画法几何及工程制图第三章投影的基本知识、第四章点线面的投影
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类?
H
工程图学基础/机械设计制图 Nhomakorabea一般位置平面的投影
投影特性: 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
d′
B C c D d
O
c
b
b H
两直线相交吗? 不相交!
为什么? 交点不符合一个点的投影规律!
工程图学基础/机械设计制图
b′ V 1′ ′ 3(4 ′) c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B ′ a A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
c′ a′ X a c
′ 3(4 ′)
即: AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交,交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行,且其长度之比投 影后保持不变。
投影面平行线 侧平线(平行于W面)
水平线(平行于H面) 统称特殊位置直线 正垂线(垂直于V面) 投影面垂直线 侧垂线(垂直于W面) 铅垂线(垂直于H面)
垂直于某一投影面
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
工程图学基础/机械设计制图 1)投影面平行线
工程制图(第四版)第3章 点、直线和平面的投影PPT
平行于某一投影面,与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性:1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
b YH
2. ab=AB
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b
a
a
a
B
a
X
O
YW
A
b
X
O
a
b
a
b
Y
YH
投影特性: 1、ab OX ; a b OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
3、 a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
Z
z a
b
ab
A
a
X
O
YW
B
b
X
O
a
a b
b
Y
YH
投影特性: 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
b Z
ab
第四章点线面的投影 (1)
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°,求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab,b′,β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜,点A距V面30㎜,求ab, 问有几解?
例5 已知AB=40㎜,α=30°,β=45°,求AB的两投影。
用定比关系,如图中的(2)。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
( 1)
( 2)
( 3)
投影特性:交叉两直线的投影可能表现为相互平
行,但不可能所有同面投影均平行,如上图中 (1);交叉两直线的投影也可能表现为相交,但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律,如上图示(2)、(3)。
例3
求AB、CD的公垂线(或距离)。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业:
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA > zB ,表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定:
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上,该两点在该投影面上的投影重合为一点, 则称这两点为对该投影面的重影点。
03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why?
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于(被替换的)原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换(变换V面)-Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换(变换H面)-Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选?
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面(求α1)
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
画法几何制图—投影法及点的投影
●
az
●
a
1.作a’a”⊥OZ; 2.通过作辅助线(45°线) 使aaz=aax.
ax
a
●
三峡大学
