质量工程师考试培训课件

解：从30个队中任取2个队比赛，是不考虑顺序的，是组合问 题。
我们可以这样考虑： 从30个中任取2个的选排列就等于“从30个中任取2个的组
合”，“再对这2个进行全排列”这样两个步骤合成。应用 乘法原理有：
P320 (320 ) P2
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得：
(320 )
P320 P2
从此例可得出 定义， 从n个不同元素任取r个的组合数为：
P(B)=4/36 ③事件C= “点数之和大于9” ， 事件C有6个样本点{ (4,6)， (5,5)， (6,4)， (5,6)，
(6,5)， (6,6)}; P(B)=6/36 ④事件D= “点数之和大于3，而小于7” 事件D有12个样本点
{ (1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4), (3,2),(3,3), (4,1),(4,2), (5,1),(3,3)}; P(D)=12/36
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例1，抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。 解， 设A=“至少出现一个正面”
A =“都是反面”
P(A) 1 P(A) 1 1 0.875 8
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性质3，若A> B，则：
P(A-B)=P(A)-P(B) 2.加法定理 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB) 用维恩图说明。 当A与B互不相容时 P(A∪B)= P(A)+P(B)
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定义：从n个不同的元素a1 ,a2 , ……, an中选出r个，排成一
列，每个元素可以重复出现，这种排列称为有重
复排列。按乘法原理，此种重复排列种数共有 nr 个。
例1,1~9数字中任意抽取2个数字，可组成9 × 9=81个数。 例2,从1~9数字中任意抽取3个数字，可组成9 × 9 × 9 =729
1）求抽到的两个都是白球(A)的概率，
2）求抽到的一个是白球，一个是黑球(B)的概率。
a
b
1
W
W
2
W
B
3
B
W
4
B
B
P(A)=1/4 ,
P(B)=2/4
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例2：投3枚硬币， 1）求3枚都正面朝上（A）的概率， 2）求恰有2枚正面朝上（B）的概率， 3）求正面朝上不超过2枚（C）的概率 。
第一节 概率基础知识
一、事件与概率 1.事件 ①随机事件 可能发生，也可能不发生的事件称为随机事件。
②必然事件Ω
肯定发生的事件称为必然事件
③ 不可能事件Φ
肯定不发生的事件称为不可能事件 ④ 样本空间
所有的基本事件构成样本空间，记为Ω
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例1：若批产品有10000件，它们只区分为合 格品与不合格品，其中合格品与不合格品 各占50%，从中抽取2件，并记合格品为 “0”，不合格品为“1”；写出其样本空间。
个元素按一定顺序排成一列，成为一个排列。按乘法原
理，此种排列共有
P n × (n-1) ×…… × (n-r+1) 个，记为
r
列。
n
，它称为选排
Pnr n(n 1)......(n r 1),
n ! 若r=n，称为全排列，全排列数共有
个，
记为 Pn ，即
Pn n!
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Φ= “有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件不合格品”
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2.随机事件之间的关系 ①包含 若事件A中任一样本点必在B中，则称A被包含在B
中，或B包含A记为 B A
A=“至少有一件合格品” ={(0,0),(0,1),(1,0)} C=“恰好有一件合格品” ={(0,1),(1,0)}
②互不相容 若事件A与事件B没有相同的样本点，则称事件A与
1-(1-0.02)(1-0.03)(1-0.04)
例3，某电路由4个相互独立的电子元件串联 而成， 4个相互独立的电子元件失效的概 率分别为：0.001，0.002，0.003，0.004， 求电路失效的概率。
1- (1-0.001)(1-0.002)(1-0.003)(1-0.004)
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二、概率的古典定义与统计定义
1.概率的古典定义 ①所涉及的随机现象有n个样本点 ②每个样本点出现的可能性相同 ③被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概
率定义为：
/ P(A)=k/n=A中所含样本点的个数 Ω中样本点的
个数
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例1：设桶内有10000个球，其中有5000个白球， 5000个黑球，从中随机抽取2个球，
解法一: P(A)=0.9, P(B)=0.8, P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB)
= P(A)+P(B)-P(A) P(B)
=0.9 +0.8- 0.9 × 0.8
=1.7-0.72=0.98 解法二: 1-0.1 ×0.2=0.98
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例2，加工某一零件需经三道工序，设第一、 二、三道工序的次品率分别是0.02、0.03、 0.04，并假定各道工序是互不影响的，求 加工的零件是次品的概率。
Ω={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}
A=“至少有一件合格品” ={(0,0),(0,1),(1,0)} B=“至少有一件不合格品” ={(0,1),(1,0),(1,1)} C=“恰好有一件合格品” ={(0,1),(1,0)} Ω =“至多有两件不合格品” ={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}
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3. 事件的运算
①对立事件 事件A的对立事件记为 A
AA
②事件的并 A∪B， A与B中至少有一个发生 A=“抽到一件合格品” ={(0,1),(1,0)} B=“抽到两件合格品” ={(0,0)} A∪B =“抽到了合格品”
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③事件的交 A∩B， A与B同时发生
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3.乘法定理 当事件A、B相互独立时， P(AB)= P(A) P(B) 所以有 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
= P(A)+P(B)-P(A) P(B)
x+y-xy=1-(1-x)(1-y)
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例1：甲乙两门火炮向某一目标射击，甲火 炮射中的概率是0.9,乙火炮射中的概率是 0.8,求目标被击中的概率？
单选
