人教A版数学必修五3.4《基本不等式》说课课件共25张
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(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
人教版高中数学必修五3.4基本不等式-引入为折纸实验(第一课时)说课课件 (共19张PPT)
说课应遵循的四个原则 一、科学性原则－－说课活动的前提 科学性原则是教学应遵循的基本原则，也是说课应遵循的基本原则，它是保证说课质量的 前提和基础。科学性原则对说课的基本要求主要体现在以下几个方面。 1、教材分析正确、透彻。2、学情分析客观、准确，符合实际。3、教学目的的确定符号 大纲要求、教材内容和学生实际。4、教法设计紧扣教学目的、符合课型特点和学科特点、有 利于发展学生智能，可行性强。 二、理论联系实际原则－－说课活动的灵魂 说课是说者向听者战士其对某节课教学设想的一种方式，是教学与研究相结合的一种活动 。因此在说课活动小中，说课人不仅要说清其教学构想，还要说清其构想的理论与实际两个方 面的依据，将教育教学理论与课堂教学时间有机的结合起来，做到理论与实践的高度统一。 1、说课要有理论指导。2、教法设计应上升到理论高度。3、理论与实际要有机统一。 三、实效性原则－－说课活动的核心 任何活动的开展，考试大都有其鲜明的目的。说课活动也不例外。说课的目的就是要通过 “说课”这一简易、速成的形式或手段来在短时间内集思广益，检验和提高教师的教学能力、 教研能力，从而优化了课堂教学过程，提高课堂教学效率。因此，“实效性”就成了说课活动 的核心。为保证每一次说课活动都能达到预期目的、收到可观实效，至少要做到以下几点。 1、目的明确。2、针对性强大。3、准备充分。4、评说准确。 四、创新性原则——说课活动的生命线 说课是深层次的教研活动，是教师将教学构想转化为教学活动之前的一种课前预演，其本 身也是集体备课。在说课活动的一个组成部分。尤其是研究性说课，其实质就是集体备课。在 说课活动中，说课人一方面要立足自己的教学特长、教学风格。另一方面更要借助有同行、专 家参与评说众人共同研究的良好机会，树立创新的意识和勇气，大胆假设，小心求证，探索出 新的教学思路和方法，从而为断提高自己的业务水平，进而不断提高教学质量。只有在说课中 不断发现新问题、解决新问题，才能使说课活动永远“新鲜”、充满生机和活力。
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件
学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
精品PPT
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
精品PPT
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
高中数学人教A版必修5必修五基本不等式PPT课件
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
பைடு நூலகம்
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100
2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.
① x 0 2,
② x0
,2
③ x 0 ,2 2,
④ x2
5 2
,
一正 、二定 、三等
一不正,需变号
二不定,需变形 三不等,需单调
两个不等式：
a2 b2 2ab (a, b R)
ab
ab
(a 0, b 0)
2
得：
a2 b2 ab
ab ( a b )2
2
2
ab
a
2
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
人教版高中数学必修五第三章第四节基本不等式教学课件 (共20张PPT)
10、阅读 一切好 书如同 和过去 最杰出 的人谈 话。10: 04:021 0:04:0 210:04 8/11/2 021 10 :04:02 AM
11、一个 好的教 师，是 一个懂 得心理 学和教 育学的 人。21. 8.1110 :04:02 10:04A ug-211 1-Aug- 21
12、要记 住，你 不仅是 教课的 教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。10:04 :0210: 04:021 0:04We dnesda y, Aug ust 11 , 2021
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
学以致用
例：如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这
个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？
A
D
解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. B
人教A版高中数学必修五课件高一《3.4基本不等式》.pptx
分析:x2+(1-2x)不是=1常为数.
配凑系数
解:∵0<x<,∴12 1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=∙212x∙(1-2x)
≤∙12[]2
2x+(1-2x) 2
=.18
当且仅当时2x,=取(1“-2=x”), 号即.x=
1 4
∴当x=时14,函数y=x(1-2x)的最大值是.
