专题50：圆与圆的位置关系2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)
第49讲 直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
Δ＜0 d＞r
Δ＝0 d＝r
Δ＞0 d＜r
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
12＋（－1）2 选 C.
4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2 或 4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1， 得 k＝4，所以切线方程为 4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为 x＝2，符合题意，所以直
【解析】（2） 由 ax－y＋2－a＝0 得直线 l 恒过点 M(1，2)．又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l
垂直时，弦长最短，所以 kMC·kl＝－1，所以2－1×a＝－1，解得 a＝2 . 1－3
（3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r＝3 且∠ACB＝90°，则圆心 C 到直线 l：ax－y＋2－a＝0 的距离为
3 线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
5、直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 AB＝________．
【答案】 10
【解析】 由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，又圆
2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(解析版)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）考点一直线与圆的位置关系【例1】（1）（2021·遵义师范学院附属实验学校）圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定（2）．（2021·全国高二专题练习）直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦D．,33⎛-⎝⎭（4）（2021·浙江高二期末）已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】（1）C （2）D （3）C （4）A【解析】（1）圆心为()3,3，半径r =()3,3到直线3460x y ++=的距离为333462755d r ⨯+⨯+==>所以直线与圆相离故选：C（2）将直线l 的方程变形为()210k x y ++-=，由2010x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，所以，直线l 过定点()2,1P -，()22215-+=，即点P 在圆C 上，因此，直线l 与圆C 相交或相切.故选：D.（3）由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤≤.故选：C. （4）曲线y =22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =，1101112k --==--，所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A ．【一隅三反】1．（2021·江苏南京市·高二期末）直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ） A ．直线过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交【答案】B【解析】圆()2211x y -+=的圆心为()1,0 ，半径1r =圆心()1,0到直线10x +=的距离1d r ===所以直线10x -+=与圆()2211x y -+=相切故选：B 2．（2021·四川成都市）若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则 a 的值为（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】C【解析】因圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则直线0x -=与圆22()1x a y -+=切线，圆心(,0)a 到该直线距离为半径1，1||2a =⇔=，而0a >，则有2a =，所以 a 的值为2.故选：C3．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关【答案】A【解析】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内， 故直线与圆必然相交．故选：A ．4．（2021·全国高二专题练习）若直线0x y b +-=0y +=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A．[- B．[C ．[1,1]-D．[【答案】B【解析】根据题意，y =，变形可得x 2+y 2＝1（0y ≤），为圆x 2+y 2＝1的下半部分，若直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点，则当直线经过点A 时，直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点此时b ＝1=1，解可得bb <0，则b =，则b的取值范围为[；故选：B ．5．（2021·河北保定市·高二期末）（多选）已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=，直线:450,l kx y k k R --+=∈．则下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点B ．直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C ．直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D ．直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34-【答案】AD【解析】由直线:450,l kx y k k R --+=∈得():54,l y k x k R -=-∈， 所以直线l 过定点()4,5，故A 选项正确；此时将点()4,5代入圆22:(1)(1)169C x y -+-=得22(41)(5125)169-+<-=，所以点()4,5在圆内，故直线l 与圆C 的位置是相交，故B 选项错误；当直线l 与过点()4,5和圆心的直线垂直时，直线l 被圆C截得的弦长最短，为24=，此时直线l 的斜率为1351441k -==---，故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD 考点二 直线与圆的弦长【例2】（1）（2021·四川成都市）直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2CD．（2）．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】（1）B （2）A【解析】（1）圆的标准方程为()2213x y ++=，圆心为()0,1-，半径为r =所以圆心到直线的距离d ==2l ===，故选：B .（2）圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r，圆心到直线的距离1d ==， 所以22m n +的最小值为21d =.故选：A 【一隅三反】1．（2021·安徽省泗县第一中学）直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为（ ） AB．C．D．【答案】B【解析】圆22(2)(2)2x y ++-=的圆心()2,2-到直线40x y -+=的距离为：0d ==．即圆心过直线40x y -+=直线被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长等于圆的直径：．故选：B ． 2．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（ ） A ．43130x y +-= B ．34150x y +-=C ．34150x y +-=或1x =D ．43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0，半径为2r，圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，此时圆心到直线l 的距离为1，合乎题意； ②若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=， 圆心到直线l的距离为1d ===，解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =. 故选：D.3．（2021·贵溪市实验中学高二期末）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2C D ．与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上，所以截得弦为圆222x y +=，故截得的弦长为故选：A4．（2021·天水市第一中学高二期中）已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ，B ，且1AB =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．1-【答案】C【解析】由220x y x +-=得2211()24x y -+=，即圆心1(,0)2，半径12r =，因为12AB r ==，所以直线0x ay a +-=过圆心，即102a -=，解得12a =，故选：C5．（2021·全国高二课时练习）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0【答案】A【解析】圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为M (1，0)． 因为直线MP 与AB 垂直，所以k AB ＝－1MPk ＝－10(1)12---＝1.又因为直线AB 过点P (2，－1)，所以直线AB 方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.故选：A6．