流体机械三元流动理论
第五章 液体三元流动基本原理w
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5 有旋运动简介
5.6 液体恒定平面势流 5.7 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
1、方程的推导
dt时段,x,y,z三个方向流出
与流入控制体积的液体
的质量差为：
dM x , dM y , dM z
dM dM x dM y dM z
水力学
dM dM x dM y dM z
第 u y dy u y dy dy dy 五 章 dM y [( y 2 )(u y y 2 )dxdz ( y 2 )(u y y 2 )dxdz ]dt 液 体 dM [( dy u u y dy ) ( dy u u y dy )]dxdzdt y y y 三 y 2 y 2 y 2 y 2 元 流 u y 动 dM y [( dyu y dy )]dxdzdt y y 基 本 u y 原 [(u y )]dxdydzdt y y 理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
u dr 0
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
（2）流线方程：
由
u dr u x u y u z 0 dx dy dz
i
j
k
得出流线微分方程：
dx dy dz u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
流体机械三元流动理论
流体机械三元流动理论三元流动理论在叶轮机械中的应用与发展所谓三元流动，其含义是指在实际流动中，所有流动参数都是空间坐标系上三个方向变量的函数。
其通用理论的中心思想是将叶轮机械内部非常复杂、难以求解的三元（空间）流动,分解为相交的两族相对流面上比较简单的二元（流片）流动，只使用这两族流面就可以很容易地得到三元流场的近似解，同时使用这两族流面进行迭代计算，可以得到三元流动的完整解。
三元流动是透平机械气动热力学的专门问题。
最初是航空上为了提高飞机性能，对压缩机的设计不断提出新的技术要求和性能指标，从而使压缩机的第一级由亚音速过渡到超音速。
流线的曲率和斜率对气流参数的影响就特别突出，要设计样的叶轮机械就必须突破“沿圆柱表面”流动的束缚，把流线的曲率和斜率考虑进去，同时还要考虑熵和功沿径向的变化。
因此，迫切需要建立新的流动模型，把二元流发展到三元流。
按三元流动理论设计出既弯又扭的三元叶轮，才能适应气流参数(如速度、压力等)在叶道各个空间点的不同，并使其既能满足大流量、高的级压力比，又具有高的效率和较宽的变工况范围。
图1：S1流面与S2流面相交叉模型叶轮中三元流动的理论大致可分为三类：通流理论、Sl与S2相对流面理论和直接三元流理论。
(1)通流理论通流理论最早是由劳伦茨(Lorenz)提出的。
这个理论假设叶片数趋于无穷多，叶片厚度趋于无限薄。
此时，介于两相邻叶片间的相对流面S2与叶片的几何中位面趋于重合，而其上的流动参数在圆周方向的变化量趋于零，但圆周方向的变化率却保持有限值。
所以，此时仍不是轴对称流动。
叶片的作用则通过引入一假想的质量力场来代替。
这样，只要求出在这个极限流面上流动的解即可。
但是，这样得出的解实际上只能是在叶栅密度较大时，作为某个大约与叶道按流量平均的中分面相重合的相对流面上的解。
(2)Sl、S2相对流面理论（如图1）1952年，吴仲华提出了用准三元方法求解三元流动的理论，即著名的叶轮机械两类相对流面（S1流面和S2流面）的普遍理论，把一个复杂的三元流动问题分解为两类二元流动问题来求解，使数学处理和数值计算大为简化。
三元流
三元流技术我公司依托专业技术团队对需进行节能改造的水泵、风机用三元流理论进行定制设计。
对于高效节能水泵的设计，从考虑水力损失最小、效率最高和汽蚀性能最好着手，用三元流理论与CFD流体力学计算和优化相结合的方法，寻找不同的流动和几何参数的最优组合，从设计上保证产品的高效性能。
三元流叶轮设计技术水泵、风机由电机等原动机带动叶轮旋转，将原动机的机械能转变为被输送流体的动能和压力能。
在与叶轮同步旋转的空间坐标系（R、φ、Z）中，任何空间一点均可由此坐标系确定。
任何一点的流速W可表示为该点坐标的函数W=f（R，φ，Z），这就是三元流的基本概念。
计算图（1）流道中任何空间一点的流速W，这就是三元流动解法。
通过三元流动计算，可以得到水泵、风机任意点的流速。
三元流设计技术是根据“三元流动理论”将叶轮内部的三元立体空间无限地分割，通过对叶轮流道内各工作点的分析，建立起完整、真实的叶轮内流体流动的数学模型，进行网格划分和流场计算。
运用三元流设计方法优化叶片的进出安放角、叶片数、扭曲叶片各截面形状等要素，其结构可适应流体的真实流态，从而避免叶片工作面的流动分离，减少流动损失，并能控制内部全部流体质点的速度分布，获得水泵、风机内部的最佳流动状态，保证流体输送的效率达到最佳。
三元流叶轮制造工艺对于中小型三元流叶轮，采用金属模精密铸造，保证叶轮的精度和表面质量。