四、点的投影和坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面,投影轴当作直角坐标 轴,则点的空间位置可用(X、Y、Z)三个坐标来确定,点的投影 就反映了点的坐标值。
点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax 点A到H面的距离= z = a’ax
V
不能确定点的空间位置。
B3
●
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
三峡大学
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
设互相垂直的正立投影面(V 面)和水平投影面(H面),组成两投 影面体系。 V面与H面相交于投影轴OX, 将空间划分为四个分角。着重 讲第一分角的投影。
2、点在两投影面体系中的投影
4.判断重影点的可见性时,需要看重影点
在另一投影面上的投影,坐标值大的点投 影可见,反之不可见.即:上遮下,左遮右,
前遮后。
作业P3,提示4:3.5倍 三峡大学
小结:点的投影
后 a 上 Z 下 后 前 a
●
前 a
V
Z a z
Z a ● ax Y
●
●
●
az
●
Z
A X
O
X
ax
Y
●
a
W
ay
X
Y
三峡大学
例:已知点的坐标(15,12,16),作三面投影图。
Z
a
●
az
●
a
Z= 16
画法几何与工程制图
画法几何与工程制图Descriptive Geometry and Engineering Drawing一、课程基本信息学时:64学分:4考核方式:考试,平时成绩(绘图和上机成绩和考勤)占总成绩的30%中文简介:本课程是学科基础必修课,是环境工程专业后继课程学习、生产实习、课程设计和毕业设计的重要的先修课程。
学习内容包括制图的基本知识、画法几何、投影图、专业图和计算机绘图。
主要学习投影法(主要是正投影)的基本理论及其应用;学习空间形体的图示表达;培养空间形象思维能力和空间分析能力;掌握制图基本知识、基本绘图能力和读图能力,以及有关建筑工程制图的国家标准。
二、教学目的与要求学生通过本课程的学习,可获得有关环境工程制图方面的知识,学习各种投影法(主要是正投影法)的基本理论及其应用,培养绘制和阅读工程图纸的能力、空间几何问题的图解能力,同时学习计算机绘图的初步知识,为后继课程学习、生产实习、课程设计和毕业设计打下良好基础。
本课程教学的基本要求是:1. 通过学习制图的基本知识和技能训练,了解并贯彻国家制图标准所规定的制图基本规格,学会使用绘图工具和绘图仪器的方法,掌握绘图的基本技能。
2. 画法几何是制图的理论基础,通过画法几何的学习掌握正投影的原理,掌握各几何元素空间相对位置的投影特点,并能解决空间几何元素的度量和定位问题。
3. 通过投影制图的学习,应了解和掌握国家制图标准中有关符号,图样画法,尺寸标注等规定。
掌握形体的投影图画法,尺寸标注及读图方法,并掌握各种轴测投影图的画法。
4. 通过专业制图的学习,应掌握房屋建筑施工图、给排水施工图的图示内容及图示方法和图示特点。
掌握专业制图的有关标准规定和表达方法,掌握绘制和阅读专业施工图的基本技能。
三、教学方法与手段多媒体讲授与实物模型结合的方法。
四、教学内容及目标教学内容教学目标学时分配第一章制图基本知识第一节概论了解 1第二节图纸幅面、线形、字体、尺寸标注掌握 1 重点与难点: 线形及线宽正确画法、工程字体书写、尺寸标注的正确方法衡量学习是否达到目标的标准:工程字书写正确,线型、尺寸标注是否规范第二章投影的基本知识理解 1 第一节投影及其特性. 掌握 1第二节投影图的形成及其特性第三节基本形体的投影掌握理解1重点与难点:重点在三面投影图的投影规律;水平投影图和侧面投影图间的度量关系及定位关系;组合体中的“线段”投影。
投影的基础知识 点线面的投影
主
左
视
圆图
视 图
柱
俯 视 图
主
左
视
三图
视 图
棱
柱
俯 视 图
如图,圆柱的正 视图和左视图都是长 方形,俯视图是圆。
正视图
左视图
俯视图
首页
主 视
四图 棱 锥
俯 视 图
左
主
左
视
视
视
图
球图
图
俯 视 图
画出如图所示四棱锥 的三视图。
解:四棱锥的三视图如图:
正
左
视
视
图
图
俯 视 图
首页
画出如图所示的正方形 和圆柱的三视图。
b″
a′
a′
a″( b″)
b′
b″
a
a(b)
b
a
b
图2-23 投影面垂直线的投影特性(续)
⑶一般位置直线
a′
z
a′ a″
x
a
投影特性:
b″ 三个投影为倾斜线, 均小于实长;
各投影与投影轴的夹
yW
角不反映直线对投影 面的夹角。
b yH
图2-24 一般位置直线的投影特性
b′
z
三、直线上取点的投影
b″
铅垂线 正垂线
侧垂线
图2-22 投影面垂直线
•投影面垂直线的投影特性
z
a′
b′
x
a″(b″) yW
a
b yH
图2-23 投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线投影特性
•在其垂直的投影面上的投影积聚为一点;
•另外两个投影面上的投影反映空间线段的实长,且分 别垂直于相应的投影轴。
工程制图全册复习要点
点和直线§1-1投影知识1, 中心投影法1、平行投影法(正投影法斜投影法)§1-2点的投影一个形体是由多个侧面所围成,各侧面又相交于多条侧棱,各侧棱又相交于多各顶点,则只要把这些点的投影画出来,再连成线就可作出一个形体的投影。
所以,点是形体的最基本元素。
且点的投影规律是线, 面, 体的投影基础。
一, 点在三投影面体系中的投影1, 点的直角坐标及三面投影的关系”’到W面的距离’”到V面的距离’”到H面的距离2, 三投影面体系中点的投影规律(1)a’a在同一条投影连线上,垂直于X轴。