（2021·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=. （1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明：直线:2()0l m x y --=过定点()2,0，因为224250-⨯-<，所以点()2,0在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交. （2）圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=，则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -，半径为5，且圆心C 到直线l 的距离d ==因为MN==d ==，得3m =±当3m=时﹐直线l 的方程为)2y x =-，倾斜角为6π当m =l 的方程为)23y x =--，倾斜角为56π 考点三 圆上的点到直线距离【例3】（1）（2021·福建三明市·高二期末）圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（ ） AB ．C．D ．（2）（2021·四川巴中市·（文））圆22(1)(1)4xy ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】（1）A （2）C【解析】（1）∵圆()2222x y -+=，∴圆心()2,0，半径r =∴圆心到直线的距离d ==，∴圆()2222x y -+=上的点到 直线20xy ++=的距离最小值为=，故选：A.（2）由题知，圆心(1,1)-到直线:0l x y ++=12=<，则直线l 与圆相交，由圆的半径为2知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选：C 【一隅三反】1．（2021·六安市裕安区新安中学）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】半径为2的圆经过点(1,0)，设圆心坐标为(,)a b ，则圆的方程为22(1)(0)4a b -+-=所以该圆的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆故圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为点(1,0)152215=-=故选：B2．（2021·全国高二课时练习）已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为 A ．45B ．1C ．95D ．135【答案】A【解析】MN 的最小值为3424155N l d r -----=-=,选A. 3．（2021·全国高二专题练习）在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则a 的取值范围为__________． 【答案】()()21,111,9---【解析】由圆的方程知其圆心为()2,0，半径2r，设圆心到直线340x y a ++=的距离为d ，则65ad +=； 圆上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则12rd r <<+， 即6135a+<<，解得：2111a -<<-或19a -<<， a ∴的取值范围为()()21,111,9---.故答案为：()()21,111,9---.考点四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2021·浙江高二期末）圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离（2）（2021·北京高二期末）已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=，圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=，其中,a b ∈R ．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】（1）C （2）C【解析】圆()221:11C x y -+=的圆心为1(1,0)C ，半径11r =，圆()()222:4417C x y -+-=的圆心为2(4,4)C ，半径2r =所以211212151r r C C r r -=<==<+= C （2）由两圆的标准方程可得()1,O a b ，12r =，()20,1O b -，21r =；则12121O O r r =≥=-，所以两圆不可能内含.故选：C.【一隅三反】1．（2021·全国高二专题练习）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，表示以1(1,0)C 为圆心，半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=，231=-，故两个圆相内切.故选：A.2．（2021·江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即222124mm x y ，圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆1C 关于直线210x y ++=对称，所以圆心1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭在直线210x y ++=上， 即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，()()22111x y -++=，圆心()1,1-，半径为1， ()()222316x y ++-=，圆心()2,3-，半径为4，5，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切， 故选：B.3．（2021·全国高二（文））已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】C【解析】由题意可得，圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4，半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，所以2102m-+=（），得m =所以圆()(222:24C x y -+=的圆心为(2,，半径为2，则两圆圆心距12C C =因为1252725C C -<<<=+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交， 故选：C .4．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C【解析】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.5．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C【解析】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<02a <<或4a >故选：C考点五 圆与圆相交弦【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．2（2）（2021·天津市南仓中学高二期末）已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2，则实数a 的值为（ ）A BC ．2D【答案】（1）A （2）A【解析】（1）圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相减得AB 所在的直线方程：20x y -+=.∵圆221:40C x y +-=的圆心()10,0C ，2r ，∴圆心()0,0到直线AB ：20x y -+=的距离d ==，则AB===．故选A（2）圆221:4C x y +=的圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:260C x y ay ++-=即()2226x y a a ++=+，圆心()20,C a -，半径226r a ，圆1C 和圆2C 的公共弦方程为()2222264x y x y ay +-++-=，即1y a=， 圆心()10,0C 到1y a=的距离为1a ，因为公共弦长为2，所以222121a，解得3a=或3-，故选：A. 【一隅三反】1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（ ）A ．6B ．5C ．13D ．13【答案】D【解析】圆O 的半径3r =，圆1O 的半径14r =，1OO = 故在1AOO中，22211111cos sin 2r OO r AOO AOO r OO +-∠===⇒∠=⋅，故1sin 2AB r AOO AB =∠=⇒=． 故选：D2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（ ）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =【答案】ABD【解析】圆1C 的圆心是()0,0，半径11r =，圆()222:24C x y -+=，圆心()2,0，22r =，122C C ∴=，故A 正确；两圆相减就是直线AB 的方程，两圆相减得1414x x =⇒=，故B 正确； 11AC =，22AC =，122C C =，2221212AC AC C C +≠，所以12AC AC ⊥不正确，故C 不正确；圆心()0,0到直线14x =的距离14d =，2AB ===，故D 正确. 故选：ABD3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d ==1r =所以AB ==，故C 不正确； 对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y-=的距离为2d =，半径1r =，即P到直线AB 1+，故D 正确.故选：ABD考点六 切线及切线长【例6-1】（2021·浙江高二单元测试）由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 BC ．D ．3【答案】B【解析】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1==B ．【例6-2】（1）（2021·全国）经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是（ ）A ．100x -= B 2100y -+= C ．100x -+=D ．2100x +-=（2）（2021·重庆字水中学高二期末）（多选）过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ）A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=（3）（2021·全国）过点(2,2)-作圆224x y +=的切线，若切点为A 、B ，则直线AB 的方程是（ ） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】（1）D （2）BC （3）B【解析】（1）222(6)10+=，M ∴在圆上，且2OM k =，∴过M 的切线斜率为1OMk -=∴过M 的切线方程为：2)y x =-，即2100x +-=.