流体机械三元流动理论

三元流动理论在叶轮机械中的应用与发展

所谓三元流动，其含义是指在实际流动中，所有流动参数都是空间坐标系上三个方向变量的函数。其通用理论的中心思想是将叶轮机械内部非常复杂、难以求解的三元（空间）流动,分解为相交的两族相对流面上比较简单的二元（流片）流动，只使用这两族流面就可以很容易地得到三元流场的近似解，同时使用这两族流面进行迭代计算，可以得到三元流动的完整解。

三元流动是透平机械气动热力学的专门问题。最初是航空上为了提高飞机性能，对压缩机的设计不断提出新的技术要求和性能指标，从而使压缩机的第一级由亚音速过渡到超音速。流线的曲率和斜率对气流参数的影响就特别突出，要设计样的叶轮机械就必须突破“沿圆柱表面”流动的束缚，把流线的曲率和斜率考虑进去，同时还要考虑熵和功沿径向的变化。因此，迫切需要建立新的流动模型，把二元流发展到三元流。按三元流动理论设计出既弯又扭的三元叶轮，才能适应气流参数(如速度、压力等)在叶道各个空间点的不同，并使其既能满足大流量、高的级压力比，又具有高的效率和较宽的变工况范围。

图1：S1流面与S2流面相交叉模型

叶轮中三元流动的理论大致可分为三类：通流理论、Sl与S2相对流面理论和直接三元流理论。

(1)通流理论

通流理论最早是由劳伦茨(Lorenz)提出的。这个理论假设叶片数趋于无穷多，叶片厚度趋于无限薄。此时，介于两相邻叶片间的相对流面S2与叶片的几何中位面趋于重合，而其上的流动参数在圆周方向的变化量趋于零，但圆周方向的变化率却保持有限值。所以，此时仍不是轴对称流动。叶片的作用则通过引入一假想的质量力场来代替。这样，只要求出在这个极限流面上流动的解即可。但是，这样得出的解实际上只能是在叶栅密度较大时，作为某个大约与叶道按流量平均的中分面相重合的相对流面上的解。

(2)Sl、S2相对流面理论（如图1）

1952年，吴仲华提出了用准三元方法求解三元流动的理论，即著名的叶轮机械两类相对流面（S1流面和S2流面）的普遍理论，把一个复杂的三元流动问题分解为两类二元流动问题来求解，使数学处理和数值计算大为简化。这两类相对流面是这样的：第一类相对流面(Sl流面)，它与某一个位于叶栅前或叶栅中z=常数的平面的交线是一条圆弧线{第二类相对流面(S2流面)，它与某一个位于叶栅前或叶栅中Z=常数的平面的交线是一条径向线。一般来讲，Sl流面并非是任意旋转面(或称回转面)，该曲面可能是扭曲的；而S2流面也可能根本不含任何径向线或直线。它们都是较复杂的空间曲面。

可以用一个数学上适当的组合两类相对流面上二元流动的方法得到三元流动的解。这是一大进步，因为二元问题，无论在数学处理上或数值计算上，与三元问题相比都是比较简单和方便的。实践证明，只要经过四、五轮的迭代，就可能得到满足工程精度要求的收敛解，同时也具体地看出了这两类流面互相关联的程度。

（3）直接解三元流动的理论

近年来，国内外都在进行直接求解叶轮中三元流动的尝试，有任定准正交面法以及应用势函数、双流函数或Euler方法直接求解叶片式流体机械中的三元流动。前者实际上是将一个三元流动问题近似地转化为多个相关的一元流问题来迭代求解。计算工作量比S1、S2相对流面理论要小得多，但误差也较大。后者特别是应用势函数直接求得三元流场，变量少，近来发展十分迅速。

三元流动技术已广泛应用于我国叶轮机械行业。其实质上就是通过使用先进的设计软件“射流一尾迹三元流动理论计算方法”，结合生产现场的实际运行工况，重新进行叶轮的优化设计,在不改变管路、电路、泵体等前提下实现节能和提高效率的目的。

图 2左边是叶轮的局部视图，右边是把叶轮内两个相邻叶片和前、后盖板形成的流道abcdefgh作为一个计算分析研究的单元。Aehd，bfgc是两个相邻的叶片，dcnghi是叶轮前盖板，bkfeja是叶轮后盖板。传统的“一元流理论”，就是把叶轮内的曲形流道abcdefgh视为一个截面变化的弯曲流管，认为沿流线的流速大小仅随截面大小而变化，但假定在每个横断面上如 abcd，ijkn，efgh等等，流速是相同的。这样在流体力学计算中，流动速度w就只是流线长度坐标s的一元函数。这种简化使泵内部流体力学的计算可以用手工算法得以实现。国内电厂广为采用的双吸水平中开泵，就是采用这种理论设计的。

然而由于叶轮流道abcdefgh的三元曲线形状又是高速旋转的，流速(或压力)不但沿流线变化，而且沿横截面abcd，ijkn，efgh等任一点都是不相同的，即流速是三元空间圆柱坐标(R、Φ、Z)的函数。特别是叶片数也是有限的，流速和压力沿旋转周向(Φ坐标)的变化，正是水泵向流体输入功的最终体现，忽略这一点就无法计算水泵内部的压力变化，水泵的效率显然与其内部流动状况的好坏是密不可分的。

图2：叶轮圆柱坐标（R 、Φ、Z ）及流动速度w 最早在航空用离心压气机中，用激光测速技术观察到“射流-尾迹”现象，如下图所示，弧状弯曲线dh 和cg 分别代表两个相邻的叶片，dc 为叶片进口边，hg 为叶片出口边，w1为叶片进口流速，w2为叶片出口流速，都是不均匀的。t 是流动分离点，htv 既是尾迹区，是一些低能量流体组成，类似一个漩涡。cdtvg 则是射流区可视为无粘性的位流区，可按通常的三元流计算。

图3： 射流-尾迹模型

关于尾迹区的计算，目前还没有准确的方法，只能依靠半经验的方法加以计算。研究表明，由于粘性和压力梯度的存在，泵轮出口沿叶片吸力面及前盖板表面都会有流体的脱流，形成的“尾迹”区不但消耗了有用功，降低泵效率。

完全三元流动的计算方法，数学上是极端困难的。作为一大突破，我国科学家吴仲华在世界上首次把三元降为二元，提出了S1、S2两类流面的概念，称为叶轮机械三元流动理论的基础。其运动方程为：

1312111c dL dw c w c ds dw ++=

2322211c dL dw c w c ds dw ++=

式中：w 为液体在叶轮中的相对流速，系数2311~c c 等均为流线几何形状的函数；L 为流线（1s 、

2s 两类流面的交线，定名为流面坐标）。

连续方程可写为：