(新)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
高中数学必修1函数知识点总结
高中数学必修1函数知识总结一、函数的有关概念1 •函数的概念：设A、B是非空的_________ ，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 _____________ 的数f(x)和它对应，那么就称f: A T B为从集合A到集合B的一个函数•记作：y=f(x) , x € A •函数的三要素为 _________________________________________________________ 找错误：① 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；______________________________________②与x的值相对应的y值叫做函数值，所以集合B为值域。
__________________________________ 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.专项练习1•求函数的定义域：类型1•⑴ y ——2x 15⑵ y (2x 1)0⑶ y - 4 x2x 3 log2(x 1)总结：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的•那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义•(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)类型2抽象函数求定义域：1•已知f (x)的定义域，求复合函数f［g x ］的定义域方法总结_________________________________________ 练习1.已知函数f(x)的定义域为1,5，求f(3x 5)的定义域为_____________________________________ 练习2、设函数f (x)的定义域为［0, 1］，则函数f (x2)的定义域为_____________________________________2. __________________________________________________________________________________________ 已知复合函数f［gx］的定义域，求f (x)的定义域方法总结________________________________________________练习1.若函数f(x 1)的定义域为［2 , 3］,求函数f (x)的定义域. ________________________________________ 练习2.已知函数f (x2 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域. _______________________________________ 3. 已知复合函数f［g(x)］的定义域，求f［h(x)］的定义域方法总结_______________________________________练习1.若函数f(x 1)的定义域为［2, 3］，则函数f(2x 1)的定义域是_____________________练习2、已知函数的定义域为0 ,则y=f(3x-5)的定义域为4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
高一数学必修一中的函数图像与性质总结
高一数学必修一中的函数图像与性质总结在高一数学必修一中，函数是一个非常重要的概念，而函数的图像与性质则是理解和掌握函数的关键。
通过对函数图像的观察和分析，我们能够更直观地了解函数的特点和变化规律，从而更好地解决与函数相关的问题。
接下来，让我们一起对高一数学必修一中常见的函数图像与性质进行总结。
一、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
其图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数图像从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数图像从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。
b 的值决定了直线与 y 轴的交点坐标。
当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，图像从左到右上升，b ＝ 1 ＞ 0，与 y 轴交于点（0，1）。
二、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
抛物线的对称轴为 x ＝ b ／（2a）。
顶点坐标为（b ／（2a），（4ac b²）／（4a））。
例如，函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1 ＞ 0，抛物线开口向上。
对称轴为 x ＝（－2) ／（2×1）＝ 1，顶点坐标为（1，－4）。
三、幂函数幂函数的一般形式为 y ＝x^α（α 为常数）。
常见的幂函数有 y ＝ x，y ＝ x²，y ＝ x³，y ＝ x^（1/2) 等等。
当α ＞ 0 时，函数在第一象限内单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限内单调递减。
例如，y ＝ x²在（0，＋∞）上单调递增，y ＝ x^（－1) 在（0，＋∞）上单调递减。
高一数学科必修一知识考点
○1 任取 x1，x2∈D，且 x1 ○2 作差 f(x1)-f(x2); ○3 变形(通常是因式分解和配方); ○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其 规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相 同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫 做偶函数.(2).奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=—f(x)，那么 f(x)就 叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性 的步骤： ○1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称; ○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○3 作出相应结论：若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0，则 f(x)是偶函数;若 f(-x)=f(x)或 f(-x)+f(x)=0，则 f(x)是奇函数. (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象 判定.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左 到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定(A)定义法：(1)任取 x1，x2∈D，且 x1(2)作差 f(x1)-f(x2);或者做商(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差 f(x1)-f(x2) 的正负);
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3.函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型f(x) ax2 bx c,x (m, n)的形式；②逆求法(反求法)：通过反解，用y 来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y ,x (m,n)；cx d④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；常针对根号，举例：-—-- —— -J—J- —- —~ - - - —~ - —L T™Lr——y--1 十一，再利用配方法。
令\戈；-1 = t,则/ = F' + 1，原式转化为：•'亠八:—一+5⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；k⑥基本不等式法：转化成型如：y x (k 0)，利用平均值不等式公式来求值域;x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
^WWWMWVWMWWWWWWV.⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
二•函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1) 增函数设函数y=f(x)的定义域为|，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X i, X2，当X i<X2时，都有f(xi)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数. 区间D称为y=f(x)帀单调增区间—如果对于区间D上的任意两个自变量的值X i,X2,当X i<X2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(Xf的单调减注意：函数的单调性是函数的局部性质；⑴单调性：定义(注意定义是相对与某个具体的区间而言)增函数：对任意的X i ,X2 [a,b],X i X2 f (x i) f (X2) 减函数对任意的X i, X2 [a,b], X i X2 f (x i) f (X2)注：① 函数上的区间I且X i，X2 € I.若f ( X i ) f ( X2 ) >0 ( X i工X2)，则函数f(x)在区间I上是增函数；X i X2若f(x i ) f ( x2 ) < 0 ( X i工X2)，贝寸函数f(x)是在区间I上是减函数。
高中必修一函数全章知识点整理
高中必修一函数全章知识点整理函数复主要知识点一、函数的概念与表示1.映射映射是指集合A中的任意一个元素，都有唯一的元素和它在集合B中对应。
这样的对应关系（包括集合A、B以及A 到B的对应法则f）称为集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
需要注意的是，一对多不是映射，多对一是映射。
2.函数函数由三个要素构成：定义域、对应法则和值域。
当两个函数的三要素相同时，它们是同一个函数。
二、函数的解析式与定义域1.求函数定义域的主要依据：1）分式的分母不为零；2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；3）指数函数的底数必须大于零且不等于1.2.求函数定义域的两个难点问题：1）已知f(x)的定义域是[-2,5]，求f(2x+3)的定义域。
2）已知f(2x-1/x)的定义域是[-1,3]，求f(x)的定义域。