选:D .（2）22222690(1)(3)1x y x y x y +--+=∴-+-=圆心(1,3)到直线2x =距离等于1，所以直线l 的方程可以为2x = 当直线l 的斜率存在时，设:(2)l y k x =-441:(2)438033k l y x x y =∴=-∴=--∴+-=故选：BC（3）根据题意，设(2,2)P -，圆224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r ，有||OP ==则2222||||||4PA PB OP r ==-=，则以P 为圆心，||PA 为半径为圆为22(2)(2)4x y ++-=，即224440x y x y ++-+=， 公共弦所在的直线即直线AB ，则222244440x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩，变形可得20x y -+=； 即直线AB 的方程是20x y -+=；故选：B.【例6-3】（2021·四川眉山市·高二期末（文））圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径为11r =；222:870C x y y +-+=化为标准方程为()222:49C x y +-=，所以圆心坐标2(0,4)C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以两个圆外切，所以公切线条数为3条.故选：D.【例6-4】（2021·全国高二课时练习）已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，PA ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形PACB k 的值为（ ）A BC ．D ．【答案】A【解析】圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACBPBC S ∆∴的最小值1(2rd d =是切线长）d ∴=最小值所以|PC|2=，所以20,k k k ∴=>∴=故选：A ．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．2【答案】C【解析】∵圆22:(2)(8)4C x y ++-=，∴圆心(2,8)C -，半径2r .由题意可知，点P 到圆22:(2)(8)4C x y ++-=的切线长最小时，CP 垂直于直线20x y +-=.∵圆心到直线的距离d ==2=.故选：C.2．（2021·西安市铁一中学高二期末（理））由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A B C ．D 【答案】B【解析】圆心(4,2)A -,半径1r = ，圆心到直线的距离d ==则切线长的最小值=3．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末（文））若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（ ）A ．32B ．3CD ．【答案】D【解析】圆C 标准方程是22(6)9x y -+=，圆心为(6,0)C ，半径为3r =，所以,A B 关于OC 对称，即关于x 轴对称，而OA CA ⊥，6,3OC CA ==，所以OA =，所以2AB ==．故选：D ． 4．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）过坐标原点O 作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的两条切线，切点为A ，B ．直线AB 被圆截得弦AB 的长度为（ ）A B C ．13D ．13【答案】B【解析】如图所示,易得OC =故213OB BC AB OC ⋅===.故选：B5．（2021·浙江高二期末）过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（ ） A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-=【答案】D 【解析】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径2r ，过点()2,1作圆224x y +=的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，则2d ==，解得34k =-，故切线方程为34100x y +-=， 综上可得切线方程为34100x y +-=或2x =故选：D6．（2021·全国高二课时练习）经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线，则切线的方程为 A ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=【答案】A 【解析】因为点()2,1M -在圆225x y +=上，所以1k 2OM =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()y 12x 2+=-，整理得2x y 50.--=7．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2 C．3 D ．4【答案】B【解析】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3； 圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.8．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线，则a =（ ） A ．-4B ．-1C ．4D ．11【答案】C 【解析】圆22(1)(3)4x y -+-=的圆心为()1,3，半径为2， 圆22(2)(1)5x y a +++=+的圆心为()2,1--()5a >-，两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切，2=4a =.故选：C. 9．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试（文））已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A ．2BC ．D ．4 【答案】A【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆． 由于四边形PACB 面积等于122PA ACPA ⨯⨯⨯=，而PA =故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而d ==故四边形PACB 2=，故选A.考点七 实际生活运用【例7】（2021·上海高二专题练习）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F =，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C，半径r =（2）该船初始位置为点D，则(20,D --，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l：200x y -+-=，由于圆心C 到直线l的距离d ==<，故该船有触礁的危险.【一隅三反】1．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ； 由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =， 所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-， 所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为2CD x ===米.故选：C.2．（2021·上海高二专题练习）有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A 地的运费是B 地运费的2倍﹐已知A ､B 两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系（1）求A 、B 两地的售货区域的分界线的方程﹔（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.【答案】（1）()22516x y -+=；（2）答案见解析.【解析】（1）以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，则点()3,0A 、()3,0B -，设每单位距离B 的运费为a 元，设售货区域内一点为(),P x y ，若在两地的购货费用相同，则2=()22516x y -+=， 故在A 、B 两地的售货区域的分界线的方程为()22516x y -+=；（2）由（1）可知，A 、B 两地的售货区域的分界线是以点()5,0为圆心，以4为半径的圆，所以，在圆()22516x y -+=上的居民从A 、B 两地购货的总费用相同.由2>()22516x y -+>， 所以，在圆()22516x y -+=外的居民从B 地购货便宜；由2<()22516x y -+<，所以，在圆()22516x y -+=内的居民从A 地购货便宜.考点八 综合运用【例8】（2021·全国高二课时练习）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线l 的斜率是定值，并求出该定值．【答案】（1）（x ﹣3）2+y 2＝25；（2）x ＝0或7x +24y ﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，34-. 【解析】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径，所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =，||8AB ==，满足题意；②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，3d ==3,724d k ==∴=-， 所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，1212442AM AN kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅= ()()()()2212122440k x x k t x x t ⇒-+-++-=①联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 所以()122261kt x x k --+=+，2122161t x x k-=+代入① 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， 化简得26t k =+，所以直线l 的方程为：26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以过定点()6,12--. （4）设直线AM ：y ＝kx +4，联立方程()()()222241680325y kx k x k x x y =+⎧⎪⇒+--=⎨-+=⎪⎩， 所以M 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭， 同理N 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫+--+ ⎪++⎝⎭． 