高中数学拓展知识-e的来历
数学中e的来历
数学中e的来历e是自然对数，lne=1，e=2.71828……，是一个无限循环数螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：φkρ=αe其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。
为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。
因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限循环数。
数，美吗？1、数之美人们很早就对数的美有深刻的认识。
其中，公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解较为深刻。
他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。
例如发音体（如琴弦）长，声音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低。
因此，音乐的基本原则在于数量关系。
毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、雕刻等其它艺术，探求什么样的比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的规范。
例如，在欧洲有长久影响的“黄金律”据说是他们发现的（有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律”。
所谓黄金分割律“就是取一根线分为两部分，使长的那部分的平方等于短的那部分乘全线段。
”“如果某物的长与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美’。
”）。
这派学者还把数学与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。
他们还认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙”。
人体之所以美，是由于它各部分——头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调。
这些都是数的和谐。
中国古代思想家们也有类似的观点。
道家的老子和周易《系辞传》，都曾尝试以数学解释宇宙生成，后来又衍为周易象数派。
《周易》中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华丽之美，以及所谓“极其数，遂定天下之象”，都是类似数学推理的结论。
e的数学定义及变形
e的数学定义及变形摘要：1.e的数学定义2.e的性质与特点3.e的变形公式4.e在数学与物理中的应用5.总结与展望正文：在我们探讨e的数学定义及变形之前，首先需要明确一点，那就是e是一个数学常数，它约等于2.71828。
它在数学、物理等领域具有广泛的应用，被誉为数学中的神秘数字。
接下来，我们将详细介绍e的数学定义、性质、变形公式以及在实际应用中的例子。
一、e的数学定义e的数学定义来源于自然对数的底数。
自然对数函数ln(x)的底数就是e。
换句话说，e是满足以下等式的常数：ln(x) = x二、e的性质与特点1.连续性：e是一个连续的函数，它在实数范围内没有间断点。
2.奇偶性：e^x 和e^(-x) 具有相同的值，即e^x + e^(-x) = 23.周期性：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，表明e具有复数单位的周期性。
4.无穷大量：当x趋近于0时，e^x 无穷大。
5.0次幂：e^0 = 16.幂运算性质：e^(x+y) = e^x * e^y，e^(x/y) = e^x / e^y（y≠0）三、e的变形公式1.指数函数：e^x2.对数函数：ln(x)3.三角函数：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x）4.双曲函数：sinh(x) = e^(x) - e^(-x）5.指数衰减：e^(-x) 表示随时间衰减的指数函数四、e在数学与物理中的应用1.指数增长与衰减：在生物学、经济学、物理学等领域，e用于描述指数增长与衰减现象。
2.自然对数与微积分：e在微积分中具有重要作用，如求解不定积分、微分方程等。
3.复数运算：e的周期性在复数运算中具有重要意义。
4.四则运算法则的推广：e的幂运算性质为四则运算法则的推广奠定了基础。
五、总结与展望e这个神秘数字在数学、物理等领域的应用无处不在，它不仅是自然对数的底数，还具有许多独特的性质。
通过对e的数学定义及变形的探讨，我们可以更深入地理解其在科学领域的重要性。
自然常数 名称由来
自然常数名称由来
自然常数是一个重要的数学常数，通常用符号e表示。
它的名
称“自然常数”来源于它在自然对数的定义中的作用。
自然对数是
以e为底的对数，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
自然常数e最早由瑞士数学家雅各布·伯努利在17世纪提出，
并且由莱昂哈德·欧拉在数学研究中广泛使用。
e的值约为2.71828，它是一个无限不循环小数，其小数部分是无限不重复的。
e最初是作为解决复利计算问题而引入的，它表示在一段时间
内本金连续复利的极限情况。
随后，e的重要性在微积分、复分析、概率论、统计学等领域得到了广泛的认可和应用。
在微积分中，e
是指数函数和自然对数函数的基础，它在描述增长和衰减的过程中
起着重要作用。
除了数学领域，e还在物理学、工程学、经济学等多个学科中
具有重要意义。
例如，在物理学中，e经常出现在描述振荡和波动
的方程中，如谐振子的运动方程。
在工程学中，e被广泛应用于描
述电路中的振荡和衰减过程。
在经济学中，e被用来描述复利和增
长模型。
总之，自然常数e的名称来源于它在自然对数中的作用，它是数学中一个重要的常数，具有广泛的应用价值，对于描述自然界和各种现象具有重要意义。
自然对数e的由来和意义
自然对数e的由来和意义
自然对数e是一个重要的常数，其由来和意义如下：
1. 由来：自然对数e是自然指数函数y=e^x的底数。
在微积分中，我们发现自然指数函数有一个特殊的性质：其导数等于函数本身。
