x +≥=1,222x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，λ∴≤λ的取值范围是(-∞，故选：A.【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数的取值范围，在求参数的取值范围时，可灵活利用参变量分离法，转化为函数的最值求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（ ）A. ),2πB. π⎡⎤⎣⎦C.}D. ,2π⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤，由过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，明确β能取到2π，从而明确轴截面的中心角为α的范围，进而得到结果. 【详解】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤ 过圆锥顶点的截面的面积为：122sin β2sin β2⨯⨯⨯=， 又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 故此时β2π=，故απ2π≤＜圆锥底面半径r )2sin22α=∈ ∴侧面展开图的中心角为θ弧度2sin222πsin22απα⨯⨯==∈),2π 故选：A.【点睛】本题考查圆锥侧面展开图扇形圆心角的计算，解题时要弄清楚圆锥底面圆的周长与侧面展开图扇形的互相相等来建立等量关系，考查空间想象能力，属于中等题.10.已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，a 为非正的常数，且当0x >时，()2f x ax x =-.若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[],m n ，则实数a 的取值范围是（） A. ∞(-,1) B. (]1,0-C. (],0∞-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出函数()y f x =在R 上单调递减，结合题意得出0m n <<，由题意得出22am m nan n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得出0m n +=，可得出1a m =--，从而可得出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，适合()2f x ax x =-.当0a ≤且0x ≥时，函数()2f x ax x =-为减函数.设0x <，则0x ->，()()()22f x a x x x ax -=⋅---=--， 此时，()()2f x f x x ax =--=+，且该函数在(),0-∞上单调递增，所以，函数()y f x =在实数集R 上单调递减，由题意可得()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点(),m n 和点(),n m 在函数()y f x =的图象上，且这两点关于直线y x =对称.若0m n <<，则这两点均为第二象限，都在直线y x =的上方，不可能关于直线y x =对称； 若0n m >>，则这两点均为第四象限，都在直线y x =的下方，不可能关于直线y x =对称. 因此，0m n <<.由()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得22am m n an n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得()()()220a m n m n m n ++--+=， 即()()10m n a m n ++--=，10a n m ∴=-+>（舍去）或0m n +=，则n m =-. 代入2am m n +=，得2am m m +=-，11a m ∴=-->-，又0a ≤Q ，10a ∴-<≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数的定义域与值域问题，解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+=C. 2212221cos sin e e θθ+=D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式. 【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos22m n mn c θ+-=， 由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩.代入()2222cos22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos 1a a c c θθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选：B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为（ ）12B. 2【答案】B 【解析】 【分析】 解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B +，然后利用辅助角公式以sin sin A B C +的最大值；解法2：sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值. 【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C =+)sin sin cos C C B C B =++≤=2=≤=，当且仅当sin sin B C ==sin A 时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B ； 法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数sin xy e x =的图象在原点处的切线方程是__________． 【答案】0x y -= 【解析】 【分析】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，利用导数求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，可得出所求切线方程.【详解】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，()sin cos xy e x x '=+，当0x =时，1y '=.因此，所求切线方程为y x =，即0x y -=，故答案为：0x y -=.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数图象的切线方程，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠为 . 【答案】【解析】【详解】过N 作NH 垂直准线，垂足为H ， 则|NF|=|NH|，因为32NF =， 所以32NH =， 3cos cos NH NMF MNH MN∴∠=∠==6NMF π∴∠=，故答案为6π.15.已知函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且()1,2ω∈，则函数()f x 的最小正周期为__________．【答案】65π 【解析】 【分析】 由题意得出()62k k Z ππωππ-=+∈，可得出ω的表达式，结合()1,2ω∈可求出ω的值，然后利用正弦型函数的周期公式2T πω=可得出函数()y f x =的最小正周期.