所以34M N MN M N y y k x x -==--， 故直线l 的斜率是定值，且为34-． 【一隅三反】 1．（2021·全国高二课时练习）已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22x y +的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）250x y --=（3）30+【解析】（1）由()():211740l m x m y m +++--=得(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即直线l 经过定点(3,1)， 因为22(31)(12)25-+-<，所以点(3,1)在圆()()22:1225C x y -+-=内，所以不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点.（2）由()()22:1225C x y -+-=可知，圆心(1,2)C ，半径为5，设(3,1)M ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则||d CM≤==，当且仅当CM l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离为d 最大，此时直线被圆 C截得的弦长最短，最短弦长为==，因为211132CM k -==--，所以直线l 的斜率为2， 所以直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=.（3）设坐标原点为O ，则||OC =，所以max ||||55OP OC =+=，所以2222||x y OP +==的最大值为25)30=+2（2021·浙江高二单元测试）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值.【答案】（1）4(,)(0,)3-∞-⋃+∞（2）10【解析】（1）因为圆22(3)(4)16x y -+-=与直线1l 与交于不同的两点，4<，即2340k k +>，解得43k <-或0k > （2）由0{240kx y k x y --=++=可得245()2121k k N k k --++， 由220{(3)(4)16kx y k x y --=-+-=可得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++= 设P Q ，两点横坐标分别为12x x ，，则21222861k k x x k+++=+ 得22224342()11k k k k M k k +++++，所以AM AN ⋅=10== 3．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知圆O ：228x y +=，()1,2M -是圆O 内一点，()4,0P 是圆O 外一点．（1）AB 是圆O 中过点M 最长的弦，CD 是圆O 中过点M 最短的弦，求四边形ACBD 的面积；（2）过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点，求OEF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【答案】（1）；（2）4，)4y x =-. 【解析】（1）过M 最长的弦为直径，最短的弦为垂直于OM 的弦，圆的半径R =OM =所以AB =CD ==所以1122ABCD S AB CD =⨯⨯=⨯=四边形（2）OE OF ==1sin 2OEF S OE OF EOF =⨯⨯⨯∠△， 当90EOF ∠=︒时，OEF 面积的最大值为4，此时，O 到l 的距离为2，4OP =所以l 的倾斜角为30或150︒，则l 的斜率为±l 的方程为)43y x =±-．。
2025高考数学一轮复习-2.3-圆与圆的位置关系【课件】
(1)2 或－5 [C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知 |C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得 m＝2 或 m＝－5.]
(2)[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16， 由圆与直线 y＝0 相切、半径为 4， 则圆心 C 的坐标为 C1(a，4)或 C2(a，－4). 已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的圆心 A 的坐标为(2，1)，半径为 3. 由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7 或|CA|＝4－3＝1.
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6，即 k＝14 时，两圆内切．当 | 50－k－1|＜5＜1＋ 50－k，
即 14＜k＜34 时，两圆相交． 当 50－k＋1＜5， 即 34＜k＜50 时，两圆外离．
[跟进训练] 1．已知圆 C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆 C2：x2＋y2－4ax －2y＋4a2＝0(a＞0).试求 a 为何值时，两圆 C1，C2 的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
为(0，2)，半径长 r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝ 5<r1＋r2＝3，即两圆相
交．]
3.已知两圆 x2＋y2＝10 和(x－1)2＋(y－3)2＝10 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是________．
x＋3y－5＝0 [由两圆方程消去二次项得 10－2x＋1－6y＋9＝ 10，
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．
() ()
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
系为(
2.圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关 )
A．相离
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过 圆 x2+y2=r2(r>0) 上 一 点 P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.
所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(
2021届山东高考数学一轮创新：第8章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
d＝|2＋2×1＋－41－3|＝355，所以弦长为 2 r2－d2＝2
22－3
5
52＝
2 55 5.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 直线与圆的位置关系的判断
1.直线 kx－y＋2－k＝0 与圆 x2＋y2－2x－8＝0 的位置关系为( )
A.相交或相切或相离
B．相交或相切
C.相交
D．相切
答案
2.小题热身
(1)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A.相切
B．相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D．相离
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而
0<
22<1.故
选 B.
解析 答案
(2)已知直线 l：y＝k(x＋ 3)和圆 C：x2＋(y－1)2＝1，若直线 l 与圆 C
为 3.
圆心到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离为|k＋1＋2－k2k|＝ 1＋2 k2<2，所以直线
与圆相交．
解法三：由 kx－y＋2－k＝0 得 y＝kx＋2－k，
代入 x2＋y2－2x－8＝0，得
x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，
整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，
解析 由xx22＋ ＋yy22－ －44＝x＋04，y－12＝0， 得 4x－4y＋8＝0， 即 x－y＋2＝0.
解析
(4)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆___．
解析 圆心为(2，－1)，半径 r＝2.圆心到直线的距离
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高考数学一轮总复习课件：圆与圆的位置关系
【解析】 设圆心到直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0的距离为d，
则弦长|AB|＝2
12－d2 ＝2
3
，得d＝3，即
|3m－ 3| m2＋1
＝3，解得m＝
－ 33，则直线l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝co|sA3B0°| ＝4.
(3)【多选题】已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交
因为kMN＝65－ －31＝34，所以两圆的公切线的斜率是－43. 设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×143＋23＋－1b＝ 11. 解得b＝133±5 311. 容易验证，当b＝133＋5 311时，直线与后一圆相交，舍去． 故所求公切线方程y＝－43x＋133－5 311， 即4x＋3y＋5 11－13＝0.
状元笔记
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别 为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结 合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关 系问题中是常用的．
(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2， xx1222＋ ＋yy1222＝ ＝rr22， ，∴k＝yx22－ －yx11＝－xy22＋ ＋xy11＝－xy00.
2＋P→C·(C→B＋C→A)＋C→B·C→A＝|P→C|2－1＝(x－1)2＋(x＋1)2－1＝2x2
＋1，所以P→A·P→B的最小值为1，故选D.