这意味着，自然指数函数在任何一点的切线斜率都等于函数值，这是其他函数所没有的。
而自然指数函数的导数在x=0处的值恰好等于1，因此，我们可以将自然指数函数写成y=e^x，其中e是使得y=e^x的导数在x=0处等于1的常数。
这就是自然对数e的由来。
2. 意义：自然对数e在数学，物理，工程，金融等领域都有广泛的应用。
其中一些重要的应用如下：
- 在微积分中，自然对数e是指数函数的底数，也是指数函数的导数与函数值相等的唯一常数。
- 在复利计算中，自然对数e是财务公式中的重要常数，用于计算复利利息。
- 在工程中，自然对数e是变量增长的比例因子，用于描述信号和波的增长或衰减。
- 在物理学中，自然对数e是自然对数函数的底数，用于描述放射性衰变和电荷分布等现象。
- 在概率论和统计学中，自然对数e是指数分布和正态分布的底数，被用于描述
随机事件的概率分布。
总之，自然对数e是一个非常重要的数学常数，其在各个领域中都有着广泛的应用。
数e 来龙去脉
数e 来龙去脉李 忠(北京大学数学科学学院 100871)在中学里如何给学生讲述自然对数的底e ,是一大难题. 我国中学教材处理这个问题的办法历来是,不讲它的意义和定义,只告诉学生数e 是一个无理数, e = 2.71828 ⋯⋯. 这使得数e 变得很神秘. 至于数e 和自然对数有何用处,学生们则更是茫然.当然,讲清常数e 的意义,要比讲清圆周率π的意义困难得多. 圆周率π有明显易懂的几何意义:圆的周长与其直径之比;而数e 就似乎缺乏这样简单明了的解释与模型.从历史上来看,数e 的出现要比π晚得很多。
人们知道圆周率至少是在公元前200 多年前的事,而数e 的出现则在17 世纪.本文将简要介绍发现数e 的历史, 除了讲述Euler 的贡献之外,还要重点解释Bernoulli 关于数e 模型以及Huygens 关于自然对数的几何模型. 最后讲讲数e 在分析学中的意义.1 数e 的由来历史上数e 的出现与关于对数的研究紧密相关.17 世纪初,苏格兰数学家John Napier 等人发明了对数. 基于对数的理论,人们编制了对数表,制成了计算尺,使之成为数值计算的有效工具. 当时除了Napier 对数之外,还有一种自然对数. 在1618 年出版的Napier 的著作中, 就附录了一个自然对数的对数表. 尽管没有标明注明这张表的编制者,但后来人们几乎完全可以肯定它的编制者是William Ought red.自然对数的出现是历史上第一件与数e 有关的事. 但是,当时人们并不知道自然对数的底———常数e. 这似乎让人感到有点奇怪:为什么当时有了自然对数的表, 却不知道它的底呢? 我们需要作一点必要的解释.利用对数表或计算尺来计算大数的乘积和商,其基本原理是通过对数函数把两个数乘除运算化成了加减运算. 当时人们关于对数的思考,与现代的想法不同. 现代的做法是, 先给定某个数a ,把它作为底,然后根据方程y x a =,将x 的对数定义为y . 但那时人们考虑对数的办法并不是这样,而是直接从一个对数函数出发. 若一个函数f(x)在(0 , + ∞)上连续并严格单调, 且对于任意两个正数x 与y 都有:()()()f xy f x f y =+,则称之为对数函数. 对数函数不只一个, 人们可以用不同的方式构造这种函数. 一旦有了这样的函数(或相应的算法) 就可以利用它编制对数表.1661 年, Huygens 作了一个重要观察:他考察了双曲线y = 1/ x 的下方的某种曲边梯形的面积,并发现这种面积与对数函数有关. 他的发现实际上给出了自然对数的一个几何模型. 后面我们还要详细介绍他的结论.令人意外的是,不曾研究对数的数学家J acobBernoulli (雅可布·贝努力) , 却首次给出了数e 的定义. 他在1683 年研究复利时, 证明了当n 趋于无穷时,数列{(11/)}n n +有极限, 并且证明了这个极限介于2 与3 之间. 这个极限值就是后来人们称之为e 的数. 当然,Jacob Bernoulli 当时并没有认识到这个极限与对数的关系,也没有把两者联系在一起.数e 作为一个数学常数第一次被正式提出,是在1690 年. 那年,著名数学家Leibniz (莱布尼斯) 在写给Huygens 的信中,提出了这个常数. 但他把它记为b, 而不是e.把这个常数记作e 、并对它作了全面深入研究的数学家是Euler (欧拉) . 他从1727 年就开始研究它, 并记之为e. 他得到了众多的发现. 在1748 年出版的书《无穷小分析引论》中,他把自己的发现作了完整的叙述与总结.他同样把数e 定义为极限lim(11)n n n →∞+, 并证明了 11/1!1/2!1/3!e =++++他取了上述公式的20 项进行计算,给出了数e 的前18 位:e ≈2.718281828459045235他定义了以e 为底的指数函数与对数函数(即自然对数) . 此外他还给出了数e 和以e 为底的指数函数的幂级数展开式,以及它们的连分数展开式.最难能可贵的是借助于e ,他证明了著名公式:cos sin ix e x i x =+,被称作Euler (欧拉) 公式. 自Euler 之后, 以e 为底的指数函数与以e 为底的对数函数, 开始进入了数学的各个领域,成为分析学不可缺少的工具.附带指出, 有一些人误以为这里的字母e 是人们为了纪念Euler ,才使用了他的名字的第一个字母. 其实不然,是Euler 自己首先使用这个记号,而后来的人只是跟随了他而已. 人们猜测Euler 使用e 的原因,可能是由于字母e 是“exponential ”(指数) 的第一个字母的缘故. 当然,也可能是其他原因. 但有一点可以肯定,他使用e 与自己的名字无关, 因为人们知道Euler 是个十分谦逊的人.2 数e 的贝努力模型为了增进对数e 的具体了解, 现在我们回到前面提到的Jacob Bernoulli 的结果. 它实际上给我们提供了一个关于数e 的具体模型.现在让我们虚构一个有关复利计算的故事.某处有一家银行, 它对客户储蓄的年利率是1 =100 %. 某客户甲在年初存入1 元,年终取出,其本利和为1 + 1 = 2 元. 某客户乙在年初存入1 元,而在年中时(假定恰好是1 年之半时) 取出,然后再将当时的本利和一并存入该行,则他在年终取出时本利和应为(1 + 1/ 2) (1 + 1/ 2) = (1 + 1/ 2) 2 = 2.25 ,多于客户甲之所获. 某客户丙在年初存入1 元,然后以一季(一年的1/ 4) 为周期, 每一季办理一次存取手续,以获得复利. 