菱形(中初中数学考题

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初二数学下册知识点《菱形的判定》150例题及解析

初二数学下册知识点《菱形的判定》150例题及解析副标题一、选择题（本大题共65小题，共195.0分）1.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．2.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【答案】D【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A. AC⊥BDB. AB=BCC. AC=BDD. ∠1=∠2【答案】C【解析】解：A.正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C.错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．4.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．5.下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选：D．直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；D．如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D．连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．7.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. AC⊥BDD. ∠ABO=∠CBO 【答案】B【解析】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB=AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当∠ABO=∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO=∠ADO，∴∠ABO=∠ADO，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；故选：B．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．9.下列命题中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选：D．根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A. AB=ADB. AC⊥BDC. AC=BDD. ∠BAC=∠DAC 【答案】C【解析】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选：C．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．11.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选：D．先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形，难度一般．12.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A. AM=ANB. MN⊥ACC. MN是∠AMC的平分线D. ∠BAD=120°【答案】D【解析】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，∴∠BAM=∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM=CN，BM=DN，∵AD=BC，∴AN=CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA=∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA=∠NMC，∴∠MNA=∠MAC，∴∠MAC=∠NMA，∴AM=AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=DN，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键．13.如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（）A. AB＝ACB. BC＝BDC. AC＝BDD. AB＝BC【答案】D【解析】【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据菱形的判定方法即可解决问题.【解答】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，故选：D．14.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．15.已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，则（）①②A. 四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形B. 四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形C. 四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形D. 四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定以及新定义问题等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.【解答】解：∵四边形ABCD是等对角线四边形，∴AC=BD，∵题图①中四边形EFGH的四个顶点分别是是四边形ABCD四条边的中点，∴EH//BD，EH=BD，GF//BD，GF=BD，HG//AC，HG=AC，EF//AC，EF=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EH=HG，∴EFGH是菱形，∴四边形EFGH不是等对角线四边形.∵题图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，∴四边形ACLK、四边形KBDN、四边形KLMN是平行四边形，∴AC=KL，KN=BD，∵AC=BD，∴KL=KN，∴KLMN是菱形，∴四边形KLMN不是等对角线四边形.故选B.16.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.17.若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 对角线相等的四边形【答案】D【解析】【分析】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选D．18.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．20.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，∴四边形EMFN为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于M点，∴ME=MF，∴四边形EMFN为菱形．故选B．21.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．22.下列说法正确的是（）A. 对角线相等的平行四边形是菱形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相互垂直的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．23.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．故选B．命题是判断事情的语句，若是判断的事情是正确的就是真命题，如果是错误的就是假命题，平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的对角线相等，对角线互相垂直的不一定是菱形，两直线平行，内错角才相等．本题考查真假命题的概念，以及平行四边形的判定．菱形的判定，等腰梯形的判定定理，以及内错角等知识点．24.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；其中正确的有2个．故选：C．根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键．25.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC 【答案】D【解析】【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．26.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．27.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．28.如图，在▱ABCD中，对角线，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：；；平分；为AD中点。

初中数学菱形练习题(含答案)

第五章四边形
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已知：如图①，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O. 求证：四边形AECF是菱形.
图①图②
第1题图
某同学写出了如图②所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题：
(1)能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
(2)请你给出本题的正确证明过程.
参考答案
中考试题中的核心素养
1. (1)解：能；该同学错在并未证明AC 和EF 是互相平分的，EF 垂直平分AC ，但未证明AC 垂直平分EF ，需要通过证明得出；
(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC .
∴∠F AC ＝∠ECA .
∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴OA ＝OC .
∵在△AOF 与△COE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠F AO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，
∴△AOF ≌△COE (ASA).
∴EO ＝FO .
∴AC 垂直平分EF .
∴EF 与AC 互相垂直平分．
∴四边形AECF 是菱形．。