大型三元流叶轮，叶片毛坯采用铸造或锻造，叶片和叶轮的前后盖板均采用数控加工，叶轮部件采用拼焊工艺。
依据三元流动理论设计出来的叶轮配以先进的三元流叶轮制造工艺，使叶轮的叶片型线完全达到设计要求，最大限度地降低了泵内的损失、冲击和噪音，泵的效率和运行可靠性得以显著提高。
三元流叶轮特点●子午流道三元流叶片宽，轮毂减少，通流能力增大，提高了水力效率；●子午流道三元流叶轮直径减少，而出口宽度增大，提高了水力效率；●三元流叶轮槽道更宽，叶轮槽道水流速减小，因此可以避免汽蚀或减缓汽蚀现象发生。
离心水泵叶轮的三元流技术原理及应用
离心水泵叶轮的三元流技术原理及应用LI前，节能降耗已成为全国各行各业，特别是高耗能企业的重要任务。
我国已把节能降耗提到了国民经济发展非常重要的位置。
离心泵是把原动机的机械能通过离心泵叶轮产生的离心力使液体产生动能，从而达到输送液体的LI的，它广泛应用于国民经济的各个领域。
因此，通过优化离心泵的性能做好离心泵的节能工作，是节能降耗中至关重要的一环。
1.三元流技术概述我国离心泵多年来一直采用一元流理论设讣离心泵叶轮，它的设计理念是假定进出口流通截面及流道内部任何流通截面的水流分布是均匀的，而流速仅为一个自变量的函数。
据此而设计出叶片的儿何形状，制作出多种模型进行试验，择优选用。
由于离心泵在不同工况下其流量、压力变化范围很大，而这种叶轮的模型只能是有限的数种，因而无法保证优选模型与实际工况一致。
这就导致离心泵叶轮偏离设讣最佳效率点，进而影响泵的实用效率。
我国科学家吴仲华教授创立的si、S2两类流面概念，奠定了叶轮机械三元流动理论的基础，中科院研究员刘殿魁教授于1986年提出了叶轮机械内“射流-尾迹的完全三元流”的解法。
应用这一计算方法对叶轮流道进行设讣，有效地解决了尾迹区的影响，提高了叶轮的水力效力，同时增大了有效流通面积，提高了离心泵的工作效率。
离心泵的水力效率受水泵叶轮的进口轮径、出口轮径、轮毂比、子午流道的曲率变化、叶型中心线的形状、叶片厚度分布、安装角、进口角、出口角及泵的工作流量、压力变化等多种因素的影响。
而根据“射流-尾迹三元流动”理论结合离心泵的实际流量、扬程等参数设计制作的高效三元流叶轮，在不变动泵体安装结构的情况下，换装于原泵体内。
以投资最少，见效最快的技改方式，达到节能降耗的H 的。
2.三元流技术原理三元流技术，实质上就是通过使用先进的泵设计软件，结合生产现场实际的运行工况，重新进行泵内水力部件（主要是叶轮）的优化设计。
具体步骤是：先对在用离心泵的流量、压力、电机耗功等进行测试，并提出常年运行的工艺参数要求，作为泵的设计参数；再使用泵设计软件设计出新叶轮，保证可以和原型互换，在不动管路电路、泵体等条件下实现节能或扩大生产能力的H 标。
3.2 流体运动学基本概念
y t 1
dy vy y dt 积分得 ln xy C 由过 (1, 1) 点得 C 0
得迹线方程为
xy 1
可以看出，当流动恒定时流线和迹线重合。
四、流管、流束、微小流束和总流 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状 曲面，见图。
流体运动学基本概念
宫汝志
§3-2 流体运动学基本概念
一、流场，运动参数和一、二、三元流动 运动参数指表征流体运动特征的物理量。
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动 参数只是一个坐标的函数，如 v v(s) ，见图。
二元流动（Two-dimensional Flow）：流体的运动 参数为两个坐标的函数，如 v v(r , x) ，见图。
流线可以形象的描述流场状态，见动画。
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可 在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v 2 ；再在 v 2 上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当 各点无限靠近时得到的光滑曲线即为流线。
积分得：ln x ln c1 ln y 则： y c1 x 此外，由 vz 0 得 dz 0 z c2 因此，流线为xoy平面上的一簇通过原点的直线， 这种流动称为平面点源流动（c＞0时）或平面点汇 流动（c＜0时）。
例二 已知某平面流场流速分布为 vx x (t 3), vy y 2 求其流线和迹线方程。
4a 1 a 4 a
2( a b) ab 2( a b) 2ab ab
三元流动资料资料
一．流体机械设计水平及科研状况1.1 设计水平及科研动向透平压缩机械研究的最终目标是致力于改善机器性能和提高装置可靠性。
这些研究包括理论研究，实用技术，测试手段等方面的课题，它们大多数来自工程设计和应用研究，其成果又不断推动着本行业的发展。
随着计算机的进步，上述研究在深度和广度上都发生了很大变化。
1.1.1 现代设计方法概况透平压缩机械内部流动分析已进入了三元N－S方程的数值模拟时代。
不管是离心式还是轴流式，都有人提出了相应的实际流动模型，离心式叶轮中的尾迹，射流模型以及低能流体的集积过程；高负荷轴流压缩机轮毂处三元分离的形式和结构，动叶顶端间隙流动特性等。
