初中数学线段最值问题专题训练PPT

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2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)

2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
5
y
B
M1
O
点M1为最值点, P1D1为所求线段 M
x
D1
H
P1
P
D C
“阿氏圆”问题
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,已知平面上两点 A、B, 则所有满足PA/PB=k(k≠1)的点 P 的轨迹是一个圆,这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿波罗尼斯圆”简称 “阿氏圆”.如下图所示,其中PA:PB=OP:OB=OA:OP=k.
小伙子从A走到P,然后从P折往B,可望最早到达B。
问 题 : 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h , 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.(1)小伙子回家需要的时间可表示为 (2)点P选择在何处他回家的时间最短?
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间,连心线截距最短(长)
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的,在解决这一类问题的时候,常常需要通过几何变换 进行转化,逐渐转化为“基本图形”,再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有: (1)平移------“架桥选址” (2)翻折------“将军饮马“ (3)旋转------“费马点问题“ (4)相似------“阿氏圆问题“ (5)三角------“胡不归问题“ (6)多变换综合运用
解题要点:
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
架桥选址类
【例20】如图,在矩形ABCD中,AB= 3 ,BC=1,将△ABD

2020年中考备考专题复习课件:线段的和(差)最值问题(共18张PPT)

2020年中考备考专题复习课件:线段的和(差)最值问题(共18张PPT)
线段和(差)的最值问题
线段和(差)的最值问题
一、已知两个定点,一条直线,求 直线上一点,到两定点之和最小。
方法:作其中一点关于直 线的对称点 ,连接另一 点与对称点 ,与直线的 A 交点就是所要求的点。
基本图形 : FA+FB=F+FB`=AB` 此时,和最小
A
Bm
Bm F
B`
根据:两点间线段最短
5
BD
的最小值为4
5
B
C
5
E D
C
典型题解析
4.如图,△ABC为等边三角形,AB=2,若P为△ABC内一动点,
且满足∠PAB =∠ACP,则线段PB长度的最小值为___________.
C
解析:由∠PAB =∠ACP,且 ∠PAB+∠PAC=600,可得∠P=1200, 所以P应该是在AC所对的弧上运 动。由A、P、C三点确定辅助圆, 当B、P、O三点在一条直线上时, PB长度最小,根据两点间线段最 短。
解析:此题 A、C是两定点,点P在OB上为动点, 故可作C关于OB的对称点C`,连接AC`交OB于点P.
∵OA⊥OB, ∴∠AOB=900. ∵∠AOC=600, ∴∠BOC=300. ∴∠AOC`=300 ∴∠AOC=∠C`OC=600, ∠AOC`=1200 ∴OC⊥AC` ∴∠OAC`=300,AH=HC`.
y A
解析 :由PA-PB≤AB,故取等号时,差 最大,也就是当点P与点H重合时,差最 大。
∵A(-2,3) , B(3,1),
∴AB= 52 + 22 = 29 即:PA-PB长度最大为 29
y A
B
x
O
P
H
PO
B

中考数学专题复习求线段和差的最值问题(共26张PPT)

中考数学专题复习求线段和差的最值问题(共26张PPT)

第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小?
使线段PO与PD之差最大?若存在,请求出这个最大值和点P的坐标。
N
E
⑵练习①:当已M知点二在次何函处数时图,像AM的+顶C点M坐的标值为最C小(3;,-2),且在x轴上截得的线段AB的长为4,在y轴上有一点P,使△APC的周长最小,求P点
线段和差的最值问题解题策略 一、两条线段和的最小值
例4:在矩形ABCD中,F是BC的三等分点,E是AB的二等分点,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如
y 果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
点A为 y 轴正半轴上的一点,⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
(1)点A、B在直线m两侧:
(2)点A、B在直线同侧:
A
A
m B
m P
A
B
A
B m
B m
P
A'
一、求两条线段之和的最小值
例1:在△ABC中,AC=BC=2,
∠ACB=90O,D是BC边的中点,E是AB
上的一动点,则EC+ED的最小值


A
p
E
C
D
.
B
2、抛物线在坐标系中的位置如图:对 在其称轴上找一点P,使得△PBC的周 长最小,请求出点P的坐标 .
举一反三
典例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F
在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿
直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小
值是
.
1.2
中考专题复习

“线段和差最值问题”专题学习 ppt

“线段和差最值问题”专题学习 ppt
“线段和差”最值问题
专题学习
1、如图,直线L外有点A与点B,点P是L 上一 动点,当PA+PB最小时,试确定点P的位置.
2、如图,射线AC外有一点B,点P是射线AC 上一动点,当PB + 1 PA最小时,试确定点 P
2 的位置.
◆如图,平面直角坐标系中,OA =2, 点P为 x 轴正半轴上一动点, ∠POA=30 °. 求:OP+2PA的最小值。分别是y轴与x轴上的动点, 当 MC+MN — 2 AN最小时,试确定动
2
点M、N 的位置,并求 MC+MN — 2 AN
2
的最小值。
◆如图,射线AC外有一点B,点P是射线AC 上一动点,
当PB — 1 PA 最小时,试确定点 P 的位置. 2
◆如图,点A在第一象限,点B在x轴正半轴上,点M、N分别是y轴与x轴上
的动点,当 MA+MN + 1 BN最小时,试在坐标系中确定动点M、N 的位置。 2
【思考】如图,抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A、B两点,抛物线的

中考专题复习ppt课件:利用轴对称解决线段最值问题

中考专题复习ppt课件:利用轴对称解决线段最值问题

最小值,模型一。会
扒开问题表面,找到
P
问题本质,突出数学
模型思想的重要性。
7
2.一点两线
如图,点P是∠MON内 的一点,分别在OM, ON上作点A,B,使 △ABP的周长最小
解题思路:分别作P 点关于OM和ON的对 称点P1和P2,连接 P1P2分别交OM,ON 于A,B两点,此时 △ABP的周长最小
复习课题
利用对称轴解决最值 问题
1
2
用对称轴 解决最值
问题
线段和 的最小