初中数学《菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义》题型及答案解析

解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE=4，DG=3，则AE的长为．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D= 80°，则∠BCF的度数是．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠A=120°，M是CD上，DM=3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN=．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．5.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG．(1)求证：四边形CEFG为菱形；(2)若AC=8，BC=6，求DG的长．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.258.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.1929.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.2210.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，(A 、P ，E 按逆时针排列)，点E 的位置随点P 的位置变化而变化．(1)如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；(2)①如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE ，若AB =2，∠APD =75°，直接写出BE 的长；(3)当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB =23，BE =219，请直接写出△APE 的面积．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O影部分的面积为cm2．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值是．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC中点，连接AE,DE，点F是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．(1)∠BAE=；(2)若AB=2，则CG的最小值为．18.(2024八年级下·全国·专题练习)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ∥AC，交边CD于点Q，点R线段AC上的一点．(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】19.(22-23八年级下·江苏苏州·期末)定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，若∠A=40°，则∠B=°．(2)如图，在菱形ABCD中，∠B>90°，AB=5，连接AC，若△ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面积．【变式训练】20.(23-24九年级下·山东威海·期中)【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？(填“是”或“否”)(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．21.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E 使得AC=AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA=CF，作∠ACF的平分线CE交AD的延长线于点E，连接FE．求证：四边形AEPC为菱形ABCD的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O．连接EO若EO=2CH，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CHED的值．22.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别是OA,OD的中点，连接BM,CN并延长，交于点E．求证：△BCE是中垂三角形；解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG ⊥CD ，BE =4，DG =3，则AE 的长为．【答案】914【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，因为EG ⊥CD ，所以BH ∥EG ，由四边形ABCD 是菱形，得AB ∥CD ，AB =BC =CD ，则四边形BEGH 是平行四边形，所以GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，则BH =GE =4，所以DH =DG +GH =3+4=7，由勾股定理得42+7-AB 2=AB 2，求得AB =6514，所以AE =AB -BE =6514-4=914，于是得到问题的答案．【详解】解：作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，则∠H =90°，∵EG ⊥CD ，∴BH ∥EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∴BE ∥GH ，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，∵DG =3，∴DH =DG +GH =3+4=7，∵BH 2+CH 2=BC 2，CH =7-CD =7-AB ，∴42+7-AB 2=AB 2，解得AB =6514，∴AE =AB -BE =6514-4=914，故答案为：914．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D =80°，则∠BCF 的度数是．【答案】80°/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC =CD ，由折叠得BC =CF ，然后求出CF =CD ，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD由折叠可得，BC =CF∴CF =CD∴∠CFD =∠D =80°∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC∴∠BCF =∠DFC =80°．故答案为：80°．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD 中，AB =8，∠A =120°，M 是CD 上，DM =3，N 是点AB 上一动点，四边形CMNB 沿直线MN 翻折，点C 对应点为E ，当AE 最小时，AN =．【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在AM上时，AE的值最小．作AH⊥CD于H，如图，根据菱形的性质可求得AH=32AD=83，DH=CH=8，在Rt△AHM中，利用勾股定理计算出AM=7，再根据两点间线段最短得到当点E在AM上时，AE的值最小，然后证明AN=AM即可．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠A=120°，∴AD=AB=CD=8，AB∥CD，∴∠D=180°-∠BAD=60°，∴∠DAH=30°，∴DH=12AD=4，AH=AD2-DH2=43，∵DM=3，∴HM=1，MC=CD-DM=5，在Rt△AHM中，AM=AH2+HM2=7，∵四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，，∴ME=MC=10，∵AE+ME≥AM，∴AE≥AM-ME，∴当点E在AM上时，AE的值最小，由折叠的性质得∠AMN=∠CMN，而AB∥CD，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM=7．故答案为：7．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．【答案】6075【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．(1)直接根据菱形的对角相等即可求解；(2)如图，由垂直平分线的定义得到∠1=90°，从而∠ADC =30°，由菱形的性质得到∠CDC =∠1=90°，从而由折叠有∠CDE=∠C DE=12∠CDC =45°，因此∠ADE=75°，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°．故答案为：60(2)如图，∵C D 是AB 的垂直平分线，∴∠1=90°，∴∠ADC =90°-∠A =90°-60°=30°，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDC =∠1=90°，由折叠可得∠CDE =∠C DE =12∠CDC =12×90°=45°，∴∠ADE =∠ADC +∠C DE =30°+45°=75°，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠ADE =75°．故答案为：755.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若AC =8，BC =6，求DG 的长．【答案】(1)见解析(2)GD =1.8．【分析】(1)推出CG =EF ，CG ∥EF ，进而推出四边形CEFG 是平行四边形，并根据EC =EF 证得四边形CEFG 是菱形；(2)首先利用勾股定理求出AB ，设CG =x ，然后用x 表示出AE 和EF ，再在Rt △AEF 中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】(1)证明：∵CD ⊥AB ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴∠BFE =∠BCE =90°，∠CEG =∠FEG ，EC =EF ，∴CD ∥EF ，∴∠CGE =∠FEG ，∴∠CGE =∠CEG ，∴CE =CG ，∴CG =EF ，∵CG ∥EF ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵EC =EF ，∴平行四边形CEFG 是菱形；(2)解：∵AC =8，BC =6，∠ACB =90°，22∵四边形CEFG 是菱形，∴EF =FG =CE =CG =x ，∴AE =8-x ，∵△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴BF =BC =6，∴AF =AB -BF =10-6=4，∵在Rt △AEF 中，EF 2+AF 2=AE 2，∴x 2+42=8-x 2，解得：x =3，即CG =3．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ，∴CD =4.8，∴GD =4.8-3=1.8．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【答案】C【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P 在对角线BD 上，BP =4，BP +AP =6，设AO =x ，则AB =2AO =2x ，利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，当x 从0到4时，MA MC=y =1∴MA =MC∵四边形ABCD 是菱形∴点P 在对角线BD 上∴由图象可得，BP =4，BP +AP =6∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴∠ABD =30°，AC ⊥BD∴设AO =x ，则AB =2AO =2x∴PO =BP -BO =4-3x∴BO =AB 2-AO 2=3x∴在Rt △APO 中，AP 2=AO 2+PO 2∴22=x 2+4-3x 2解得x =3，负值舍去∴AB =2x =23∴菱形ABCD 的边长是23．故选：C ．【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P 在对角线BD 上．【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.25【答案】A 【分析】根据图象可知，当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，进而求出菱形的面积，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．【详解】解：由图象可知：当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，∴S 菱形ABCD =2S △ABE =24，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，交AC 于点O ，则：BD ⊥AC ,OA =OC =4,OB =OD ，∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴BD =6，∴OB =OD =3，∴AB =OA 2+OB 2=5，∴菱形ABCD 的边长为5；故选A ．8.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.192【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C 作CE ⊥AD ，根据函数图象求出菱形的边长为a ，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a 即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AD 于E ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴当点P 在边BC 上运动时，y 的值不变，∴AD =BC =10+a -10=a ，即菱形的边长是a ，∴12⋅AD ⋅CE =4a ，即CE =8．当点P 在AC 上运动时，y 逐渐增大，∴AC =10，∴AE =AC 2-CE 2=102-82=6．在Rt △DCE 中，DC =a ,DE =a -6,CE =8，∴a 2=82+a -6 2，解得a =253．故选：B ．9.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.22【答案】C 【分析】结合图象，得到当x =0时，PO =AO =4，当点P 运动到点B 时，PO =BO =2，根据菱形的性质，得∠AOB =∠BOC =90°，继而得到AB =BC =OA 2+OB 2=25，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为12BC=5，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=OA2+OB2=25，当点P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5，故选C．10.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，(A、P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出△APE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥BC；(2)①仍然成立，见解析；②20-83(3)73或313【分析】(1)连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；(2)①(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可；②根据已知得出DP=AD，进而根据①可得BP=CE，根据CE⊥BC，勾股定理，即可求解；(3)分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】(1)解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠BAP=∠CAE=60°-∠P AC，∴△BAP≌△CAE SAS，∴BP=CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=1∠ABC=30°，2∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP=CE，CE⊥BC；(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE SAS，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD；∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；②如图所示，∵△ABP≌△ACE SAS，∴CE=BP，∵∠APD=75°,∠ADB=30°∴∠DAP=75°=∠APD，∴DA=DP=2，∵BD=2BO=23AO=3AB=23∴BP=CE=BD-DP=23-2∵CE⊥AD，AD∥BC∴CE⊥BC∴BE=BC2+CE2=22+23-22=20-83故答案为：20-83．(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∵∠ABC =60°，AB =23，∴∠ABO =30°，∴AO =12AB =3，OB =3AO =3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BE =219，BC =AB =23，∴CE =(219)2-(23)2=8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP =OA 2+OP 2=(3)2+52=27，∵△APE 是等边三角形，∴S △AEP =34×27 2=73，如图4中，当点P 在DB 的延长线上时，同法可得AP =OA 2+OP 2=(3)2+112=231，∴S △AEP =34×231 2=313．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点C 2024与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD ⊥OA 于D ，则∠CDO =90°，∵四边形OABC 是菱形，O 0,0 ,A -1,0 ，∴∠AOC =∠B =60°,OC =OA =1∴∠OCD =30°∴OD =12OC =12,CD =3OD =32∴点C 的坐标为-12,32，若菱形绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，则菱形OABC 绕点O 连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4=506(周)，∴绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024与菱形OABC 重合，∴点C 2024与C 重合，∴点C 2024的坐标为-12,32，故选：D ．【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O按顺时针方向分别旋转90°、180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为cm 2．【答案】12-43【分析】连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，S △AOD =12×AE ×OD =12×3×3-1 =3-32cm 2 ，计算即可．【详解】如图，连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，∴点D 在OB 上，由已知条件易得BE =DE =12AB =1cm ,AE =OE =3cm ，∴OD =3-1cm ，∴S =1×AE ×OD =1×3×3-1 =3-3cm 2 ，∴所求面积为8×3-32=12-43cm2．故答案为：12-43．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)①33；②30°或90°【分析】(1)连接AF，根据菱形的性质，可得到△GAF≅△EAF，从而得到∠GAF=∠EAF，进而得到△DAF ≅△BAF，即可求证；(2)①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O，AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AF∥OD，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：∠BDF=90°和∠BFD=90°，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】(1)证明：连接AF，∵四边形AEFG是菱形，∴AE=EF=FG=GA，在△GAF和△EAF中，AG=AEGF=EFAF=AF，∴△GAF≅△EAF SSS，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，在△DAF 和△BAF 中，AD =AB∠DAF =∠BAF AF =AF，∴△DAF ≅△BAF SAS ，∴DF =BF ．(2)解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，由(1)得当菱形AEFG 没有旋转时，AC 平分∠BAD ，AF 平分∠EAG ，∴此时点A 、F 、C 三点共线，∴当菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转时，∠FAC =α，∴当α=90°时，∠FAC =∠BAE =90°，在菱形ABCD 中，AB =AD ，OD =12BD ,OA =12AC ，BD ⊥AC ，∠DAO =12∠BAD =30°，∴∠AOD =90°∴∠DOA +∠FAC =180°，∴AF ∥OD ，在菱形AEFG 中，∠EAF =12∠EAG =30°，AE =AG ，AP =12AF ,PE =12EG ，∵∠DAB =∠GAE =60°．∴△ABD 和△AEG 是等边三角形，∴BD =AB =6，EG =AE =3，∴OD =3,EP =32，∴AP =AE 2-EP 2=32，OA =AD 2-OD 2=33∴AF =3，∴AF =OD ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF =OA =33；②由①得四边形AODF 是平行四边形，∵∠FAC =90°，∴四边形AODF 是矩形，∴∠BDF =90°，即△DFB 为直角三角形，∴此时旋转角α的度数为90°；如图，当点F 在AD 上时，由①得AF =3，∴AF=DF，∵△ABD为等边三角形，∴BF⊥AD，即∠BFD=90°，∴此时△DFB为直角三角形，∵∠EAF=1∠EAG=30°，2∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°，即此时旋转角α的度数为30°；综上所述，当△DFB为直角三角形时，旋转角α的度数为30°或90°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【答案】(1)43(2)FD=3CG，证明见解析(3)OE=3OC,2≤OC≤4【分析】(1)连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，根据菱形的性质，证明B,F,D三点共线，求出BD,BF的长，用BD-BF即可求出DF的长度；(2)过点D作DM∥FG，过点G作GM∥DF，过点C作CN⊥MG，得到四边形DMGF为平行四边形，证明△CDM≌△CBG，得到CM=CG,∠DCM=∠BCG，进而求出∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，先证明△DOC≌△GOH，推出四边形AHGB为平行四边形，再证明△HAC≌△EBC，推出△CHE为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出CE的范围，进而求出OC的范围即可．【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∴∠ABD =∠CBF =12∠ABC =30°,∠EBF =∠GBF =12∠EBG =30°，AC ⊥BD ,EG ⊥BF ,BD =2OB ,BF =2HB ，∵点E 、G 分别在边AB 、BC 上，∴∠ABD =∠ABF =30°，∴B ,F ,D 三点共线，∵BE =2,∠EBF =30°，∴HE =12BE =1，BH =3HE =3，∴BF =2BH =23，同理：BD =2OB =23OA =2×32AB =63，∴DF =BD -BF =43；故答案为：43；(2)FD =3CG ，证明如下：过点D 作DM ∥FG ，过点G 作GM ∥DF ，过点C 作CN ⊥MG ，则：四边形DMGF 为平行四边形，∴DF =MG ，DM =GF ，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∠ABC =∠EBG =60°，∴AD ∥BC ,BE ∥GF ，∠ADB =∠ABC =∠EBG =60°，CD =BC ,BG =GF =DM∴BE ∥DM ，∠1=∠2，∠DCB =180°-∠ADC =120°，∴∠3=∠DMN ，∵∠1=∠ADM +∠DMN ,∠2=∠3+∠CBE∴∠ADM =∠CBE ，∴∠CDA +∠ADM =∠CBE +∠EBG ，即：∠CDM =∠CBG ，又∵CD =BC ,BG =DM ，∴△CDM ≌△CBG ，∴CM =CG ,∠DCM =∠BCG ，∴∠MCG =∠BCG +∠BCM =∠DCM +∠BCM =∠DCB =120°，∴∠CMG =∠CGM =12180°-120° =30°，∵CN ⊥MG ，∴DF =MG =2NG ，CN =12CG ，∴NG=CG2-CN2=3CG，2∴DF=3CG；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，∵O是DG的中点，∴OD=OG，又∵∠DOC=∠HOG，∴△DOC≌△GOH，∴GH=CD，∠OCD=∠OHG，∴CD∥HG，∵菱形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°，∴AB∥HG，GH=CD=AB，△ABC为等边三角形，∴四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∴AH∥BG,AH=BG，∠CAQ=180°-∠CAB=120°，∴∠HAQ=∠ABG，∵BG=BE，∴AH=BE，∵∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG，∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120°，∴∠CBE=∠HAC，又∵AH=BE，AC=BC，∴△HAC≌△EBC，∴CH=CE，∠HCA=∠ECB，∴∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴△CHE为等边三角形，∵OC=OH，∠HEC=60°，∴OE⊥OC，∠CEO=30°，∴OC=1CE，2∴OE=3OC；②∵BC=AB=6,BE=2，∴BC-BE≤CE≤BC+BE，即：4≤CE≤8，∵OC=1CE，2∴2≤OC≤4．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质连接BD ，DE ，根据菱形的性质可得，△ABD 是等边三角形，再证明△ADP ≌△ABP ，可得PD =PB ，从而得到PE +PB 的最小值为DE 的长，再由E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ,AE =12AB =1，然后根据勾股定理可得DE =3，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是菱形，周长为8，∠DAC =30°，∴∠DAB =2∠DAC =60°，∠DAP =∠BAP ，AB =AD =2，∴△ABD 是等边三角形，在△ADP 和△ABP 中，∵AP =AP ，∠DAP =∠BAP ，AB =AD ，∴△ADP ≌△ABP ，∴PD =PB ，∴PE +PB =PE +PD ≥DE ，即PE +PB 的最小值为DE 的长，∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ,AE =12AB =1，∴DE =AD 2-AE 2=3，即PE +PB 的最小值为3．故答案为：3．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B =45°，BC =23，则GH 的最小值是．【答案】62【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，求出AF 最小值即可求出．【详解】解：连接AF ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，则∠AFB =90°，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF 2+BF 2=AB 2，即2AF 2=AB 2，∴AF =6，∴GH =62，故答案为：62．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD 中，∠B =60°，E 是BC 中点，连接AE ,DE ，点F 是DE 上一动点，G 为AF 中点，连接CG ．(1)∠BAE =；(2)若AB =2，则CG 的最小值为．【答案】30°2217【分析】(1)连接AC ，证明△ABC 为等边三角形，三线合一，即可得出结果；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI ，根据三角形的中位线定理，推出点G 在IH 上运动，当CG ⊥HG 时，CG 最小，进行求解即可．【详解】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵E 是BC 中点，∴AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°；故答案为：30°；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI则：IG ∥DF ，HG ∥DF ，∴I ,G ,H 三点共线，。