但对于包括损失、阻塞、喘振在内的压缩机总性能预测等有关问题，数值模拟还不够充分。
对于设计问题，完全的数值模拟方法不仅耗时太多，而且大量的自由度使得难于工程应用。
相反，在已积累有丰富经验数据的情况下，比较简单的一元方法还有相当的精度。
因此，许多设计问题，仍用一元、二元、准三元的方法是必要和可取的。
目前国外较普遍而又行之有效的方法是将低元和高元结合使用，即设计初始阶段用一元流动理论，详细计算时用准三元或全三元理论的方法。
图1－1轴头平机械流动解析以轴流透平机械为例，图1－1示出了各种流动解析的关系。
双实线内的解析法是纯理论解法，实线箭头表示解析法发展路线。
为了修正纯理论解法的不足，还辅助应用单实线内的方法。
纯理论解法和辅助方法必须与实验方法或资料（双实线箭头表示）结合起来，现在，准三元解析虽然还留下若干问题，但基本上达到了实用的程度，利用准三元理论成功地设计透平压缩机械的例子很多。
作为基础研究，完全的三元数值模拟是很有意义的。
然而，在通风机、压缩机整体设计中选取主要参数时，若有许多性能试验结果的积累，一元的方法也是足够的。
将子午面流动和叶栅间流动简单地结合起来的二元解析，对设计点附近的内部流动的预测也有一定的精度。
对于低元解析法，改善辅助手段能提高预测性能的精度。
流体机械现代设计方法-华中科技大学研究生院
1984年中国矿业大学机械设计学士学位；1993年西安科技大学机械工程工学硕士学位1999年获西北工业大学“航空宇航推进理论及工程”工学博士学位；2000.4~2002.5华中科技大学热能与动力工程博士后流动站，美的集团企业博士后科研工作站从事“空调风机内流特性”的课题研究，课题主要针对开式空调风机系统的噪声开展研究，获广东省科技进步和顺德科技进步奖和美的集团的重大奖励；2002.5完成第一站课题研究；2002.10~2004.9，进入本校流动站，东方电机企业工作站承担第二站博士后课题“水轮机尾水管压力脉动的全三维数值预测”研究，达到了国内领先和国际先进水平。2002.4~今，现任华中科技大学能源与动力工程学院流体机械及工程系系主任,从事本专业的本科、研究生的教学与科研工作。
（5）流体机械设计水平及科研动态（4学时）
3、教学方式方面：
（1）课堂讲授24学时
（2）课堂研讨与分析计算交流8学时
4、教材方面：
（1）近年来三元流动基础与设计动态方法的基础上，综合最新文献资料形成专业讲义；
（2）软件BLADEGEN使用说明与过程分析参考
5、其它：
4新能源领域相关流体机械新产品的开发(低压风机基础上-高压透平领域\微型化)风能利用技术及新型风力机开发
完成的主要科研项目有：1.空调风机内流特性研究:(1).弯掠轴流风机应用;(2).研究平台建设(CFD/CAE/PIV) 2.水轮机尾水管压力脉动全三维数值仿真及机理研究(DFEM)；3.矿用对旋轴流风机设计技术研究；4.自流冷却系统流动特性计算；5.带小翼风力机气动稳定性研究; 6.空调室外机（120）风道系统现代设计方法研究(美的); 7.三峡电站2-6F启动及2F/6F相对效率研究;8.叶轮机械内二次流动的机理研究;9.燃料电池用微型压缩机的研究；10.150万吨制盐系统配套设备节能优化研究11.空调风机设计技术研究；12.烤烟用高温风机系列化及国家规范标准制定。
叶轮机械三元流动通用原理
叶轮机械三元流动通用原理The principles of the three-element flow in centrifugal machinery are essential to understand in the field of mechanical engineering. 叶轮机械三元流动原理是机械工程领域中必须理解的基本原理之一。
This concept involves the study of the interactions between the flow of fluid, the rotation of the impeller, and the resulting pressure and velocity changes within the centrifugal pump. 这个概念涉及了流体流动、叶轮的旋转以及离心泵内因此产生的压力和速度变化之间的相互作用。
With a deep understanding of these principles, engineers can design and optimize centrifugal machinery for various applications. 有了对这些原理的深刻理解，工程师可以设计和优化适用于各种应用的离心机械。
One of the fundamental aspects of the three-element flow in centrifugal machinery is the study of fluid dynamics. 叶轮机械三元流动的一个基本方面就是流体动力学的研究。