这样,客户丙在年终时,本利和应为(1 + 1/ 4)4 ≈2.4414063 ,更多于某甲之所获. 某客户丁在年初存入1 元,然后要求银行, 以天为单位作复利计算, 那么年终时,他所得本利和应为(1 + 1/ 365) 365≈2.7145675.从理论上探讨,如果计算复利的周期无限缩短,或者说如果银行允许对客户时时刻刻均以复利计息,依旧假定年利率为100 % ,那么年初1 元的本金到了年终时其本利和应为lim(11/)( 2.718281828)n n n e →∞+==这个故事为我们提供了我们了解数e 的一个有趣模型. 如果可能的话把它介绍给学生们,不是很好吗?序列{(11/)}n n +的极限的存在性主要基于该序列的单调递增性与有界性,而这两点是不难证明的. 当然, 面向学生时, 这种证明是可以省掉的.上述极限很容易推广成下列形式lim(11/)x x x e →∞+= 这个极限是微积分学中两个重要极限之一. 有了它立刻就推出lim(1/)n x n x n e →∞+=其中x 为任意实数. 这个结果仍可用复利做出解释:上式告诉我们,如果银行的年利率不是1 ( = 100 %) , 而是x ( = 100 x %) , 在每时每刻以复利计息的条件下,那么年初的1 元本金到了年终则其本利和为x e .这些故事当然是虚构的. 但自然界确实存在着每时每刻“复利计息”的例子:比如放射物质的衰变所遵从的规律就是0()kt m t m e -= ,其中0m 为放射物的初始质量, ()m t 为放射物在时刻t 时的质量, k 为一正的常数. 放射物质的衰变,相当于在前述例子中,利率为负数(- k) 的情况, 初始值由1 改为0m ,而时间间隔从一年换成了从0 到t. 这样,以e 为底的指数函数描述这类自然现象时有特殊意义.3 自然对数的几何模型前面我们讲到了Huygens 的重要观察,并提到他观察实际上给出了自然对数的一个几何模型. 现在我们来介绍他的观察.假定在平面上给定了坐标系Ox y ,并考虑由双曲线1y x =、x 轴、直线x = a 和x = b 所围成的一个曲边梯形,也即集合{(,)|;01/}x y a x b y x ≤≤≤≤由于这个曲边梯形依赖于参数a 和b , 所以我们把曲边梯形的面积记为(,)S a b .Huygens 的重要结论是, (1,)y S x =是一个对数函数,也即满足下列条件:(1,)(1,)(1,)(0,0)S ab S a S b a b =+>> .正像前面所指出的,有了这样一个函数,人们就可以利用它编制对数表,设计计算尺,把乘除运算变成加减运算.假如在今天, 我们运用微积分的知识, Huygens 的这个结论是十分显然的:函数1y x =自1到一点x 0(>0) 的定积分就是lnx 0 . 因此,这里的(1,)y S x =实际上就是y=lnx.当时Huygens 并不知道微积分———虽然Huygens 与Newton 和Leibniz 是同一时代的人,但Huygens 做该项研究时,有关微积分的论文都未发表. 那么, Huygens 是如何得到他的结论呢?其实,事情并不复杂. 利用面积的可加性, 立刻可以看出:(1,)(1,)(,)S ab S a S a ab =+因此,为了证明我们的结论只需说明(,)S a ab =(1,)S b 就足够了.事实上,读者可以自行验证, 在(1,)S b 所对应的曲边梯形{(,)|1;01/}x y x b y x ≤≤≤≤,与(,)S a ab 所对应的曲边梯形{(,)|;01/}u v a u ab v u ≤≤≤≤之间,存在着一个一一对应: u = ax , v = y/ a.它是一个线性变换,在x 方向拉长了a 倍,同时在y 方向缩短了a 倍.因此, 它保持面积不变. 这样,我们就证明了(1,)S b = (,)S a ab , 进而也就证明了y = (1,)S x 是一个对数函数.现在我们来考察Huygens 所提出的对数函数y =(1,)S x 的底. 如果使用微积分的知识,可知(1,)S x = ln x , 那么它的底显然就是e. 现在, 我们要在不使用微积分的条件下来说明这件事.我们知道,一个对数函数()y f x =的底就是使得()f x = 1 的x 的值. 现在假定E 是对数函数y =(1,)S x 的底,也即(1,)S E = 1 ,下面要证明E = e. 显然, y =(1,)S x 是x 的连续函数, 严格递增. 所以为了证明E = e , 只要证明lim (1,(11/))1n n S n →∞+=就足够了. 我们考察曲边梯形 {(,)|111,01}n T x y x n y x =≤≤+≤≤ .让我们画出曲线y = 1/ x 与梯形n T 的图形,立刻就会从直观上看出, n T 的面积大于宽为1/ n 、高为1/ (1 + 1/ n) 矩形的面积,并且小于宽为1/ n 、高为1 的矩形的面积. 这也就是说1(1)(1,11)1n S n n +<+<由此就推出lim (1,11/)1n S n →∞+=. 另一方面, 由对数的性质,我们有(1,11/)(1,(11/))n nS n S n +=+.所以上述极限lim (1,11/)1n S n →∞+=就证明了我们所要的结论: Huygens 所提出的对数函数y=S(1,x) 的底就是数e —Bernoulli 所讨论的极限.总之, 我们把Bernoulli 关于数e 模型与Huygens 关于自然对数的几何模型完全沟通了.为什么要把这样的对数称作自然对数呢? 这是因为它在所有对数中是最简单的对数. 事实上, Huygens 的观察可以推广到关于曲线y = c/x 的情形,其中c ≠0 是任意常数. 对每一个c ≠0 ,曲线y = c/ x 都对应着一种对数函数. 反过来, 可以证明,每一种对数函数都有一个c ≠0 , 使得它是关于曲线y = c/ x 的一种曲边梯形的面积. 在所有对数中, c = 1 的情形最为简单,最便于计算,因此人们称之为自然对数.4 引入数e 意义数e 的发现与广泛使用, 在数学的发展中曾起了重要作用. 以e 为底的指数函数x y e =及以e 为底的对数函数y =lnx ,自Euler 之后, 便成为基本初等函数,在分析学以及其他应用领域中扮演着重要角色.在微积分的发展中, 数e 的引入与自然对数的建立的最大“功绩”是使得计算一般指数函数x y a =的导数成为可能. 学过微积分的人,都知道下列公式:()ln (0)x x a a a a '=>.这个公式表明,一般指数函数的导数计算,必然要借助于自然对数. 