功率放大器非线性特性及预失真建模

关键字:预失真处理、拟合、正交基、遗传算法、多目标优化、NMSE、EVM
-1-
wk.baidu.com
一、 问题重述
在通信系统中，为达到发射要求，信号要求具有较高的功率，因此通常需要 通过功率放大器对射频信号进行放大，然而功放的输出信号相对于输入信号可能 产生非线性变形，这将带来信号的非线性失真，导致无法用滤波器滤除的干扰信 号使得解决功率放大器的非线性技术问题成为通信领域的一个研究热点。预失真 技术可以减轻非线性失真效应，基本原理是在功放前设置一个预失真处理模块， 这两个模块的合成总效果使整体输入—输出特性线性化，输出功率得到充分利用。 功放的非线性模型可以用简单的多项式来逼近，包括无记忆和有记忆的，如 果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放；如果功放的某一时 刻输出不仅与此时刻输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，则称为有记 忆功放。在预失真处理建模还需考虑以下 2 个约束条件： “输出幅度限制”和功放 的输出“功率最大化” ，建模以后用业界常用 NMSE、EVM 等参数评价其准确度。 我们用题目附件中的数据解决以下问题： 问题 1：根据数据文件 1 给出了某功放无记忆效应的复输入-输出测试数据， 其输入-输出幅度图为：
F ( x(t )) G 1 ( g x(t ))
方法二：（程序没有及时编写） 一般的多目标优化的数学模型如下： 目标函数为：
Min F ( X ) 1F1 ( X ) 2 F2 ( X ) ... n Fn ( X )
-6-
约束条件为：
f k (Y ) 0 (k 0,1, 2,..., t ) f k ( Z ) 0 (k 0,1, 2,..., t )
四、模型的建立与求解
若记输入信号 x(t ) ，输出信号为 z (t ) ，t 为时间变量，则功放非线性在数学上可表 示为 z (t ) G ( x(t )) ，其中 G 为非线性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个 预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得 到充分利用。原理框图如图 1 所示。
-2-
ACPR 对结果进行分析评价。
二、 模型假设
(1)采取时刻的信号项相同； (2)P 随 M 增加到一定程度，对应高参数项作用微小。
三、 符号说明
x(t ) :输入信号 y (t ) :预失真器输出 z (t ) :输出信号 x(n) :离散输入信号 y (n) :离散预失真器输出 z ( n) :离散输出信号 z :实际信号值 ˆ :模拟信号值 z X :理想信号输出值 e :理想信号输出值与整体输出信号误差 G () :输入-输出传输特性 F () :预失真器特性 M :记忆深度 y (n) :平均值 Max:最大值函数 Min:最小值函数
参赛密码 （由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛
学校
上海理工大学
参赛队号
10252088 1.刘皖平
队员姓名 2.李雷 3.孙慧
参赛密码 （由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛
题 目功率放大器非线性特性及预失真建模
摘要：
本文主要研究功放的非线性特性，包括在功放的无记忆效应和记忆效应下建 立预失真的数学模。 问题一主要探究无记忆效应下的功放非线性特性数学模型和预失真模型，对 给定数据运用多项式拟合方法建立其数学模型，在建立预失真模型过程中采取了 两种方法， 第一种方法运用对数据拟合， 在约束条件下通过 matlab 循环逐一检验 而确定 g=1.83，从而建立预失真模型，第二种方法针对约束条件二对目标函数限 制作用不够明显的情况下，将该约束条件转化为一目标函数，采用多目标优化的 数学模型，运用遗传算法求解 g 值并得到预失真模型，最后分别用相应的评价参 数对模型做了相关分析， 功放非线性特性模型的 NMSE=-73.4709,预失真处理指标 参数 NMSE/EVM=-64.6471。 问题二主要研究有记忆功放的非线性特性模型和预失真处理模型，采用了 “和记忆多项式”数学模型，建立了预失真处理的模型实现示意图，同时建立了 一套确定参数 M 和 K 方法的示意图， 用图形描述出了 NMSE 与 （M,K） 之间的关系， 对选择参数 M、 K 有很大的帮助； 运用遗传算法原理建立确定参数 g 的方法示意图； 对有记忆预失真处理模型进行应用，得到 M、K 取值与归一化均方差的图形，求得 M=4,K=4 时的评价参数 NMSE=-45.008，并有程序运行得到参数 g=9.468，给出该 模型的评价参数 EVM=84.03%，NMSE=-21.51，从而 NMSE/EVM=-25.60，得知本预失 真处理器对放大器产生的失真进行补偿。
G -1 ( z (t )) x(t ) ， 再 由 给 定 的 每 个 输 入 信 号 在 matlab 程 序 下 带 入 下 式 G 1 ( g x(n)) F ( x(n)) ，其中 g 从大于 1 开始测试，每个输入信号可对应相应的输
出信号，在输出幅度限制的约束下，由程序算的 g 1.83 。 注：详细求解请参看附件 2 由 g 求得，从而根据预失真技术的线性原则可得预失真特性函数：
z (n) hk x k (n) h1 x(n) h2 x 2 (n)
k 1 K
hK x K (n)
n 0,1, 2,
, N （5）
4.1.1 无记忆功放的非线性特性的数学模型
数据文件 1 给出了功率放大器的输入信号 x(t ) 与输出信号 z (t ) ，由于功放非 线性表示为 z (t ) G ( x(t )) ， 在 matlab 上首先由附录数据 1 中的两组数据采用多项 式拟合方式，考虑到复相关系数（SSE）和均方根误差(R-Square)，采取 8 次多项 式拟合，得 SSE 2.056 106 、 R Square 1,
-4-
图2 用 matlab 工具箱拟合求得多项式表达式为：
f ( x) pi x 9 i
i 1 9
其中 pi 取值如下表格： 表1
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
2.01110-5
10.73
-45.89
75.08