It involves the analysis of how fluids behave in motion, including the principles of conservation of mass, momentum, and energy. 它涉及流体在运动中的行为分析，包括质量、动量和能量守恒原理。
第五章 液体三元流动基本原理w
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
涡线、涡管、涡束
在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此 曲线上，各质点的旋转角速度矢量 都与该点的曲线相 切，则定义这条曲线为涡线。
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z
水力学
dM [ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z 第 五 dM ( dxdydz )dt 质量减少 章 t
dt时段,x,y,z三个方向流出
与流入控制体积的液体
的质量差为：
dM x , dM y , dM z
dM dM x dM y dM z
水力学
dM dM x dM y dM z
第 u y dy u y dy dy dy 五 章 dM y [( y 2 )(u y y 2 )dxdz ( y 2 )(u y y 2 )dxdz ]dt 液 体 dM [( dy u u y dy ) ( dy u u y dy )]dxdzdt y y y 三 y 2 y 2 y 2 y 2 元 流 u y 动 dM y [( dyu y dy )]dxdzdt y y 基 本 u y 原 [(u y )]dxdydzdt 理 y y
t
i j k x y z
哈密顿算子
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
柱坐标系下连续性方程 1 ( rur ) 1 u uz 0 r r r z
第五章 液体三元流动基本原理w
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
u dr 0
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
（2）流线方程：
由
u dr u x u y u z 0 dx dy dz
i
j
k
得出流线微分方程：
dx dy dz u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
1、液体微团运动形式： 平移、旋转和变形
u u0 dr ε dr
水力学
2、液体质点的基本运动形式分析
设微团平行于xoy平面的投影面为ABCD，在t瞬时，各 角点沿x,y方向的速度分量
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
水力学
液体质点的基本运动形式
d 1 u y ux ( ) z dt 2 x y
旋转角速度
水力学
角变形率
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
旋转角速度
1 uz u y ( ) x 2 y z
1 u y ux ( ) xy 2 x y 1 uz u y ( ) yz 2 y z
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
平移是指液体微团在运动
过程中任一线段的长度和
方位均不变。
平移速度为ux,uy
水力学
线变形是指液体微团在运动过程中仅存在各线段 的伸长或缩短。
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
ux (u x dx)dt u x dt x u x dxdt x
u y u x u z 线变形率分量： xx , yy , zz x y z
三元流节能叶轮
三元流节能叶轮介绍1.三元流定义三元流动（简称三元流）是指在实际流动中，所有流动参数都是空间坐标系上三个方向变量的函数（x,y,z坐标）。
由于水的实际流动不是规则的，因此二元流（x,y坐标）不能真实反映水的实际流动轨迹。
而三元流动则能真实反映。
2•三元流的节能从以下三个方面来讲：（1）理论上。
目前运行的离心泵主要是采用二元流动技术，其离心泵的基本方程式是：H T=1/g（U2C2-U i C i）其中H T为扬程，U-圆周速度；C-绝对速度。
该公式是揭示的水流在叶片根部到叶片顶部的S流面的流动，而叶片与叶片间的圆柱面流动阻力没有计算；三元流将这部分圆柱面的流动发展到了沿S流面的流动，将被一元流动和二元流动技术忽略的各类因素考虑进去，从而在叶轮设计中减少了泵体内部的冲撞损失和摩擦损失等各种损失，提高了叶轮机械效率。
因此三元流叶轮从理论上讲效率提高大约5%左右。
（2）由于在设计选型时不一定能够选到合适的泵。
比如选参数为20米，流量2000吨/小时的泵，可能不一定有，而有22米，2000吨/小时的泵，根据选大不选小的原则，最终选用的是22米，2000吨/小时的泵，这样在选型时造成了偏差。
（3）在实际安装时，系统的长度，弯头，设备等阻力都会造成水泵的压力，和流量产生偏差。
