锐角三角函数的难题汇编及解析

∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝2 3 ，
∵AG 分别平分∠EAD， ∴∠BAE＝∠EAG， ∵∠BAD＝90°， ∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°， ∵GM⊥AD， ∴∠AMG＝90°，
∴在 Rt△AGM 中，sin∠GAM＝ GM ，cos∠GAM＝ AM ，
AG
AG
∴GM＝AG•sin30°＝ 3 ，AM＝AG•cos30°＝3，
5．如图，在矩形 ABCD中 E 是 CD 的中点， EA 平分 BED, PE AE 交 BC 于点 P ，
连接 PA ，以下四个结论：① EB 平分 AEC ；② PA BE ；③ AD 3 AB ； 2
④ PB 2PC ．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 个 【答案】A 【解析】
B．3 个
a2
1 a2
b2
4 b2
2 b2
b2 2
=
b2
4 b2
1 2
(
4 b2
b2 )
=
2
b2
4 b2
2
∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
故选 D
【点睛】 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．
A．100sin35°米
B．100sin55°米
C．100tan35°米
D．100tan55°米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正切函数可求小河宽 PA 的长度．
【详解】
∵PA⊥PB，PC=100 米，∠PCA=35°，
∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际
设 AE=BG=x，则 BE=AB－AE=AB－x
∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB
∴S 阴影=S△GDE＋S△EGF
= 1 DE·GN＋ 1 GF·EM
2
2
= 1 DE·（x·sinB）＋ 1 DE·[（AB－x）·sinB]
2
2
= 1 DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB] 2
问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②
根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答
案，再转化得到实际问题的答案．
9．如图，在 ABC 中， AC 4 ， ABC 60 ， C 45 ， AD BC ，垂足为 D ， ABC 的平分线交 AD 于点 E ，则 AE 的长为（ ）
1
= DE·AB·sinB
2
∵DE、AB 和∠B 都为定值
∴S 阴影也为定值
故选 B．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和
三角形的面积公式是解决此题的关键．
3．直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则 tan CBE 的值是（ ）
OF AF
a
（b，
2 b
），得到
OE=-a，EB=
1 a
，OF=b，AF=
2 b
，进而得到
a2b2
2 ，此为解决问题的关
键性结论；运用三角函数的定义证明知 tan∠OAB= 2 为定值，即可解决问题． 2
【详解】
解：分别过 B 和 A 作 BE⊥x 轴于点 E，AF⊥x 轴于点 F，
则△BEO∽△OFA，
AB
AB
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ， 故选 C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出 BC 和 BD 是解题的关键．
2．如图，点 E 从点 A 出发沿 AB 方向运动，点 G 从点 B 出发沿 BC 方向运动，同时出发 且速度相同， DE GF AB （ DE 长度不变， F 在 G 上方， D 在 E 左边），当点 D 到 达点 B 时，点 E 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是
A． 3 3
【答案】B 【解析】
B． 2 3 3
C．6 3
D．3 3
【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形 ABCD 是菱形，∴OD=OB，CD=BC． ∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB． ∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC=60°．
7．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2 3 ，BC＝10，E、F 分别在边 BC，AD 上，BE＝DF．将
△ABE，△CDF 分别沿着 AE，CF 翻折后得到△AGE，△CHF．若 AG、CH 分别平分∠EAD、∠ FCB，则 GH 长为（ ）
A．3 【答案】B 【解析】 【分析】
B．4
C．5
D．7
பைடு நூலகம்
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB= 90
在 Rt△ADC 中，AC=4，∠C= 45
∴AD=CD= 2 2
在 Rt△ADB 中，AD= 2 2 ，∠ABD= 60
∴BD= 3 AD= 2 6 ．
3
3
∵BE 平分∠ABC，
∴∠EBD= 30 ．
在 Rt△EBD 中，BD= 2 6 ，∠EBD= 30 3
如图作 GM⊥AD 于 M 交 BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T．通过解直角三角形求出 AM、GM 的
长，同理可得 HT、CT 的长，再通过证四边形 ABNM 为矩形得 MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝
3，最后证四边形 GHTN 为平行四边形可得 GH＝TN 即可解决问题． 【详解】 解：如图作 GM⊥AD 于 M 交 BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T． ∵△ABE 沿着 AE 翻折后得到△AGE，
∴tan∠DAE＝ DE ＝tan30°＝ 3 ，
AD
3
∴AD＝ 3 DE，即 AD 3 CD ， 2
∵AB＝CD，
∴③ AD 3 AB 正确； 2
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ 1 EP， 2
∵EP＝BP，
∴CP＝ 1 BP， 2
∴④PB＝2PC 正确． 综上所述：正确的共有 4 个． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．
C．2 个
D．1 个