这两个投影都反映A点的X 坐标。
a’a⊥X轴(2)a’a”在同一条投影连线上,垂直于Z轴。
这两个投影都反映A点的Z 坐标。
a’a”⊥Z轴(3)点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。
这两个投影都反映A点的Y坐标。
”二, 两点的相对位置1、对于两个点在空间就有相对位置的问题了。
(1)对V面投影时,靠近V面的为后,远离V面的为前。
H, W面投影可反映出其前后关系。
(2)对H面投影时,靠近H面的为下,远离H面的为上。
V, W面投影可反映出其上下关系。
(3)对W面投影时,靠近W面的为右,远离W面的为左。
V, H面投影可反映出其左右关系。
三, 重影点当空间两点处于特别位置,即两点恰好在同一条投影线上,此时两点在同一投影面上的投影重合,这时称两点为该投影面的重影点。
四, 投影轴和投影面上点的投影小结:1, 作空间一个点的投影①利用坐标值②利用点到投影面的距离③利用两点间的相对位置。
2, 点的投影方向:自上向下, 自前向后, 自左向右3, 推断重影点的可见性:前遮后, 上遮下, 左遮右§1-2直线的投影一, 直线的投影图从几何学知道,直线是无限长的。
直线的空间位置可由线上随意两点的位置确定,即两点定一线,在次要作直线投影只要作两个点的投影即可。
二, 各类直线的投影特性1, 投影面平行线特点:平行某一投影面,倾斜其他投影面。
工程制图第3章点线面投影
水平投影ab‖ OYH,正面投影 a’b’ ‖OZ,都不反映实长; a”b”与OYW夹角反映α实际大小, a”b”与OZ夹角反映β实际大小。
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面,对V、W面 倾斜) 正平线(‖V面,对H、W面 倾斜) 侧平线(‖W面,对H、V 面倾斜)
投 影 图
投 影 特 性
二、三视图的投影规律及方位对应关系
主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸,简称“长对正”; 主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸,简称“高平齐”; 俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸,简称“宽相等”。
14:10
3.2 点的投影
一、点的三面投影
空间点用大写拉丁字母 如A、B、C…表示; 水平投影用相应小写字母 a表示; 正面投影用相应小写字母 加一撇a’表示;
侧面投影用相应小写字母 加二撇a”表示。
14:10
二、点的三面投影规律
aa’⊥OX,a’az=aayh=XA (A到W面的距离)
a’a”⊥OZ,a’ax=a”ayw=ZA (A到H面的距离) 点的三投影展开 .swf 14:10
aax=a”az=YA (A到V面的距离)
点的投影
作图时,为了表示aax=a”az的关系,常
用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧
14:10
把点的H面与W面投影关系联系起来。
例3-1 已知点A的两面投影,求点A的第三面投影。
解题步骤:
(1) 过原点O作45°辅助线; (2) 过a作平行OX轴的直线与 45°辅助线相交一点;
(3) 过交点作⊥OYW的直线;
(4) 该直线与过a’且平行OX轴 的直线相交于一点即为a” 。
1.侧面投影a”b”=AB; 2.水平投影ab‖ OYH,正 面投影a’b’ ‖OZ,都不反 映实长; 3.a”b”与OYW夹角反映α实 际大小,a”b”与OZ夹角反 映β实际大小。
工程制图投影的基本知识课件
contents
目录
• 投影的基本概念 • 正投影法 • 三视图 • 点、线、面的投影 • 立体投影 • 工程制图实践
01
投影的基本概念
投影的定义
投影
根据几何图形通过投影中心,将三维空间的 物体转换到二维平面上的一种方法。
投影面
投影结果的承载面,通常为平面或曲面。
投影中心
基本几何体的绘制
掌握基本几何体
掌握常见基本几何体的绘制方法,如直线、圆、椭圆、多边形等,熟悉 其性质和绘制技巧。
了解几何体的投影规律,如长对正、高平齐、宽相等,能够准确绘制出 基本几何体的三视图。
组合体的绘制
01
掌握组合体绘制
02
掌握组合体的绘制方法,包括叠加、切割等,能够根据组合体
的构成方式选择合适的视图进行表达。
建筑设计
在建筑设计中,利用投影 原理绘制建筑物的平面图 、立面图和剖面图等。
机械制图
在机械设计中,利用投影 原理绘制零件图和装配图 等。
02
正投影法
正投影法的定义
正投影法是一种将三维物体通过特定的投影方式转换为二维图像的方法。
在正投影法中,物体的投影线与投影面是垂直的,因此也被称为“垂直投影法”。
物体与投影面之间的连接点,也称为投影点 。
投影的分类
斜投影
物体在投影面上的投影与其真实形状存在一 定的角度差异。
正投影
物体在投影面上的投影与其真实形状完全一 致。
中心投影
物体通过投影中心在投影面上形成的投影。
投影的应用
01
02
03
工程制图
在工程设计中,通过投影 将三维物体转换为二维平 面图,便于设计和施工。
画法几何之投影基础知识
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
1.中心投影法
S 投射中心 投射线 形体
a
物体的中 心投影
b
a
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
2 .
