项目反应理论的参数估计

L(θα | a1, b1, c1,K, a3, b3, c3; uα1, uα 2, uα 3) = ∏ P Q
uαj αj j =1
3
1−uαj αj
极大似然估计
L =∏∏P Q
α =1 j =1
uαj αj N m 1− u α j αj
将似然函数L取极大值的自变量 将似然函数 取极大值的自变量 取值作为待估参数估计值的估 计方法， 计方法，就称为极大似然估计方 法（MLE）。 ）。
j =1 m m
非线性方程
g (θα ) = ∑ Daj (uαj − Pαj ) = 0
j =1 m
1 − cj (uαj − Pαj ) g (θα ) = ∑ Daj =0 Pαj − cj Pαj j =1
牛顿-拉夫逊迭代（ 牛顿-拉夫逊迭代（N-R）
g(θ)
(xk, g(xk))
g ( xk ) = g ' ( xk )( xk +1 − xk )
∂ ln L g (θ k ) θk + 1 = θk − = θ k − 2∂ θ θ g ′(θ k ) ∂ ln L ∂θ 2
1 PLM
g (θ ) =
∑ D (u α
j =1 m j =1
m
j
− P αj)
g ′ (θ ) = − D 2 ∑ P α jQ α j
迭代初值
θ 0 = ln
∑ uα
L(1,1,1 | θα , a1, b1, c1,K, a3, b3, c3) = Pα 1Pα 2 Pα 3
可以认为： 可以认为：当项目参数和能力参数已知 时，最大的似然函数值所对应的那个作 答模式最有可能成为被试的实际作答模式。 答模式最有可能成为被试的实际作答模式。
极大似然估计
接着就有极大似然估计的思路： 假如项目固定且项目参数已知，作答模 假如项目固定且项目参数已知， 已知，但能力未知， 式U已知，但能力未知，现在要对能力进行估 计。那么能力为多少的被试最有可能得到这 种作答模式呢？也即要求使得似然函数L最大 的能力值。
j =1
m
j
m−
∑ uα
j =1
m
j
被试在测验中的得分与失分之比的自 然对数作为该被试的能力初值. 然对数作为该被试的能力初值.
流 程 图
能力估计中常用的一些特殊技术 : (1) 关于精度取值问题(ε = 0.01或ε = 0.001) (2) 关于全对全错的问题 (3) 关于发散的问题 : g ( xk ) 改用θk + 1 = θk − λ g ′( xk ) (4) 改变不收敛的方法之一 :修改初值 (5)固定迭代次数(e.g . 20次) (6) 控制能力解越界问题
渐近有效性： ★ 渐近有效性：
对大样本而言，极大似然估计量的抽样分布 方差达到了理论下界，即没有其它一致性的估计 值有更小的抽样方差。
极大似然估计
u 讨论如何使用MLE估计L = ∏∏ Pααj Q1−uαj 中N + 3m个 j αj N m
α =1 j =1
未知参数(其中N个能力参数,3m个项目参数)
α =1 j =1
N
m
由高数知识可知 要使ln L得到最大值, 必须令ln L对N + 3m个 , 参数的偏导为 , 有 : 0
∂ ln L ∂θα ∂ ln L ∂bj ∂ ln L ∂aj ∂ ln L ∂cj
= 0 (1 ≤ α ≤ N ) = 0 (1 ≤ j ≤ m ) = 0 (1 ≤ j ≤ m ) = 0 (1 ≤ j ≤ m )
项目反应理论的参数估计
张老师实验室讨论
2008年10月29日 年 月 日
报告内容
★ 参数估计问题转化 ★ 能力参数的条件极大似然估计 ★ 项目参数的条件极大似然估计 ★ 项目和能力参数的联合极大似然估计
为什么要进行参数估计
• IRT用数学模型将可以观察的被试行为（作答反应） 与不可观察的被试潜在特质（被试能力）联系起来, 并将这种关系数学模型化、参数化。 • 数学模型中包含了一组假设 一组假设（单维性假设、局部独 一组假设 立性假设等）、一些数学公式 一些数学公式（1PLM、2PLM、 一些数学公式 3PLM等）以及数学公式中的一组参数 能力参数 一组参数（能力参数 一组参数 能力参数及 项目参数）。 项目参数 • 对IRT模型而言，估计参数是建设题库以及评价被试 估计参数是建设题库以及评价被试 的基础。 的基础。
m
(1) (2) (3) (4)
项目参数已知时对被试能力的估计