如果没有数e , 自然也就没有ln a ,那么函数x y a =的导数也就没法计算了.以e 为底的对数(即自然对数) , 在一般对数函数中是最简单对数函数. 这一点前面已经提到.它的简单性还体现在其导数上. 从微积分学中我们知道:(ln )1;(log )1(ln )a x x x x a ''==这里我们看到,一般对数的导数公式不仅较为复杂,而且还不可避免地还要用到自然对数. 可见,自然对数更为基本. 与公式(ln )1x x '=相对应的是下列简洁的事实:()x x e e '= ,即以e 为底的指数函数的导数是它本身. 这一事实使x e 的幂级数展开式有一个特别优美的形式:231/1!/2!/3!/!x n e x x x x n =++++++如果读者已经知道另外两个展开式:3521242sin /1!/3!/5!(1)/(21)!,cos 1/2!/4!(1)/(2)!n n n n x x x x x n x x x x n +=-+++-++=-+++-+那么,在x e 的展开式将x 换成ix ,立刻就导出了:cos sin ix e x i x =+.这便是已经提到的欧拉公式. 它是复数运算以及复变函数论中的最基本的公式. 在这个公式中,令x =π即得到1i e π=-数学中三个最重要的常数π, i , e ,在这里却如此简单巧妙地结合在一起,令人感叹不已.总之, 可以设想, 如果没有数e , 整个数学的面貌就不会像今天这样多姿多彩.注:本文是根据作者2006 年在一次北京数学会召开的中学数学教学改革研讨会上的讲演稿改写而成. 作者并不主张在中学的教学中讲述过多的有关数e 的内容, 没有那样的必要与可能. 但是,在讲到数e 时, 试着讲一讲它的定义, 让学生们知道什么是数e ,似乎没有大的困难.。
关于e的来源 (1)
关于e 的来源与思考数学中e 的应用非常广泛，在我们测控专业中，e 更是贯穿整个主干课程知识学习过程的一个数字。
那么e 是怎么来的呢，科学家为什么要总结出这样一个数来呢？为什么很多运算要用到这个“欧拉常数”呢？我们可以通过假想科学家是如何发明这个数的，发明这个数的意义又是如何的？它与现实规律又是如何紧紧联系在一起的呢？我们可以从几个方面去加以总结：1、 从自然界的一般变化规律中加以总结；2、 从人性的规律中加以总结；3、 从离散过渡到连续中去加以总结；4、 从有限过渡到无限的规律中去加以总结。
一、 相似性问题的规律认识1、银行存款及利息计算；存款越多，利息越大，存款量在时刻变化，利息也在时刻变化；利息与存款的相对变化量不变。
2、烂苹果规律，猴子吃果的规律；苹果越多，烂掉越多，苹果越来越少，烂的也越来越少；苹果烂的数量相对于与苹果数量的百分比不变。
3、电子产品失效规律；电子产品失效率不变，产品越多，失效越多；产品数在时刻变化，单位时间内失效的产品数也在时刻变化，但失效产品数与当前产品剩下量成正比。
5、 细胞繁殖规律；细胞由一变二，有二变四，细胞数量越来越多，繁殖越来越快，但单位时间的繁殖量与当前细胞数量呈正比。
6、 水桶底部漏水规律；7、医院量体温时，温度计上升规律；8、RC 电路阶跃响应规律；9、药物衰减规律（半衰期）；10、元素衰减规律；11、人的幸福感或幸福指数规律；12、国民经济增长规律；13、学生花钱的一般方法；等等，所有这些问题具有相似性，即相对变化量保持常数的规律问题。
它们的计算需要引入方法加以计算。
二、规律计算及e 的由来1、银行利息方面的计算规律：我们假设年利息，月利息，日利息分别为αy ，αm ，αd ，那么100元钱一年后分别用不同的方法计算得到的结果分别为：()y α+⋅1100()()()12110011100m m m ααα+⋅=++⋅ ()()()365110011100d d d ααα+⋅=++⋅同样的，当时间单位取得越来越小，及小时、分、秒、毫秒、微秒、纳秒以及皮秒时，假设利息率分别为：αh ，αmin ，αsec ，αms ，αus ，αns ，αp 时，那么一年后100元钱的计算结果为： ()24*3651100h α+⋅()60*24*365min 1100α+⋅()60*60*24*365sec1100α+⋅ ()1000*60*24*3651100msα+⋅ ()1000*1000*6*24*3651100nsα+⋅ ()1000*1000*1000*60*24*3651100ps α+⋅ 由此可见，当时间单位取得越小，那么指数越来越大，其实此时相对的利息率值越来越小。
自然对数e的由来
自然对数e的由来让我们先来看一个约公元前1700年巴比伦人提出的利息问题：以20%的年息贷钱给人，何时连本带利翻一番？问题相当于求解指数方程（1+0.2/x）^x=2这类复利问题我们今天每一个储蓄的人都还会遇到。
如果设本金为1，则历年本利和就是这样一个等比数列：1.2，1.22，1.23，1.24，1.25，1.27，…。
上述等比数列乃是一年复利一次的情况下得到的历年本利和，如果每半年复利一次，那么第一年的本利和为，比一年复利一次多了点；如果一个季度复利一次，那么第一年的本利和为，比半年复利一次又多了点；如果每月复利一次，那么第一年的本利和为，比一季度复利一次又多了点；如果每天复利一次，那么第一年的本利和为1，比每月复利一次又多了点。
如果每时、每分、每秒复利，第一年的本利和分别为1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574。
从上面的计算可以看出，年率一定，分期复利，期数增加，本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加，本利和并不会无限制地增大，而是有一个“封顶”，永远超过不了。
这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和，用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限。
稍懂点微积分就能算出这个极限等于，它的底数是，它就是自然对数的底。
18世纪，瑞士大数学家欧拉首次用字母e来表示它，一直沿用至今。
其值是2.71828……，是这样定义的：当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
你看，随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.718281828……这个无限不循环小数我们不知道巴比伦人是否考虑过连续复利的问题，但肯定的是，他们并不知道e这个数。