授人以渔
题型一 圆与圆的位置关系
例1 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋ m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的 长．
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上,若圆M上不存在点N，使,其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设，由得：化简得：，表示为以为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B与圆无交点，即或，解得圆心M横坐标的取值范围为：【考点】动点轨迹，圆与圆位置关系2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S＝·|△AOB |||＝·≥×6＝3.3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.5.圆：与圆：的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得：.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.圆心到弦的距离为，所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2所在圆的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l 的距离．【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍去)；由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋，即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x，y)，则x1＋x2＝，则x＝＝，所以y0＝k(x－2)＝k＝.要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y＝kx与圆－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则（）A．k＝1，b＝－2B．k＝1，b＝2C．k＝－1，b＝2D．k＝－1，b＝－2【答案】A【解析】：若直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径．圆心距，所以圆内切于圆．【考点】平面内两圆的位置关系．14.已知圆，直线．（Ⅰ）若与相切，求的值；（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3， 2分若l与C相切，则得=3，∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m =． 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系跟踪检测文含解析
第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.3.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为.【答案】4024【解析】设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：, ∴.【考点】圆与圆的位置关系、直线方程、数列求和.4.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B．－1 C．6－2D．【答案】A【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C′1(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】由得2ay＝2，即y＝，则2＋2＝22，解得a＝1.6.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1< <5，所以两圆的位置关系为相交．7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．8.若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为________．【答案】3.【解析】依题意知C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，则|C1C2|＝＝2＋1＝3，∴a2＋b2＝9，∴ (θ为参数)，∴a＋b＝3(sin θ＋cos θ)＝3 sin≤3.9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．11.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线12.直线l1：y=x、l2:y=x+2与⊙C：的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1B．0或-1C．-1D．1【答案】B【解析】直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.13.已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即故选A．【考点】圆与圆的位置关系点评：中档题，利用数形结合思想，将|PM|+|PN|的最小值转化成为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和。
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|<r2+r1,所以两圆相交.
7.(人教A版选择性必修第一册第93页2.5.1节练习第3题改编)直线2x-y+2=0
8 5
被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为__________.
5
解析 圆的圆心坐标为(1,2),半径 r=2.
圆心到直线的距离 d=
)
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册2.5.1节例1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位
置关系为( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心(0,0)到直线 y=x+1,即 x-y+1=0 的距离 d=
而
2
0< <1,但是圆心不在直线
2
1
2
=
2
,
2
y=x+1 上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.
3
=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0
相切,则m=__________.
3
解析 圆的方程可化为 x2+(y-2)2=1,双曲线的一条渐近线方程为 x=my(m>0),
由题意得
|2|
1+
=1,解得
2
3
m= 或
3
3
m=- .又
3
m>0,所以
3
m= .
3
研考点
精准突破
考点一
直线与圆的位置关系
于m,则m的值为__________.
2
解析 由题知,圆心(1,1)到直线
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分51直线与圆、圆与圆的位置关系
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分51直线与圆、圆与圆的位置关系1．已知点M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋yy＝a2与该圆的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．相切或相离解析：因M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，故x20＋y20＜a2，圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离d＝|a2|x2＋y20＞|a2||a|＝a，故直线与圆相离．答案：C2．若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：由圆的方程得该圆圆心为C(－1,2)，则CP⊥AB，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB的直径所在直线的方程为y－1＝－x，即x ＋y－1＝0.答案：B3．过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为() A．x＋y＝0B．x－y＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1，∴直线方程为y ＝±x . 答案：C4．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．k ＝12，b ＝－4 B ．k ＝－12，b ＝4 C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.答案：A5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D.17解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝(2－3)2＋(－3－4)2－4＝52－4，故选A 项．答案：A6．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3解析：曲线y＝1－x2的图像如图所示：若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝－2k k2＋1.又S△AOB＝12|AB|·d＝12×21－d 2·d＝(1－d2)·d2≤1－d2＋d22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以2k 2k 2＋1＝12，∴k 2＝13，∴k ＝－33.故选B 项．答案：B7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：28．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于__________．解析：依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34.答案：349．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是__________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝110．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4.所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. B 级 能力提升练11．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案：A12．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时|OA →＋OB →|＞33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C13．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解析：(1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0.∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3. (3)设AB 与MQ 交于P ， 则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9， ∴x ＝±5，∴Q (±5，0)．∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3 )1＋k2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)， 所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .a21508 5404 各21593 5459 呙]A26866 68F2 棲33564 831C 茜36689 8F51 轑23017 59E9 姩32224 7DE0 締K28822 7096 炖xi36605 8EFD 軽。