∂ ln L ∂ ln L ∂Pαj m Uαj − Pαj ∂Pαj 记g (θα ) = = =∑ =0 ∂θα ∂Pαj ∂θα j =1 PαjQαj ∂θα
1PLM 2 PLM 3PLM g (θα ) = ∑ D(uαj − Pαj ) = 0
e.g. Item Pool Construction 估计难度 最大
问题的转换
• N个被试参加长度为m的测验 • 第α 个被试能力记为 θα (1 ≤ α ≤ N ) ，第 j个项 目的难度、区分度和猜测度分别为 b j , a j和 c j
(1 ≤ j ≤ m)
• 所有项目0-1评分，记
1, 能力为θα的被试答对第j个项目, Uαj = 0, 能力为θα的被试答错第j个项目
因为 L与 ln L有相同的极大值点 , 对L取对数可以得到 :
L = ∏∏ P Q
α =1 j =1
N
N
m
uαj αj
1− uαj αj
ln L =
∑ ∑ (U α × ln P α α
j =1 j =1
m
j
+ (1 − U α j ) × ln Q α j )
ln L = ∑∑ (Uαj × ln Pαj + (1 − Uαj ) × ln Qαj )
被试能力参数已知时估计项目参数
与1PLM中项目参数已知估计被试能力 参数的情形类似,不同之处有二: ∂ ln L
1PLM情形 1PLM情形
一、 迭代公式改为： g (b(jk )) ( k +1) = b(jk ) − (k = 0,1,2, L) bj (k ) g ' (b j ) 二、b(j0 ) 的选取方法改为：
∂ ln L ∂ ln L ∂ a2 f = ∂a Df = 2 ∂ ln L ∂ ln L ∂b∂a ∂b
(0) j
∂θ ∂ ln L =0 ∂b
=0
1 Pαj = 1+ exp( (θα − bj)) −
b
= ln(
N − ∑ Uα j
α =1
N
∑ Uα j
α =1
N
) − ∑ ln(
j =1
m
N − ∑ Uαj
α =1
N
∑ Uα α
=1
N
)
j
m
被试能力参数已知时估计项目参数 2PLM情形 2PLM情形
• 能力为 θα 的被试在m个项目的作答模式记为：
U α = (U α 1, U α 2, LL , U α m ) (1 ≤ α ≤ N )
全体被试的作答模式（作答矩阵）记为U 全体被试的作答模式（作答矩阵）记为U
U = (U αj ) N × m
U 11 U 21 U = U 31 L UN 1 U 12 L U 1m U 22 L U 2 m U 32 L U 3m L L L UN 2 L UNm
通过左边N+3m个式子求得的 个式子求得的 通过左边 N+3m个未知参数的估计值代 个未知参数的估计值代 入lnL中，可以使得lnL得到最 中 可以使得 得到最 大值。 大值。
ln L = ∑∑ (Uαj × ln Pαj + (1 − Uαj ) × ln Qαj )
α =1 j =1
N
m
∂ ln L ∂Pαj = 0即 ∂Pαj ∂θα ∂ ln L ∂Pαj =0 ∂Pαj ∂bj ∂ ln L ∂Pαj =0 ∂Pαj ∂aj ∂ ln L ∂Pαj =0 ∂Pαj ∂cj
uα j αj
1−uαj αj
, uαj = 0,1 (0 < Pαj < 1)
实际上是对（ 实际上是对（1）式 和（2）式的综合
Uαj
P
1
0
Pα j
Qαj
局部独立性假设 局部独立性假设
• 各个被试的作答是相互独立的 • 同一个被试对各个项目的作答是相互独 立的
于是P{U11 = u11,U12 = u12,KK,UNm = uNm} = P{U11 = u11}× P{U12 = u12}×LL× P{UNm = uNm}
一般地，提出一个模型，都应该给出相应的参数估计方法！ 一般地，提出一个模型，都应该给出相应的参数估计方法！
参数估计问题的分类
项目参数已知， ★ 项目参数已知，估计能力参数
e.g. Computerzied Adaptive Testing
★ 被试能力已知，估计项目参数 被试能力已知， ★ 被试能力和项目参数均未知
α =1 j =1
uαj αj
N
m
1− uαj αj
)
似然函数即能力分别为θα (1 ≤ α ≤ N )的被试 在项目参数为aj , bj , cj (1 ≤ j ≤ m)的测验中得到 作答模式U的可能性, 这种可能性用概率描述 就可得到L.
