数学分析二重积分的计算练习题解答

2009大专A 班数学分析第13章二重积分的计算练习题解答

一、求下列二重积分： 1.

22()d d R

x y x y +⎰⎰, 其中R ：11x -≤≤，11y -≤≤. 解：1

31

1

1

2222

21111()d d d ()d d 3R

y x y x y x x y y x y x ----⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 1

31

2

1028(2)d 4()3333

x x x x -=+=+=⎰.

2.

(32)d d R

x y x y +⎰⎰，其中R 是由坐标轴与2x y +=所围成的闭区域.

解: 如图，积分区域可以表示为x 型区域: 02y x ≤≤-,02x ≤≤.于是有

(32)d d R

x y x y +⎰⎰222

22

00

0d (32)d 3d x

x

x x y y xy y x --⎡⎤=+=+⎣

⎦⎰⎰

⎰ 2

20(422)d x x x =+-⎰2

32

0220(4)33

x x x =+-

=. 3.

cos()d d R

x x y x y +⎰⎰,其中R 是以(0,0)(π,0)(π,π)为顶点的三角形区域.

解: 如图，积分区域可以表示为x 型区域: 0y x ≤≤,0x π≤≤.于是有

cos()d d R

x x y x y +⎰⎰[]00

d cos()d sin()d x x

x x x y y x x y x ππ

=+=+⎰⎰⎰

001

(sin 2sin )d d(cos cos 2)2

x x x x x x x ππ=-=-⎰⎰ 00

1113(cos cos 2)(cos cos 2)d (102222x x x x x x π

πππ⎡⎤

=---=---=-

⎢⎥⎣⎦⎰.

4.

d R

x y ⎰⎰

，其中R 是由2

y x =

与y =所围成的闭区域. 解: 如图.积分区域可以表示为x

型区域: 2x y ≤≤,01x ≤≤.

于是有

d R

x y

⎰⎰3

11

20

2d [3x x x y x y x ==⎰⎰

7

1

4

4

02()d 3x x x =

-⎰1

1154

2416()311555x x =-=

. x

y

π

x

y

2

2

5.

(+)d d R

x y x y ⎰⎰, 其中R ：1x y +

≤.

解：如图，积分区域为两个x 型区域1R 与2R 之并，

其中1R ：11x y x --≤≤+, 10x -≤≤， 1R 2R

2R ：11x y x -≤≤-, 01x ≤≤．

于是有

1

2

(+)d d (+)d d (+)d d R

R R x y x y x y x y x y x y =-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

01111

10

1

d ()d d ()d x

x

x

x x y x y x x y y +-----=-++⎰⎰

⎰⎰

011122111011()d ()d 22x x

x x y x x y x x +----+-=

-++⎰⎰ 012

210112[1(21)]d [1(21)]d 223x x x x -=-++--=⎰⎰． 6.

2

2()d d R

x

y x x y +-⎰⎰，其中R 是由直线2y =,y x =及2y x =所围成的闭区域.

解: 如图，积分区域可以表示为y 型区域:

2

y

x y ≤≤,02y ≤≤. 于是有

22()d d R

x y x x y +-⎰⎰ 3222

222

2

2

d ()d d 32y

y y y x x y x y x x y x y ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

2

320

19313

(

)d 2486

y y y =-=⎰． 7.

d d 1

R

x

x y y +⎰⎰

，其中R 是由21y x =+,2y x =及0x =所围成的闭区域. 解：如图，积分区域可以表示为x 型区域: 221x y x ≤≤+,01x ≤≤.

于是有

d d 1

R

x

x y y +⎰⎰

221

1

11

20201d d [ln(1)]d 1

x x x x

x x y x y x y ++==++⎰⎰

⎰ 1

1

20

ln(2)d ln(21)d x x x x x x =+-+⎰⎰

91

ln 3ln 282

=--．

x

y

1

y 1