初三数学菱形的练习题及答案

初三数学菱形的练习题及答案菱形是初中数学中常见的图形之一，通过练习菱形的题目，学生可以巩固对菱形及其性质的认识，培养解决几何问题的能力。

本文将提供一些初三数学菱形的练习题及答案，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

练习题一：根据给定条件，求菱形的周长和面积。

1.已知菱形的对角线长度分别为8cm和12cm，求菱形的周长和面积。

解答：求菱形的周长，需要知道菱形的所有边长。

根据菱形的性质，对角线相交于其垂直平分点，且对角线相等。

设菱形的一个对角线长度为d1=8cm，另一个对角线长度为d2=12cm。

根据性质可知，菱形的边长等于对角线长度的一半。

菱形的周长=4×菱形的边长=4×(d1/2)=4×(8/2)=4×4=16cm菱形的面积= (d1×d2)/2=(8×12)/2=96/2=48cm²所以，该菱形的周长为16cm，面积为48cm²。

练习题二：根据给定条件，判断是否为菱形。

2.在平面直角坐标系中，已知四个点的坐标依次为A(3, 0)、B(0, 2)、C(-3, 0)和D(0, -2)，判断四边形ABCD是否为菱形。

解答：要判断四边形ABCD是否为菱形，需要验证以下两个条件：- 对角线互相垂直；- 对角线相等。

首先计算对角线的长度：AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((-3 - 3)² + (0 - 0)²)= √((-6)²)= √36= 6BD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((0 - 0)² + (-2 - 2)²)= √((0)² + (-4)²)= √(0 + 16)= √16= 4由上述计算可知，AC=6，BD=4。