直到1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli,1654～1705）在研究连续复利时，才意识到问题须以当时的极限来解决，但伯努利只估计出这个极限在2和3之间。
e最早的起源
e最早的起源一、e最早的起源，复利问题《威尼斯商人》里刻画了以贪婪和狠心而闻名的高利贷商人夏洛克。
其实这个历史背景是地理大发现带给欧洲繁荣以后,金融业逐渐发展,高利贷引发了一系列的贷款问题。
贷款自然会带来利息问题.最简单的利息是单利：如果你曾经在银行办理过定期存款，那么你不难理解单利，假设三年期定期存款的利率为3.5%,你存入100元，那么三年后你取出来，利息是3.5%*3=10.5元。
利息跟本金将一并支付给你。
（这里讨论均不考虑利息税）稍微复杂一点的是按一定期限计算利息的方式：目前我国七年期记账式国债的采用的是按年计算利息的方式，假设国债利率是3.5%，那么你买了100元国债，每经过一年，便支付3.5元的利息，到最后一年一并支付最后一次利息和本金。
乍看起来似乎一样，但是明眼人一下子就可以发现，后者的收益比前者高。
因为后者的利息是按年支付的，当先收得利息之后，立刻就可以把利息拿来再次投资。
投资之后仍然会产生利息。
于是加起来，总收益比前者要高。
这样就产生了复利的计算方法，（我国民间叫“利滚利”），比如按10年放出6%利息的贷款，按年计算复利，那么对于每一元前，第一年末得到1+0.06，第二年末得到(1+0.06)*(1+0.06),第三年末总共得到(1+0.06)*(1+0.06)*(1+0.06),....不难看出，对于每一元钱，复利的计算公式是S=(1+i)exp(n)其中i是复利率，n是计息次数。
按这个公式计算，可以看到按6%这个利息率，按年收复利的话，十年前的1元钱会变成10年后的1.79元。
复利可以按年计算，也可以按月计算，甚至按天计算。
如果年复利率不变，月利率就是年利率/12，日利率就是年利率/365.25我们仍按上面公式计算一下，S=（1+5%%）^120=1.819S=(1+0.0001644)^3652.5=1.822总的趋势是：随着计息间隔的缩小，本利和在加大。
那么，有些贪心的夏洛克就在想了，假如在理论上，我可以让复利的计息间隔缩短到1小时，1分钟，1秒种，甚至是每个瞬间，（理论上）的，那我会怎么样？我们可以得到一个对任意计息间隔适用的一般的公式：S=(1+i/t)^n*t => S=((1+i/t)^t)^n在这里，t代表一年内计多少次利息？n代表经过多少年？i仍然代表年复利率。
e是怎么得到的
e是怎么得到的e（自然数）是一种常用的数学常数，约等于2.71828，又称欧拉常数。
e 常用于计算期望、反演、插值等数学问题。
e 这个数字是由欧拉（Leonhard Euler）在1707年发明的，当时他正在研究幂函数的性质。
在他的研究中，欧拉发现了一个数学公式：f(x) = ex这个公式可以将任意实数x 转化为一个复杂的函数。
欧拉发现，当x=1 时，这个函数的值约等于2.71828，于是他就把这个数字命名为e。
e 这个数字非常的重要，因为它在数学和物理学中有许多的应用。
例如，在统计学中，e 常用于计算期望值；在信号处理中，e 常用于计算指数函数；在概率论中，e 常用于计算概率分布函数。
因为e 这个数字在数学和物理学中有广泛的应用，所以它被称为"自然数"，也被认为是数学中最重要的数字之一。
e 这个数字的出现也改变了我们对数学和物理学的理解。
例如，在欧拉发现e 之前，人们对于指数函数的理解是有限的，但是欧拉的发现使得人们对于指数函数的理解得到了极大的拓展，这也使得人们对于概率论和统计学的理解变得更加深入。
e 这个数字的出现也改变了我们对于数学和物理学的理解。
例如，在欧拉发现e 之前，人们对于指数函数的理解是有限的，但是欧拉的发现使得人们对于指数函数的理解得到了极大的拓展，这也使得人们对于概率论和统计学的理解变得更加深入。
此外，e 这个数字在数学和物理学中还有许多其他的应用。
例如，在微积分中，e 常用于计算极限、导数和积分；在力学中，e 常用于计算能量、动量和势能；在化学中，e 常用于计算化学反应速率。
总的来说，e 这个数字是一个非常重要的数学常数，在数学和物理学中有广泛的应用，对于我们对于数学和物理学的理解有着重要的影响。
e的由来
e的由来e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。
有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。
它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。
但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。
第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。
1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。
虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。
另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。
不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。
指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。
e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。
这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。
自然常数e
自然常数e【摘要】超越数主要有自然常数e和圆周率π。
自然常数e的知名度比圆周率π低很多，原因并不是自然常数e应用的少，恰恰相反自然常数e在科学技术中的应用极为广泛。
因此对自然常数e知识的普及很有必要。
以下从自然常数的由来、自然常数的数学定义、e与自然律以及自然律在自然中的体现等四个方面对自然常数e给出简单的论述。
【关键词】自然常数e 螺旋自然律黄金律在数学中，e是一个极为常用的一个超越数之一，超越数主要有自然常数e 和圆周率π。
