数列中的不等式问题

例2.数列a n 满足a1 2a 2 2 a 3 2 1 an n (1)求数列a n 的通项; 2 ( 2)若bn ( 2n 5)a n , 数列bn 的前n项和S n .
2 n 1
n an . 2
7 求证 : - S n 1 4
2n 1 S n 1 n 2
3.设数列an 的前n项和为S n , 已知a1 1, 2 Sn 1 2 2 an1 n n , n N * n 3 3 an (1)求数列an 的通项公式
n
2
1 1 1 7 ( 2)证明 : 对一切正整数n, 有 a1 a2 an 4
1 2 Sn nan1 n( n 1)( n 2) 3
构造等比数列
4.数列{a n }中，a1 8，a4 2，且满足a n 2 2a n 1 a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n | a1 | | a 2 | | a n | ，求S n； 1 ( 3)设bn ( n N )，Tn b1 b2 bn， n(12 a n ) m 使得对任意n N 均有Tn 成立.求最大正整数m . 32
1 1 例2. (2) 已知Sn 2 2 2 求证 : n 1 1 Sn n .
(2)对 1 1 2 n

1 2 n
的放缩, 大致二种情况 1 n1 n
2 n n n1 1 1 n n 1 ( n 1) 2 n n n1
3.已知递增的等比数列 {an }满足a2 a3 a4 28，且a3 2是a2和a4的等差中项. (1)求数列{an }的通项公式； (2)若bn an log1 an，S n b1 b2 b3 Hale Waihona Puke Baidu bn，
例2.已知an 2n 1, 数列an 的前项n和为S n . 1 1 1 7 证明 : S1 S 2 Sn 4
2
第3项开始放缩
1 1 1 1 1 1 1 ( n 2) Sn n 2 2 Sn n n( n 1) n 1 n Sn n
2
求使不等式S n n 2
n1
30成立时n的最小值.
数列中的不等式问题
例 1.已知等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27. (1)求数列{an}的通项公式； a 3n 3n( n 1) n Sn Sn 2 (2)记数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Tn＝ n－1，若对于一 3· 2 切正整数 n，总有 Tn≤m 成立，求实数 m 的取值范围．
n( n 1) Tn 2n
T1 T2 T3 T4
3 Tn m T2 2
( n 1)(n 2) n( n 1) ( n 1)(2 n) Tn1 Tn n1 n 2 2 2 n1
点评：数列中不等式恒成立问题，利用函数的单调性。
1 1 a1 a2
1 1 1 1 2 an n n1 n
第3项开始放缩
1 1 1 1 7 1 ( ) an 4 2 n 4
3.已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1， (1)求{an}的通项公式； 1 1 1 3 (2)证明 ＋ ＋…＋a < . a1 a2 n 2
1 (1)对 2 的放缩, 大致三种情况 n 1 1 1 1 ( n 2) 2 n n( n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 ( )( n 2) 2 2 n n 1 2 n1 n1 1 1 1 1 2( )( n 1) 2 1 n 2n 1 2n 1 2 n 4