1 8
若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时， 当且仅当x=y时， x+y有最小值___2__P__.
1．求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． 解：设 t＝ x＋2≥0，从而 x＝t2－2. ∴y＝2t2＋t 1(t≥0)． 当 t＝0 时，y＝0.
当 t>0 时，y＝2t＋1 1t ≤2
1＝ 2t·1t
42.
当且仅当 2t＝1t ，即 t＝ 22，x＝－32时，y
有最大值 ymax＝ 42.
x 则当x+y的值是常数S时
，
• 当且仅当x=y时， • xy有最大值___14_S_2__
x xy≤
y
S
1 xy≤
S2
22
4
１．已知函数，求f 函(x)数的x最 1小值和此时x的
取值．
x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这 个条件．
所以a2 b2≥2ab.
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
高中数学必修五：3.4基本不等式 课件
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以
高中数学第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5
利用基本不等式求最值
(1)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (3)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值； (4)已知 x>1，y>2，且 x＋y＝15，求 z＝(x－1)(y－2)的最大值． [思路点拨] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不 等式解之．
方法二：由1x＋9y＝1，得 (x－1)(y－9)＝9(定值)． 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(3)∵0<x<13， ∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112， 当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
(4)∵x>1，y>2， ∴x－1>0，y－2>0. 又由 x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12 ∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋2 y－22＝36. 当且仅当 x－1＝y－2 时，z 有最大值 36.
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一 是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
2．(1)函数 y＝2x＋2x(x>0)的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
数学3.4《基本不等式》课件一(新人教A版必修五)
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每 平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最 低总造价是多少？
练习：
x
1
1、当x>0时，
x
的最小值为 2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知
2x 3y 2(x 0, y 0)
§3.4基本不等式: ab a b
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
BLeabharlann B基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
ad bc bc ad 4
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
C、 y 3x 3x (x R)
D、 y sin x 1 (0 x )
sin x
2
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数
y 1 的最x小(x值 3) x3
y 思考x2：求5 函数 x2 4
的最小值
构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0 x 1 ，求 x 1 x2 的最大值
(4)a2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
人教A版高中数学必修五课件3.4基本不等式课件1.pptx
（1）弄清题意（审题）
（2）建立数学模型（列式）
（3）用所掌握的数学知识解决问题（求解）
（4）回应题意下结论（作答） 2、应用基本不等式求最值时，必须要考虑三个 条件：一正、二定、三等 3、求函数的最值要依据函数的定义域来求解
(2)设长xm,宽ym,则2(x+y)=36,x+y=18面积为xym2
由 xy x y 18 9 可得 xy 81
22
当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立 答(略)
归纳小结：
（1）两个正数的积为定值，和有最小值 （2）两个正数的和为定值，积有最大值
应用要点：
练习 (1)已知x 0, 求x 1 的最值;
(3)若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时，函数 x3
有最值，并求其最值。
解 Q x 3
y x 1 (x-3) 1 3
x3
x-3
2 (x 3) 1 3 5 x3
当且仅当x 3 1 ,即x 4时，函数有最大值， x3
最大值为5。
小结归纳：
1、求解应用题的方法与步骤：
x
解 Q x 0, x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时原式有最小值2. x
(2)已知x 0, 求x 1 的最值; x
解 Q x 0,x 0
x 1 [(x) ( 1 )] 2 (x) ( 1) 2
x
x
x
当且仅当 x 1 即x 1时有最大值 2. x
100m2
x
(2).一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？
一正
解：(1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m
（2）建立数学模型（列式）
（3）用所掌握的数学知识解决问题（求解）
（4）回应题意下结论（作答） 2、应用基本不等式求最值时，必须要考虑三个 条件：一正、二定、三等 3、求函数的最值要依据函数的定义域来求解
(2)设长xm,宽ym,则2(x+y)=36,x+y=18面积为xym2
由 xy x y 18 9 可得 xy 81
22
当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立 答(略)
归纳小结：
（1）两个正数的积为定值，和有最小值 （2）两个正数的和为定值，积有最大值
应用要点：
练习 (1)已知x 0, 求x 1 的最值;