专题08 圆与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题08圆与圆的位置关系【知识梳理】1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ．当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．5、圆系方程（1）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（2）以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；（3）与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；（4）过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【专题过关】【考点目录】考点1：圆与圆的位置关系考点2：两圆的公共弦问题考点3：公切线问题考点4：圆系方程的应用【典型例题】考点1：圆与圆的位置关系1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆221:49C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，这两圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由题意得，圆1C 圆心()0,0，半径为7；圆()()222:3416C x y -+-=，圆心()3,4，半径为4，5=，因为74574-<<+，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切【答案】D【解析】由题，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160x y x y +--+=，即()()22439x y -+-=，所以圆心为()4,3，半径为3；523==+，所以两圆外切.故选：D3．（2021·吉林油田高级中学高二期中）圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】D【解析】圆2264120x y x y +-++=的圆心坐标是()3,2-，半径是1；圆22142140x y x y +--+=的圆心坐标是()7,1，半径是6，561==-，故两个圆内切.故选：D.4．（2021·安徽滁州·高二期中）已知圆1C ：()()22225x a y -++=，圆2C ：()()2214x y a +++=，若圆1C 与圆2C 内切，则实数a 的值是（）A ．2-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【答案】C【解析】由题可知圆心()1,2C a -，半径15r =，圆心()21,C a --，半径22r =，因为圆1C 与圆2C 内切，所以12123C C r r ==-=，解得1a =-或2a =．故选：C ．5．（多选题）（2021·辽宁大连·高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为3B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交【答案】ABC【解析】根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距125C C ==>R +r ，故两圆外离，故D 错误；则PQ 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 正确，B 正确；对于C ，两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，故C 正确.故选：ABC.6．（2020·江西·宜春九中高二期中（文））已知圆C ：22680x y x y m +--+=，其中R m ∈．(1)已知圆C 与圆：221x y +=外切，求m 的值；(2)如果直线30x y +-=与C 相交所得的弦长为m 的值．【解析】（1）由圆22:680C x y x y m +--+=，可得22(3)(4)25x y m -+-=-，则圆心(3,4)C ，半径r =由圆221x y +=，可得圆心(0,0)，半径1R =，因为两圆外切，1=，解得9m =．（2）圆C 的圆心坐标为(3,4)圆心到直线的距离d ==又直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为∴2225m +=-，解得3m =-．m ∴的值为3-．7．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆1C 的圆心在x 轴上，且过()5,2，()0,3两点．(1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆()()()2222:120C x y r r +++=>有公共点，求r 的取值范围．【解析】(1)由题意，设()()222111:0C x a y r r -+=>，由圆1C 过()5,2，()0,3两点可得()()2222215203a r a -+==-+，解得2a =，1r =所以圆1C 的方程为()22213x y -+=．(2)()()2222:12C x y r +++=(r ＞0)的圆心为()21,2C --，半径为r ，因为圆1C 与圆2C 有公共点，所以两圆外切、相交或内切，所以1121r r C C r r -≤≤+，又21C C =r r +，0r ≤≤又0r >，所以(0,r ∈.8．（2018·湖北·葛洲坝中学高二期中（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2）．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =AB ，求直线l 的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12?若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心C （2，0），半径为2．因为l ∥AB ，且A （-1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2011(1)-=--．设直线l 的方程为x -y +m =0，则圆心C 到直线l 的距离为|20|2|22d ==因为222222MN AB =+而2222MN CM d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2(2)422m +=+，解得m =0或m =-4，所以直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则22(2)4x y -+=，所以PA 2+PB 2=2222(1)(0)(1)(2)12x y x y ++-+-+-=，整理得x 2+y 2-2y -3=0，即x 2+（y -1）2=4．因为22|22|(20)(01)22-<-+-<+，所以圆（x -2）2+y 2=4与圆x 2+（y -1）2=4相交，所以点P 的个数为2．9．（2021·广东番禺中学高二期中）已知圆C 1:(x -1)2+(y +5)2=50，圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=10.（1）证明圆C 1与圆C 2相交；（2）若圆C 3经过圆C 1与圆C 2的交点以及坐标原点，求圆C 3的方程.【解析】（1）证明:依题意得，C 1(1，-5)，r 1，C 2(-1，-1)，r 2，因此，C 1C 2|=C 1与C 2相交.（2）设圆C 1与圆C 2的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立2222(1)(5)50(1)(1)10x y x y ⎧-++=⎨+++=⎩，，两式相减得x -2y +4=0，即x =2y -4，代入第一个式子得，(2y -5)2+(y +5)2=50，解得12120240y y x x ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，，，，∴圆C 3过A (-4，0)，B (0，2)，原点O (0，0).易得△ABO 为直角三角形，∴r=1||2AB =AB 的中点(-2，1)，∴圆C 3的方程为(x +2)2+(y -1)2=5.10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，(0,0)O ，(0,3)A -，动点M 满足2AM MO =，M 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，则实数r 的取值范围是____．【答案】22(1)4x y +-=[2,6]【解析】设(,)M x y ，由2AM MO =得()()222234x y x y ++=+，化简得22(1)4x y +-=；M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，两圆心分别为(0,1),(4,1)，圆心之间的距离为4，故242r r -≤≤+，解得26r ≤≤.故答案为：22(1)4x y +-=；[2,6].考点2：两圆的公共弦问题11．（多选题）（2021·福建宁德·高二期中）（多选）下列命题正确的有（）A ．直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，B ．已知圆2214C x y +=：与圆2222210C x y x y +--+=：相交于A B ，两点，则直线AB 的方程为2250x y ++=.C ．圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，则4m =D ．已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为3.【答案】AC【解析】对于A ，直线()()34330R m x y m m ++-+=∈化为：()33430m x x y +++-=，令303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，，故A 正确；对于B ，两圆的方程相减得2214x y +-=，所以直线AB 的方程为2250x y +-=，故B 错误；对于C ，若圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，所以两圆外切，圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，圆()()222420x y m -+-=-圆心为()2,41=4m =，故C 正确；对D ，已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，圆心()1,2-到直线3450x y +-=2=，所以PQ 的最小值为211-=，故D 错误.故选：AC.12．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________.【答案】2【解析】由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r =所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==.