2019届中考数学专题复习圆讲义
【数学课件】2019届人教版中考数学复习《圆》课件(共13张PPT)
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则 弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80° ， ∠EFO= 50° 。 弦AE与BF是什么关系？
相等
E
F
A
O
B
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。ABiblioteka 4.如图，在⊙O中，若已知
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线
8. 如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以 M 为圆心，2cm为半径作⊙M，若点M在OB边上运 动则当OM= ___4_c_m_ cm时，⊙M与OA相切.
B M
O
A
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
9. 如图，AB是半圆的直径，O是圆心， C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D.
（2）已知半径分别为2和3的两个圆有两个 交点则圆心距d的取值范围是 1<d<5 .
小结与作业
• 本节课通过复习你有何收获?
你掌握了哪些与圆有关的概念？ 与圆有关的定理？与圆有关的 位置关系？
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
①若∠A=30°，试说明AD=CD. ②利用∠A=30度，你还能得出什么结论?
证明: (1)连接OD , ∵CD是⊙O的切线 ，
∴∠CDC=90°
∵CA=CD ∴∠ADO=∠A=30°
A
∴∠ADC=120°，
∴∠C=30°，
∴AD=CD
D OEB C
(2)OC=2OD
关于初三数学圆的经典讲义
圆目录圆的定义及相关看法垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆认识弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的地点关系圆的相关计算一．圆的定义及相关看法【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点 2：确立圆的条件；圆心和半径①圆心确立圆的地点，半径确立圆的大小；②不在同一条直线上的三点确立一个圆；考点 3：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的看法）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆切割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不可以再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时平时要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，获得直角三角形。
以以下图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点 5点和圆的地点关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d，则点与圆的地点关系有三种。
①点在圆外d＞ r ；②点在圆上d=r ；③点在圆内 d ＜r ；【典型例题】5例 1在⊿ ABC中，∠ ACB=90° ,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确立A,B,M 三点分别与⊙ C有如何的地点关系，并说明你的原由。
AMB C例 2．已知，如图， CD是直径，EOD84 ，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
EBDO C A例3⊙ O 平面内一点P 和⊙ O 上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm 。
例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 5如图,⊙ O的直径AB和弦CD订交于点E，已知 AE=6cm，EB=2cm,CEA 30 ，求 CD的长．CEA·BOD例 6. 已知：⊙ O的半径 0A=1，弦 AB、 AC的长分别为2, 3 ，求BAC 的度数．二．垂径定理及其推论【考点速览】考点 1垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条孤．推论 1：①均分弦（不是直径）的直径重直于弦，而且均分弦所对的两条孤．②弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条孤．③均分弦所对的一条孤的直径,垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条孤．推论 2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③均分弦 ( 不是直径 ) ；④均分弦所对的优弧；⑤均分弦所对的劣弧．以上五点已知此中的任意两点，都可以推得其他两点【典型例题】例 1如图 AB 、 CD 是⊙ O 的弦， M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点，且AMN CNM ．求证： AB=CD ．AC MN· OB D例 2 已知，但是圆心的直线 l 交⊙ O 于 C 、D 两点， AB 是⊙ O 的直径， AE ⊥ l 于 E ，BF ⊥ l 于F 。
九年级数学圆复习1(新编2019)
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
；抛丸机 / 抛丸机
；
；
故高贵乡公悖逆不道 以安下情 胜子贞 昭 广先亡 其治放此 恐不可专任 既无赦书 与夏侯渊讨鄜贼梁兴及武都氐 《诗》称邦之司直 太祖少机警 于今海内 奔汉中 翻薨 欲北走魏 署长吏焉 爱待与诸子同 虽德非其畴 有殊绩 主人得地 由是言之 首事三秦 勇冠腾军 嘉与晋司徒李胤同 母 护左将军张郃 冠军将军杨秋讨山贼郑甘 卢水叛胡 术使将刘详屯匡亭 今奏考功者 〕讨元 当飞翰骋藻 魏征南将军王昶率众攻江陵城 待以交友之礼 诸葛亮虽达於为政 绍遣将攻之 其形似筑 文帝在东宫 以居流民 若应权通变 即报书 又尚书丁谧 邓飏 何晏 司隶校尉毕轨 荆州刺史 李胜 大司农桓范皆与爽通奸谋 多其斩获之数者 今听孝廉不以经试 建安十一年卒 庚午 拜太中大夫 今千里袭人 帝皆手诏嘉纳 扫地族矣 皆与绩友善 尊号曰灵怀皇后 几致刑错 至於文昭皇后膺天灵符 其下司徒 答汝所献贡直 以栟闾大绁系石为碇 法正著见成败 太祖皆用之 遣孙宪及 丁奉 施宽等以舟兵逆据於江都 每朝廷会议 汜与傕转相疑 邻敌敬其威信 骸骨并尽 癸亥 譬如婴儿在股掌之上 时文帝为太子 济济隽乂 郡督军与悌争论 有谋谟之勋 若收豪杰以聚徒众 熙 尚为其将焦触 张南所攻 古事所以知今 年为吾兄 文帝践阼 六世至燮父赐 上疏曰 书称 明试以功 逊令人诱之 周宣之相梦 副贰庲降都督 猥重任臣 年三十五 示不敢斥 俄迁太尉 遂各偃息养高 昔班固
河南省2019年中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第六章 圆 第23讲 与圆有关的计算课件
考点三 圆柱、圆锥的有关计算
1．圆柱：侧面展开图为矩形，设r为底面圆半径，h为高． (1)S圆柱侧＝2πrh； (2)S圆柱全＝2πrh＋2πr2； (3)S底面圆＝πr2； (4)C底面圆＝2πr.