变式练：已知f(2-x)=4-x^2，求f(x)的定义域。
三、函数的奇偶性1.定义：设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x∈A，都有f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：1）y=f(x)是偶函数，当且仅当y=f(x)的图像关于y轴对称；y=f(x)是奇函数，当且仅当y=f(x)的图像关于原点对称。
2）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0.3）奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇×奇=奇，偶×偶=偶，奇×偶=奇（两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称）。
4）奇偶性的判断。
1、已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的偶函数。
当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=x-x^4$，则当$x\in(0,+\infty)$时，$f(x)=-2x+b$。
2、已知定义域为$\mathbb{R}$的函数$f(x)=\dfrac{x+1}{2+a}$是奇函数。
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高中数学 必修1知识点1 第一章 函数概念2 （1）函数的概念3 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在4 集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对5 应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．6 ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．7 ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 8 （2）区间的概念及表示法9 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足10 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合11 叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记12 做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．13注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须14 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． 15 （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：16 ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．17②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．18 ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．19 ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． 20 ⑤tan y x =中，()π⑥零（负）指数幂的底数不能为零．22 ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初23 等函数的定义域的交集．24 ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数25 [()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．26 ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 27 ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 28 （4）求函数的值域或最值29 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中30 存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质31 是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：32 ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．33 ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围34 确定函数的值域或最值．35 ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程36 2()()()0a y x b y x c y ++=37则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值38 域或最值．39 ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．40 ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问41 题转化为三角函数的最值问题．42 ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． 43 ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． 44 ⑧函数的单调性法．45（5）函数的表示方法4647表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．48解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两49个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．50（6）映射的概念51①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B52中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫53做集合A到B的映射，记作:f A B→．54②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把a Ab B55元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．56（6）函数的单调性57①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一58 个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．59 ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =60 为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，61则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．62 （7）打“√”函数()(0)af xx a x=+>的图象与性质63()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，64 分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． 65 （8）最大（小）值定义66 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存67在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；68 （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．69②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都70 有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作71 max ()f x m =．72 （9）函数的奇偶性73 ①定义及判定方法74函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=f(x)．．．．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．75 ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相76 反．77 ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个78 偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 79 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 80 〖2.1〗指数函数81 【2.1.1】指数与指数幂的运算 82 （1）根式的概念83 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次84 n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 负的n 次方根用符85号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．86 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；87 当n 为偶数时，0a ≥．88 ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，89 (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 90（2）分数指数幂的概念91 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于92 0．93②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数94 指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 95 （3）分数指数幂的运算性质96 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ 97③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 98 【2.1.2】指数函数及其性质 99 （4）指数函数100101 〖2.2〗对数函数102 【2.2.1】对数与对数运算 103 （1）对数的定义104 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N105叫做真数． 