高中数学拓展知识-e的来历

读读Euler，读读Euler，他是我们大家的老师。

P．S．Laplace

e的来历

e是数学中最重要的数学常数之一，称为自然常数，是自然对数的底数。

它最先由瑞士数学家欧拉在1727年使用。

e进入人们的研究视野经历了一个漫长的过程。这个过程如下表：

表3-1

时间事件

1618年约翰•纳皮尔于出版的对数著作附录中的一张表

第一次提到常数e，但它没有记录这常数，只有由

它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是

由威廉•奥特雷德(William•Oughtred)制作。1683年雅各•伯努利(Jacob•Bernoulli) 第一次把e看为

常数

1690年和1691年莱布尼茨给惠更斯的通信中第一次用到常数e并

以b表示。

1727年欧拉开始用e来表示这常数

1736年e第一次在出版物用到是欧拉的《力学》

(Mechanica)。

1737年Euler基本证明了e和e2是无理数

1873年夏尔•埃尔米特(Charles•Hermite)证明e是超越

数。

e是什么？e是增长的极限！

假设一个单细胞，每20分钟分裂一次。我们以20分钟为一个单位时间。

显然，这种细胞的数量增长如下表：

x0123…

y1248…

因此，我们得到y=2x。

将上式改写为y=（1+100%）x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。

假设这种细胞10分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每10分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为50%。因此，20分钟后这种细胞的数量

y=（1+100%

2

）2=2.25。

也就是说，20分钟后，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。

假设这种细胞5分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每5分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为25%。因此，20分钟后这种细胞的数量

y=（1+100%

4

）4=2.44140625。

一般地，如果我们进一步假设，这种细胞分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么20分钟最多可以得到多少个细胞呢？

实际上，这种细胞的数量y=（1+ 1

n

）n。

当n→+∞时，这个式子的极值等于e=2.718281828…。

即

1

(1)n

n

e

n

lim

→+∞

+=。

因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫作自然对数。

以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，后人把这个规律叫作“自然律”，其中e是自然律的精髓。