自然常数e的知名度比圆周率π低很多，原因并不是自然常数e应用的少，恰恰相反自然常数e在科学技术中的应用极为广泛。
1 自然常数e的由来e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。
以e为底数的对数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法。
能够这么做的前提是，要有一张对数表，虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有数学家开始编对数表。
对数表取多少作为底数最合适呢？他做了如下考虑：（1）所有乘数，被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
（2）那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。
（3）这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。
（4）为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。
总的来说就是，越大越好。
在选了一个足够大的（越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，就可以算，，…… 那么对数表上就可以写上的对数值是1，的对数值是2……（以作为底数）。
e的故事-数学史话
e的故事-数学史话>来讲讲自然底数e的故事。
相对于大家都知道的圆周率π，自然底数e知道的人可能就会少很多了，但如果你是一个从事金融行业的人的话，这个数字会伴随你工作的始终。
ee是一个自然常数，约等于2.7182818284··，跟π一样，它又是一个无理数。
要想了解e，我们就得从古希腊开始说起。
古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，无数著名的科学家如璀璨的新星耀眼夺目：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、亚里士多德、欧几里得等等，他们在各自的领域里面都取得了开创性的成果。
古希腊人把自然的概念引入到社会领域，来分析社会中的现象和规律，比如亚里士多德就曾经激烈地抨击借贷，他认为在所有赚钱的方法中，利息是最不自然的。
以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。
比如英尺（foot）的长度是根据人的脚长来规定的，就很不可靠，但是海里的长度是地球周长的一角分的长度，就非常接近自然。
海里的定义现在我们再从古希腊往前，来到7000年前的苏美尔时代。
苏美尔人是第一个发明利息的人。
在苏美尔文字中，利息的单词mas原意就是牲畜的幼崽，随着时间的推移，利息的含义跟牲畜渐渐脱离的关系，这和汉字中的货币、财产等词中都含有“贝“字是一样的，因为3000多年前的夏商时代，海贝壳就是作为流通的货币使用的。
埃什嫩那法典可是说了半天利息，跟e有什么关系呢？不要急，现在就来。
我们假设你在银行存了1元钱，银行对你非常好，好到逆天，年利率达到100%，银行一年结一次帐，一年后，你的存款余额就等于本金+利息，变成了2元。
这时候银行说咱们半年一结吧，于是一年后你的存款余额是本金+利息，变成了2.25元。
银行又说咱们一季度一结吧，于是你年底的余额约为2.37。
假如这时候银行人（sang）品（xin）爆（bing）发（kuang）,每天一结，这样下来，一年后你的余额约为 2.71456748202元，那如果银行每一秒都给你结息呢，全年下来约为2.7182817813元，费了这么半天劲，一年下来也没多挣多少钱啊。
e的定义及推导证明
e的定义及推导证明好的，以下是为您创作的关于“e 的定义及推导证明”的科普文章：当我们谈到数学中的“e”，你可能会感到有些陌生和神秘。
但别担心，让我们用一种轻松有趣的方式来揭开它的面纱。
想象一下，你有一笔钱要存进银行。
假设银行每年给你 100%的利率，那么一年后，你的钱会翻倍。
这很容易理解，对吧？但是现在，我们来玩个有点不一样的游戏。
假如银行不是一年给一次利息，而是半年给 50%的利息，会怎么样呢？半年后，你的钱就会变成原来的 1.5 倍。
再过半年，又乘以 1.5，这样一年下来，你的钱变成了原来的 1.5×1.5 = 2.25 倍。
那如果银行更勤快，每个月给 1/12 的利息呢？一年后，你的钱就变成了大约 2.61 倍。
如果继续细分，每天给利息，甚至每一秒给利息呢？当这个时间间隔无限缩短，一直到极限的时候，你最终得到的钱数会趋近于一个固定的值，这个值大约是 2.71828......这就是“e”的一个通俗解释。
从数学上来说，“e”的定义是这样的：当 n 趋向于无穷大时，(1 +1/n)^n 的极限就是“e”。
那“e”是怎么推导证明出来的呢？这就需要用到一些高等数学的知识啦。
我们先来看一个函数 f(x) = (1 + 1/x)^x 。
对它取自然对数，得到ln[f(x)] = x ln(1 + 1/x) 。
然后，我们使用泰勒展开公式来展开 ln(1 + 1/x) ，得到 ln(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) +... 。
将其乘以 x ，得到 x ln(1 + 1/x) = 1 - 1/(2x) + 1/(3x^2) - 1/(4x^3) +... 。
再对 x ln(1 + 1/x) 求极限，当 x 趋向于无穷大时，后面的项都趋向于 0 ，所以极限就是 1 。
因为 ln[f(x)] 的极限是 1 ，所以 f(x) 的极限就是 e ，即“e”的值约为2.71828 。
自然对数e的推导过程
自然对数e的推导过程
e是指自然对数的底数，它的特殊性在于只有一个有理数使得函数f（x）=x，
恰好经过点（1,1）。
指数函数的定义为f（x）=ax，其中a是任意正数（大于零）值。
令a=e，则指数函数为f（x）=ex，即指数 fuguenxuan 函数为具有特殊底数（e）的指数函数，即自然对数函数。
早在17-18世纪，杰索尔（Jacques Bernoulli）就提出了指数函数f（x）＝ax，因为f（x）是关于x的等式，f（x）中的函数项必须”对称“，才能让x两
边的值相等。
这个特定的底数得到了许多有影响力的数学家和物理学家的关注，他们试图通过不同的方法来求出e的值，但都没有成功，于是，现在就有了e的符号表示法，方便使用。