106 ②负数和零没有对数．107 ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 108 （2）几个重要的对数恒等式109 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．110 （3）常用对数与自然对数111 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 112（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么113①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= 114③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =115⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a bN N b b a =>≠且 116【2.2.2】对数函数及其性质 117 （5）对数函数118(6)反函数的概念119 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果120 对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式121 子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯122 上改写成1()y f x -=． 123 （7）反函数的求法124 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； 125③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． 126 （8）反函数的性质127 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．128②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． 129③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． 130 ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 131 〖2.3〗幂函数 132 （1）幂函数的定义133一般地，函数y xα134=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象157 分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点158 对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．159 ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．160③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函161 数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．162④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中163 ,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则164 qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．165 ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，166 其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直167 线y x =下方．168 〖补充知识〗二次函数 169 （1）二次函数解析式的三种形式170 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：171 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法172 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．173 ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． 174 ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． 175 （3）二次函数图象的性质176①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是177 24(,)24b ac b a a--． 178②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，179 2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，180当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．181③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点182 ********(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 183（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布184 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但185 尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）186 的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．187 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从188以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函189 数值符号． 190 ①k ＜x 1≤x 2 ⇔191192 ②x 1≤x 2＜k ⇔193194 ③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0195196 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔ 197198199 ⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑200 f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合201202203⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 204 此结论可直接由⑤推出．205 （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值206 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．207 （Ⅰ）当0a >时（开口向上） 208 ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q = 209210 211 212 213 214 215 216 217 ①若02b x a -≤，则()M f q =b ()f p 218 219 220 221 2222230x 0x225226 (Ⅱ)当0a <时(开口向下) 227 ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2bq a ->，则()M f q = 228229 230 231 232 233 234235 236 237 ①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b xa->，则()m f p =．238 239 240 241 242 243244ff fx246 第三章 函数的应用247 一、方程的根与函数的零点248 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数249 ))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分—、函数的概念与表示1、映射：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象13•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
= 2(X) lg X , g(x) 2lg xC、B、f (X) lg+u) - - ,g(v)=1 u”D、f (x) =x,1 vX +1--- ,()决1)+ Ig( - 2、一fX~ Xx 1 =厂 f (X) X2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有y配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式2X X三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
广+ = +广+例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
+2 x y g x例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过—— =1解方程组求得函数解析式。
高中数学必修一函数的概念知识点总结
高中数学必修一函数的概念知识点总结一、内容概述高中数学必修一的核心概念之一就是函数。
函数作为数学的基本工具，贯穿整个数学的学习过程。
在这一部分，学生将初步接触并理解函数的基本概念、性质和图像特征。
函数的概念是描述事物变化规律的数学模型，通过输入与输出的对应关系，描述了一个变量如何依赖于另一个变量的变化。
在必修一的学习中，学生需要掌握函数的基本定义、表示方法（包括解析法、列表法和图像法），理解函数的定义域和值域等基本概念。
还将学习函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等，这些性质有助于理解和描述函数的变化趋势。
函数的图像也是学习的重点，通过观察和分析函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和行为。