综上所述，水泵的实际偏离水泵的性能曲线越多，效率越低。
我们是根据实际参数进行叶轮设计，将实际工况点设计为高效区，提高水泵系统的效率，也就能降低电机电流，实现节能的目地。
3•高效节能三元流叶轮的优点以三元流理论制作的叶轮简称三元流叶轮。
三元流叶轮与普通叶轮相比，具有以下优点：1、具有较高的抗汽蚀性能；2、减小了泵的转子重量，降低了泵组的径向力，提高了轴承寿命；3、增高了泵组的临界转速，泵运行更平稳，提高轴的抗疲劳强度；4、降低了转子运行挠度值，减少叶轮口环的磨损及功率损耗；5、减小了密封的磨损，延长了使用寿命；6、采用全三维立体设计，优化水力设计，提高叶轮效率；7、能加工到的叶轮表面全部采用机械加工，对叶轮流道采用精密铸造，全面提高叶轮光洁度，减小水力损失。
叶轮机械三元流动理论的新发展
三元流动通用理论的中心思想是将叶轮机械内部非常复杂、难以求解的三元（空间）流动，分解为相交的两族相对流面上比较简单的二元（流片）流动，只使用这两族流面就可以很容易地得到三元流场的近似解，同时使用这两族流面进行迭代计算，可以得到三元流动的完整解。
近三十年取得的重大成果，分几个方面简述如下。
（一）实现了S1和S2相对流面交叉迭代计算，取得了很好的三元流动收敛解，证明了流面模型的正确性。
近年来通过大量细致的理论分析和应用编制的整套计算机程序进行的实际计算，对叶轮机械三元流动分析问题（正问题）与设计问题（反问题）都完成了这两类流面的迭代计算。
实践证明，只要经过四、五轮的迭代，就可能得到满足工程精度要求的收敛解，同时也具体地看出了这两类流面互相关联的程度。
由此证明了流面模型的正确性和可用性。
它表明，把一个数学上难以求解的三元问题化为几个二元问题来求解的方法是切实可行的。
尤其是计算实践表明，这种解法的收敛性也是良好的，是工程实用可以接受的。
（二）提出了使用以相应于任何非正交曲线座标的非正交速度分量来表达的叶轮机械三元流动基本方程组。
座标系和主要变量的选取直接影响到方程组的形式、边界条件的提法以及电子计算机程序的通用性。
现代高性能叶轮机械的发展，使得流道和叶片的形状日趋复杂，而且叶片可以与半径方向任意倾斜配置。
这样，按原来习用的圆柱座标系所推得的基本方程组已不能满足要求。
为此在一九六三年提出了使用相应于任意非正交曲线座标的非正交速度分量，使用张量方法导出了叶轮机械内部三元流动基本气动热力学方程组。
所得的方程组可以适应于任意复杂形状的叶轮机械，而且边界条件十分简洁清晰，在计算中可以很方便地严格满足。
无论求解区域的形状如何复杂，采用这样的座标系后，能使计算网格规格化，从而可以编制通用的计算机程序。
同时，曲线座标系中的重要参数——度量张量——并不是通过一般难以求得的座标转换解析函数来得出，而是通过根据叶轮机械具体边界的几何形状使用数值微分来计算的，这使座标系的选取有完全的自由，而且计算方便。
3-1-2流体运动学
§3-2
速度场与加速度场（欧拉描述下）
四 拉格朗日法和欧拉法的比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹
欧拉法
同时描述所有质点的瞬时参数
不能直接反映参数的空间分布
直接反映参数的空间分布
拉格朗日观点是重要的
流体力学最常用的解析方法
辨析
研究流体流动的拉格朗日描述法和欧拉描述法的差别， 可以通过以下研究鸟类迁徙的生态学家的不同观察方法来加 以对比。每年冬季到来之前，成千上万只鸟从北方飞向南方， 一部分生态学家在一些特定的候鸟脚上，绑上无线电发射器， 通过接受无线电信号了解这些候鸟的飞行信息，这相应 于 拉格朗日法 。另一部分生态学家等候在候鸟途经的某些 特定位置，测量候鸟通过这些特定位置时的飞行速率，这相 应于 欧拉描述法 。
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c ze t
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
x x X ,Y , Z , t y y X ,Y , Z , t z z X ,Y , Z , t
az dt t x dt
d a dt
d dvx i dvy
y
z
x x x x d x dt dx dy dz t x y z
第5章液体三元流动基本理论2
])()([222220yd x dx y d x d x q u y u x +++-+--+-=∂∂=πψ 在B 1、B 2两点，u x =0，y =0，代入上式得0)(1)(1[20=+--+-d x d x q u π 由上式得 022u qdd x π+= 在B 1、B 2两点，x =±a ，代入上式整理得1du qd a π+= 其长轴为 0122du qd a l π+== 当流函数等于零时，通过驻点的流线方程为)(2210θθπ-=u qy 此流线方程也必然通过C 1、C 2两点，由图（b ）可以看出，在此两点，x =0,y =±b,而βθθ221+=，代入上式得db u q u q u q b arcctan ]2[200220πβπθβθπ==-+=由此得qbu d b0ctanπ= 5.97朗金椭圆。