接下来验证两个条件：- 对角线互相垂直：计算斜率k1、k2，若k1*k2=-1则两对角线互相垂直。

初中数学正方形菱形矩形的判定例题

初中数学正方形菱形矩形的判定例题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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专题14-菱形、正方形的性质与判定重难点题型(解析版)-初中数学重难点必刷题(人教版)

专题14 菱形、正方形的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含菱形、正方形的性质与判定这两节的常考主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：菱形的性质、菱形的判定、中点套路之中位线＆Rt △斜边上的中线、正方形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一菱形的性质1.（中雅培粹）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点E ，若⊥ADC =130°，则⊥AOE 的度数为（）A.75°B.65°C.55°D.50°【解答】解：在菱形ABCD 中，∠ADC ＝130°，∴∠BAD ＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAO ＝∠BAD ＝×50°＝25°，∵OE ⊥AB ，∴∠AOE ＝90°﹣∠BAO ＝90°﹣25°＝65°．故选：B ．2.（中雅培粹）如图，菱形ABCD 中，⊥B =60°，AB =2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则⊥AEF 的周长为（）A.32B.33C.34D.3【解答】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC ＝AB ＝AD ＝CD ，∴∠CAD ＝60°，∴∠BAD ＝120°，∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∠EAC ＝30°， ∴AE ＝，同理：AF ＝，∵AE ＝AF ，∠CAF ＝30°∴∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴EF ＝，∴△AEF 的周长为3．故选：B ．3.（长郡）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，2cm OC =，30ABO ∠=，则菱形ABCD 的面积是__________.【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABO ＝∠CBO ＝30°，∠BOC ＝90°， ∵OC ＝2cm ， ∴OB ＝2cm ，∴＝cm 2．∴菱形ABCD 的面积为2cm 2．故答案为：8cm 2．4.（中雅培粹）已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线cm AC 4=，则菱形的边长是 . 【解答】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2×＝6，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长＝＝cm ．故答案为．题型二菱形的判定5.（中雅培粹）如图，添加下列条件之一，能使平行四边形ABCD 是菱形的是（） ⊥BD AC ⊥；⊥︒=∠90BAD ；⊥BC AB =；⊥BD AC =； A.⊥⊥ B.⊥⊥ C.⊥⊥ D.⊥⊥⊥【解答】解：①▱ABCD 中，AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故①正确；②▱ABCD 中，∠BAD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故②错误；③▱ABCD 中，AB ＝BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；D 、▱ABCD 中，AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．故选：A ．6.（中雅）已知矩形ABCD ，把BCD ∆沿BD 翻折，得BDG ∆，BG ，AD 所在的直线交于点E ，过点D 作//DF BE 交BC 所在直线于点F . (1)求证：四边形DEBF 是菱形；(2)若8AB =，4AD =，求四边形DEBF 的面积.【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，根据题意可知△BCD ≌△BDG ，∴∠DBG ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴DE ＝BE ， ∵AD ∥BC ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵DE ＝BE ，∴四边形BEDF 为菱形；（2）设菱形BEDF 的边长为x ，则AE ＝DE ﹣AD ＝x ﹣4，在Rt △AEB 中，BE 2＝AE 2+AB 2，即x 2＝（x ﹣4）2+82，解得x ＝10，∴菱形BEDF 的面积＝DE •AB ＝10×8＝80．7.(长郡培粹)如图，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N (如图①)，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到图②，连接CN .(1)求证：四边形AMCN 是菱形；(2)若CDN ∆的面积与CMN ∆的面积比为1:3，求MNDN的值.【解答】（1）证法一：连接BD ，则BD 过点O ，∵AD ∥BC ，∴∠OBM ＝∠ODN ，又OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，∴△OBM ≌△ODN ，∴BM ＝DN ；证法二：∵矩形ABCD 是中心对称图形，点O 是对称中心，∴B 、D 和M 、N 关于O 点中心对称，∴BM ＝DN ；（2）证法一：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，又BM ＝DN ，∴AN ＝CM ，∴四边形AMCN是平行四边形，由翻折得，AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形；证法二：由翻折得，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，又∵∠ANE＝∠CND，∴△ANE≌△CND，∴AN＝CN．∵AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴AM＝MC＝CN＝NA，∴四边形AMCN是菱形．（3）解法一：∵S△CDN＝DN•CD，S△CMN＝CM•CD，又S△CDN：S△CMN＝1：3，∴DN：CM＝1：3，设DN＝k，则CN＝CM＝3k，过N作NG⊥MC于点G，则CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝2k，NG＝，∴MN＝，∴＝＝2；解法二：∵S△CDN＝DN•CD，S△CMN＝CM•CD，又S△CDN：S△CMN＝1：3，∴DN：CM＝1：3，连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN，设DN＝k，则CN＝AN＝CM＝3k，AD＝4k，CD＝，OC＝AC＝＝＝k，∴MN＝2ON＝2＝2＝2k，∴＝＝2．8.（广益）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AD＝AB+2，BD＝10，求四边形BFDG的面积．【解答】证明：（1）如图1，根据折叠，∠DBC＝∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①四边形BFDG是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形；②在Rt△ABD中，AD＝AB+2，BD＝10，BD2＝AD2+AB2，∴100＝（AB+2）2+AB2，∴AB＝6，∴AD＝8，∵BF2＝AF2+AB2，∴DF2＝（8﹣DF）2+36，∴DF＝，∴四边形BFDG的面积＝×6＝．题型三中点套路：中位线＆Rt△斜边上的中线9.（中雅）顺次联结对角线互相垂直且相等的四边形四边的中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．BD CD的中点，若10.(雅礼)如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点,E F分别是,==，则AE EF4,3AB BC+的长为______．【解答】解：∵点E，F分别是BD，DC的中点，∴FE是△BCD的中位线，∴EF＝BC＝1.5，∵∠BAD＝90°，AD＝BC＝3，AB＝4，∴BD＝5，又∵E是BD的中点，∴Rt△ABD中，AE ＝BD ＝2.5，∴AE +EF ＝2.5+1.5＝4，故答案为：4．11.(师大高新)如图，已知矩形ABCD ，12,9AD CD = =，点R 、P 分别是DC ，BC 上的定点，点E 、F 分别是AP 、RP 的中点，若4CR =，则EF =（） A . 12B . 6.5C . 9D . 不能确定【解答】解：B.12.(长郡培粹)已知ABC ∆中，AB AC =，点O 在ABC ∆的内部，90BOC ∠=︒，OB OC =，D 、E 、F 、G 分别是AB 、OB 、OC 、AC 的中点. (1)求证：四边形DEFG 是矩形； (2)若2DE =，3EF =，求ABC ∆的面积.【解答】解：（1）连接AO 并延长交BC 于H ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AH 是BC 的中垂线，即AH ⊥BC 于H ，∵D 、E 、F 、G 分别是AB 、OB 、OC 、AC 的中点，∴DG ∥EF ∥BC ，DE ∥AH ∥GF ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵EF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AH ⊥EF ，DE ∥AH ， ∴EF ⊥DE ，∴平行四边形DEFG 是矩形．（3）∵△BOC 是等腰直角三角形，∴BC ＝2EF ＝2OH ＝2×3＝6，AH ＝OA +OH ＝2DE +EF ＝2×2+3＝7， ∴S △ABC ＝×6×7＝21．13.（中雅培粹）如图，在⊥ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF 。

菱形(中初中数学考题汇总27)