1. 高中数学必修一的重要性高中数学必修一在整个数学课程体系中占有举足轻重的地位，其重要性不言而喻。
作为高中阶段的第一门数学课，必修一不仅为学生后续的数学课程学习打下坚实的基础，更在培养学生的逻辑思维、问题解决能力等方面扮演着关键角色。
这门课程中的函数概念是整个数学学科的核心部分之一，涉及到众多实际应用和理论基础，对学生建立数学思维模式和掌握数学语言有着极其重要的作用。
理解和掌握高中数学必修一中的函数概念，不仅有助于学生在数学学科上的深入学习和研究，更对学生未来的学术生涯和职业发展有着深远的影响。
我们将对高中数学必修一中的函数概念进行详细的知识点总结。
2. 函数概念在数学学习中的重要性函数概念是数学学习中的核心概念之一，其重要性无法忽视。
函数是数学分析的基础，无论是在初等数学还是高等数学中，函数都是研究自然现象和社会问题的重要工具。
函数的概念对于解决实际问题具有重要意义。
在物理、化学、经济、工程等领域中，许多实际问题都可以通过函数模型进行描述和解决。
函数的学习对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力也有重要作用。
通过学习和应用函数，学生可以理解变量之间的关系，掌握函数的性质，运用函数解决现实问题，从而提高自身的逻辑思维能力和抽象思维能力。
数学必修一函数重点知识整理
数学必修一函数重点知识整理1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
用数学符号表示为：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数名。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的所有可能取值的范围。
3. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，用于直观地了解函数的性质和特点。
4. 函数的性质：a. 奇偶性：若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
b. 单调性：若对于任意x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则函数为单调函数。
c. 周期性：若对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则T为函数的周期。
5. 函数的运算：a. 四则运算：函数相加、相减、相乘、相除的结果仍是函数。
b. 复合函数：若函数f和g满足f的值域是g的定义域，定义h(x) = f(g(x))，则h为函数f和g的复合函数。
6. 函数的特殊类型：a. 一次函数：函数f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
b. 幂函数：函数f(x) = ax^b，其中a和b为常数，且a≠0。
c. 指数函数：函数f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
d. 对数函数：函数f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
7. 函数的极限：a. 函数在某点的极限：若对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f在x0处的极限为L。
b. 函数的无穷大极限：若对于任意给定的M>0，存在对应的δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)>M或f(x)<-M，则称函数f在x0处的极限为正无穷大或负无穷大。
高一数学必修1函数的知识点归纳总结
高一数学必修1函数的知识点归纳总结【导语】函数是数学学习里的重点内容，高一要学好数学第一要掌控好最基础的知识。
下面是作者为大家收集整理的高一数学必修1函数的知识点篇，期望能对你有帮助!高一数学必修1函数的知识点篇一：反比例函数形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范畴是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数反比例函数图像只能无穷趋向于坐标轴，没法和坐标轴相交。
知识点：1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)高一数学必修1函数的知识点篇二：对数函数对数函数的一样情势为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，由于它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)明显对数函数无界。
高一数学必修1函数的知识点篇三：二次函数I.定义与定义表达式一样地，自变量x和因变量y之间存在以下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
2021年新版高一数学必修一知识点：函数的性质汇总
2020-2021年高一数学必修一知识点：函数的性质函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10．函数（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值2 利用图象求函数的（小）值3 利用函数单调性的判断函数的（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；。
完整版)高一数学必修一函数知识点总结
完整版)高一数学必修一函数知识点总结二、函数的概念和相关概念函数是从一个非空数集A到另一个非空数集B的一个确定的对应关系f，使得集合A中的每个数x都有唯一的数f(x)与之对应。
我们把f：A→B称为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，A是函数的定义域，而与x对应的y值是函数值，其集合{f(x)| x∈A }是函数的值域。
需要注意的是，在求函数的定义域时，我们需要注意分式的分母不等于零，偶次方根的被开方数不小于零，对数式的真数必须大于零，指数、对数式的底必须大于零且不等于1，以及函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。
同时，指数为零底不可以等于零，实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
相同函数的判断方法有两种：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）和定义域一致。
在考虑函数的值域时，我们可以使用观察法、配方法或代换法。
函数图象是指在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)。
(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C。
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上。
我们可以使用描点法或图象变换法来画函数图象，其中常用的变换方法有平移变换、伸缩变换和对称变换。
区间是指数轴上的一段连续的区域，可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。
同时，还有无穷区间。
我们可以使用数轴来表示区间。
映射是指两个非空集合A和B之间的确定对应关系f，使得集合A中的每个元素x都有唯一的元素y与之对应。
我们把对应f：A→B称为从集合A到集合B的一个映射，记作“f （对应关系）：A（原象）→B（象）”。
对于映射f：A→B来说，应该满足集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个。
3.分段函数分段函数是指在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
高一数学必修1函数的知识点归纳
高一数学必修1函数的知识点归纳高一数学必修1函数的知识点篇一：反比例函数形如y=k/xm为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 高一数学必修1函数的知识点篇二：对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
高一数学必修1函数的知识点篇三：二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax，x=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解
.(经典 )高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合 A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射 f:(x,y) →(x 2+y 2,xy) ，求象 (5， 2)的原象 .13. 已知集合 A 到集合 B ＝｛0，1，2，3｝的映射 f:x → x 1，则集合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素最多时的集合 A.2、函数。
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A 、 f ( x)lg x 2, g(x)2 lg xB 、 f (x) lgx1, g (x) lg( x 1) lg( x1)x 1C 、 f (u)1 u , g( v) 1 v D 、f （ x ） =x ， f (x)x21 u 1 v2、 M { x | 0x 2}, N{ y | 0 y3} 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有（）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个y yy y32 2 2 2 1111O1 2 xO1 2 xO1 2 xO1 2 x二、函数的解析式与定义域 函数解析式的七种求法待定系数法： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例 1 设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4 x 3 ，求 f (x).配凑法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [ g( x)] 的表达式容易配成g ( x) 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数 f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。
例 2 已知f (x1) x21( x0) ，求 f ( x) 的解析式x x2三、换元法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。
高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结