设一均匀直线流的流速u =u 0=0.8m/s ，一源流的原点在坐标轴（-2，0）上，一汇流的汇点在坐标轴（2，0）上，源流和汇流的强度均为q =2πm 2/s ，试求经过驻点的流线方程以及上游无穷远处和（-2，2）点的压差。
解：（1）求经过驻点的流线方程这是平行流、源流和汇流的叠加，其流函数为u)(arctan 2)(arctan 2)(20210a x y q a x y q y u q y u --++=-+=ππθθπψ])()([222220ya x ax y a x a x q u y u x +---++++=∂∂=πψ 在驻点，u x =0，y =0，代入上式得 0])(1)(1[20=--++a x a x q u π 由上式解出 022u qa a x π+= 将u 0=0.8m/s ，q =2πm 2/s, a =2m 代入上式得驻点坐标x =±3.0m.。
当流函数等于零时，通过驻点的流线方程为 )(2210θθπ--=u qy 下面求朗金椭圆的高度，设朗金线与y 轴的坐标为（0，b ），设βθθ212+=，代入上式得 )2(200βπβπu qu q y =--= 由图中可以看出，tan β=a /b ，将y =b 代入上式得 bb b a u q b 2arctan 5.22arctan 8.02tan arc 0=⨯==πππ 求得b =1.978m 。
第九章三元流动理论与三元叶轮设计简述
C
dh d dS 1 T dq dq dq
* 1
要手段
d tan Wu r 2 2 dm r rWm r Wm
m
进口参数和熵不均匀性引起
2 m r d dm 2 dm 2 B m2 dm m2 r 2W m
§9-4 离心式三元叶轮三元流动的求解方法
1 d Cu r 1 d Wu r 1 p 2Wr X f r dt r dt r
dCz dWz 1 p Xz fz dt dt z
§9-2 三元流动基本方程
三、能量方程
(r 2 2 W 2 ) h h r1c1u 2
§9-4 西安交大三元叶轮研究简介
三、产品推广应用方面
中国石化公司安庆分公司化肥厂：52万吨尿素用的CO2离心压缩机 节省一次投资3147万元，每年节能效益 337 万元 云天化，四川维尼龙厂，青岛碱厂，韶关钢厂等150套全国运行
产品系列：化工，炼油，冶金，空分装置，海水淡化
四川机械厂生产产品，湖南长沙建立生产工厂，与上海鼓风机厂和杭 州制氧机厂合作联盟
叶片负荷及压力分布
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欧拉能量头
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§9-4 西安交大三元叶轮研究简介
一、理论方面 1 叶轮机械三元流动逆命题研究（全可控涡方法） 2 基于全三维湍流流场计算、实验设计和响应面技术相结合的三 元叶轮设计方法和软件技术
cos 2 cos sin 2 dr cos2 sin dz A rc dq rc r dq d sin sin cos dq
三元流动设计
三元流动设计简介简单的说，就是给出设计要求参数，由初始设计值开始，运用三元流动方程组对流动参数进行反复迭代计算得到三元流动的数值解，直到满足设计要求为止。
对于设计问题，完全的数值模拟方法不仅耗时太多，而且大量的自由度使得其难于工程应用。
目前国外较普遍而又行之有效的方法是将低元和高元结合实用，即初始设计阶段用低元流动理论，详细计算时用准三元或全三元理论方法。
即在初始设计之后，运用计算流体动力学理论对流动进行数值模拟，可预测其各工况下的性能以及其内流场的流动规律，由此对其流动进行分析，对叶片设计参数进行改进之后，再次进行模拟，直到达到设计要求。
基本理论所谓三元流动，其含义是指在实际流场中，所有流体参数都是空间坐标系上三个方向的变量的函数。
首先，根据能量方程与连续方程，流体参数沿轴向必有变化。
其次，由于有机械功的输入，流体在工作叶片通道内的压力面与吸力面之间必须形成压力差，从而使流体参数沿周向呈周期性变化。
最后，由于转子的圆周速度沿叶高的变化和流体沿径向平衡，流体参数沿半径也必有变化。
由连续方程，运动方程，能量方程以及边界条件和初始条件，可以得到三元流动基本方程组。
然而，由于实际流体的三元流动十分复杂，而描述这种流动过程的方程组又无法直接求解。
因此，目前应用于工程上的三元流动计算，通常采用一些简化条件，将空间粘性流体分成无粘性主流区和有粘性附面层区。
对于无粘性主流区，采用两类相对流面的三元流动理论。
对于此问题的解法，主要有三种方法：流线曲率法，通流矩阵法，有限元法。
在设计过程中，流线曲率法主要是将流线的曲率和斜率作为参变量，将沿流线的法向或准法向速度梯度方程沿气体通流截面积分，可以根据流量方程得到新的流线形状。
如此反复迭代，直到获得收敛解。
通流矩阵法，基于通流基本方程—流函数方程。
然后用适当的差分格式将方程离散化，用矩阵法求出方程的通流解。
有限元法是把微分方程的定解问题化为一个等价的变分问题—泛函极值问题，并希望得到求解区域内有限点上的函数值。
水力学：第三章 流体动力学理论基础