极大似然估计
举例 : 假设有3个项目(项目参数已知), 有一名被试(能力已知为θα ), 现在来确定该被试在这3个项目上的作答模式会是什么? 首先可以 肯定的是, 他 / 她的作答模式为以下 23 = 8种作答模式中的一种 :
模型参数估计的条件
• 确定一个模型 Pαj (1PLM ,2 PLM 或3PLM ) • 有实测数据 (得分矩阵 U ) • 项目间相互独立 • 被试间相互独立
极大似然估计的优点
一致性： ★ 一致性：
样本容量n很大时,极大似然估计值以很高的 概率接近于待估参数。
渐近正态性： ★ 渐近正态性：
样本容量n很大时，极大似然估计量的抽样分 布为正态分布。
i1 0 0 0 0 1 1 1 1 i2 0 0 1 1 0 0 1 1 i3 0 1 0 1 0 1 0 1
由项目参数和被试能力参数，可以计算 该被试分别得到这八种作答模式的可能 性（似然函数）。
L (0,0,0 | θα , a1, b1, c1,K , a 3, b3, c 3) = Qα 1Qα 2Qα 3
Uαj是取值为 0或1的随机变量 , 其观测值是 uαj.
记Pαj是能力为θα的被试答对项目 j的概率
P α j = P {u α j = 1 }
（1）
记 Qαj是能力为 θα的被试答错项目 j的概率
Q α j = P{ u α j = 0 }
（2）
于是我们可以得到随机变量Uαj的分布律为 :
P{ αj = uαj} = P Q U
∂ ln L ∂bj = ∂ ln L = ∂aj
∑ ( − D ) a (U α α
j =1 N =1 j
N
j
− P αj ) = 0
j
∑ D (θ α − b )(U α α
− P αj ) = 0
两个式子都是含有 aj和bj的非线性方程
a x= b
Uαj − Pαj ∂Pαj ∑ PαjQαj ∂θα = 0 j =1 N Uαj − Pαj ∂Pαj ∑ PαjQαj ∂bj = 0 α =1 N Uαj − Pαj ∂Pαj ∑ PαjQαj ∂aj = 0 α =1 N Uαj − Pαj ∂Pαj ∑ PαjQαj ∂cj = 0 α =1
| xk + 1 − xk |< ε
牛顿-拉夫逊迭代（ 牛顿-拉夫逊迭代（N-R）
N-R迭代的三要素： 迭代的三要素： 迭代的三要素
★ 迭代公式 ★ 迭代初值
g ( xk ) xk + 1 = xk − g ' ( xk )
X 0的选取 ★ 迭代终止规则
| xk + 1 − xk |< ε
迭代公式
局部独立性假设 局部独立性假设
反应矩阵U = (Uαj ) N × m的似然函数可以表示成:
L (θ 1,K ,θN , a1, b1, c1,K , am , bm , cm | u 11, u 12 ,K , uNm ) =
∏∏ P α
=1 j =1
N
m
uαj αj
Q
1− uαj wk.baidu.comj
(简写为 : L = ∏∏ P Q
xk +1 − xk
=
−
g ( xk ) g ' ( xk )
| xk +1 − xk |< ε
牛顿-拉夫逊迭代（ 牛顿-拉夫逊迭代（N-R）
g(θ)
(xk, g(xk))
y = g ( xk ) + g ' ( xk )( x − xk )
g (xk ) (x xk + 1 = x k − g ' ( xk )