高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。
文章首先介绍了函数的基本概念，包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。
文章详细阐述了函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。
文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。
文章总结了函数在数学学习中的重要性，强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。
通过本文的学习，学生可以更好地理解和掌握函数知识，为后续数学学习打下坚实的基础。
1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。
在物理、化学、生物等自然学科中，许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。
物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等，都需要借助函数概念进行建模和分析。
函数是数学体系中的核心和基础。
函数连接了代数、几何、三角学等多个分支，是数学知识和方法综合运用的基础。
对函数概念的深入理解，有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。
函数也是解决实际问题的重要工具。
在现实生活中，很多问题的解决都需要建立数学模型，而函数作为构建数学模型的基本元素之一，能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。
在经济学、统计学、工程学等领域，函数的运用非常广泛。
函数概念的重要性不言而喻。
高一学生在学习数学时，应深入理解函数的概念，掌握其性质和特点，为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。
2. 引出本文目的：总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。
函数是数学中的核心概念之一，具有广泛的应用领域。
在高中阶段，学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征，为后续学习奠定坚实基础。
本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点，加深对函数概念与性质的理解，以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。
高一数学必修1函数的知识点归纳
高一数学必修1函数的知识点归纳一、函数的概念和表示方法1.函数的定义：函数是一个数学概念，是一个输入-输出的对应关系。
2.函数的表示方法：函数可以通过集合表示法、解析式表示法、图像表示法等方式进行表示。
二、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是所有能够使函数有意义的输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。
2.奇偶性：如果对于定义域中的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域中的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
3.增减性：如果对于定义域中的任意两个数a和b，有a<b时f(a)<f(b)，则函数是增函数；如果a<b时f(a)>f(b)，则函数是减函数；如果存在a和b，使得a<b但f(a)>f(b)，则函数是不严格增函数。
4.周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域中的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。
三、一次函数1. 一次函数的定义：一次函数又叫线性函数，表示为 f(x) = kx+b，其中 k 和 b 是常数，k 称为斜率，b 称为截距。
2.特殊情况下的一次函数：当k=0时，函数是与x轴平行的直线，称为常量函数；当b=0时，函数是通过原点的直线，称为比例函数。
四、二次函数1. 二次函数的定义：二次函数表示为 f(x) = ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向和二次项系数a的正负有关。
3.二次函数的性质：二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），是抛物线的最低点或最高点；对于任意定义域内的x，有f(x)=f(-b/2a)-D，其中D是抛物线与x轴的距离。
五、幂函数1.幂函数的定义：幂函数表示为f(x)=x^n，其中x是自变量，n是常数。
2.幂函数的图像：幂函数的图像根据n的奇偶性、正负和定义域的正负情况，分为四种情况。
(完整版)高中数学必修1函数知识点总结
高中数学必修1函数知识总结一、函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --=+ ⑵0(21)y x =- ⑶2214log (1)y x x =+-+总结：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
) 类型2 抽象函数求定义域：1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域．练习2. 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。
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(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （32（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2） (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数1．定义:2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。
⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4(高考真题)已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73（D ）1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论 二：函数单调性的判定，求单调区间322--=x x y 322--=x x y 452-+-=x x y 3212+--=x x y)23(log 22+-=x x y xx y 4221-=x x y 212+= 51212+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x yx a x y += （0>a ） xax y -= （0>a ） 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ，那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()f x 是减函数，且满足：(1)()f a f a -<，求实数a 的取值范围。
例：设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值。
例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值。
5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ，⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ，求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.六．函数的周期性：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。
说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； ⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）（A ）25)1(≥f (B) 25)1(=f (C) 25)1(≤f (D) 25)1(>f 2、方程0122=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是_______1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10≠=a a (2)负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈ (3)正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； (5)负分数指数幂()10,,,1mnm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式根式的性质:当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 (1) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab (2)1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+1、指数函数y=a x与对数函数y=log x (a>0 , a≠1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=a x (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1)定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞)值域(0,+ ∞) (-∞,+ ∞)过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=a x与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称单调性a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数值分布y>1 ? y<1? y>0? y<0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论1、（1）)35lg(lg xxy-+=的定义域为_______；（2）312-=xy的值域为_________；（3）)lg(2xxy+-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log212≤-x，则________∈x3、要使函数ay xx421++=在(]1,∞-∈x上0>y恒成立。