线段差 的最大

两点一线 一点两线 两点两线 两点同侧 Nhomakorabea两点异侧
3
1.两点一线
“小河问题” 如图,你家和我家在小河l 的同侧两点A、 B处,两家共用一个水泵,水泵放小河边哪一点能使 所用的水管最短,即PA+PB最小
4
5
8
例题2
如图,点P是∠AOB内一点,∠AOB=45o,OP =10,M是OA上的一个动点,N是OB上的一个 动点,△PMN的周长最小时,求此时的周长
A
M
P
B N O
9
例题1 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、 B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对 称轴. ① 求抛物线的函数关系式; ②设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的 周长最小时,求点P的坐标;
6
以抛物线为背景,三
角形周长最小,看似
三条线段和最小,实
质仍是两条线段和最
小问题,即PA+PC的

2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)

2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)

MN,NA.则四边形ABMN周长的最小值为.河边Fra bibliotekB1M1
河边
N1
A1
将军饮马类
【例14】(两动一定型)如图,∠AOB=45°,点P是∠AOB
内的定点且OP= 2,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点
O的动点,则△PMN周长的最小值是

P1
河边
N1
M1
P2
河边
将军饮马类
【例15】(三动点型)如图,点A是⊙O2上一动点,点B是⊙O1
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间,连心线截距最短(长)
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的,在解决这一类问题的时候,常常需要通过几何变换 进行转化,逐渐转化为“基本图形”,再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有: (1)平移------“架桥选址” (2)翻折------“将军饮马“ (3)旋转------“费马点问题“ (4)相似------“阿氏圆问题“ (5)三角------“胡不归问题“ (6)多变换综合运用
【例3】如图,直角 ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,
在BD上方作等腰直角 BDE,使得∠BDE=90∘,连接AE.若BC=4,
AC=5,则AE的最小值是
.
E A
E1
5
D
法二: 构造法 定轨迹
解题顺口溜 “两动两定取新点” “相同操作连新从” “手拉手型得相似”
B
4
C
“相似定值得轨迹”
深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略,利于我们 把握中考方向,在教学实践中才能做到有的放矢,提高教学的 针对性、有效性。

专题复习----“线段和 (差)的最值”28页PPT

专题复习----“线段和            (差)的最值”28页PPT
垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边或三角形两边
之差小于第三边。
课本原型(八上85页)
• 如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直 的河边 l饮马,然后到B地。木马人到河边 的什么地方饮马,可是所走路径最短?
B
A
CC
A`
• 理论依据:两点之间,线段最短 • 用途:求两条线段和的最小值
课本原型(八上86页)
得BM+MN的最小值为4
C D B
变式训练
练习1,如图,正方形ABCD的边长为4, ∠CDB的平分线DE交BC于点E,若点P,Q分 别是DE和DC上的动点,则PQ+PC的最小
值( ) A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2
Q
D
C
PE
A
B
【变式训练】
练习2,如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一 点,OP=10,Q、R分别是OB、OA上的动
由题知:|PA-PB|<AB,所以当|PA-
P
PB|的值最大时,先找出点B关于直线 A
x=2的对称点Bl,连接AB与直线x=2的 交点即为所求点P,O B1 NhomakorabeaBx
此时满足: |PA-PB|的值最大;
P
解析:点B与点Bl关于直线x=2对称,B(3,0),得 B′(1,0);易求直线AB′ :y=-x+1,因为点P在x=2 上,所以联立可解得:P(2,-1)
A
a
M’
A’
M
b
N’
N B
应用:求两条线段和的最小值
模型一:(两点同侧):如图1,点P在直线l上 运动,画出一点P使PA+PB取最小值。
模型二:(两点异侧):如图2,点P在直线l上 运动,画出一点P使PA+PB取最小值。

2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)

2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
三是实际背景问题,来求最优化问题.
问题2:解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识?
“两点之间,线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3.如图,在菱形 ABCD 中,若 AD=6,∠ABC=120°,E 是 BC 的中点,
P 为对角线 AC 上的一个动点,连接 PB,PE,则 PE+PB 的最小值为
3 3
__________.
【解析】如答图,连接 BD,DP,DE.∵四边形 ABCD 是菱形,∴B,D
关于直线 AC 对称,∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值.∵∠ABC=120°,
M,N 分别是射线 OA,OB 上异于点 O 的动点,则△PMN 周长的最小
值是__________.
6
【解析】如答图,作点 P 关于 OB 的对称点 P′,作点 P 关于 OA 的对称
点 P″,连接 P′P″,则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值.在△OP′P″
中,OP′=OP″,∠AOB=30°,∴∠P′OP″=60°.∵OP=6,∴P′P″=6.
即为所求,△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长.
“两定两动”型
6.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3,点 E 在边 AB 上且 BE=1,点
P,Q 分别是边 BC,CD 上的动点(均不与顶点重合),则四边形 AEPQ 周
2+2 13
长的最小值是__________.