若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某
一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的 变化情况。 若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻， 通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况(即流速
场)。
5
3-2描述流体运动的若干基本概念
一、恒定流 恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等 于零：
3 流线不能相交。
4 流线充满整个流场。 5 对于不可压缩流体，流线簇的疏密程度反映了该 时刻流场中各点的流速大小。
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三、 流管、元流、总流，过水断面
（ 一）流管
在水流中任意一微分面积dA（如图），通过该面积 的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个 封闭的管状曲面，称为流管。
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（二）、元流（微小流束）
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图3-1
注：流体质点不同于固体质点和数 学上的空间点。是指具有无限小的体 积的流体质量。
uy uz
x(a, b, c, t ) t t y y (a , b, c, t ) t t z z (a , b, c, t ) t t
多个微小流束所组成。
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（四）、过流断面
与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过 流断面。该面积dA或A称为过流面积，单位m2。
注意：过水断面可为平面 也可为曲面。
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四、流量与断面平均流速
单位时间内通过某一过流断面的液体体积称为流量。 流量常用的单位为 米３／秒（m3/s），符号Ｑ表示。 微小流束流量 dQ 总流流量 Q
重力沿s方向分力
dG cos a gdAds cos a gdAds dz ds gdAdz
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三元流动理论在叶轮机械中的应用与发展
所谓三元流动，其含义是指在实际流动中，所有流动参数都是空间坐标系上三个方向变量的函数。
其通用理论的中心思想是将叶轮机械内部非常复杂、难以求解的三元（空间）流动,分解为相交的两族相对流面上比较简单的二元（流片）流动，只使用这两族流面就可以很容易地得到三元流场的近似解，同时使用这两族流面进行迭代计算，可以得到三元流动的完整解。
三元流动是透平机械气动热力学的专门问题。
最初是航空上为了提高飞机性能，对压缩机的设计不断提出新的技术要求和性能指标，从而使压缩机的第一级由亚音速过渡到超音速。
流线的曲率和斜率对气流参数的影响就特别突出，要设计样的叶轮机械就必须突破“沿圆柱表面”流动的束缚，把流线的曲率和斜率考虑进去，同时还要考虑熵和功沿径向的变化。
因此，迫切需要建立新的流动模型，把二元流发展到三元流。
按三元流动理论设计出既弯又扭的三元叶轮，才能适应气流参数(如速度、压力等)在叶道各个空间点的不同，并使其既能满足大流量、高的级压力比，又具有高的效率和较宽的变工况范围。
图1：S1流面与S2流面相交叉模型
叶轮中三元流动的理论大致可分为三类：通流理论、Sl与S2相对流面理论和直接三元流理论。
(1)通流理论
通流理论最早是由劳伦茨(Lorenz)提出的。
这个理论假设叶片数趋于无穷多，叶片厚度趋于无限薄。
此时，介于两相邻叶片间的相对流面S2与叶片的几何中位面趋于重合，而其上的流动参数在圆周方向的变化量趋于零，但圆周方向的变化率却保持有限值。
所以，此时仍不是轴对称流动。
叶片的作用则通过引入一假想的质量力场来代替。
这样，只要求出在这个极限流面上流动的解即可。
但是，这样得出的解实际上只能是在叶栅密度较大时，作为某个大约与叶道按流量平均的中分面相重合的相对流面上的解。
(2)Sl、S2相对流面理论（如图1）
1952年，吴仲华提出了用准三元方法求解三元流动的理论，即著名的叶轮机械两类相对流面（S1流面和S2流面）的普遍理论，把一个复杂的三元流动问题分解为两类二元流动问题来求解，使数学处理和数值计算大为简化。
这两类相对流面是这样的：第一类相对流面(Sl流面)，它与某一个位于叶栅前或叶栅中z=常数的平面的交线是一条圆弧线{第二类相对流面(S2流面)，它与某一个位于叶栅前或叶栅中Z=常数的平面的交线是一条径向线。
一般来讲，Sl流面并非是任意旋转面(或称回转面)，该曲面可能是扭曲的；而S2流面也可能根本不含任何径向线或直线。