A、B A；
B、A =B；
C、A B；
D、互不相容
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例2.设A与B是任意两个随机事件，则 A-B=（ ） 多选
A、 A - AB；
B、B-AB；
C、AB ；
D、 AB ；
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4. 随机事件发生的概率
随机事件发生的可能性的大小，称为随机事 件发生的概率。
样本空间由以下四个样本点构成：
Ω={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}
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例2：若批产品有10000件，它们只区分为合格品 与不合格品，其中合格品与不合格品各占50%， 从中抽取3件，并记合格品为“0”，不合格品为 “1”；写出其样本空间。
00 0
00 1
01 0
4.重复排列：
例1，以 “8”为首位的八位电话号码，一共可以设多少？ 解：首位已确定，第2位可以是0,1,……,9这10个数字中的
任何一个，即有10种选法；同理，第3位、第4位……第8 位也都有10种选法，所以一共有
10× 10 × 10× 10× 10 × 10× 10 个
1 2 345 67
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01 1
10 0
10 1
11 0
11 1
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例3：若批产品有10000件，它们只区分为合 格品与不合格品，其中合格品与不合格品 各占50%，从中抽取4件，并记合格品为 “0”，不合格品为“1”；写出其样本空间。
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例4：若批产品有10000件，它们只区分为合格品与 不合格品，其中合格品与不合格品各占50%，从 中抽取2件，并记合格品为“0”，不合格品为 “1”；样本空间由以下四个样本点构成：
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三、排列与组合
1.乘法原理：如果做某件事需经k步才能完成，其
中做第一步有m1 种方法,第二步有m2 种方 法,……第k步有mk 种方法,那么完成这件事共 有m1 × m1 × ……× mk种方法。
例：甲城到乙城有3条线路，乙城到丙城有2条线路， 那么从甲城到丙城有3×2=6条线路。
Ω={ (1,1),(1,2)……(1,6),
(2,1),(2,2)……(2,6), (3,1),(3,2)……(3,6), (4,1),(4,2)……(4,6), (5,1),(5,2)……(5,6),
(6,1),(6,2)……(6,6) }
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①事件A= “点数之和为2” ， 事件A仅有一个样本点(1,1); P(A)=1/36 ② 事件B= “点数之和为5” ， 事件B有4个样本点{ (1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)，;
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3.不重复排列
3.1选排列 例1， 用1,2,3,4四个数码，可以写出多少个不重复的三位数？ 解：这时从4个不同数码任取3个排列问题。可以作如下考
虑：
我们把“写出一个三位数”这件事分作三步，第一步选取 一个数码作百位数，第二步选取一个数码作十位数，第 三步选取一个数码作个位数；第一步有4种选法，第二步 有3种选法，第三步有2种选法；根据乘法原理，共写出：
事件B互不相容。这时事件A与事件B不可能同时 发生。
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A=“两件都是合格品” ={(0,0)} B=“两件都是不合格品” ={(1,1)} ③相等
若事件A与事件B含有相同的样本点，则称 事件A与B相等。
桶内有球10000个，黑白两种各占50%，从 中抽2个。
A=“两个都是白球” B=“没抽到黑球”
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0表示正面朝上，1表示背面朝上
00 0 00 1 01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1 P(A)=1/8, P(B)=3/8, P(C)=7/8
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例3：掷两颗六面体的骰子，一个是黑色，一个是 白色， x表示黑色骰子出现的点数，y表示白色 骰子出现的点数，其样本点可用数对(x,y)表示。 样本空间为：
个数。
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5.组合
从n个不同的元素a1 ,a2 , ……, an中任取r个为一组
（两组元素有不同时才看成不同的组，即不考虑其间顺序), 所能得出的全部不同的组数，称为从n个元素中取r个的
C ( ) 组合数，记作
r
n
n
r
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例，有30个篮球队参加比赛，第一轮比赛中，每两个球队都 进行一次比赛，第一轮共要安排多少场比赛？
在北京市随机抽取一个人 A=抽到的是60岁以上的老人 B=抽到的是男性
A∩B表示： ④事件的差 A-B， A发生B不发生
A=抽到的是60岁以上的老人 B=抽到的是男性
A-B表示：
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例1.一坛子球中黑球白球各占一半，从中抽两个球， 记事件A=“至少有一个黑球”，B=“两个球颜色不 同”，则A与B之间的关系是（ ）。
Cnr
(rn )
Pnr Pr
n(n 1)......(n r 1) r!
n! r!(n r)!
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三、概率的性质及加法定理与乘法定理 1.概率的基本性质 性质1，对任意事件A，有
0 P(A) 1
P() 0
性质2，
P( A) P( A) 1
P() 1
P( A) 1 P( A)
4× 3 × 2=24个数码不重复的三位数。
图（另外文件）
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例2， 用1,~,9九个数码，可以写出多少个不重复的四位数？
共写出：9× 8 × 7× 6 =3024个数码不重复的四位数。
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定义：从n个不同的元素a1 ,a2 , ……, an中任取r(r不超过n)
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2. 加法原理：如果做某件事可由k类不同方
法之一完成，其中在第一类方法中又有m1
种完成方法,在第二类方法中又有m2 种完
成方法,……在第k类方法中又有mk 种完
成方法,那么完成这件事共有m1 + m1
+ ……+ mk 种方法。
例如，由甲城到乙城有三类交通工具：汽车、 火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3 个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙 城共有5+3+2=10个班次供选择。