【分析】 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出 AD 与 AB，PB 与 PC 的数量关系即可． 【详解】 解：∵在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点， ∴DE＝CE， 又∵AD＝BC，∠D＝∠C， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB， ∵EA 平分∠BED， ∴∠AED＝∠AEB， ∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB 平分∠AEC，正确； ∴△ABE 是等边三角形， ∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB， ∵PE⊥AE， ∴∠DEA＋∠CEP＝90°， 则∠CEP＝30°， 故∠PEB＝∠EBP＝30°， 则 EP＝BP， 又∵AE＝AB，AP＝AP， ∴△AEP≌△ABP（SSS）， ∴∠EAP＝∠PAB＝30°， ∴AP⊥BE，故②正确； ∵∠DAE＝30°，
A． 2 2
B． 2 2 3
C． 4 2 3
D． 3 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】
在 Rt△ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出 AD 的长度，在 Rt△ADB 中，由 AD 的长
度及∠ABD 的度数可求出 BD 的长度，在 Rt△EBD 中，由 BD 的长度及∠EBD 的度数可求出
DE 的长度，再利用 AE=AD−DE 即可求出 AE 的长度．
在 Rt△AMN 中,tan∠MAN= MN ， AN
∴tan30∘= x =3√3， 16 x
解得：x=8( 3 +1)，
D．16( 3 1) m
则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m；
故选 A. 点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长.
【点睛】 本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一 点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35°，则小河宽 PA 等于（ ）
（）
A．一直减小 【答案】B 【解析】
B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【分析】 连接 GE，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，过点 G 作 GN⊥AB 于 N，设 AE=BG=x，然后利用锐角三 角函数求出 GN 和 EM，再根据 S 阴影=S△GDE＋S△EGF 即可求出结论． 【详解】 解：连接 GE，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，过点 G 作 GN⊥AB 于 N
6．如图，在 x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与
函数 y 1 、 y 2 的图象交于 B、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
x
x
A．逐渐变小 【答案】D 【解析】 【分析】
B．逐渐变大
C．时大时小
D．保持不变
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到 BE OE ；设 B 为（a， 1 ），A 为
∴DE= 3 BD= 2 2
3
3
∴AE=AD−DE= 2 2 - 2 2 = 4 2 33
故选：C 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
10．如图，菱形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，DE⊥BC 于点 E，连接 OE，∠DOE＝120°，DE ＝1，则 BD＝（ ）
同理可得 HT＝ 3 ，CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°， ∴四边形 ABNM 为矩形，
∴MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝ 3 ，
∴GN＝HT， 又∵GN∥HT， ∴四边形 GHTN 是平行四边形， ∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4， 故选：B．
A．asinα+asinβ
B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ
D．
a tan
a tan
【答案】C 【解析】
【分析】
在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中，由三角函数得出 BC＝atanα，BD＝atanβ，得出 CD＝BC+BD＝
atanα+atanβ 即可．
【详解】
在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中，AB＝a，tanα＝ BC ，tanβ＝ BD ，
∴ BE OE ， OF AF
设点 B 为（a， 1 ），A 为（b， 2 ），
a
b
则 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，
a
b
可代入比例式求得 a2b2
2 ，即 a2
2 b2
，
根据勾股定理可得：OB=
OE2 EB2
a2
1 a2
，OA=
OF 2 AF 2
b2
4 b2
，
∴tan∠OAB= OB OA
4．如图，为了测量某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30°，向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45°，则建筑物 MN 的高度等于( )
A． 8( 3 1) m
B．8( 3 1) m
C．16( 3 1) m
【答案】A 【解析】 设 MN=xm， 在 Rt△BMN 中,∵∠MBN=45∘， ∴BN=MN=x，
锐角三角函数的难题汇编及解析
一、选择题
1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活 动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α，大桥主架的顶端 D 的仰角为 β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高 CD 为( )
A． 24 7
B． 7 3
C． 7 24
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，BE=AE．设 BE=x，则 CE=8-x．
在 Rt△BCE 中，x2=（8-x）2+62，
D． 1 3
解得 x= 25 ，故 CE=8- 25 = 7 ，
4
44
∴tan∠CBE= CE 7 . CB 24
故选 C.
考点：锐角三角函数.