中考数学专题讲练 线段最值问题二

中考数学专题讲练 线段最值问题二

线段最值问题(二)一.利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题,相关模型比较多,主要包含以下几种类型: 1.如图,直线l 和l 的异侧两点A 、B ,在直线l 上求作一点P ,使PA PB +最小.2.如图,直线l 和l 的同侧两点A 、B ,在直线l 上求作一点P ,使PA PB +最小.3.如图,直线l 和l 同侧两点A 、B ,在直线l 上求作一点P ,使PA PB -最大.4.如图,直线l 和l 异侧两点A 、B ,在直线l 上求作一点P ,使PA PB -最大.lll5.如图,点P 是MON ∠内的一点,分别在OM ,ON 上作点A 、B ,使PAB ∆的周长最小.6.如图,点P ,Q 为MON ∠内的两点,分别在OM ,ON 上作点A 、B ,使四边形PAQB 的周长最小.7.如图,点A 是MON ∠外的一点,在射线OM 上作点P ,使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小.l8.如图,点A 是MON 内的一点,在射线OM 上作点P ,使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小.9.造桥选址问题二.利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量,然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等,最后根据函数的增减性,并结合自变量的取值范围,求出最值.l 2l 1一.考点:利用轴对称求最值,利用二次函数求最值二.重难点:利用轴对称求最值,利用二次函数求最值三.易错点:1.利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题,此时直接按照相应模型来求解即可,如果出现有定点也有动点的情况,可以先把动点固定下来,然后利用模型找到最值时的位置,最后再去确定动点的位置;2.利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向,一定要注意自变量的取值范围,并不是所有的最值都是在顶点取到.题模一:利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(2,0),(31点D、E的坐标分别为(m),(n)(m、n为非负数),则CE+DE+DB的最小值是__.【答案】 4【解析】如图所示:∵点D、E的坐标分别为(m),(n)(m、n为非负数),∴直线OD的解析式为,直线OE的解析式x,设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b,把C 的坐标(1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩,解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩.故交点坐标为(1.5,2), ∴点C ′坐标为(2,0),设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′, 把B 的坐标(3,b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为(1.5∴点B ′坐标为(0,则B ′C ′,即CE +DE +DB 的最小值是4.例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A (4,0).设点C (1,﹣3),请在抛物线的对称轴上确定一点D ,使得|AD ﹣CD|的值最大,则D 点的坐标为__. 【答案】 (2,﹣6) 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A (4,0), ∴12×42+4b=0, ∴b=﹣2,∴抛物线的解析式为:y=12x 2﹣2x=12(x ﹣2)2﹣2, ∴抛物线的对称轴为:直线x=2, ∵点C (1,﹣3),∴作点C 关于x=2的对称点C ′(3,﹣3), 直线AC ′与x=2的交点即为D ,因为任意取一点D (AC 与对称轴的交点除外)都可以构成一个△ADC .而在三角形中,两边之差小于第三边,即|AD ﹣CD |<AC ′.所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′.把A ,C ′两点坐标代入,得到过AC ′的直线的解析式即可; 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ,∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ,解得:k=3b=12⎧⎨-⎩,∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12,当x=2时,y=﹣6,∴D点的坐标为(2,﹣6).例1.1.3如图,∠AOB=45°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一动点Q,OB上有一动点R.若△PQR周长最小,则最小周长是()A.10B.C.20D.【答案】B【解析】如图,作点P关于OA的对称点P1,关于OB的对称点P2,连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R,所以,PQ=P1Q,PR=P2R,所以,△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2,由两点之间线段最短得,此时△PQR周长最小,连接P1O、P2O,则∠AOP=∠AOP1,OP1=OP,∠BOP=∠BOP2,OP2=OP,所以,OP1=OP2=OP=10,∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°,所以,△P1OP2为等腰直角三角,所以,P1P21即△PQR最小周长是故选B.例1.1.4如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是()A.B.6C.D.3【答案】C【解析】如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M′点,过M′点作M′N′⊥AB,垂足为N′,则BM′+M′N′为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴M′H=M′N′,∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短),∵AB=6,∠BAC=45°,∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短,则此时AM+NB=____A.6B.8C.10D.12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′,并延长AA′,过点B作BE⊥AA′于点E,连接A′B交直线b于点N,过点N作NM⊥直线a,连接AM,∵A到直线a的距离为2,a与b之间的距离为4,∴AA′=MN=4,∴四边形AA′NM是平行四边形,∴AM+NB=A′N+NB=A′B ,过点B 作BE ⊥AA′,交AA′于点E ,易得AE=2+4+3=9,,A′E=2+3=5,在Rt △AEB 中,,在Rt △A′EB 中,. 故选:B .题模二:利用二次函数求最值例1.2.1 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+2经过点A (﹣1,0)和点B (4,0),且与y 轴交于点C ,点D 的坐标为(2,0),点P (m ,n )是该抛物线上的一个动点,连接CA ,CD ,PD ,PB .(1)求该抛物线的解析式;(2)当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时,求点P 的坐标;(3)当m >0,n >0时,过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ,过点F 作FG ⊥x 轴于点G ,连接EG ,请直接写出随着点P 的运动,线段EG 的最小值. 【答案】 (1)y=﹣12x 2+32x+2 (2)(1,3)、(2,3)、(5,﹣3)或(﹣2,﹣3)(3【解析】 (1)把A (﹣1,0),B (4,0)两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中,可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为:y=﹣12x2+32x+2.(2)∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2,∴点C的坐标是(0,2),∵点A(﹣1,0)、点D(2,0),∴AD=2﹣(﹣1)=3,∴△CAD的面积=132=32⨯⨯,∴△PDB的面积=3,∵点B(4,0)、点D(2,0),∴BD=2,∴|n|=3×2÷2=3,∴n=3或﹣3,①当n=3时,﹣12m2+32m+2=3,解得m=1或m=2,∴点P的坐标是(1,3)或(2,3).②当n=﹣3时,﹣12m2+32m+2=﹣3,解得m=5或m=﹣2,∴点P的坐标是(5,﹣3)或(﹣2,﹣3).综上,可得点P的坐标是(1,3)、(2,3)、(5,﹣3)或(﹣2,﹣3).(3)如图1,设BC所在的直线的解析式是:y=mx+n,∵点C的坐标是(0,2),点B的坐标是(4,0),∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是:y=﹣12x+2,∵点P的坐标是(m,n),∴点F的坐标是(4﹣2n,n),∴EG2=(4﹣2n)2+n2=5n2﹣16n+16=5(n﹣85)2+165,∵n>0,∴当n=85时,线段EG即线段EG例1.2.2如图,长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx经过点B(1,4)和点E(3,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D在线段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D点的坐标;(3)在条件(2)下,在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长为最小,并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标;(4)在条件(2)下,从B点到E点这段抛物线的图象上,是否存在一个点P,使得△PAD的面积最大?若存在,请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣2x2+6x;(2)D(0,1);(3)M(,);(4)(,).【解析】(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:,抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x.(2)如图1所示;∵BD⊥DE,∴∠BDE=90°.∴∠BDC+∠EDO=90°.又∵∠ODE+∠DEO=90°,∴∠BDC=∠DE0.在△BDC和△DOE中,,∴△BDC≌△DEO.∴OD=AO=1.∴D(0,1).(3)如图2所示:作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′,连接B′D交抛物线的对称轴与点M.∵x=﹣=,∴点B′的坐标为(2,4).∵点B与点B′关于x=对称,∴MB=B′M.∴DM+MB=DM+MB′.