整理打印版相交线与平行线中的辅助线与折叠问题

相交线与平行线辅助线与折叠问题

一、【折叠问题】利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线

八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况；

1. 缺角补角

在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线

段的方法，将“八角”补齐。

2. 缺线补线

如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定

难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。

1、如左下图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E=

2、 如图，若AB ∥CD,则∠B-∠C+∠E=

3、 如图a ∥b, ∠1=105°，∠2=140°，则∠3=

4、如图，AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=

5、如图，AB ∥CD ，点E 是线段AC 上一点，猜想∠BAC 、∠关系.

6、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。求证：AB ∥EF

7.如图CD ∥EF, ∠F+∠C=∠ABC,求证AB ∥GF

A C

B D

E

第1题图

8、同位角、内错角、同旁内角角平分线的规律

图1 图2 图3

①、如图1，AB∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN，可以得出结论为：

②、如图2，AB∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE，可以得出结论为：

③、如图3，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，可以得出结论为：

9.图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1=．（直接给出答案）

（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．

10.科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b

反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=，∠3=；

（3）由（1）请你猜想：当∠3=时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．

11.（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．

（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）

（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．

二【折叠问题】：第一步：还原；第二步：标出所有相等的角；第三步：找内错角（相等）、同位角（相等）和同旁内角（互补）；第四步：计算

1、如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，则图中∠α=．

第1题图第2题图第3题图第4题图

2、将一条两边沿互相平行的纸带按如图所示折叠，已知∠1=76°，则∠2

的度数为度．

3、如图，有一条等宽纸带，按图折叠时，那么图中∠ABC的度数等于

4、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于

5、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠ 1= 50°，则

∠AEF =

第5题图

6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于

第6题图第7题图第8题图

7. 一个长方形ABCD沿PQ对折，A点落到A′位置，若∠A′QB=120°,则∠DP A′的度数。

8.把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°，

则∠BOD的度数为

11.如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_____度