故答案为：213．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，则下列结论正确的是（）A ．两圆外离B ．两圆有3条公切线C ．两圆相交，且两圆的公共弦长为D ．两圆的公共弦方程为240x y -+=【答案】CD【解析】由题得221:(1)(5)50C x y -++=，圆心1C 坐标为1(1,5),r -=222:(1)(1)10C x y +++=,圆心2C 坐标为2(1,1),r --=.所以12||C C ==所以121212||r r C C r r -<<+，所以两圆相交.所以选项AB 错误.两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程240x y -+=；所以圆心1C 到公共弦所在直线的距离d =∴公共弦的长为=．所以选项CD 正确.故选：CD14．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】AD【解析】由2220x y x +-=与22240x y x y ++-=作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确，B 错误；对于C ，圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，圆1O 的半径1r =，所以AB ==C 错误；对于D ，点P 为圆1O 上一动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为12d r +=+，故D 正确.故选：AD.15．（多选题）（2021·山东·菏泽一中高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:460O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．两圆圆心距12OO =【答案】ABD【解析】2220x y x +-=①，22460x y x y ++-=②，用①减去②即得到公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确；把圆221:20x y x O +-=化为标准方程得22(1)1x y -+=，圆心1O 为(1,0)，半径为11r =，把圆222:460O x y x y ++-=化为标准方程为22(2)(3)13x y ++-=，圆心2O 为(2,3)-，2r 线段AB 中垂线即为圆心1O 与圆心2O 两点构成的直线为10x y +-=，故B 正确；圆心1O 到公共弦所在直线0x y -=的距离为22d ==，故公共弦AB 的长为，故C 错误；圆心1O 到圆心2O 的距离12O O ==，故D 正确.故选：ABD.16．（2022·全国·高二期中）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=，222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-，半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--，半径2r =.12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=17．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆M 经过点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的一般方程；(2)求圆M 与圆222x y +=的公共弦长.【解析】(1)设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，把(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C 三点坐标代入圆M得：042044220F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得：220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆M 的一般方程为22220x y x y +--=(2)联立22220x y x y +--=与222x y +=得：1x y +=，即1y x =-，代入到圆222x y +=中，解得：112x =，212x +=，分别代入1y x =-，求出112y +=，212y =，所以两交点的坐标为11,22⎛+ ⎝⎭，1122⎛+- ⎝⎭，则公共弦长等于=18．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）已知圆2222122610:1012450C x y x y C x y x y +---=+--+=：，(1)求证：12,C C 相交；(2)求圆12,C C 的公共弦所在的直线方程．【解析】(1)圆221:2610C x y x y +---=的圆心1(1,3)C，半径1r =222:1012450C x y x y +--+=的圆2(5,6)C，半径24r ==，12||5C C，124||54C C =<+，∴圆1C 和圆2C 相交．(2)两圆221:2610C x y x y +---=，222:1012450C x y x y +--+=，∴两圆相减，得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线方程为：86460x y +-=，即43230x y +-=．19．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）已知线段AB 的端点B 的坐标是(5,2)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动．(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)求曲线M 与22(1)(2)2x y -+-=的公共弦长．【解析】(1)设(,)M x y ，00(,)A x y ，则0052,,22x x y y +=+=，即025x x =-，022y y =-，又00(,)A x y 在已知圆上，所以2200(1)4x y ++=，即22(251)(22)4x y -++-=，化简得22(2)(1)1x y -+-=．即为点M 的轨迹方程；(2)由（1）知点M 的轨迹是圆，与已知圆22(1)(2)2x y -+-=方程相减得：2210x y -++=，即2210x y --=．圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)C ，半径为1r =，C 到直线2210x y --=的距离为24d =，所以公共弦长为l ===考点3：公切线问题20．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:(2)(3)4C x y -+-=(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为C ，直线l 总与之相切.【解析】（1）由圆221:(1)(2)9C x y -+-=可得()11,2C ，半径13r =，由圆222:(2)(3)4C x y -+-=可得()22,3C ，半径22r =，12C C =所以12121215r r C C r r =-<<+=，所以圆12,C C 相交.设直线RS 分别与圆12,C C 切于R ，S ，连接12,C R C S ，在直角梯形12C C SR 中，12123,2,C R C S C C ===所以||1RS =，即它们的公切线之长为1；（2）设线段PQ 的中点为D ，则1C D PQ ⊥，因为动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为所以1C D =又因为1C D PQ ⊥，所以点()11,2C 到直线l 所以直线l 总与圆22(1)(2)3x y -+-=相切，所以存在一个定圆22:(1)(2)3C x y -+-=，直线l 总与之相切.21．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知两圆221:1C x y +=，222:68110C x y x y +---=，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示）【答案】内切3450x y ++=【解析】由圆221:1C x y +=可得圆心()10,0C ，半径1r =，由222:68110C x y x y +---=可得()()223436x y -+-=，可得圆心()23,4C ，半径6R =，因为圆心距125C C ==，5R r -=，所以12C C R r =-，所以两圆的位置关系为内切，设公切线方程为：y kx b =+，由题意可得16==，因为两圆圆心所在直线12C C 垂直于公切线，且1243C C k =，所以34k =-1=可得54b =，经检验54b=6=，所以54b =-，所以两圆的公切线方程为3544y x =--即3450x y ++=.故答案为：内切；3450x y ++=.22．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为224x y +=和()()22349x y -+-=．则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】两圆的圆心分别为(0,0)和(3,4)，半径分别为2和3523==+，则两圆外切，公切线有3条．故选：C23．（2022·上海·格致中学高二期中）已知圆221:4O x y +=，圆()222:22400O x y mx my m +---=≠，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A ．4条B ．2条C ．1条D ．0条【答案】B【解析】由221:4O x y +=，得圆()10,0O ，半径为12r =，由()222:22400O x y mx my m +---=≠，得()2,O m m ，半径为2r ==所以210O O >，2120r r ->，122r r +=+所以121212O O r r r r -<<+，所以圆1O 与圆2O 相交，所以圆1O 与圆2O 有两条公共的切线.故选：B.24．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）两圆221:1C x y +=，222:(3)(4)16C x y -+-=的公切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】圆221:1C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径11r =，圆222:(3)(4)16C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径24r =，而1212||5C C r r ==+，即圆1C 与2C 外切，它们有3条公切线，所以圆1C 与2C 的公切线有3条.故选：C25．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））圆221:20O x y y +-=和圆222:8120O x y y +-+=的公切线的条数为______．【答案】3【解析】由题知圆1O ：2220x y y +-=的圆心()10,1O ，半径11r =，圆2O ：228120x y y +-+=的圆心()20,4O ，半径22r =，所以123O O =，123r r +=，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：326．（2021·湖南·高二期中）若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B【解析】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨解得1 4.m -<<故选：B ．考点4：圆系方程的应用27．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．