∴当点D、M、B′在一条直线上时,MD+MB有最小值(即△BMD的周长有最小值).∵由两点间的距离公式可知:BD==,DB′==,∴△BDM的最小值=+.设直线B′D的解析式为y=kx+b.将点D、B′的坐标代入得:,解得:k=,b=1.∴直线DB′的解析式为y=x+1.将x=代入得:y=.∴M(,).(4)如图3所示:过点F作FG⊥x轴,垂足为G.设点F(a,﹣2a2+6a),则OG=a,FG=﹣2a2+6a.∵S梯形D O GF=(OD+FG)•OG=(﹣2a2+6a+1)×a=﹣a3+3a2+a,S△ODA= OD•OA=×1×1=,S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a,∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣.∴当a=时,S△FD A的最大值为.∴点P的坐标为(,).例1.2.3如图,⊙M的圆心M(﹣1,2),⊙M经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣12x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(﹣4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)求证:直线l是⊙M的切线;(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E,PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小?若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x+4),将点M的坐标代入得:﹣9a=2,解得:a=﹣29.∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169.(2)连接AM,过点M作MG⊥AD,垂足为G.把x =0代入y =﹣12x +4得:y =4,∴A (0,4). 将y =0代入得:0=﹣12x +4,解得x =8,∴B (8,0).∴OA =4,OB =8. ∵M (﹣1,2),A (0,4),∴MG =1,AG =2.∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12. ∴∠MAG =∠ABO .∵∠OAB +∠ABO =90°,∴∠MAG +∠OAB =90°,即∠MAB =90°.∴l 是⊙M 的切线.(3)∵∠PFE +∠FPE =90°,∠FBD +∠PFE =90°,∴∠FPE =∠FBD .∴tan ∠FPE =12.∴PF :PE :EF 2:1.∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2. ∴当PF 最小时,△PEF 的面积最小.设点P 的坐标为(x ,﹣29x 2﹣49x +169),则F (x ,﹣12x +4). ∴PF =(﹣12x +4)﹣(﹣29x 2﹣49x +169)=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29(x ﹣18)2+7132.∴当x =18时,PF 有最小值,PF 的最小值为7132.∴P (18,5532). ∴△PEF 的面积的最小值为=15×(7132)2=50415120.随练1.1 四边形ABCD 中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使三角形AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为( )A . 80°B . 90°C . 100°D . 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N,此时△AMN周长最小,推出∠AMN+∠NM=2(∠A′+∠A″)即可解决.延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴A、A′关于BC对称,A、A″关于CD对称,此时△AMN的周长最小,∵BA=BA′,MB⊥AB,∴MA=MA′,同理:NA=NA″,∴∠A′=′MAB,∠A″=∠NAD,∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′,∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″,∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″),∵∠BAD=130°,∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°.故选C.随练1.2如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标是123(,),在x,y轴上分(,),B点的坐标是27别有一点P和Q,若有四边形PABQ的周长最短,求周长最短的值.【答案】如图所示:四边形PABQ的周长最短,∵A点的坐标是123(,),(,),B点的坐标是27∴AB123(,),B'-(,),27A'-A B=,故''则四边形PABQ的周长最短的值为:【解析】利用作B点关于y轴对称点B',作A点关于x轴对称点A',进而连接AB'',交y轴于点Q,交x轴于点P,进而利用勾股定理得出答案.随练1.3如图,已知30∠=︒,在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm,若在ONMON-的值最大,求P点到O点的距离.上找一点P使PA PB-的值最大,P应在OM上,【答案】因为A、B在OM上,要使PA PB-<,如果P不在OM上,则P、A、B构成三角形,根据三角形的三边关系,PA PB AB所以,P是OM和ON的交点,即O点,所以P到O的距离为0.【解析】根据三角形的三边关系,两边的差小于第三边,可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大,从而求得P点到O点的距离.随练1.4小明在学习轴对称的时候,老师留了这样一道思考题:如图,已知在直线l的同侧有A、B两点,请你在直线l上确定一点P,使得PA PB+的值最小.小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确方法,他的作法是这样的:①作点A关于直线l的对称点A''.②连结A B',交直线l于点P.则点P为所求.请你参考小明的作法解决下列问题:(1)如图1,在ABC△中,点D、E分别是AB、AC边的中点,6BC=,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使得PDE△的周长最小.①在图1中作出点P .(三角板、刻度尺作图,保留作图痕迹,不写作法)②请直接写出PDE △周长的最小值__________.(2)如图2在矩形ABCD 中,4AB =,6BC =,G 为边AD 的中点,若E 、F 为边AB 上的两个动点,点E 在点F 左侧,且1EF =,当四边形CGEF 的周长最小时,请你在图2中确定点E 、F 的位置.(三角板、刻度尺作图,保留作图痕迹,不写作法),并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____.【答案】 (1)①见解析②8(2)6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题.(1)如图1,作D 关于BC 的对称点'D ,由轴对称的性质可知'D P D P =,DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小,即P 为'D E 与BC 的交点, …………………………………………………1分此时,由D 、E 分别为AB 、AC 中点,∴DE //BC 且132DE BC ==, 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半,即为2,由轴对称的性质可知'D P D P =,'DD BC ⊥,∴'DD 即为D 到BC 距离两倍,所以'4D D =,∵DE //BC ,'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥,在Rt △'DD E 中,'90D DE ∠=︒,由勾股定理'5D E =,∴358DPE C ∆=+=; ……………………………………………………………2分(2)如图2,作G 关于AB 的对称点M ,在CD 上截取1CH =,则CH 和EF 平行且相等,∴四边形CHEF 为平行四边形,∴CF HE =,由轴对称的性质可知GE ME =,CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小,连接HM 与AB 的交点即为E ,在EB 上截取1EF =即得F ,……………4分此时3DH =,3DG AG AM ===,∴9DM =,在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理:MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中,已知y=﹣12x 2+bx+c (b 、c 为常数)的顶点为P ,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,﹣1),点C 的坐标为(4,3),直角顶点B 在第四象限.(1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.(3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣12x2+2x﹣1;(2)见解析;(3)当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为【解析】(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3)∴点B的坐标为(4,﹣1).∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点,∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩,解得:b=2,c=﹣1,∴抛物线的函数表达式为:y=﹣12x2+2x﹣1.(2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点,∵点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),∴直线AC的解析式为y=x﹣1,∵直线的斜率为1,∴△P′PM是等腰直角三角形,∵∴P′M=PM=1,∴抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12(x﹣2)2+1,∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12(x﹣3)2+2,令y=0,则0=﹣12(x﹣3)2+2,解得x1=1,x=52,∴平移后的抛物线与x轴的交点为(1,0),(5,0),解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩,得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为(1,0),∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1,0).(3)如答图3,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q,取AB中点F,连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,∴四边形PQFN为平行四边形.