(3)若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时，函数 x3
有最值，并求其最值。
解 Q x 3
y x 1 (x-3) 1 3
x3
x-3
2 (x 3) 1 3 5 x3
当且仅当x 3 1 ,即x 4时，函数有最大值， x3
最大值为5。
小结归纳：
1、求解应用题的方法与步骤：
x
解 Q x 0, x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时原式有最小值2. x
(2)已知x 0, 求x 1 的最值; x
解 Q x 0,x 0
x 1 [(x) ( 1 )] 2 (x) ( 1) 2
x
x
x
当且仅当 x 1 即x 1时有最大值 2. x
100m2
x
(2).一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？
一正
解：(1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m
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a b 2 ab
（二）启发引导，形成概念
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a, b 是正数，那么
a b ab 2
(当且仅当 a b时取“ = ”号）．
（二）启发引导，形成概念
概念
❖ 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
a b 为ａ、ｂ
2
的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
般，建立实际生活中的图形 与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和
学 均值不等式以及其取等号的条件．
反 2. 恰当使用信息技术
思
恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理
解问题，了解知识的形成过程.
3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式
精心设置一个个问题链，给每个学生提供
当且仅当 a b 时 a b 2
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab
当 ab 2
a b ab 2
ab a b
（四）初步运用，归纳提升
1.已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的 设计意图：初
步认识不等式
最小值是 _______,此时x=___, 的应用，理解
y= _____
一．教材分析 二．教法学法分析 三．教学过程分析
四．评价分析 五．教学反思
关于教法的解析
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较
教 抽象出重要不等式。从生活中实际问题还原出数学本 法 质，可调动学生的学习热情。定理的证明要留给学生
充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答
学 案。充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采
（六）知识应用，尝试练习
1、已知
0
x
1 3
，求函数
y x(1 3x) 的最大值；
2.巳知x 0,则6x 24的最小值是____, x
此时x=_____.
设计意图:对新知识 的理解需要一个不断 深化完善的过程，通 过练习、学生演板， 进行数学思想方法的 小结，可使学生更深 刻地理解数学思想方 法在解题中的地位和 应用，同时反映教学 效果，便于教师进行 查漏补缺.
（七）反思小结，培养能力
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值 2 P
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值 1 S 2
4
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
设计意图：
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，
把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
重要不等式 （二）启发引导，形成概念
定理１：如果a, b R ，那么 a2 b2 2ab
（当且仅当 a b 时取“=”
号）．
设计意图： 引导学生用完全平方式给出代数证明，深
刻理解其中取等号的条件和意义．
（二）启发引导，形成概念
由代换思想提出问题
当a 0,b 0,在a2 b2 2ab中 以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
xy
的最小值
解：
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
（五）观察感知，例题学习
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
（二）启发引导，形成概念
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是:
a
b
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正
数的和与两正数的积之间的大小关系, 运
用该不等式可作和与积之间的不等变换.
（三）讨论探究，相等条件
程疑 导 究 用
知
用
结业
分创 设
形 成
相 等
归 纳
例 题
尝 试
培自 养主
情概条提 学 练 能学
析境 念 件 升
习
习
力习
（一）设问激疑，创设情景
设计意图:从实际 问题出发，激发 学生学习兴趣， 从而在感性上认 识不等式。
（二）启发引导，形成概念
a
1 b2
b2
1 a2
2
a
设计意图: 从不同角 度归纳不 等式，加 深对基本 不等式的 理解．
构造“定积”
和“定和”的
2、已知０＜ｘ＜１，
原理，以及取
求ｘ（１－ｘ）的最大值．
等号的条件。
（四）初步运用，归纳提升
已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当
x y 时,和 x y 有最小值 2 P
2 如果和 x y 是定值 S,
那么当 x y 时,积 xy有最大值 1 S 2
2、 ……
本节课的教学通过设问提出问题，引导学
评 生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，
价 由问题的提出进一步加深理解；这一过程能 够培养学生发现问题、分析问题、解决问题
分 的能力。
析
加强过程性评价，创设公平、平等、宽
松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生
的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，
充分暴露思维，及时矫正，调整思路。
（五）观察感知，例题学习
例1.解决以下问题 :
(1)用篱笆围一个面积为１００m2的矩形菜园，问 这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短． 最短的篱笆是多少?