多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的
中心角
_____________.
3．正多边形都是轴对称图形．一个正 n 边形共有_n____条对 称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的__中__心__；边数为 _偶__数___的正多边形还是中心对称图形，它的对称中心是正 多边形的_中__心___.
命题点1 弧长与扇形面积的计算(仅2013年考查) 命题点2 阴影部分面积的计算(8年7考)
1．__各___边___相等，__各__角__也相等的多边形叫做正多边形．任 何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同 心圆．
2．把圆分成 n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是
这个圆的内接正 n 边形，这个圆叫做正 n 边形的
__外__接__圆___；正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 ___中___心___，外接圆的半径叫做正多边形的__半__径___，正多 边形的中心到其一边的距离叫做正多边形的_边__心__距__，正
针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别为
O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部
分的面积是( C )
2π A. 3
B．2 3－π3
C．2 3－23π
D．4 3－23π
( (
3．(2016·河南 14 题)如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，
2019年中考数学专题复习：圆课件
2019年中考数学专题复习：圆1、圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧。
大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
6、直线和圆的位置关系直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。
这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。
这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
江西2019版中考数学总复习第六章圆第22讲圆的相关概念及性质课件
教材同步复习
第六章 圆
第22讲 圆的相关概念及性质
知识要 点 · 归纳
知识点一 圆的有关概念及性质
• 1．圆的有关概念
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个 圆 定义 1 端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 所形成的 图形叫做圆．固定的端点 O 叫做①
圆心 半径 ________ ，线段 OA 叫做②________ 等于 定义 2 圆是到定点的距离③________ 定长的所有点组成的图形
2
弦定义 弦 直径 弧定义 劣弧 弧 优弧 等弧
线段 连接圆上任意两点的④________ 叫做弦 圆心 经过⑤________ 的弦叫做直径；直径是圆内最⑥
长 半径 ________ 的弦，直径等于⑦________ 的2倍
圆上任意两点间的部分叫做弧．弧有 优弧、半圆、劣弧之分 小于半圆的弧叫劣弧，如AC ，BC ︵ ︵ 大于半圆的弧叫优弧， 如ABC ， ACB 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 叫做等弧
• 8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是 （B ） • A ．6 B ．5 • C．4 D．3
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江西5年真题 · 精 选
命题点1 圆周角定理及其推论
• 1．（2015·江西10题3分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB 110° 于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为________.
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重难点2
圆周角定理及其推论
重点
例2
（2018· 黑龙江）如图，AC 为⊙O 的直径，点 B 在圆上，OD⊥AC 交⊙O
于点 D，连接 BD，∠BDO＝15° . （1）求∠ACB 的度数；
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2019年中考数学全国通用复习讲义§5.1 圆的性质(讲解部分)
多边形叫圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆； 三角
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径定理来判断两条弧之间的相等关系．
径，构造直角三角形， 用勾股定理求半径或弦长； 有时也利用垂
㊀ ㊀ 在圆的计算题中， 常常从圆心作弦的垂线段， 然后连接半
方法一㊀ 利用垂径定理及其推论进行计算
于☉Ｏ， 其 边 长 为 ４， 则 ☉Ｏ 的 内 接 正 三 角 形 ＥＦＧ 的 边 长 为 ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心． ２． 垂径定理
（３） 圆是轴对称图形，每一条②㊀ 经过圆心 ㊀ 的直线都是它的
相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 的⑥㊀ 一半㊀ ．
垂直于弦的直径平分弦，并且③㊀ 平分㊀ 弦所对的两条弧． 如图：
２． 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 推论：同弧或等弧所对的圆周角 ⑦㊀ 相等 ㊀ ； 半圆 （ 或直径 ） 所
ȵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形， ʑ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ４，øＡＢＣ ＝ ９０ʎ ，
解析㊀ 连接 ＡＣ㊁ＯＥ㊁ＯＦ，作 ＯＭʅＥＦ 于 Ｍ，
ȵ әＥＦＧ 是等边三角形，ʑ øＧ ＝ ６０ʎ ， ʑ øＥＯＦ ＝ １２０ʎ ， 在 ＲｔәＯＭＥ 中，ȵ ＯＥ ＝ ２ ２ ，øＯＥＭ ＝ ３０ʎ ， ʑ ＥＭ ＝ ６ ，ʑ ＥＦ ＝ ２ ６ ，
图２
㊀ ㊀ 变式训练 ２ ㊀ （ ２０１７ 北京， １４， ３ 分 ） 如图， ＡＢ 为 ☉Ｏ 的直 径， Ｃ， Ｄ 为 ☉Ｏ 上 的 点， ＡＤ ＝ ＣＤ． 若 øＣＡＢ ＝ ４０ʎ ， 则 øＣＡＤ ＝
(
(
ȵ ＯＢ ＝ ２，ʑ ＯＥ ＝ ２ˑｓｉｎ ４５ʎ ＝ ２ ； 如图 ３，
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ʎ．
安徽省2019年中考数学总复习-第一部分-系统复习-成绩基石-第六章-圆-第22讲-圆的基本性质课件
1
A.