∴NP=FQ.∴.∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为随练1.6如图1,已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2,6),点B在y轴上,且AD∥BC∥x轴,过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,2),点F(m,6)是线段AD上一动点,直线OF交BC于点E.(1)求抛物线的表达式;(2)设四边形ABEF的面积为S,请求出S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)如图2,过点F作FM⊥x轴,垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN⊥y轴,垂足为N,连接MN,直线AC分别交x轴,y轴于点H,G,试求线段MN的最小值,并直接写出此时m的值.【答案】(1)y=(x﹣2)2+2=x2﹣x+3;(2)S=m﹣3.(2≤m≤6);(3)m=时,MN最小==【解析】(1)∵过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,2),∴点C的横坐标为4,BC=4,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC=4,∵A(2,6),∴D(6,6),设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+2,∵点D在此抛物线上,∴6=a(6﹣2)2+2,∴a=,∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+2=x2﹣x+3,(2)∵AD∥BC∥x轴,且AD,BC间的距离为3,BC,x轴的距离也为3,F(m,6)∴E(,3),∴BE=,∴S=(AF+BE)×3=(m﹣2+)×3=m﹣3∵点F(m,6)是线段AD上,∴2≤m≤6,即:S=m﹣3.(2≤m≤6)(3)∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3,∴B(0,3),C(4,3),∵A(2,6),∴直线AC解析式为y=﹣x+9,∵FM⊥x轴,垂足为M,交直线AC于P∴P(m,﹣m+9),(2≤m≤6)∴PN=m,PM=﹣m+9,∵FM⊥x轴,垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN⊥y轴,∴∠MPN=90°,∴MN===∵2≤m≤6,∴当m=时,MN最小==作业1如图,∠MON=20°,A、B分别为射线OM、ON上两定点,且OA=2,OB=4,点P、Q分别为射线OM、ON两动点,当P、Q运动时,线段AQ+PQ+PB的最小值是()A.3B.C.2D.【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′,点B关于OM的对称点B′,连接A′B′,交于OM,ON分别为P,Q,连接OA′,OB′,则PB′=PB,AQ=A′Q,OA′=OA=2,OB′=OB=4,∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°,∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′,∠A′OB′=60°,∵cos60°=12,OAOB''=12,∴∠OA′B′=90°,∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是:作业2阅读材料:,如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x P与点A(0,1点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′,即原式的最小值为根据以上阅读材料,解答下列问题:(1P(x,0)与点A(1,1)、点B____的距离之和.(填写点B的坐标)(2____.【答案】(1)(2,3)(2)10【解析】(1∴代数式P(x,0)与点A(1,1)、点B(2,3)的距离之和,故答案为(2,3);(2的形式,∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,如图所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,∴PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度,∵A(0,7),B(6,1)∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8,∴,故答案为:10.作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M,在△MPQ中,当PQ边上的高为2时,称M为PQ的“等高点”,称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”.(1)若P(1,2),Q(4,2).①在点A(1,0),B(52,4),C(0,3)中,PQ的“等高点”是;②若M(t,0)为PQ的“等高点”,求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.(2)若P(0,0),PQ=2,当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时,直接写出点Q的坐标.【答案】(1)A、B(2)见解析(3)Q)或Q()【解析】解:(1)A 、B……………………………………………………………………………2分(2)如图,作点P 关于x 轴的对称点P′,连接P′Q ,P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ,此时“等高距离”最小,最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1,2),∴ P′ (1,-2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+,根据题意,有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩,解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时,解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意,可知PP′=4,PQ =3, PQ ⊥PP′,∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分(3)Q)或Q().………………………………8分作业4 如图,已知在平面直角坐标系中,A ,B 两点在x 轴上,线段OA ,OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根(OB >OA ),点C 是y 轴上一点,其坐标为(0,﹣3).(1)求A ,B 两点的坐标;(2)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的关系式;(3)D是点C关于该抛物线对称轴的对称点,E是该抛物线的顶点,M,N分别是y轴、x轴上的两个动点.①当△CEM是等腰三角形时,请直接写出此时点M的坐标;②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值?若有,请求出最小值,并直接写出此时点M,N的坐标;若没有,请说明理由.【答案】(1)A(﹣2,0),B(6,0).(2)y=14(x+2)(x﹣6)=14x2﹣x﹣3.(3)有;①M(03)、(03)、(0,﹣5)或(0,﹣112).②M(0,﹣53)N(107,0)【解析】(1)∵x2﹣8x+12=0,∴(x﹣2)(x﹣6)=0,解得:x1=2,x2=6,∵OB>OA,∴OA=2,OB=6,∴点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(6,0).(2)设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣6)(a≠0),将C(0,﹣3)代入得:﹣3=﹣12a,解得:a=14,∴经过A,B,C三点的抛物线的关系式为:y=14(x+2)(x﹣6)=14x2﹣x﹣3.(3)①依据题意画出图形,如图1所示.设点M的坐标为(0,m),∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14(x﹣2)2﹣4,∴点E(2,﹣4),∴CM=|m+3|,.△CEM是等腰三角形分三种情况:当CE=CM,解得:3或m=3,此时点M的坐标为(03)或(03);当CE=ME,解得:m=﹣3(舍去)或m=﹣5,此时点M的坐标为(0,﹣5);当CM=ME时,有,解得:m=﹣112,此时点M的坐标为(0,﹣112).综上可知:当△CEM是等腰三角形时,点M的坐标为(03)、(03)、(0,﹣5)或(0,﹣112).②四边形DEMN有最小值.作点E关于y轴对称的点E′,作点D关于x轴对称的点D′,连接D′E′交x轴于点N,交y 轴于点M,此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小,如图2所示.∵点C(0,﹣3),点E(2,﹣4),∴点D(4,﹣3),=∵E、E′关于y轴对称,D、D′关于x轴对称,∴EM=E′M,DN=D′N,点E′(﹣2,﹣4),点D′(4,3),∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN.设直线D′E′的解析式为y=kx+b,则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩,解得:7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53.令y=76x﹣53中x=0,则y=﹣53,∴点M(0,﹣53);令y=76x﹣53中y=0,则76x﹣53=0,解得:x=107,∴点N(107,0).故以D、E、M、N,此时点M的坐标为(0,﹣53),点N的坐标为(107,0).作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B.(1)当AB的中点落在y轴时,求c的取值范围;(2)当,求c的最小值,并写出c取最小值时抛物线的解析式;(3)设点P(t,T)在AB之间的一段抛物线上运动,S(t)表示△PAB的面积.①当y 轴时,求S (t )的最大值,以及此时点P 的坐标; ②当AB=m (正常数)时,S (t )是否仍有最大值,若存在,求出S (t )的最大值以及此时点P 的坐标(t ,T )满足的关系,若不存在说明理由.【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系,根与系数的关系,根的判别式,函数图象交点及图形面积的求法等知识,综合性强,难度较大.