C'B'A'ACBOx y选择题（每小题x 分，共y 分）10．（2011贵州六盘水，10，3分）如图4，在菱形ABCD 中，对角线AC =6，BD =8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是（）图4A ．3B ．4C ．5D ．62,用直尺和圆规作一个菱形，如图4，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3、（2011?淮安）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ C ） A 、5cm B 、15cmC 、20cmD 、25cm4、（2011?江津区）如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ C ） ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是④四边形A n B n C n D n 的面积是．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④5.．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是D A ．茭形 B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形（2011?孝感）11.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点 O 顺时针旋转75°至OA B C '''的位置，若OB=C=120°，则点B '的坐标为（ D ）A.B.(3,C.D.6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( A )A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补7、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ A ）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形8. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1 (B.2C.3D.410.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )12.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.下列结论：??①△AED≌△DFB；??②S四边形?B C D G=?43CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF.其中正确的结论 D只有①②.?B.只有①③.C.只有②③.?D.①②③.〕7、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是CA、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是C〔2011?大理〕6．用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A．等腰梯形B．菱形C．矩形D．正方形8．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是C第10题图（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +二、填空题（2011?福建省三明）1４．如图，□ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个．．条件，能使□ABCD 成为菱形．你添加的条件是（不再添加辅助线和字母）(2011●河北省)14．如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC =_____.（2011?四川省内江市）16、如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__ ______条件时，四边形EFGH 是菱形． 1．〔2011?凉山州〕已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是。

(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

人教版初中数学三角形经典测试题及答案

人教版初中数学三角形经典测试题及答案本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March人教版初中数学三角形经典测试题及答案一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1，则菱形ABCD 的周长等于（）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴AD=()()2220015-+-= ∴菱形ABCD 的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.2．如图，在ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．【详解】∵AB AC =，且30A ∠=︒，∴18030752ACB ∠︒-︒==︒，在ADE ∆中，∵1145A AED ∠∠∠=+=︒，∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒，∵//a b ，∴2AED ACB ∠∠∠=+，即21157540∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180 ；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．3．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．4．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l 2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l 2，交∠1的边于一点，∵11∥l 2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．5．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在AC 上，ED BC ⊥于点D ，DE 的延长线交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．AE CE =B ．12DEC BAC ∠=∠ C ．AF AE =D ．1902B BAC ∠+∠=︒ 【答案】A【解析】【分析】由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断；过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=12BAC ∠，易得ED ∥AG ，然后根据平行线的性质即可判断B 项；根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项；由直角三角形的性质并结合∠1=12BAC ∠的结论即可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A 、由于点E 在AC 上，点E 不一定是AC 中点，所以,AE CE 不一定相等，所以本选项结论错误，符合题意；B 、过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图，∵AB =AC ，∴∠1=∠2=12BAC ∠， ∵ED BC ⊥，∴ED ∥AG ，∴122DEC BAC ∠=∠=∠，所以本选项结论正确，不符合题意； C 、∵ED ∥AG ，∴∠1=∠F ，∠2=∠AEF ，∵∠1=∠2，∴∠F =∠AEF ，∴AF AE =，所以本选项结论正确，不符合题意；D 、∵AG ⊥BC ，∴∠1+∠B =90°，即1902B BAC ∠+∠=︒，所以本选项结论正确，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．6．下列说法不能得到直角三角形的（）A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形【答案】C【解析】【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理.7．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12BC ， ∴AE=BE=12BC ， ∴AE=CE ，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S △ABC =12AB•AC ，故②错误； ∵BE=EC ，∴E 为BC 中点，O 为AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵AE=CE ，∴EO ⊥AC ，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．8．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE 22EF，EF2AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE＝22EF＝22×22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH＝2DE＝22，∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．9．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【解析】【分析】根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD.又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，∴△ABD≌△EBD (AAS)，∴AD＝ED，AB＝BE，∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC＝AD＋DC＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．10．如图，正方体的棱长为6cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（）A ．9B ．310C ．326+D ．12【答案】B【解析】【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB=22(36)3310++= ．故选：B ．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下：①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB 长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【答案】B【解析】【分析】先根据点A ，B 的坐标求出OA ，OB 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA ＝2，OB ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =∴AC ＝AB ，∴OC 2，∴点C 2，0），∵34<< ，∴122<< ，即点C 的横坐标介于1和2之间，故选：B ．【点睛】本题考查了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．13．满足下列条件的是直角三角形的是（）A ．4BC =，5AC =，6AB =B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =D ．::3:4:5A B C ∠∠∠=【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【详解】A ．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC 2+AC 2≠AB 2，故△ABC 不是直角三角形；B.若13BC =，14AC =，15AB =，则AC 2+AB 2≠CB 2，故△ABC 不是直角三角形； C ．若BC ：AC ：AB=3：4：5，则BC 2+AC 2=AB 2，故△ABC 是直角三角形；D ．若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C ＜90°，故△ABC 不是直角三角形；故答案为：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．14．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（）A ．3B ．6C ．12D ．16【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ，∴AE=BE ，∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC 的周长=AC+BC+AB=19，∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6，故答案为：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．15．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.16．如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是()A．AD=FB B．DE=BD C．BF=DB D．以上都不对【答案】A【解析】∵AC=FE，BC=DE，∴要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，需添加条件“AB=DF”或“AD=BF”.故选A.17．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()A．有一边相等的两个等边三角形B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C．周长相等的两个三角形D．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形【答案】C【解析】A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A不符合；B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C符合；D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B不符合.故本题应选C.18．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则共有等腰三角形( ）A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】B【解析】∵等腰三角形有两个角相等，∴只要能判断出有两个角相等就行了，将原图各角标上后显示如左下：因此，所有三角形都是等腰三角形，只要判断出有哪几个三角形就可以了.如右上图，三角形有如下几个：①，②，③；①+②，③+②，①+④，③+④；①+②+③+④；共计8个. 故选：B.点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用.19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．36°D ．72°【答案】A【解析】∵AB=AC ，BD=BC=AD ，∴∠ABC=∠C=∠BDC ，∠A=∠ABD ，又∵∠BDC=∠A+∠ABD ，∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A ，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，∴∠A=36°.故选A.20．如图，在ABC ∆中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确故选：D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.。

初三数学上册菱形的性质练习题

初三数学上册菱形的性质练习题菱形是初中数学中的一个基本几何形状，具有独特的性质和特点。

掌握菱形的性质对于解决与菱形相关的问题至关重要。

本文将提供一些菱形的性质练习题，以帮助读者巩固对菱形的理解和应用。

1. 给定菱形ABCD，已知对角线AC的长为8 cm，对角线BD的长为6 cm。

求菱形的周长和面积。

解析：菱形的对角线相互垂直且等长，同时也是菱形的对称轴。

因此，我们可以利用对角线的长度来计算菱形的周长和面积。

首先，根据勾股定理，我们可以计算出菱形中任意一个直角三角形的斜边长。

以三角形ABC为例，AC为斜边，那么AC的平方等于AB的平方加上BC的平方：AC² = AB² + BC²已知AC的长为8 cm，则可以得到：8² = AB² + BC²同理，以三角形ABD为例，可以得到：6² = AB² + BD²由于菱形的对角线相等，AB的平方等于BD的平方，即AB² = BD²，所以可以将上述两个方程合并为一个方程：8² = 6² + BD²化简得到：64 - 36 = BD²BD² = 28因此，BD的长度为√28 cm。

菱形的周长等于4倍菱形任意一条边的长度，且每个边的长度相等。

所以菱形的周长为4乘以AB的长度，即4乘以√28 cm。

菱形的面积等于两条对角线长度的乘积再除以2，即AC乘以BD再除以2。

所以菱形的面积为（8 cm乘以√28 cm）除以2。

2. 已知菱形的周长为40 cm，一条对角线的长度为10 cm，求菱形的面积。

解析：根据已知条件，我们可以得到菱形的周长和一条对角线的长度。

利用周长计算菱形的边长，然后结合边长和对角线的长度求解菱形的面积。

首先，我们知道菱形的周长等于4倍菱形的边长。

所以菱形的边长等于周长除以4，即40 cm除以4，得到菱形的边长为10 cm。

菱形的性质与判定之八大考点(原卷版)--初中数学专题训练

菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。

人教版初中数学19.2《菱形》同步练习(含答案)