投 射 线 方 向
a c
90°
b
平 行 投 (影 1 法 ) 斜 投 影 法
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
投 射 线 方 向
90°
a
c
( 2 ) 正 投 影 法
25 20 1 5 25 20 1 5
25
20 1 5
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
4.透视投影图
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
3-2 正投影的基本性质
一、实形性(不变性)
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
二、积聚性
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
三、类似性
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
第三章 投影基础知识
第一节 第二节 第三节
投影概念及其分类 正投影的基本性质 三面投影的形成及其规律
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
3-1 投影概念及其分类
3.1.1 投影法 投射线
b a 投影
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
3.1.2 投影法分类 1. 中心投影法 2. 平行投影法 (1)斜投影法 (2)正投影法 3.1.3 工程上常用用的几种投影图 1. 多面正投影图 (1) 问题的提出 (2) 多面正投影图 2. 轴测投影图 3. 标高投影图 4. 透视投影图
V
W
V
W
H
H
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
画法几何及工程制图解题指导
d’
a’
c’
V
a
c
H
b
d
29.07.2021
.
25
【补充题1】求点C与直线AB间的距离。 c’
C点到AB的距离 c1
ZC
a’
X
(a1)b1
a
ZA c
ZAB a1’ ZA
b’
ZB
b
29.07.2021
. c1’
ZB
b1’
26
a1’ a’
c1’ H1 V1 k1’
【补充题2】求C点 到AB直线的距离
d
.
32
3-3(1) 作直线AB在⊿DEF平面上的投影。
a’
b’
e’
d’
a0’
b0’
Xd
a0
f’ O
e
a
b0
a01
e1
b01
b
f f1
29.07.2021
a1
.
b1
33
3-3(2)作△ABC外接圆圆心K的投影。 b’
a’ X
b
c’ O
c
a
分析:要作△ABC外接圆圆心K的投影。实际上只要在△ABC内作出其任意两条边 的中垂线,其交点就是△ABC外接圆的圆心K。因为三角形外接圆的圆心,是此三角形 三边垂直平分线的交点。
a’
ZA
Y
YA
B
a
ZA
a1’
.