(2)一段长为３６m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大． 最大面积是多少?
（五）观察感知，例题学习 1
思考、创造、表现和成功的机会.
（八）课后作业，自主学习
设计意图:巩固学 生所学的新知识，
作业：
将学生的思维向外 延伸，激发学生的
发散思维．达到熟
练使用均值不等式
的目的，利用选做
1、课本第113页习题3.4第1题 题可以使不同层次
的学生得到应有的
2、选作题：若x 0,求x 1 的最大值 提高，同时为下一
x
节课作好铺垫。
板书设计
§3．4．1 基本不等式
一、定理 1（重要不等式）：a2 b2 2ab， 例 1
当且仅当 a b 时取等号
多
媒 二、定理 2（均值不等式）：a b 2 ab ，
体
演 当且仅当 a b 时取等号
例2
示
1、几何平均数 2、算术平均数
3、不等式的说明（取等号条件）：积
定和最小，和定积最大
练习： 1、 ……
法 用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
分
关于学法的解析
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知
析 识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，
设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层
次的学生提供思考、创造和成功的机会。
教1 2 3 4
5
6
78
学设 启 讨 初
观
知
反课
过问 发 论 步 激引探运
察 感
识 应
思后 小作
4
（四）初步运用，归纳提升
结论：
1、最值的含义：“和”定 “积”最大，“积”定“和”最 小。
2、用基本不等式求最值的 三个限制条件：一“正”、二 “定”、三“相等”
设计意图：通 过小组讨论完 成探究，引导 学生归纳出利 用不等式确定 最大值和最小 值的结论，这 样设计既符合 学生的认知特 点，也让学生 经历从特殊到 一般过程.
1
例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解： 1 2x y 2 2xy
分析错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
过程中两次运用 了均值不等式中取
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
“=”号过渡，而这 两次取“=”号的条 件是不同的，故结 果错。
（二）启发引导，形成概念
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a, b 是正数，那么
a b ab 2
(当且仅当 a b时取“ = ”号）．
（二）启发引导，形成概念
概念
❖ 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
a b 为ａ、ｂ
2
的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
般，建立实际生活中的图形 与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和
学 均值不等式以及其取等号的条件．
反 2. 恰当使用信息技术
思
恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理
解问题，了解知识的形成过程.
3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式
精心设置一个个问题链，给每个学生提供
当且仅当 a b 时 a b 2
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab
当 ab 2
a b ab 2
ab a b
（四）初步运用，归纳提升
1.已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的 设计意图：初
步认识不等式
最小值是 _______,此时x=___, 的应用，理解
y= _____
一．教材分析 二．教法学法分析 三．教学过程分析
四．评价分析 五．教学反思
关于教法的解析
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较
教 抽象出重要不等式。从生活中实际问题还原出数学本 法 质，可调动学生的学习热情。定理的证明要留给学生
充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答
学 案。充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采
（六）知识应用，尝试练习
1、已知
0
x
1 3
，求函数
y x(1 3x) 的最大值；
2.巳知x 0,则6x 24的最小值是____, x
此时x=_____.
设计意图:对新知识 的理解需要一个不断 深化完善的过程，通 过练习、学生演板， 进行数学思想方法的 小结，可使学生更深 刻地理解数学思想方 法在解题中的地位和 应用，同时反映教学 效果，便于教师进行 查漏补缺.