(1)若AB 的中点落在y 轴上,那么A 、B 的横坐标互为相反数,即两个横坐标的和为0;可联立两个函数的解析式,那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根,根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围;(2)由于直线AB 的斜率为1,当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2;联立两个函数的解析式,可得到关于x 的方程,那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根,可用韦达定理表示出两根差的绝对值,进而求出b 、c 的关系式,即可得到c 的最小值以及对应的b 的值,由此可确定抛物线的解析式;(3)①在(2)中已经求得了b 、c 的关系式,若抛物线与直线的一个交点在y 轴,那么c=1,可据此求出b 的值;进而可确定抛物线的解析式,过P 作PQ ∥y 轴,交AB 于Q ,可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标,进而可求出PQ 的表达式,以PQ 为底,A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积,进而可得出关于S (t )和t 的函数关系式,根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标;②结合(2)以及(3)①的方法求解即可.(1)由x 2+bx+c=x+1,得x 2+(b-1)x+c-1=0①.设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) (x 1<x 2).∵AB 的中点落在y 轴,∴A ,B 两点到y 轴的距离相等,即A ,B 两点的横坐标互为相反数,∴x 1+x 2=0,故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c<1;(3分)(2)∵,如图,过A作x轴的平行线,过B作y轴的平行线,它们交于G点,∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°,∴△ABG为等腰直角三角形,而,=2,即|x1-x2|=2,∴(x1+x2)2-4x1x2=4,由(1)可知x1+x2=-(b-1),x1x2=c-1.代入上式得:(b-1)2-4(c-1)=4,∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0;此时,b=1,c=0,抛物线为y=x2+x;(3)①∵由(2)知c=14(b-1)2成立.又∵抛物线与直线的交点在y轴时,交点的横坐标为0,把x=0代入①,得c-1=0,∴c=1.∴这一交点为(0,1);∴14(b-1)2=1∴b=-1或3;当b=-1时,y=x2-x+1,过P作PQ∥y轴交直线AB于Q,则有:P(t,t2-t+1),Q(t,t+1);∴PQ=t+1-(t2-t+1)=-t2+2t;∴S (t )=122+2t=-(t-1)2+1; 当t=1时,S (t )有最大值,且S (t )最大=1,此时P (1,1);当b=3时,y=x 2+3x+1,同上可求得:S (t )=122-2t=-(t+1)2+1; 当t=-1时,S (t )有最大值,且S (t )最大=1,此时P (-1,-1);故当P 点坐标为(1,1)或(-1,-1)时,S (t )最大,且最大值为1;②同(2)可得:(b-1)2-4(c-1)=m 2,由题意知:c=1,则有:(b-1)2=m 2,即b=1±m ;当b=1+m 时,y=x 2+(1+m )x+1,∴P (t ,t 2+(1+m )t+1),Q (t ,t+1);∴PQ=t+1-[t 2+(1+m )t+1]=-t 2-mt ;∴S (t )=1212(-t 2-mt )(t+2m )2m 3;∴当t=-2m 时,S (t )最大3, 此时P (-12m ,-24m -2m +1); 当b=1-m 时,y=x 2+(1-m )x+1,同上可求得:S (t )m (t-2m )23;∴当t=12m 时,S (t )最大3, 此时P (12m ,34m 2+12m+1);故当P (-12m ,-24m -2m +1)或(12m ,34m 2+12m+1)时,S (t 3.作业6 如图,抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B (4,4),交x 轴的另一个点为A .(1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)抛物线上找出点C ,使得S △ABO =S △CBO ,求出点C 的坐标;(3)连结BO 交对称轴于点D ,以半径为12作⊙D ,抛物线上一动点P ,过P 作圆的切线交圆于点Q ,使得PQ 最小的点P 有几个?并求出PQ 的最小值.【答案】 (1)故抛物线的解析式为: 21y=x x 2-,对称轴x=﹣1122-⨯=1 (2)点C 的坐标为:C 1(2,0),C 2(2﹣4﹣C 3(2+4+(3)点P 有2个,PQ【解析】 (1)∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B (4,4),∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩, 解得:1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩, 故抛物线的解析式为:21y=x x 2-, 对称轴x=﹣1122-⨯=1; (2)当y=0,0=12x 2﹣x , 解得:x 1=0,x 2=2,故A (2,0),∵B (4,4),∴直线BO 的解析式为:y=x ,作BO 的平行线y=x ﹣2, 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ , 解得:x 1=x 2=2,则y=0,故C 1(2,0)往上平移还可以得到另一直线:y=x +2,组成方程组: 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩, 解得:11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2(2﹣4﹣C 3(2+4+综上所述:点C 的坐标为:C 1(2,0),C 2(2﹣4﹣C 3(2+4+(3)∵y=12x 2﹣x=12(x ﹣1)2+1, ∴可得D (1,1),设P (x ,y ),由相切得:DQ ⊥PQ ,则PQ 2=PD 2﹣DQ 2, 故2221(x 1y 14PQ =-+--)()=2217x x 244-+(), 故x=0,2时PQ 最小,故点P 有2个,PQ的最小值为2.作业7 如图1,在平面直径坐标系中,抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A (﹣3,0).B (1,0),与y 轴交于点C(1)直接写出抛物线的函数解析式;(2)以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ,若弦CD 过AB 的中点M ,试求出DC 的长;(3)将抛物线向上平移32个单位长度(如图2)若动点P (x ,y )在平移后的抛物线上,且点P 在第三象限,请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式,并写出△PDE 面积的最大值.【答案】 (1)抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2. (2). (3)△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2<x <0),且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 (1)由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标,根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标,由此即可得出CM 的长,根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ,根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=,代入数据即可求出DC 的长度; (3)根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式,令其y=0,求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标,由此即可得出点P 横坐标的范围,再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′,过点D 作DD′⊥y 轴于点D′,通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式,利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值.解:(1)将点A (﹣3,0)、B (1,0)代入y=ax 2+bx ﹣2中,得:093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩,解得:2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2.(2)令y=23x2+43x﹣2中x=0,则y=﹣2,∴C(0,﹣2),∴OC=2,CE=4.∵A(﹣3,0),B(1,0),点M为线段AB的中点,∴M(﹣1,0),∴∵CE为⊙O的直径,∴∠CDE=90°,∴△COM∽△CDE,∴OC CM DC CE=,∴.(3)将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12,令y=23x2+43x﹣12中y=0,即23x2+43x﹣12=0,解得:x1,x2.∵点P在第三象限,x<0.过点P作PP′⊥y轴于点P′,过点D作DD′⊥y轴于点D′,如图所示.(方法一):在Rt△CDE中,,CE=4,∴,sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中,,∠CD′D=90°,∴DD′=CD•sin ∠DCE=85,165, ∴OD′=CD′﹣OC=65, ∴D (﹣85,65),D′(0,65). ∵P (x ,23 x 2+43x ﹣12), ∴P′(0,23 x 2+43x ﹣12). ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12(DD′+PP′)•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x <0),∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324<﹣58<0, ∴当x=﹣58时,S △PDE 取最大值,最大值为5324.故:△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2<x <0),且△PDE 面积的最大值为5324.(方法二):在Rt △CDE 中,,CE=4,∴, ∵∠CDE=∠CD′D=90°,∠DCE=∠D′CD , ∴△CDE ∽△CD′D ,∴DD CD CD DE CD CE''==, ∴DD′=85,CD′=165, ∴∴OD′=CD′﹣OC=65, ∴D (﹣85,65),D′(0,65). ∵P (x ,23 x 2+43x ﹣12), ∴P′(0,23 x 2+43x ﹣12). ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12(DD′+PP′)•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x <0),∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324<﹣58<0, ∴当x=﹣58时,S △PDE 取最大值,最大值为5324.故:△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2<x <0),且△PDE 面积的最大值为5324.。