ZB
b 直线实长
ZB
b1’
23
3-1(3)过点C作直线AB的垂线CD。 c’
a’
X
a
ZC d’
ZA c d
a1’ ZA d1’
工程制图3(点线面体的投影)
b′ A C a c
a″ B b b″ c″
直线、点在平面上
a′ c′ X c a b
Z a〞 b′ c〞 O YW b〞
YH
例:判断直线、点是否在平面上。
a′ c′ X c a b b′ O
例:完成平面ABCDE的投影。
c′ b′ a′ X b c a b e′ b′ d′ a′ a
c′ d′ e′ e d c
另外两种方法: 解法一: 解法一
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a● 解法二: 解法二 用圆规直接量取a″az=aax 用圆规直接量取 ″
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a●
点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况: 四种位置情况:
V a′ A X aX H a
Z aZ a″ O aY
W
1. 在空间(X,Y,Z) 在空间(
特点: 1.和V.W.H 三 面的关系。 2在三个面 上的特点。
特点: 1.和 V.W.H三 面的关系。 2在三个 面上的特 点。
投影面垂直面投影特性
垂直于一个投影面,倾斜于另两个投影面。 垂直于一个投影面,倾斜于另两个投影面。 正垂面:垂直于V 正垂面:垂直于V面,对H,W面倾斜 铅垂面:垂直于H 铅垂面:垂直于H面,对V,W面倾斜 侧垂面:垂直于W 侧垂面:垂直于W面,对H,V面倾斜 投影面垂直面的投影特性: 投影面垂直面的投影特性: 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线, 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线,与投 影轴的夹角, 影轴的夹角,分别反映平面对另两个投影面的真实 倾角. 积聚性) 倾角.(积聚性) 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。 类似性) (类似性)。
画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影
1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行,与三个 投影面都倾斜,所以,如用平面形(例如三角形)表示一般位 置平面,则它的三个投影均不是实形,但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面,称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同,可以分为三种: 1)铅垂面——垂直于H面; 2)正垂面——垂直于V面; 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中,虽然ab∩cd =k,a′b′∩c′d′=k′, 且k′k⊥OX,但因AB是侧平线, 察看侧面投影,a″b″和c″ d″虽然相交,但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直,故此 两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断,则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等,若相等则相交,不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交,则它们是交叉直线
同面投影可能相交,但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一对重影点的投影,用其可帮助判断两 直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投 影均互相平行,且又 同时平行于第三个投 影面时,一般应观察 该两直线所平行的那 个投影面上的投影来 判断两直线是否平行。
(1)X坐标大,在左面, XA<XB,,A在右,B在左;
(2)Y坐标大,在前面, YA>YB,,A在前,B在后;
(3)Z坐标大,在上面, ZA<ZB,,A在上,B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时,这两点在 该投影面上的投影重合,称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上,它们在H面的投影重 合,称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性
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●k b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
b
另一判断法?
应用定比定理
4.4 线段的实长和倾角
直角三角形法
TL
b
β
△Y
△Z
a △X
△Z γ
a
△Y
b
△X TL
△X
a
α
△Y
TL
b
△Z
b’
a’ A●
△Z
α
a
△X △Y
●B △Z ●B0
b
直角三角形法求真长的规律
此法是由直线的空间几何关系分析得到的,注意点是: (1)欲求TL和α ,需用水平投影ab和△Z为直角边做直角
X
◆侧立投影面(简称侧 面或W面)
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
Z
o
W
H Y
三个投影面互 相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投影
a 点A的侧面投影
V a●
A
●
X
a●
Z
● a
o
W
H
Y
空间点用大写字母表示, 点的投影用小写字母表示。
一、平面的表示法
1. 用几何元素表示平面
c
c
c
●
●
●
c
c
●
●
a●
a●
a●
d a●
a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
a●
● c
● c
●c
●c
●c
不在同一直线 直线及线外
上的三个点
一点
两平行直线
两相交直 线
平面 图形
2. 用平面的迹线表示平面
平面的迹线:平面与投影面的交线。水平、正面、侧面迹线。 迹线的集合点:两迹线相交时的交点,如图中的PX、PZ。 迹线平面:用迹线表示的平面。 实际应用中,常用平面的一条具有积聚性的迹线来表示特殊 位置平面,如投影面垂直面和投影面平行面,图c。