19.2.1 菱形的性质运用菱形的有关知识进行计算和说理专题练习题1．已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的4个角分别为()A．30°，150°，30°，150°B．45°，135°，45°，135°C．60°，120°，60°，120°D．以上都不对2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC相交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为()A．28°B．52°C．62°D．72°3．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝____度．4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E 两点，求∠AFO的度数．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝13 cm，BC边上的高AH＝5 cm，那么对角线AC的长为____cm.6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为()A.245B.125C ．5D ．4 7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝10，则菱形ABCD 的面积为____．8．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和4时，则阴影部分的面积为____．9．如图，O 是菱形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，CD ＝5 cm ，OD ＝3 cm, 过点C 作CE ∥DB ，过点B 作BE ∥AC ，CE 与BE 相交于点E .(1)求OC 的长；(2)求四边形OBEC 的面积．10．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝44°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连结DF ，则∠CDF 等于( )A ．112°B ．114°C ．116°D ．118°11．在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为．12．如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF ＝BE .13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD 于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．14．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．15．如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是____．16．如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.(1)求证：CE＝CF；(2)如图2，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.答案：1. C2. C3. 504. ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAC＝∠CAD＝30°，∠DOA ＝90°，∵AE平分∠CAD，∴∠OAF＝15°，∴∠AFO的度数为90°－15°＝75°5. 266. A7. 308. 109. (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴在Rt△OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4 (cm)(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形，∵OB＝OD，∴S四边形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)10. B11. 45°或105°12. 连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAB ，CD ＝BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE (HL )，∴DF ＝BE13. (1)连结AC ，BD ，并且AC 和BD 相交于点O ，∵AE ⊥BC ，且AE 平分BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴BE ＝12BC ＝2，∴AE ＝42－22＝23，S ＝BC ·AE ＝4×23＝83， ∴菱形ABCD 的面积是83(2)∵AC ＝AB ＝AD ＝CD ，△ADC 是等边三角形，∵AF ⊥CD ， ∴∠DAF ＝30°，又∵CG ∥AE ，AE ⊥BC ， ∴四边形AECG 是矩形，∴∠AGH ＝90°， ∴∠AHC ＝∠DAF ＋∠AGH ＝120°14. (1)连结AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE ＝EC(2)点F 是线段BC 的中点．理由：在菱形ABCD 中，AB ＝BC ，又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°， ∵AE ＝EC ，∴∠EAC ＝∠ACE ，∵∠CEF ＝60°， ∴∠EAC ＝12∠CEF ＝30°，∴∠EAC ＝12∠BAC ，∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于点F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点 15.17216.(1)易证△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE ＝CF(2)延长BA 与CF ，交于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AF ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠G ＝∠FCD ，∵点F 为AD 的中点，且AG ∥CD ，易证△AGF ≌△DCF (AAS )，∴AG ＝CD ，∵AB ＝CD ，∴AG ＝AB ，∵△BCE ≌△DCF ，∴∠ECB ＝∠DCF ＝∠G ，∵∠CHB ＝2∠ECB ，∴∠CHB ＝2∠G ，∵∠CHB ＝∠G ＋∠HCG ，∴∠G ＝∠HCG ，∴GH ＝CH ，∴CH ＝AH ＋AG ＝AH ＋AB。

专题1 1菱形的性质与判定新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题1.1 菱形的性质与判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•海安市期中）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．邻角相等D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．2．（2020春•锡山区期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【分析】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，又由当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案．【解析】∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，∵当EG ＝FH ＝GF ＝EH 时，四边形EGFH 是菱形，∴当AB ＝CD 时，四边形EGFH 是菱形．故选：A ．3．（2020春•锡山区期中）菱形的对角线不具备的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线一定相等C ．对角线一定垂直D ．对角线平分一组对角【分析】由菱形的性质即可得出结论．【解析】菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线不一定相等；故选：B ．4．（2020春•大悟县期中）如图，在菱形ABCD 中，AC ＝2√3，BD ＝2，DH ⊥AB 于点H ，则BH 的长为（） A ．1 B ．√3 C ．23 D ．2√33【分析】利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出即可求出DH 的长，再由勾股定理即可求出BH 的长．【解析】∵在菱形ABCD 中，AC ＝2√3，BD ＝2，∴AO ＝CO =12AC =√3，BO ＝DO =12BD ＝1， ∴AB =√3+1=2， ∴DH ×2=12AC ×BD ， ∴DH =12×2√3×22=√3， ∴BH =√4−3=1，故选：A ．5．（2020春•锡山区期中）如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH ＝（）A ．125B ．245 C ．12 D ．24【分析】由四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，可求得此菱形的面积与AB 的长，继而求得答案．【解析】设AC 与BD 交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC ＝4，OB =12BD ＝3， ∴AB =√AO 2+BO 2=5，∵S 菱形ABCD =12AC •BD ＝24，DH ⊥AB ， ∴DH ＝24÷DH =245．故选：B ．6．（2020春•江阴市校级期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm /s ，点F 的速度为2cm /s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为（）A ．34B ．43C ．32D ．53 【分析】连接BD ，证出△ADE ≌△BDF ，得到AE ＝BF ，再利用AE ＝t ，CF ＝2t ，则BF ＝BC ﹣CF ＝5﹣2t 求出时间t 的值．【解析】连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∠ADB =12∠ADC ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD ＝BD ，又∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝∠DEF ＝60°，又∵∠ADB ＝60°，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，{∠ADE =∠BDFAD =BD ∠A =∠DBF，∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴AE ＝BF ，∵AE ＝t ，CF ＝2t ，∴BF ＝BC ﹣CF ＝5﹣2t ，∴t ＝5﹣2t∴t =53，故选：D ．7．（2020春•西城区校级期中）在菱形ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A ．2√3B ．4C ．1D ．2【分析】由菱形ABCD 中，∠DAB ：∠ABC ＝1：2，可求得∠DAB 的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解．【解析】如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝2，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，∵在Rt△OAB中，∠OAB=12∠DAB＝30°，∴OB＝1，OA=√3OB=√3，∴AC＝2OA＝2√3，∵2√3＞2，∴较短的那条对角线长为2，故选：D．8．（2020春•西山区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，∠ABC＝60°，则BD的长为（）A．4√3B．4 C．2√3D．3【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝OC，证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，则OA＝2，由勾股定理求出OB，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝OC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴OA＝2，∴OB=√AB2−OA2=√42−22=2√3，∴BD＝2OB＝4√3故选：A．9．（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．8 C．4√2D．4【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：A．10．（2020春•滨江区期末）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A．AB＝CD B．∠ADB＝∠DBCC．AO＝BO D．AC，BD互相垂直【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、B、C不正确；即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故D选项正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2020春•贵港期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解析】▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当AC⊥BD或AB＝BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．12．（2020春•曹县期末）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为20°．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO=12∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO=12∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE=12BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．13．（2020春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是5．【分析】利用菱形的性质，得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质，得结果即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∵PE⊥AB，PE＝5，∴点P到BC的距离等于5，故答案为：5．14．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2√7．【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB ＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3√3=EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解析】如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE ，∴GH ＝AE ＝2，∵在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝60°，∴BG ＝3，AG ＝3√3=EH ，∴HC ＝BC ﹣BG ﹣GH ＝6﹣3﹣2＝1，∵EF 平分菱形面积，∴FC ＝AE ＝2，∴FH ＝FC ﹣HC ＝2﹣1＝1，在Rt △EFH 中，根据勾股定理，得EF =√EH 2+FH 2=√27+1=2√7．故答案为：2√7．15．（2020春•锦江区期末）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，连接OE ．若菱形ABCD 的面积等于12，对角线BD ＝4，则OE 的长为 3 ．【分析】由菱形的性质得出BD ＝12，由菱形的面积得出AC ＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∵BD ＝4，S 菱形ABCD ═12AC ×BD ＝12， ∴AC ＝6，∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴OE=12AC＝3，故答案是：3．16．（2020春•淮安区期末）已知菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积为40．【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半列式计算即可得解．【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，∴菱形的面积S=12AC•BD=12×10×8＝40，故答案为：40．17．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2√2．【分析】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+x=32x，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．【解析】设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD=32 x，∵OE+BE＝BO，∴1+x=32x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA=√42−32=√7，在Rt△AOE中，AE=√12+(√7)2=2√2．故答案为2√2．18．（2020春•北仑区期末）如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为48．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解析】连接AC、BD，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝10，OB＝OD=12BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA=√AB2−OB2=√102−62=8，∴AC＝2OA＝16，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×16×12＝96，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×96＝48；故答案为：48．三．解答题（共7小题）19．（2020•海陵区一模）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC．（1）求证：BE＝DE；（2）当AB＝AC时，试说明四边形EFCD为菱形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CBD＝∠EDB，则可证明∠EBD＝∠EDB，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；（2）先判断四边形EFCD为平行四边形，再证明∠EBC＝∠EFB得到BE＝FE，而BE＝DE，从而得到DE＝FE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形EFCD为菱形．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE；（2）解：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD为平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠C，∴∠EBC＝∠EFB，∴BE＝FE，而BE＝DE，∴DE＝FE，而四边形EFCD为平行四边形，∴四边形EFCD为菱形．20．（2020春•万州区期末）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出AF＝BE，则四边形ABEF是平行四边形，由AE⊥BF，即可得出四边形ABEF是菱形；（2）由菱形的性质得出AB＝BE＝4，AB∥EF，证出△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．21．（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】由AE∥BF，BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，再由BC＝AB，得到对边AD ＝BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形ABCD为菱形．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．22．（2020•鼓楼区二模）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形．【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥BC，得出∠B＝∠ADE，则∠ADE＝∠DEF，则可得出结论；（2）根据菱形的判定可得出答案．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，又∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴BD∥EF，∵DE ∥BC ，BD ∥EF ，∴四边形BDEF 是平行四边形；（2）答案不唯一；如AB ＝BC ．∵AB ＝BC ，DE =12BC ，BD =12AB ， ∴BD ＝BF ，∵四边形BDEF 是平行四边形，∴四边形BDEF 是菱形．23．（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE ＝DF ．求证：∠BAE ＝∠DAF ．【分析】根据菱形的性质可得∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，再证明△ABE ≌△ADF ，即可得∠BAE ＝∠DAF ．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，在△ABE 和△ADF 中，{AB =AD ∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAF ．24．（2020春•中山市期末）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC 平分∠BAD ，DP ∥AC ．CP∥BD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AC ＝4，BD ＝6，求OP 的长．【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形；（2）根据已知条件证明平行四边形DOCP是矩形，再根据AC＝4，BD＝6，即可求OP的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形DOCP是平行四边形，∵∠DOC＝90°，∴平行四边形DOCP是矩形，∴OP＝CD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OD＝3，∴CD=√OC2+OD2=√13，∴OP＝CD=√13．答：OP的长为√13．25．（2020春•姜堰区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC=12 AC．∵DE：AC＝1：2，∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD=√AD2−AO2=√22−12=√3．在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√22+(√3)2=√7．。

