专题50：圆与圆的位置关系2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)

第50讲：圆与圆的位置关系

一、课程标准

1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系

2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题.

二、基础知识回顾

圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).

方法

位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系

代数法：两圆方程联立组成方程

组的解的情况

外离d>r1＋r2无解

外切d＝r1＋r2一组实数解

相交|r1－r2|

内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解

内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解

三、自主热身、归纳总结

1、圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是()

A. 内含

B. 相交

C. 外切

D. 外离

【答案】B

【解析】圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，∴C1C2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B.

2、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为()

A. 2

B. 2 2

C. 3

D. 23

【答案】B

【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，

x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，

得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2

＝0的距离为

2

2

＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B . 3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )

A . 内含

B . 相交

C . 外切

D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴

⎝ ⎛⎭

⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .

4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____．

【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18

【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得

⎩⎨⎧

a 2＋

b 2＝r 2，

()a ＋52

＋()b ＋52

＝()r±522，a 2

＋()b ＋62

＝r

2

解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.

5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．

【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，

∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.

6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5

【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，

C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋2

2

＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.

四、例题选讲

考点一、圆与圆的位置关系

例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.

(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？

(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .

(1)22(51)(63)-+-＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011. (2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.

(3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.

所以公共弦长为2

22

4133232112743⎛⎫

⨯+⨯--= ⎪+⎝⎭

变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．

【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.

从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6，