高考专题; 三角函数、解三角形综合问题

题型练3大题专项(一)

三角函数、解三角形综合问题

1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.

(1)求sin(α+π)的值;

(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.

2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.

(1)求A;

(2)求AC边上的高.

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.

(1)求sin B sin C;

(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.

4.已知函数f(x)=4tan x sin cos.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.

(1)求ω与a的值;

(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.

6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.

(1)若m⊥n,求tan x的值;

(2)若m与n的夹角为,求x的值.

题型练3大题专项(一)

三角函数、解三角形综合问题

1.解(1)由角α的终边过点P,

得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=

(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,

由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±

由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=

2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B,

∴sin B=

由正弦定理,得,

∴sin A=

∵B,∴A,∴A=

(2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos

A=

如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.

∵sin C=,∴h=BC·sin C=7,

∴AC边上的高为

3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=

由正弦定理得sin C sin B=

故sin B sin C=

(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,

即cos(B+C)=-

所以B+C=,故A=

由题设得bc sin A=,即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

故△ABC的周长为3+

4.解(1)f(x)的定义域为

f(x)=4tan x cos x cos

=4sin x cos

=4sin x

=2sin x cos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-

cos 2x=2sin,

所以,f(x)的最小正周期T==π.

(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k ∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设

A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.

5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin

∵BC==4,∴T=8,∴ω=

由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得

a=BC=2

(2)由(1)知f(x0)=2sin,

即sin

∵x0,x0+,

∴cos,

∴f(x0+1)=2sin

=2sin

=2

=2

6.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,

∴m·n=(sin x,cos x)

=sin x-cos x=sin=0.

又x,∴x-

∴x-=0,即x=tan x=tan=1.

(2)由(1)和已知,得cos

=

=sin

又x-,∴x-,即x=