初中数学八年级上册《菱形》

ABCD中， ∠A：∠B=2：1，则 ∠C= 120° ， ∠D= 60°。
（2）
（3）平行四边形的周长是40cm，两邻
边的比是3：2，则较大边为 12cm 。
二、解答题
1.在菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。 D
2.如图，在菱形ABCD中， ∠BAC=30°，BD=6cm。
A
C
O B
⑴求∠ BAD， ∠ABD的度数；
⑵求边AB及对角线AC的长。
怎样求菱形的面积？你有几种方法？D D
A
E
B
CA
O
C
B
1 2 AC
1.菱形的面积= AB×DE
2.菱形的面积= × BD
综合练习 1.已知菱形的两条对角线长分别是 16cm和12cm，求它的边长、高和面积。 D A
O
C
B
2.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是 AB、AD的中点。
求证：OE=OF。
A E F
O
B
C
D
课堂小结:
1.菱形的概念，菱形的性质,菱形的面积公式及有关计算。 2.菱形与平行四边形的关系。
想一想菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ D
O
A
C
B
试一试 1.如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？这样做有道理吗？说说看。
2.菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
∠ABC，求AD、BD的长。
D A B C
练一练一、填空
⑴已知菱形的两邻角之比为1：2，且较短的对角线长为3cm，则它的边长是 3cm ，周长是 12cm 。 ⑵已知菱形的一个内角为120°，并且平分这个内角的对角线长为4cm，则这个菱形的边长是4cm ，周长是 16cm ，另一条对角线是4 3 cm 。

人教版八年级初中数学菱形卷

人教版八年级初中数学菱形卷人教版八年级初中数学菱形卷一．选择题（共7小题）1．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）3．（2012•台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）C．+14．（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）5．（2013•曲靖）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于6．（2010•义乌市）如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．7．（2013•滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）二．填空题（共5小题）8．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为_________．9．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD 的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_________cm．10．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P 在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标_________．11．（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF 的面积为_________cm2．12．（2012•赤峰）如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是DC、DB的中点，若EF=6，则菱形ABCD 的周长是_________．三．解答题（共17小题）13．（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．14．（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．15．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．16．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．17．（2011•湖州）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．18．（2008•宜宾）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．19．（2007•遵义）如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等．（1）求证：∠AEF=∠AFE；（2）求∠B的度数．20．（2006•郴州）如图，菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE=CF．求证：AE=AF．21．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．22．（2012•舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．23．（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．24．（2012•温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．25．（2011•衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．26．（2007•巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上点D处，且使ED⊥BC．（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由；（2）求证：四边形AEDF是菱形．27．（2005•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．28．（2012•柳州）如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个特殊的四边形．（1）这个特殊的四边形应该叫做_________；（2）请证明你的结论．29．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．人教版八年级初中数学菱形卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）DG=CGAB BE=AB AB=3．（2012•台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）C．+14．（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）AB=×5．（2013•曲靖）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）6．（2010•义乌市）如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．BC7．（2013•滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）二．填空题（共5小题）8．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．=，2，89．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．AB=×BO=DO=EF=（+=故答案为：10．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P 在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标（8，0）或（，0）．OA=AC=OD=BD=AD=×OA=3：OP=，，）或（，）或（，11．（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF 的面积为16cm2．AD=8=44=16．12．（2012•赤峰）如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是DC、DB的中点，若EF=6，则菱形ABCD 的周长是48．EF=三．解答题（共17小题）13．（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．，DAO=∠BAD=AD=×=×，×=CE==．14．（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．=，．15．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．BD16．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．BF=CF=17．（2011•湖州）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．BC=518．（2008•宜宾）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．19．（2007•遵义）如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等．（1）求证：∠AEF=∠AFE；（2）求∠B的度数．中，根据三角形内角和定理分别得到方程组20．（2006•郴州）如图，菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE=CF．求证：AE=AF．，21．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．22．（2012•舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．23．（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．24．（2012•温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．==1025．（2011•衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．26．（2007•巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上点D处，且使ED⊥BC．（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由；（2）求证：四边形AEDF是菱形．=BE27．（2005•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．28．（2012•柳州）如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个特殊的四边形．（1）这个特殊的四边形应该叫做菱形；（2）请证明你的结论．29．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．BC 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初中数学矩形、菱形与正方形单元测试题