几何图形中线段和差的最值问题课件

几何图形中线段和差的最值问题课件

第一步 寻找、构造几何模型
要求△PBC 的周长最小? 只要PB+PC最小就好了!
11
段 和 自 气 路 是匹角 是 页 第二步 计算——勾股定理
把PB+PC 转化为PA+PC !
当P 运动到H 时, PA+PC最小
12
檗鹬考物

墨图角军是
09内江27
对于动点Q(1,n), 求PQ+QB的最小值 .
· ( Ⅱ ) 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2, 当 四边形的周长最小时,求点E、F的坐标.
28
解: (I) 如图,作点D 关 于x 轴的对称点D', 连 接CD '与x 轴交于点E, 连 接DE. 若在边OA 上任取点E' ( 与 点E 不重合),连接CE' 、DE' 、D'E'. 由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,
如何去解?

化归

引申、条件变换、背景转换、 增加解题层次性等
课本例题或常见题
考题
1.分清定点、动点、对称轴 2.利用对称性构造三点共线
9
巨受禾日老年白身
全无 甲籍
亭 是题角解是页
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P, 使得△PBC 的周长最小, 精求出点P 的坐标 .
10



是题解 是
直线A'′B'′ 的解析式为 ·
要使A'D+DB'′ 最短,点D应在直线A′′B'′ 上,将点D(-4,0) 代入直线 A¹ B'′ 的解析式,解得

深圳优质课件 中考数学专题最值问题之线段

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则点F、H为所求。
Q
.B'
思考
根据所提的3个任务,思考以下2个问题 1.线段和的最值问题有哪几种类型? 2.你是如何用数学知识解决三个实际问
题?
.B
.. A
O
L
C