【详解】由函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为x π=. 可得62k ππωππ-=+，k Z ∈，23k ω∴=+，又()1,2ω∈，53ω∴=.因此，函数()y f x =的最小正周期为26553T ππ==，故答案为：65π. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称轴求参数，同时也考查了正弦型函数周期的计算，要结合题意得出参数的表达式，结合参数的取值范围求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，6.9a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩下列命题中：①01a <<；②13b <<；③34c <<；④()()55b c --的最小值是154，所有真命题为__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】构造函数()()()()3269x f x x a x b x c x x abc =-+=----，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()3 0f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出命题①、②、③的正误，由题中条件得出6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断出命题④的正误.【详解】令()()()()f x x a x b x c =---，则()3269f x x x x abc =-+-.()()() '313f x x x =--，()()()3 0f x f abc f ==-=极小值，()()()14 4f x f abc f ==-=极大值，如下图所示：易知函数() y f x =的三个零点分别为a 、b 、c ，由于a b c <<，由图象可知，01a <<，13b <<，34c <<，则命题①、②、③正确；由题中条件可知6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-. 因此()()()()()2255253562545b bc b c a a a a c -=-++=---+=-+-=211515244a ⎛⎫ ⎪+≥⎝⎭-，命题④也为真命题，故答案为：①②③④.【点睛】本题考查不等式真假的判断，解题的关键就是根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点，在考查函数的综合问题时，要充分利用导数研究函数的单调性，考查函数方程思想，属于难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:60分.17.已知数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，12n n S a a a =+++L . （1）若n S 、98、1n a -成等差数列，求n 的值； （2）证明*n N ∀∈，有312112231222112n n n n a a a S S S S S S ++++++<-L . 【答案】（1）3n =；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先利用等比数列的通项公式和前n 项和公式分别求出n a 、n S ，由题意条件得出194n n S a -+=，即为111292224n n ---+=，从而解出n 的值； （2）将112k k k a S S ++裂项为()111112222k k k k k k k k k S S a S S S S S S +++++-==-，利用裂项法求出31212231222n n n a a a S S S S S S +++++L ，再利用放缩法可得出所证不等式. 【详解】（1）由等比数列的通项公式得1111122n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭， 由等比数列的前n 项和公式得11111221212n n n S -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--， n S Q 、98、1n a -成等差数列，所以，194n n S a -+=，即121192224n n ---+=，化简得11124n -=，解得3n =；（2）()()1111122221,2,3,kkkk k k k k kS SakS S S S S S+++++-==-=⋅⋅⋅Q，且11212nn nS++-=，因此，31212231122311122222222222nn n n n na aaS S S S S S S S S S S S S S++++++⋅⋅⋅+=-+-++-=-L111121121121212nn n n++++=-=-<---.【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知在正方体1111ABCD A B C D-中E，F分别是1,DD BD的中点，G在棱CD上，且14CG CD=．（1）求证：1EF B C⊥；（2）求二面角1F EG C--的余弦值．【答案】(1)见解析；（2）二面角1F EG C--的余弦值为1414-.【解析】【详解】试题分析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz-，设正方体棱长为4，则求出相应点和相应向量的坐标可证1EF B C⊥；（2）平面11D DCC的一个法向量为()4,0,0BC=-u u u v，设并求出平面EFG的一个法向量(),,n x y z=v，应用向量的夹角公式，最后由图可知，二面角为钝角，可得到二面角1F EG C--的余弦值．试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -，设正方体棱长为4，则()()()()()()()110,0,2,2,2,0,0,4,0,4,4,0,0,4,4,4,4,4,0,3,0E F C B C B G ()()12,2,2,4,0,4EF B C =-=--u u u v u u u v，∴()()()12420240EF B C ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=u u u v u u u v∴1EF B C ⊥u u u v u u u v，∴1EF B C ⊥（2）平面11D DCC 的一个法向量为()4,0,0BC =-u u u v设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =v∴00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩∴23y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2,3y z ==，∴可取()1,2,3n =v∴14cos ,144n BC n BC n BC⋅===-⨯⋅u u u v v u u u v vu u u v v 如图可知，二面角为钝角，∴二面角1F EG C --的余弦值为1414-19.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） . 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由. 【答案】（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解。