ABCDO图19-3矩形、菱形与正方形单元测试题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的关系式是：．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：（1）第4个图形中有白色地面砖块；（2）第n 个图形中有白色地面砖块．3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________． 4．在正方形ABCD 所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD 为菱形,∠A =60°, 对角线BD 长度为10c m ，则此菱形的周长 c m ． 6．已知正方形的一条对角线长为8c m ，则其面积是__________c m 2．7．平行四边形ABCD 中，AB =6c m ，AC +BD =14c m ，则△AOC 的周长为_______． 8．在平行四边形ABCD 中，∠A =70°，∠D =_________, ∠B =__________．9．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =120°，两底分别是15c m 和49c m ，则等腰梯形的腰长为______． 10．用一块面积为450c m 2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条 c m ．11．已知在平行四边形ABCE 中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明（只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有个等腰直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成. 15．矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的图19-2图19-1度数分别为和 .17．平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm .18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .19．已知菱形的两条对角线长为12cm 和6cm ,那么这个菱形的面积为 2cm .20．如图19-5,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: （1）AB ∥CD ;（2）AB=CD ;（3）AB BC ;（4）AO=OC .其中正确的结论是 . （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：①矩形； ②菱形； ③等腰三角形（腰与底边不相等）； ④等边三角形； ⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（） A ．②③ B ．②③④ C ．①③④⑤ D ．①②③④⑤22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）23．四边形ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D =2︰2︰1︰3，则这个四边形是（） A ．梯形 B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形 24．要从一张长40c m ，宽20c m 的矩形纸片中剪出长为18c m ，宽为12c m 的矩形纸片则最多能剪出（）A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰2 26．下列说法中错误的是（）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的菱形是正方形．A B C D图19-6 A D B F E 图19-7 · 1m1m图19-4 A BCOl 图19-527．下列说法正确的是（）A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB //CD ；②AB ＝CD ；③BC //AD ；④BC ＝AD 四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（） A ．①② B ．②③ C ． ①③ D ． ③④29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A ．AB =CD B ．AC =BD C ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A ．大于2，B ．小于14C ．大于2且小于14D ．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种32．下列说法中,错误的是（） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．菱形、矩形或正方形35．如图19-8,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积（） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于（）A ． 15B ． 30C ． 45D ． 6037．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,那么四边形AFDE 的周长是（） A ．5 B ．10 C ．15 D ．2038．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;A BC D E F a b图19-9 图19-10 图19-11（3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是（） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4）三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．40．如图19-13，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN //BC , 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．41．如图19-14，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于F ．试确定AD 与EF 的位置关系，并说明理由．D AEC图19-12A EBC F O N M D图19-13 A EB DC F1 图19-142 O42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ⊥AB 于F ，如果AB =6，EF =5，求梯形ABCD的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：①画出的圆应符合比例要求； ②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）图19-15 A BN M C D O 图19-16A FB C ED图19-1745．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD =MN ．46．如图中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数.47．如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH ;（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;D A B C ME N图19-18 AB CD E图19-19A B C D FE G图19-20（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:.（图①）（图②）（图③）（图④）图19-2149．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6c m，AD=2c m，求DE、EF、FC的长．图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE的度数。

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选择题10．（2011贵州六盘水，10，3分）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）图4A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C．（2011·西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图4，能得到四边形ABCD是菱形的依据是A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B5、（2011•淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（C）A、5cmB、15cmC、20cmD、25cm10、（2011•江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n．下列结论正确的有（C）①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长是错误！未找到引用源。

④四边形A n B n C n D n的面积是错误！未找到引用源。

．C'B'A'ACBOxyA 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④（2011•襄阳市）10．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是DA ．茭形B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形（2011•孝感）11.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点 O 顺时针旋转75°至OA B C '''的位置，若OB=C=120°，则点B '的坐标为（ D ）A.B.(3,C.D.（2011•无锡市）5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( A )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补（2011•佛山）6、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ A ）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、梯形12. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC 纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A.1 ( B.2 C.3 D.4 【答案】C（2011•安徽省）10.如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是……………………………………………………………………………………【 C 】〔2011•湖北省武汉市〕 12.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE=DF.连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H.下列结论： ①△AED ≌△DFB ； ②S四边形B C D G =43CG 2； ③若AF=2DF ，则BG=6GF.其中正确的结论D 只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③.〔2011•山东省烟台市〕7、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是CA 、等腰梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形（2011•重庆市潼南县）10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M,N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是C 第10题图〔2011•大理〕6．用两块边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是【 B 】 A ．等腰梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形〔2011•德州市〕8．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是C（A ）2n（B ）4n （C ）12n + （D ）22n +二、填空题（2011•福建省三明）1４．如图，□ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个．．条件，能使□ABCD 成为菱形．你添加的条件是 AB ＝CD （答案不唯一）（不再添加辅助线和字母）（第14题）(2011●河北省)14．如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC =___5__.（2011•四川省内江市）16、如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、图6图1 图2 图3 ……BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__ AB=CD ______条件时，四边形EFGH 是菱形．1．〔2011•凉山州〕已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM 的值是 85或811。

〔2011•南京市〕12．如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为_____㎝2．〔2011•山东省烟台市〕18、如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=的图像上，则菱形的面积为____4________。

（2011•江西省）14.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案.设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是 2180y x -=（或1902y x =+） .（2011•铜仁）13．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是(第12题)Axy第14题__________3______cm2；（2011•龙岩市）15. 如图，菱形ABCD周长为8㎝．∠BAD=60°，则AC=____。

（2011•长沙市）16．菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，则菱形的周长是_____20_____cm．14、（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=错误！未找到引用源。

．三、解答题：（共x分）(2011•肇庆) 如图8．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠ACB=30°，菱形OCED的而积为求AC的长．（2011•河南省）22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.（2011•泰州市）24．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F 。

（1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由。

（2011•江西省）19.如图，四边形ABCD 为菱形,已知A (0,4)（1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数解析式.22、（2011•临沂）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．（2011•宁波）23．（本题8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD是对角线，过A 点作AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．CDFB第25题图1（2011•莆田）已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F 。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ．①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明； ②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11DM DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

（2011•辽宁省沈阳）24．已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ．⑴如图1，当点D 在边BC 上时，求证：∠ADB =∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立；⑵如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC =∠ACB ＋∠DACB是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程； ⑶如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系．（2011•株洲市）23．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证：OP OQ =；（2）若8AD =厘米，6AB =厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）. 设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．（2011•潜江市）21．（满分8分）如图，已知直线AB 与x 轴交于点C ，与双曲线xky =交于A （3，320）、B （-5，a ）两点.AD ⊥x.（1）求点B 的坐标及直线AB 的解析式；（2）判断四边形CBED 的形状，并说明理由23．（2011·西宁）（本小题满分8分）如图12 ，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥CA ，AE ∥BD ．（1）求证：四边形AODE 是菱形；（2）．若将题设中“矩形ABCD ”这一条件改为“菱形ABCD ”，其余条件不变，则四边形AODE 是_ ▲ ．第24题图图1图2 图31Q P ODCBA（2011•泰安市）已知：在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC 。