作法:1、作点A关于OL对称点A, A'
2、连接AB,交OL于点C,则点C为所求。
证明:
在OL上任取一点P,连结PA,PB,PA',
因为PA+PB=PA'+PB>BA'=BC+BA根据三角形两 边之和大于第三边,所以结论成立。
.B
.AOCLPA'
任务二: 农场工作人员为使居民区C的居民喝上放心
中考热点专题之最值问题
----线段和的最小值
任务一:
为了让市民能喝上放心奶,光明农场准备在 各街道旁建奶站,如图所示,若能让农场工作人 员最快向居民区A、居民区B提供牛奶,奶站应 建在街道OL的什么地方?
.B
O
.A
L
已知:直线OL和其同侧两点A、B。
求作:在直线OL上,求作一点C, 使得线段AC CB和最短。
K
.
F

E.
D
Q H
.
已知:KOQ和KOQ内两点E、D, 点F是OK上的动点,点H是OQ上的动点;
. 求作:点F和点H,
A'
使得线段FE FH DH的和最短。
F
K
.
. E.
D
O
H
作法:(1)作点E关于OK的对称点A' ,点D关于OQ 的对称点B'.
(2)连结A' B ',交OK 于点F,交OQ于点H。

线段和差的最值问题ppt课件

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中考专题复习
▪ ——求线段和差的最值
.
1.常见的几何最值问题有:线段最值问 题, 线段和差最值问题,周长最值问题、 面积 最值问题等;
2.几何最值问题的基本原理。 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短 ③三角形两边之差小于第三边 ④利用函数关系求最值
.
一、两条线段和的最小值
已知:直线m外两点A,B,在直线m上求 一点P,使PA+PB最小;
点A为 y 轴正半轴上的一点,⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A
与点D。
(1)求点D的坐标; (2)过O,C,D三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在 一点P,使线段PO与PD之差最大?若存在,请求出这个最大值和
点P的坐标。若不存在,请说明理由。
y
B
A
D
O
Cx
.
当P运动到E时,PA +PB最小
当Q运动到F时, QD-QC最大
.
.
明理由.
.
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小?
N
E
M
E/
把三条线段转移 到同一条直线上 . 就好了!
第二步 计算——勾股定理
E'F' 3242 5
EF 1222 5
因此四 M边 N的 F 形E 周长的5最 5小 . .
练习:如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是
长的最小值为(B )
B .2
C、
D、
A、
.
如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°M是AD 边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN 所在直线翻折得△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最 小值是多少?
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线段最值问题
1、“对称+点点最值”如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是OC的中点,点M在BC边上,且BM=6,P为对角线BD上一点,则PM+PN的最小值为
2、“对称+点点最值”如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,E、 F、 G、H分别在矩形ABCD
的边AD、AB、BC、CD上。

若AF=2,DH=5,E、G分别为AD、BC上的动点,
求四边形EFGH周长的最小值
3、“双对称
+点点最值”如图,在边长为6的菱形
ABCD中,
AC是其对角线,∠B=60°,点P在
CD上,CP=2,点M在AD上,点N在AC上,则△PMN周长的最小值为
4、“双对称+点点最值”如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,且OP=10,点M,N分别为OA,OB上的动点求△PMN周长的最小值
5、“平移+点点最值”如图,菱形ABCD的边长为3,∠BAD=60°,点E、F是对角线AC上的两点,且EF=1,点E在点F的左侧,求DE+BF的最小值。

6、“平移+对称+点点最值”(1)如图,菱形ABCD 的边长为3,∠BAD=60°,点E 、F 是对角线AC 上的两点,且EF=1,点E 在点F 的左侧,求DE+DF 的最小值。

(2)如图,矩形ABCD 中,AD =2,AB =4,AC 为对角线,E 、F 分别为边AB
、CD 上的动点,且EF ⊥AC 于点M ,连接AF 、CE ,求AF +CE 的最小值.
(3)如图,sinC=3/5,长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动,点B 在射线CA 上,BC=5,则△BDE 的周长的最小值为_____.
(4)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点B 在原点,点A 、C 在坐标轴上,点D 的坐标为(6,4),E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 边上两个动点,且PQ =2,要使四边形APQE 的周长最小,则点P 的坐示应为______________.
7、“三对称+点点最值”如图,矩形ABCD 的边AB=3,BC=4,点E 为CD 边上一点,且CE=1,点F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 边上的动点,则四边形EFGH 周长的最小值是多少?
A B C D
E
F
M
x
8、“隐形对称+点点最值”
(1)如图,直线l
外有一点
D,点D 到直线l 的距离为5,在△ABC 中
(2)如图,在矩形ABCD 中,AB=5,BC=3,动点P 满足S △PAB =
S 矩形ABCD ,则PA+PB 的最小值为多少?
9、“全等转化+点点最值”如图,在矩形ABCD 中,AB=15,AD=20,E 、F 分别是AC 和CB 上的两个动点,且AE=CF ,求DE+DF 的最小值。

10、“全等转化+点点最值”如图,等边△ABC 边长为2,AD 是高,点E 、F 分别在线段AD 、AC 上运动,且AE=CF ,则BF+CE 的最小值为______.
11、“对称+点点最值(差最大)”如图,在正方形ABCD 中,AB=8,AC 与BD 交于点O ,N 是OA 的中点,点M 在BC 边上,且BM=6,P 为对角线BD 上一点,则PM-PN 的最大值

12、“对称+点线最值”(1)如图,菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=45°,点P为对角线BD上一点,M为BC上一点,则PC+PM的最小值为
(2)边长为2的等边三角形中,P是动点,点P关于AB、BC的对称点为M、N
,求MN的最小值
(3)如图,△ABC为锐角三角形,∠ABC=30°,AC=6,△ABC的面积为33,点
E、F、P分别为
△ABC三边AB、BC、AC上的三个动点,求△EFP周长的最小值.
13、“对称+线线最值”
如图,等边三角形ABC中,点P、M、N分别是BC、CA、AB边上的动点,则
PM+MN的最小值为___. B
B。

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