Leonhard Euler（Leonhard Euler）最早将e称为“自然对数的底数”，因为
他发现e的取值是自然对数尤以求解各种复杂问题，而在19世纪末，他运用模型
函数和周期函数来推导了e。
1900年代，数学家拉普拉斯（pôlynôme de laplace）发现将他的模型曲线带入原函数，结果会接近现在e的推导值。
后来，许多数学家早期都在尝试通过不同的方法求出e 的值，比如用指数函
数扩展家庭的形式得到了e ，但至今没有一个能完全解释e 的道理定义。
如今，e 已经成为数学中最有用的定义，已应用在很多的研究领域，包括财务、生物物理、复变函数及随机过程中。
自然对数在计算中也具有重要的应用价值，使得其他更复杂的函数可以在计算机中快速运算。
因此，自然对数e的出现带来了极大的方便，它可以用来衡量复杂的技术问题，对于计算机也有重要的意义。
趣谈无理数之e的由来
趣谈无理数之e的由来
对我们来说无理数e似乎是一个纯数学问题，高中在学习指数和对数函数时，数学书上告诉我们的答案是e是一个无理数，它近似等于2.71828……，而且这个指数函数具有一个很好的性质——它的导数（gradient）图像和本身是重合的，e到底是什么，为什么会有这样一个无理数呢？事实上,对于自然对数的底e 是有其生活原型的。
在历史上,自然对数的底 e 与曾一个商人借钱的利息有关：
从前，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，年利率100%，即一年后利息1元，商人要连本带利还2元。
财主一想，利息好多呢，如果半年结一次，利率就是50%,这样一年就连本带利=2.25元，也就是半年结一次账比之前的利息还要多。
财主又想，如果一年结3次，4次，5次，……365次，……那岂不是要发财啦？财主继续算了一算，如果一年结3次，利率为1/3，一年之后连本带利是=2.37037……元；如果一年结算4次，利率为1/4，一年后连本带利是=2.44140元；财主激动地想，如果一年结算1000次，本利和是,看起来这么大的数，我岂不是要发了？OK，让我们来认真算一下，结算1000次，本利和是2.71692元，看来是要令财主大失所望了。
财主的想法是，结算次数越多，利息增长的也越快，可他却没预料到，确实是随着n的增大而增大的，但是增加的速率却是越来越小，而且不管n 有多大，本利和永远不会超过一个确定的上限，这个上限就是2.71828……。
因此科学家欧拉就把这个上限记作e，即e=2.71828……，它是自然对数的底。
无理数e的起源及应用
无理数e的起源及应用无理数e是指数函数e^x的底数，它的值约为2.71828。
e这个数的起源可以追溯到17世纪，由数学家约翰·纽曼（John Napier）和莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）共同发现。
然而，e作为一个重要的数学常数，直到近几个世纪才开始受到广泛关注。
e的定义与对数和微积分密切相关。
它最初是由欧拉定义的，欧拉发现了一个特殊的对数函数，通过将这个函数的自然对数与e联系起来。
e的定义是：e是一个无限不循环小数，其近似值为2.71828，e^x的导数为e^x，且e^x的积分也为e^x。
这使得e成为微积分中极为重要的数学常数之一。
e的出现有广泛的应用领域。
首先，它在复利计算和自然增长问题中有着重要的作用。
在金融领域，e常被用来计算复利利息，例如存款在一定的利率下的增长。
另外，在生物学和物理学中，e也经常被用来描述自然现象的增长和衰减。
例如，放射性核素的衰变速率就可以用e来描述。
e也在概率论和统计学中有着重要的应用。
在概率密度函数和正态分布中，e被广泛使用，它与高斯函数密切相关。
在统计学中，e也是指数分布和泊松分布的基础。
另外，e也在工程学和计算机科学中有着广泛的应用，例如在信号处理和控制系统中的微分方程解法中。
除此之外，e还在实际计算和科学研究中发挥着重要的作用。
在计算机科学中，e是自然对数的底，它在计算机编程和信息处理中有着广泛的应用。
在物理学和工程学中，e也常常出现在微分方程和泰勒级数的计算中。
在化学中，e也被用来描述分子动力学和反应动力学等问题。
总的来说，e作为一个无理数，具有广泛的应用价值。
它在数学领域和自然科学中扮演着重要的角色，无论是在微积分中的连续函数还是在概率论中的分布函数中，e都起着重要的作用。
它的发现和应用极大地促进了科学技术的发展，对人类生活和社会进步产生了积极的影响。
因此，e可以说是一个非常重要的数学常数，具有深远的意义和广泛的应用前景。
e公式数学
e公式数学
【最新版】
目录
1.公式与数学的重要性
2.E 公式的起源和发展
3.E 公式的应用领域
4.E 公式对数学和科学的影响
正文
数学是我们生活中不可或缺的一部分，它以其独特的魅力吸引着无数人去探索。
在数学的世界里，公式是各种理论和概念的基石，它们将数学的各个领域紧密地联系在一起。
而在众多的公式中，E 公式以其独特的性质和广泛的应用，成为了数学领域中一颗璀璨的明珠。
E 公式，即自然对数的底数，是数学中的一个重要常数，它的值约为
2.71828。
它的起源可以追溯到 18 世纪，当时英国数学家欧拉（Euler）在研究一些指数和对数的问题时，发现了这个常数，并将其命名为 E。
从那时起，E 公式就开始在数学的各个领域中崭露头角，其应用范围不断扩大。
E 公式在微积分、概率论、复分析等数学领域中都有着广泛的应用。
例如，在微积分中，E 公式常常出现在求解指数和对数函数的极限问题中；在概率论中，E 公式是概率分布的指数函数的底数，用于描述随机变量的概率分布；在复分析中，E 公式与复数的指数函数和三角函数密切相关，对复分析的理论体系有着重要影响。
E 公式对数学和科学的影响深远。
它不仅推动了数学的发展，还将数学与其他科学领域如物理学、生物学、经济学等紧密地联系在一起。
E 公式的应用使得各个领域的研究变得更加精确和高效，为科学的进步做出了巨大贡献。
总之，E 公式是数学领域中的一个重要组成部分，它的应用和影响已经超越了单纯的数学领域，成为了整个科学世界不可或缺的一部分。
数学e的定义
数学e的定义
数学e，又称自然对数，是指存在于数学中的特殊常数。
它是一个不断增长的无穷大数，表示为“e”。
它具有连续性，也可以用于完成若干对数相关计算，有着重要的学术价值。
数学e定义为了尽可能接近某种实现的某种特定的积分，特指基于exponential的极限形式的某种特定的积分，在极限形式的数学中，它表示无穷级数的构建方式，可以清楚地说明构建相应的数列的规则。