它们都是较复杂的空间曲面。
可以用一个数学上适当的组合两类相对流面上二元流动的方法得到三元流动的解。
这是一大进步，因为二元问题，无论在数学处理上或数值计算上，与三元问题相比都是比较简单和方便的。
实践证明，只要经过四、五轮的迭代，就可能得到满足工程精度要求的收敛解，同时也具体地看出了这两类流面互相关联的程度。
（3）直接解三元流动的理论
近年来，国内外都在进行直接求解叶轮中三元流动的尝试，有任定准正交面法以及应用势函数、双流函数或Euler方法直接求解叶片式流体机械中的三元流动。
前者实际上是将一个三元流动问题近似地转化为多个相关的一元流问题来迭代求解。
计算工作量比S1、S2相对流面理论要小得多，但误差也较大。
后者特别是应用势函数直接求得三元流场，变量少，近来发展十分迅速。
三元流动技术已广泛应用于我国叶轮机械行业。
其实质上就是通过使用先进的设计软件“射流一尾迹三元流动理论计算方法”，结合生产现场的实际运行工况，重新进行叶轮的优化设计,在不改变管路、电路、泵体等前提下实现节能和提高效率的目的。
图 2左边是叶轮的局部视图，右边是把叶轮内两个相邻叶片和前、后盖板形成的流道abcdefgh作为一个计算分析研究的单元。
Aehd，bfgc是两个相邻的叶片，dcnghi是叶轮前盖板，bkfeja是叶轮后盖板。
传统的“一元流理论”，就是把叶轮内的曲形流道abcdefgh视为一个截面变化的弯曲流管，认为沿流线的流速大小仅随截面大小而变化，但假定在每个横断面上如 abcd，ijkn，efgh等等，流速是相同的。
这样在流体力学计算中，流动速度w就只是流线长度坐标s的一元函数。
这种简化使泵内部流体力学的计算可以用手工算法得以实现。
国内电厂广为采用的双吸水平中开泵，就是采用这种理论设计的。
然而由于叶轮流道abcdefgh的三元曲线形状又是高速旋转的，流速(或压力)不但沿流线变化，而且沿横截面abcd，ijkn，efgh等任一点都是不相同的，即流速是三元空间圆柱坐标(R、Φ、Z)的函数。
特别是叶片数也是有限的，流速和压力沿旋转周向(Φ坐标)的变化，正是水泵向流体输入功的最终体现，忽略这一点就无法计算水泵内部的压力变化，水泵的效率显然与其内部流动状况的好坏是密不可分的。
图2：叶轮圆柱坐标（R 、Φ、Z ）及流动速度w 最早在航空用离心压气机中，用激光测速技术观察到“射流-尾迹”现象，如下图所示，弧状弯曲线dh 和cg 分别代表两个相邻的叶片，dc 为叶片进口边，hg 为叶片出口边，w1为叶片进口流速，w2为叶片出口流速，都是不均匀的。
t 是流动分离点，htv 既是尾迹区，是一些低能量流体组成，类似一个漩涡。
cdtvg 则是射流区可视为无粘性的位流区，可按通常的三元流计算。
图3： 射流-尾迹模型
关于尾迹区的计算，目前还没有准确的方法，只能依靠半经验的方法加以计算。
研究表明，由于粘性和压力梯度的存在，泵轮出口沿叶片吸力面及前盖板表面都会有流体的脱流，形成的“尾迹”区不但消耗了有用功，降低泵效率。
完全三元流动的计算方法，数学上是极端困难的。
作为一大突破，我国科学家吴仲华在世界上首次把三元降为二元，提出了S1、S2两类流面的概念，称为叶轮机械三元流动理论的基础。
其运动方程为：
1312111c dL dw c w c ds dw ++=
2322211c dL dw c w c ds dw ++=
式中：w 为液体在叶轮中的相对流速，系数2311~c c 等均为流线几何形状的函数；L 为流线（1s 、
2s 两类流面的交线，定名为流面坐标）。
连续方程可写为：
b I J n z Q w /cos )cos(00=-⎰⎰αα
为图2中通流截面上一个微元流管的面积，β为流线与轴面的夹角，α为流线
与Z 轴的夹角，n α为通流截面与R 轴的夹角，Q 为流量，I 0为s 1流面的个数，J 0为s 2流面的个数，
z b 为叶片数量。
在电子计算机上实现了两类流面交叉迭代求出三元流动的方法，并用于离心泵叶轮的流动计算，与通常三元解不同的是还需对旋涡分离区——尾迹的形状作修正。
经计算可以得出叶轮内的完全三元分离流场中空间各点的流速及压力分布，为设计高效率叶轮提供理论依据。
近几十年三元流动理论在世界叶轮机械行业取得了重大发展：
（1）实现了S1和S2相对流面交叉迭代计算，取得了很好的三元流动收敛解，证明了流面模型的正确性。
（2）提出了使用以相应与任何非正交曲线坐标的非正交速度分量来表达的叶轮机械三元流动基本方程组。
（3）建立和发展了粘性气体的叶轮机械三元流动理论
（4）根据方程的特点，编制了 整套方便适用的计算程序，已在全国逐步推广应用。
（5）通过大量分析、计算，认识了不少叶轮机械内部的三元流动规律。
（6）发现了转子叶片三元通道中气流通过激波时出现的重要物理现象，发展了跨声速压气机中激波对气流影响规律的理论。
随着时间的推移，三元流动理论日益受到国内外的重视。
如：英国罗·罗·公司
(Rolls--Royceltd ．）和美国普赖特—怀特尼（Prat ＆twhiteney ）飞机发动机公司（分别是英、美最大的航空发动机公司）都已将S1和S2两族流面迭代得到三元（空间）流动的理论，用于设计高性能的跨声速叶轮机械。
我们坚信，三元流动技术会推动国内叶轮机械行业的发展。