【答案】22310x y x y +-+-=【解析】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=．28．已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点．（1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．【解析】（1）22230x y x +--=，①224230x y x y +-++=，②①-②得2260x y --=即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=．（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=所以圆的方程为2230x y x y +-+=29．已知圆222212:6160,:450C x y x C x y x ++-=+--=．求证：对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．【解析】若(,)m n 是圆1C 、圆2C 的交点坐标，则226160m n m ++-=且22450m n m +--=，所以(,)m n 必在()2222616450x y x x y x λ++-++--=上，又()22222261645(1)(1)(64)1650x y x x y x x y x λλλλλ++-++--=++++---=，所以2222329925(1(1)x y λλλλλ+=-+++++，则在1λ≠-时221919()240(1)λλ++>+，方程表示圆，综上，对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．30．已知圆221:4440C x y x y ++-+=和圆222:20C x y x ++=．（1）求证：两圆相交；（2）求过点()2,3-，且过两圆交点的圆的方程．【解析】（1）证明：∵圆221:4440C x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，表示以()12,2C -为圆心，半径等于2的圆，圆222:20C x y x ++=，即()2211x y ++=，表示以()21,0C -为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距12C C =，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．（2）设过两圆交点的圆的方程为()222244420x y x y x y x λ++-++++=．把点()2,3-代入，求得13λ=．故所求圆的方程为()22221444203x y x y x y x ++-++++=，即2273302x y x y ++-+=．31．（2021·北京通州·高二期中）经过点(2,2)M -以及圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为________．【答案】2250x y x y +--=【解析】设过圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为：22226(24)0x y x x y x y λ+-++--=①把点M 的坐标(2,2)-代入①式得13λ=，把13λ=代入①并化简得2250x y x y +--=，∴所求圆的方程为：2250x y x y +--=，故答案为：2250x y x y +--=．。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.圆和圆的公切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】由圆整理得，它的圆心坐标，半径为1.由圆整理得，它的圆心坐标，半径为2.,所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定.2.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程3.圆与圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】由两圆的方程可知，，∴，故两圆的位置关系为外切．【考点】圆与圆的位置关系．4.圆和的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】两圆的圆心为，半径为，而，则两圆相外切.【考点】本题考查两圆的位置关系，可以通过圆心距与半径和差的大小比较来判断.5.已知圆，交于A、B两点；（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线.所以过A、B两点的直线方程. 5分（2）设所求圆的方程为. 6分则圆心坐标为 8分∵圆心在直线上∴将圆心坐标代入直线方程，得 9分解得. 11分∴所求圆的方程为. 12分【考点】圆与圆的位置关系与圆的方程点评：两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程6.圆和的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【答案】D【解析】根据题意，由于圆的圆心（1,0），半径为1，和的圆心为（-2,0），半径为4，则可知圆心距d=3,而半径和为5，半径差为3，可知圆心距小于半径差，因此可知是两圆的相互内切，故选D.【考点】两圆的位置关系点评:解决两圆的位置关系的关键是根据圆心距和半径和的关系来确定，属于基础题，也是重要的知识点。
高考数学 《圆与圆的位置关系》
圆与圆的位置关系主标题：圆与圆的位置关系副标题：为学生详细的分析圆与圆的位置关系的高考考点、命题方向以及规律总结 关键词：圆与圆的位置关系，知识总结难度：3重要程度：3考点剖析：1.考查圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.命题方向：1.从考查内容看，高考中主要侧重于对直圆与圆的位置关系的考查；2.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．知识梳理：1．圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含．外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切．两圆相离——没有公共点，两圆相切——有唯一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点．2．判断两圆的位置关系常用的方法是几何法二、圆与圆的位置关系 设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0). 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 规律总结：1．处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 相离d ＞r 1＋r 2 无解 外切d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解。
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第50讲：圆与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解三、自主热身、归纳总结1、圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是()A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离【答案】B【解析】圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，∴C1C2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B.2、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为()A. 2B. 2 2C. 3D. 23【答案】B【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B . 3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____．【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，()a ＋52＋()b ＋52＝()r±522，a 2＋()b ＋62＝r2解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.四、例题选讲考点一、圆与圆的位置关系例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)22(51)(63)-+-＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011. (2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.所以公共弦长为2224133232112743⎛⎫⨯+⨯--= ⎪+⎝⎭变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考点二 圆与圆的综合问题例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．【答案】 94【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3， 即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab的最大值为94.变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．【答案】 12【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，即(a ＋b)2＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12，当且仅当a＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12.变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A. 3B. 8C. 4D. 9 【答案】D【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知a 2＋4b 2＝2－1，即a 2＋4b 2＝1，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2b 2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝2b 2时等号成立．故选D.变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为____． 【答案】[]7，13【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的方程．【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐标是(－3，3)．又r ＝()－4＋32＋32＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法3)(用待定系数法求圆的方程)同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，∴得方程组⎩⎨⎧()－4－a 2＋b 2＝r 2，a 2＋()3－b 2＝r 2，a ＋b ＝0，解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ)． ∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。