（七）反思小结，培养能力
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值 2 P
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值 1 S 2
4
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
设计意图：
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，
把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
重要不等式 （二）启发引导，形成概念
定理１：如果a, b R ，那么 a2 b2 2ab
（当且仅当 a b 时取“=”
号）．
设计意图： 引导学生用完全平方式给出代数证明，深
刻理解其中取等号的条件和意义．
（二）启发引导，形成概念
由代换思想提出问题
当a 0,b 0,在a2 b2 2ab中 以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
xy
的最小值
解：
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
（五）观察感知，例题学习
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
（二）启发引导，形成概念
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是:
a
b
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正
数的和与两正数的积之间的大小关系, 运
用该不等式可作和与积之间的不等变换.
（三）讨论探究，相等条件
程疑 导 究 用
知
用
结业
分创 设
形 成
相 等
归 纳
例 题
尝 试
培自 养主
情概条提 学 练 能学
析境 念 件 升
习
习
力习
（一）设问激疑，创设情景
设计意图:从实际 问题出发，激发 学生学习兴趣， 从而在感性上认 识不等式。
（二）启发引导，形成概念
a
1 b2
b2
1 a2
2
a
设计意图: 从不同角 度归纳不 等式，加 深对基本 不等式的 理解．
构造“定积”
和“定和”的
2、已知０＜ｘ＜１，
原理，以及取
求ｘ（１－ｘ）的最大值．
等号的条件。
（四）初步运用，归纳提升
已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当
x y 时,和 x y 有最小值 2 P
2 如果和 x y 是定值 S,
那么当 x y 时,积 xy有最大值 1 S 2
2、 ……
本节课的教学通过设问提出问题，引导学
评 生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，
价 由问题的提出进一步加深理解；这一过程能 够培养学生发现问题、分析问题、解决问题
分 的能力。
析
加强过程性评价，创设公平、平等、宽
松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生
的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，
充分暴露思维，及时矫正，调整思路。
（五）观察感知，例题学习
例1.解决以下问题 :
(1)用篱笆围一个面积为１００m2的矩形菜园，问 这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短． 最短的篱笆是多少?
(2)一段长为３６m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大． 最大面积是多少?
（五）观察感知，例题学习 1
思考、创造、表现和成功的机会.
（八）课后作业，自主学习
设计意图:巩固学 生所学的新知识，
作业：
将学生的思维向外 延伸，激发学生的
发散思维．达到熟
练使用均值不等式
的目的，利用选做
1、课本第113页习题3.4第1题 题可以使不同层次
的学生得到应有的
2、选作题：若x 0,求x 1 的最大值 提高，同时为下一
x
节课作好铺垫。
板书设计
§3．4．1 基本不等式
一、定理 1（重要不等式）：a2 b2 2ab， 例 1
当且仅当 a b 时取等号
多
媒 二、定理 2（均值不等式）：a b 2 ab ，
体
演 当且仅当 a b 时取等号
例2
示
1、几何平均数 2、算术平均数
3、不等式的说明（取等号条件）：积
定和最小，和定积最大
练习： 1、 ……
法 用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
分
关于学法的解析
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知
析 识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，
设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层
次的学生提供思考、创造和成功的机会。
教1 2 3 4
5
6
78
学设 启 讨 初
观
知
反课
过问 发 论 步 激引探运
察 感
识 应
思后 小作
4
（四）初步运用，归纳提升
结论：
1、最值的含义：“和”定 “积”最大，“积”定“和”最 小。
2、用基本不等式求最值的 三个限制条件：一“正”、二 “定”、三“相等”
设计意图：通 过小组讨论完 成探究，引导 学生归纳出利 用不等式确定 最大值和最小 值的结论，这 样设计既符合 学生的认知特 点，也让学生 经历从特殊到 一般过程.
1
例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解： 1 2x y 2 2xy
分析错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
过程中两次运用 了均值不等式中取
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
“=”号过渡，而这 两次取“=”号的条 件是不同的，故结 果错。