-56.56
18.64
-3.358
0.2809
2.992
注：该求解过程参见附件 1。
-3-
图 1 预失真技术的原理框图示意 其中 x(t ) 和 z (t ) 的含义如前所述，y (t ) 为预失真器的输出。 设功放输入-输出传 输特性为 G ，预失真器特性为 F ，那么预失真处理原理可表示为
z (t ) G( y (t )) G( F ( x(t ))) G F ( x(t )) L( x(t )) （1） G F L 表示为 G ( ) 和 F ( ) 的复合函数等于 F ( ) 。线性化则要求 z (t ) L( x(t )) g x(t ) （2） 式中常数 g 是功放的理想“幅度放大倍数” （g>1） 。因此，若功放特性 G ( ) 已知， 则预失真技术的核心是寻找预失真器的特性 F ( ) ，使得它们复合后能满足: (G F )( x(t )) L( x(t )) g x(t ) （3） 如果测得功放的输入和输出信号值， 就能拟合功放的特性函数 G ( ) ， 然后利用 （3）式，可以求得 F ( ) 。
4.1 问题 1 求解
如果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放，其特性可用 多项式表示为
z (t ) hk x k (t )
k 1 K
t [0, T ] （4）
式中 K 表示非线性的阶数（即多项式次数） ，诸 hk 为各次幂的系数。在函数逼 近理论中， z (t ) 是用函数组 {x0 , x, x2 , x3 , , x K } 生成的 K+1 维空间里的这组基的线 性组合表示。 如果对功放输入 x(t ) /输出 z (t ) 进行离散采样后值为分别为 x(n) / z ( n) （采样过 程符合 Nyquist 采样定理要求） ，则（4）可用离散多项式表示如下
A．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用 NMSE 评价所建模型的准 确度。 B．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，建立预失 真模型。写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数，运用评价 指标参数 NMSE/EVM 评价预失真补偿的结果。 问题 2：根据数据文件 2 给出了某功放的有记忆效应的复输入-输出数据， A．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用 NMSE 评价所建模型的准 确度。 B．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，以框图的 方式建立预失真处理的模型实现示意图（提示：可定义基本实现单元模块和确定 其之间关系，组成整体图） ，然后计算预失真模型相关参数。运用评价指标参数 NMSE/EVM 评价预失真补偿的计算结果。 问题 3：如果题 2 所附的数据采样频率 Fs 30.72 12 MHz ，传输信道按照 20MHz 来算，邻信道也是 20MHz。根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后 的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度（输入信号、无预失 真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号） ，最后用
模型，由所给条件可得其数学模型为： 主目标函数为：
Min F1 (n) | z (n) g x(n) |2
n 1
N
^
次目标函数为：
Max F2 (n) max | y(n) |
其中 y (n) 表示平均值。 最终目标函数为：
Min F (n) 1F1 (n) 2 F2 (n)
，以下建立预失真模型。
由题有，预失真模型须满足以下约束条件： (1)线性原则： (G F )( x(t )) L( x(t )) g x(t ) (2)输出幅度限制： max F ( x(t )) max x(t ) (3)功率最大化：线性原则下的 g（ g 1 ）尽可能的大。 所给附件数据 1 给出了功放无记忆的复输入-输出测试数据，利用功放非线性表 示 z (t ) G ( x(t )) ， 通 过 matlab 数 据 拟 合 可 求 得 功 放 特 性 函 数 的 逆 函 数
N
2
10 log10
| z(n) pi x(n)9i |2
n 1
| z ( n) |
n 1
N
2
-73.4709 该值表明本题运用的模型与物理实际模块比较接近，模型的可用度能达到一 定可用度。
4.1.2 建立预失真模型
方法一： 功放使得信号输出产生非线性形变， 加入预失真技术， 使得整体呈线性输出， 关键是寻找预失真器特性为 F
以上 X、Y、Z 均为变量， i 为各分目标的权重。 由所给材料，在没有预失真处理的情况下，由输入输出信号通过拟合可得功放输 入-输出特性 G 的逆： G 1 ( z (n)) x(n) ，在增加预失真处理后，该功放输入-输出
1 特性 G 的逆也不变，从而 y (n) 可表示为： y(n) G ( g x(n)) 。建立这个预失真的
ˆ 与实际信号值 z 具体数值用 matlab 演算 以上模型得出的模型计算的信号值 z 归一化均方误差 (Normalized Mean Square Error, NMSE)
-5-
NMSE 10 log10
N
| z ( n) z ( n) |
n 1
N
^
2
| z ( n) |
n 1 9 i 1
其中 1，2 是 F1 , F2 的权重。 需满足以下两个约束条件：
g 1 Max | y (n) | Max | x(n) |
从而通过编程可得 g 值的大小。 以上两种方法均可以得到最终的预失真模型，方法一简单易懂，有可能出现 局部最优情况，方法二采用遗传算法，可避免方法一中的局部最优情况的出现， 与此同时，该算法运算较复杂，得到的结果会比第一种方法更精确。 以上得到模型的相应数据需要检验其误差， 其中误差矢量幅度 (Error Vector Magnitude, EVM)定义为误差矢量信号平均功率的均方根和参照信号平均功率的均 方根的比值，以百分数形式表示。如果用 X 表示理想的信号输出值， e 表示理想输 出与整体模型输出信号的误差，可用 EVM 衡量整体模型对信号的幅度失真程度。