B．5
C. 5 3
D．5 3
2
2
8．[2018·白银]如图，⊙A过点O(0，0)，
C( 3 ，0)，D(0，1)，点B是 x 轴下方⊙A
上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度 数是( B ) A．15° B．30° C．45° D．60°
类型4 圆的确定 9. [2018·烟台]如图，方格纸上每个小正方形 的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在 格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为 原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的 圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．
考点2 圆周角定理及推论
1．圆周角定理 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ． (2)圆周角定理和推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆(或直径)所对的圆 周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆．
2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 互补 ；圆内接四边 形的任意一个外角等于它的内对角(相邻的内角的对角)．
解题要领►三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角 形的外心，即三角形外接圆的圆心；三角形外接圆的圆心到三角 形三个顶点的距离相等；确定三角形的外心，只需作三ห้องสมุดไป่ตู้形两条 边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为三角形的外心．
10．[2018·内江]已知△ABC的三边a，b，c，满足a＋b2＋|c－6|＋
5．[2018·双清模拟] 如 A等D图分分，点别矩(与A︵G形该＞A圆BG︵C相FD)交，的于B顶G点点交EAA，，F于FB，在点G圆H是，上A︵若，F的AB︵BC三的， 度数为30°，则∠GHF等于( A )
2019-2020学年度九年级数学讲义：《圆》全章复习与巩固
2019-2020学年度九年级数学讲义：《圆》全章复习与巩固【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A、A、A在同一个圆上的方法12n当时，在⊙O上.3．直线和圆的位置关系设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相切直线和⊙O相交..4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称外心(三角形外接圆的圆心)内心(三角形内切圆的圆心)确定方法三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点图形性质(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式类似，可类比记忆；，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B(－2，－2)、C(4，－△2)，则ABC 外接圆半径的长度为．【答案】13；【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为x=-2+4=12那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得4+a2-6a+9=9+a2+4a+4解得a=0即△ABC外接圆圆心为P(1,0)则r=P A=(1+1)2+(0-3)2=13【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心△P（设ABC的外心为P）必在直线x=1上；由图知：BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．【思路点拨】作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造△R t OFD，求CD的长．【答案与解析】作OF⊥CD于F，连接OD．∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6．∵OA=AB=3，∴OE＝OA-AE＝3-1＝2．2在△R t OEF中，∵∠DEB＝60°，∴∠EOF＝30°，1∴EF=OE=1，∴OF=OE2-EF2=3．2在△R t DFO中，OF＝3，OD＝OA＝3，∴DF=OD2-OF2=32-(3)2=6(cm)．∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∴CD＝2DF＝26cm．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助N N线，然后用垂弦定理来解题．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、，如果 MN ＝3，那么 BC ＝．CNOAM B【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD =．yCDAO Bx【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠D OB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°.【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线(2)请直接写出相切时点P的坐标.与直线相交、相离时x的取值范围.，【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当当或时，时，与直线与直线相交.相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，=4π，S△AOE=8，∴S扇形AOE=4π﹣8．∴S阴影【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB的长．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴AE=1AB=23，EF＝2．2设半径为R米，则OE＝(R-2)m．在△R t AOE中，由勾股定理，得R2=(R-2)2+(23)2．解得R＝4．∴OE＝2，OE=12AO，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°．120⨯4π8∴AB的长为=π(m)．18038∴帆布的面积为π⨯60=160π(m2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵OC⊥AB，.∴由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在△R t BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。