这个数e的存在，使得我们对对数研究有一种更加清晰的认识和计算方案，可以说是数学研究中不可或缺的一个重要步骤。
数学e的出现，最大限度地简化了数学中许多计算繁琐的问题，从而使得各种数学知识的理解变得更加深刻和实用。
它被应用在数学中许多方面，如对对数，复数等概念。
从数学教学的角度来看，我们不但要知道数学e的定义，而且要熟练掌握它的相关方法和用法，以及应用到实际中的一些示例。
这能够帮助学生深入了解数学概念，加深对数学知识的理解，并增强自己的感知能力和思维能力。
总之，数学e是数学研究中的一个重要常数，尤其是对数的学习中，如果掌握它的定义和含义，就可以更好地理解并掌握相关的数学概念，及加深自身数学知识的深度和广度，同时也能够在更大的计算中有更好的应用效果。
高中数学拓展知识-e是无理数
e 是无理数自然常数用字母e 来表示，以e 为底的对数叫自然对数，用lnx 表示，l 表示logarithm (对数)，n 表示nature (自然)。
在分析学中，比较常用的计算e 的方法主要有两种，其一是利用极限1(1)n n e n lim →+∞=+，另一种方法是利用级数1111111+++1!2!3!4!5!n!e =+++++e 和π都是无理数，证明e 是无理数比证明π是无理数要容易。
1737年欧拉利用无限连分数初步证明了e 和e 2是无理数。
下面介绍中国数学家夏道行证明e 是无理数的思路。
假设e 是有理数，设为qp，(,p q 为互素自然数) ，任取n p >，则由 1111111+++1!2!3!4!5!n!e =+++++两边同乘以!n 可得()()()11!!!1431112n e n n n n n n n =++-⋅++++++++()*而!=!123(1)(1)qn e n p p n q p=⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯，所以，()*式左端为正整数，故右端也应为正整数，但右端前1n + 项之和为正整数，而余项之和1n R + 却满足()()()()()11110112123n R n n n n n n +<=+++++++++()()()()222211111122111121121112n n n n n n n n n n ⎡⎤++<+++=⋅=<=≤⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦-+， 即1n R +不是整数，从而()* 式右端不是整数，产生矛盾，所以e 是无理数。
既然e 是无理数，那么只能计算e 的近似值，下面我们介绍求e 的近似值的方法。
欧拉在研究e 时逐渐发现一些新的公式，他发现很多连分数可以表示成与e 有关的代数式，比较典型的有两种，第一种12111211111411116...e =+++++++++其连分数的法则是第i 个分数符号下的数字为：若1i +可以被3整除，则第i 个分数符号下的整数为2(1)3i +，其余为1。
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读读Euler，读读Euler，他是我们大家的老师。
P．S．Laplace
e的来历
e是数学中最重要的数学常数之一，称为自然常数，是自然对数的底数。
它最先由瑞士数学家欧拉在1727年使用。
e进入人们的研究视野经历了一个漫长的过程。
这个过程如下表：
表3-1
时间事件
1618年约翰•纳皮尔于出版的对数著作附录中的一张表
第一次提到常数e，但它没有记录这常数，只有由
它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是
由威廉•奥特雷德(William•Oughtred)制作。
1683年雅各•伯努利(Jacob•Bernoulli) 第一次把e看为
常数
1690年和1691年莱布尼茨给惠更斯的通信中第一次用到常数e并
以b表示。
1727年欧拉开始用e来表示这常数
1736年e第一次在出版物用到是欧拉的《力学》
(Mechanica)。
1737年Euler基本证明了e和e2是无理数
1873年夏尔•埃尔米特(Charles•Hermite)证明e是超越
数。
e是什么？e是增长的极限！
假设一个单细胞，每20分钟分裂一次。
我们以20分钟为一个单位时间。
显然，这种细胞的数量增长如下表：
x0123…
y1248…
因此，我们得到y=2x。
将上式改写为y=（1+100%）x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。
假设这种细胞10分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每10分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为50%。
因此，20分钟后这种细胞的数量
y=（1+100%
2
）2=2.25。
也就是说，20分钟后，我们一共得到了2.25个细胞。
其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
假设这种细胞5分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每5分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为25%。
因此，20分钟后这种细胞的数量
y=（1+100%
4
）4=2.44140625。
一般地，如果我们进一步假设，这种细胞分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么20分钟最多可以得到多少个细胞呢？
实际上，这种细胞的数量y=（1+ 1
n
）n。
当n→+∞时，这个式子的极值等于e=2.718281828…。
即
1
(1)n
n
e
n
lim
→+∞
+=。
因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。
数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫作自然对数。
以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，后人把这个规律叫作“自然律”，其中e是自然律的精髓。