两直线垂直相交(或垂直交叉)
直角的投影特性(直角投影定理):
若直角有一边平行于投影面,则它在该投影面上的投影 仍为直角,反之也成立。
B C
A
b
a
c
H b
c a
.b
证明:
设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
a
c
直线在H面上的投影互相垂直
例:过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c ● c●
a
d
AB为正平线, 正面投
b
影反映直角。
b
4.6 平面的投影
一、平面的表示法 二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性 ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性 三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线 ⒉ 平面上取点 四、圆的投影
例:分析AB、AC、BD对投影面的相对位置 。
AB:正垂线 AC:一般位置直线 BD:正平线
例:已知水平线AB端点投影a、a’,AB对V面的倾角β=45°, 长25,B在A的右前方,求直线两面投影。
a
a
b
X
XO
O
a
a
45°
b
4.3 点与直线的相对位置
判别方法: 若点在直线上, 则点的投影
必在直线的同名投影上。并 将线段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即:
第3章 投影的基本知识
3.1 投影及其特性
3.1 投影及其特性
投影的形成及其要素
形成投影的三要素:投射中心(投射线)、形体、投影面
投影的分类
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变,投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投 影的大小有影响。 度量性较差
△,则斜边为TL,ab与斜边的夹角为α。
(2)欲求TL和β ,需用正面投影a’b’和△Y为直角边做直 角△,则斜边为TL,a’b’与斜边的夹角为β 。
(3)欲求TL和γ ,需用水平投影a”b”和△X为直角边做 直角△,则斜边为TL,a”b”与斜边的夹角为γ 。
4.5 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为: 平行、相交、交叉。
AC/CB=ac/cb= ac / cb
V
b
c
B
a
C
A c
a
b H
若点的投影有一个不在直线的同 名投影上, 则该点必不在此直线
上。
定比定理
例1:判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
②
a
c ●
b
b c a
a
c
b
点C在直线 AB上
点C不在直 线AB上
例2:判断点K是否在线段AB上。
a
a
k ● b
a k●
正垂面
侧垂面
➢ 垂直投影面上的投影积聚成直线。
➢ 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹 角的大小。
➢另外两个投影面上的投影有类似性。
(⒉) 投影面平行面
积聚性
a
b
c a c b
积聚性
a
实形性
c b
水平面
正平面 投影特性: ➢平行的投影面上的投影反映实形。
侧平面
➢ 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的 直线。
侧垂线
e f e(f) ●
ef
投影特性: ① 在其垂直的投影面上, 投影有积聚性。
② 另外两个投影,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
b’
a’
b” a”
b a
b’ a’
b” B
A b
a”
a
投影特性:
三个投影都缩短。即: 都 不反映空间线段的实长及与三 个投影面夹角的实大,且与三 根投影轴都倾斜。
例:已知点的两个投影,求第三投影。
解法一:
a ●
az ●a
通过作45°线使 aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量取 aaz=aax
a ● ax
a●
az a
●
特殊位置点的投影特性
• 投影面上点的投影特性
A在V面上
A(a’) a”
b’ C(c’)
a
c
b”
B(b)
Z
a’ a”
x
b’c’
c”
a
co
⒈ 两直线平行
b a
A
V d
B c
C
D
a c
b
dH
投影特性:
空间两直线平行,则 其各同名投影必相互平行, 反之亦然。
例1:判断图中两条直线是否平行。
b d
a c
a
c
b
d
对于一般位置直线,只要 有两个同名投影互相平行,空 间两直线就平行。
AB//CD
例2:判断图中两条直线是否平行。
c
a d
b c
b
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a
实长
β
γ
b
a
ba
b
与H面的夹角为α,与V面的角为β,与W面的夹角为γ
投影特性:
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长, 并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a
a
b
b
●
a(b)
正垂线
c(d)
●
d c
d c
平行投影法
投且 射垂 线直 互于 相投 平影 行面
正(直角)投影法
投且 射倾 线斜 互于 相投 平影 行面
投影特性
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
投影方法
画透视图
中心投影法 平行投影法
画斜轴测图 斜角投影法
直角投影法(正投影法)
画工程图样及正 轴测图
投影面展开
V a
●
Z az
W a
●
不动 V a
●
Z
向右翻
az
X
ax
a● H
O ay
ay Y
A
Y
X ax
●
a● H
向下翻
● a
O
W
ay
Y
a ●
Z az
a
●
X ax
O
Y
ay
a●
ay
Y
点的投影规律:
① aa⊥OX轴
V a
●
A
X ax
●
Z az
● a W
O
a●
ay
H Y
②aa⊥OZ轴
③ aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
平行投影的基本性质
度
仿
积
平
从
定
量
形
聚
行
属
比
性
性
性
性
性
性
度量性 仿形性