数学必修1讲义

合集下载

高中数学全套讲义必修1 集合基础学生版

目录集合 (2)模块一：集合与元素 (2)考点1：集合与元素的关系 (2)模块二：集合间关系与运算 (4)考点2：集合相等 (5)考点3：已知集合关系反求参 (6)考点4：集合关系、运算综合 (7)课后作业 (9)集合模块一：集合与元素1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：∈、∉；3．常见的数集的写法：45．集合的表示法⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图．⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集．考点1：集合与元素的关系例1.（1）（2016秋•凉州区校级月考）已知集合{M a =，b ，}c 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长，那么此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形（2）（2017秋•河南月考）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = )A ．1-B ．0C ．1D ．0 或1例2.（1）（2010•安徽模拟）已知集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则a 的值( )A ．0B ．1C ．0或1D ．1-（2）（2018秋•宽城区校级期末）已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是．例3.（2016秋•钦州月考）已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈- （1）若2a =，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中所有元素．例 4.（2017秋•杨浦区校级期中）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T =模块二：集合间关系与运算1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇；规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．4．交集：{}|AB x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|AB x x A x B =∈∈或；6．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且．7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．考点2：集合相等例5.（1）（2014秋•大竹县校级月考）设a ，b R ∈，集合{0，b ，}{1b a=，a ，}a b +，则2(a b += )A ．1B ．0C ．1-D ．不确定（2）（2018•浙江模拟）已知集合{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，若A B =，则(a = )A ．1B ．2C ．1-D ．2-（3）（2018秋•香坊区校级月考）已知{3M a =-，21a -，21}a +，{2N =-，43a -，31}a -，若M N =，则实数a 的值为．考点3：已知集合关系反求参例6.（1）（2017秋•雁峰区校级期中）若集合2{|60}P x x x =+-=，{|10}S x mx =+=，且S P ⊆，求由m 的可能取值组成的集合．（2）（2019•湘潭三模）已知集合2{|}A x ax x ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 的值为( )A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2（3）（2019•临沂三模）已知集合2{|2}A x x x =<+，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，2]C ．[2，)+∞D ．[1-，)+∞（4）（2018秋•磐安县校级月考）已知{|1}A x x =<，2{|40}B x x x m =--，若A B ，则实数m 的取值范围是( )。

(精校版讲义)高中数学必修一第1章第1讲集合的概念(可直接打印)

目录第一章集合与函数概念 (2)1.1 集合 (2)1.1.1集合的含义与表示 (2)1.1.2集合间的基本关系 (5)1·1·3 集合的基本运算............................... 错误!未定义书签。

1·2 函数及其表示....................................... 错误!未定义书签。

1·3 函数的基本性质..................................... 错误!未定义书签。

1·3·1 单调性与最大（小）值......................... 错误!未定义书签。

1·3·2 奇偶性....................................... 错误!未定义书签。

第二章基本初等函数（I）.................................... 错误!未定义书签。

2·1 指数函数........................................... 错误!未定义书签。

2·1·1指数与指数幂的运算........................... 错误!未定义书签。

2·1·2 指数函数及其性质............................. 错误!未定义书签。

2·2 对数函数........................................... 错误!未定义书签。

2·2·1 对数与对数运算............................... 错误!未定义书签。

2·2·2 对数函数及其性质............................. 错误!未定义书签。

高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)

知识点3、集合间的基本关系知识梳理1、子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集图示(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.3、真子集的概念(1)A⊂B且B⊂C，则A⊂C；(2)A⊆B且A≠B，则A⊂B常考题型题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1B．2 C．3 D．4①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．判断集合间关系的方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．变式训练能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()A. B. C. D.题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}⊂≠M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．变式训练非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．课时小测1、给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2、已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A⊂≠B⊆C D．A＝B⊆C3、已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5、已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．同步练习一、选择题1．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A2．如果{}|1A x x =>-，那么A ．0A ⊆B ．{}0A ∈C ．A ∅∈D ．{}0A ⊆ 3．下列各式中，正确的个数是（1）{0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）∅⊆{0，1，2}. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若集合{}|0A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 5．若2{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 6．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A B C D7．设集合{1,2}M =，2{}N a =，那么 A ．若1a =，则N M ⊆B ．若N M ⊆，则1a =C ．若1a =，则N M ⊆，反之也成立D ．1a =和N M ⊆成立没有关系8．已知集合{}4,5,6P =，，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对二、填空题9．设P ={x |x <4}，Q ={x |－2<x <2}，则P Q ．10．已知集合，，则满足条件的集合C 的个数为_____.三、解答题11．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (0,)+∞[0,)+∞(,0]-∞(,0)-∞{}1,2,3Q =2{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆12．已知集合{}{}2,4,6,8,9,1,2,3,5,8A B ==,又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B 的一个子集,求集合C .13．已知集合A ={x|2a −1<x <3a +1},集合B ={x|−1<x <4}.（1）若A ⊆B ,求实数a 的取值范围;（2）是否存在实数a ,使A =B ?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.知识点4、集合的并集、交集知识梳理1、并集的概念、并集的性质(1)A ∪B ＝B ∪A ，即两个集合的并集满足交换律．(2)A ∪A ＝A ，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身． (3)A ∪∅＝∅∪A ＝A ，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A ⊆(A ∪B)，B ⊆ (A ∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身． 3、交集的概念4、交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.常考题型题型一、并集的运算例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8} (2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式训练若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2、(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．变式训练已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∩B＝A，试求k的取值范围．课时小测1、设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2、已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}3、若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.4、已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．5、设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.知识点5、补集及综合应用知识梳理1、全集的定义及表示(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2、补集的概念及性质的补集，记作U＝∅，U∅U U(U(U U常考题型题型一、补集的运算例1、(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则U A＝________，U B＝________.变式训练设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算例2、已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(U A)∪B，A∩(U B)，U(A∪B)．变式训练已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求U(A∪B)，U(A∩B)，(U A)∩(U B)，(U A)∪(U B)．题型三、补集的综合应用例3、设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊂≠U P，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(R B)＝∅，求实数a的取值范围．课时小测2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1，或x >4}，那么集合A ∩(U B )等于( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3，或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}3、已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若A B ＝{5}，则实数m ＝________. 4、已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝________.5、设U ＝R ，已知集合A ＝{x|－5<x<5}，B ＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(U B)；(4)B∩(U A)；(5)(U A )∩(U B )．同步练习一、选择题1、已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则UA =A ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6} 2、已知集合{}|1A x x =>，{|1}B x x =≤，则 A ．AB ≠∅ B ．A B =RC ．B A ⊆D ．A B ⊆3、若集合{}{}1,2,3,4,2A B x x ==∈≤N ，则AB 中的元素个数是A ．4B ．6C ．2D ．34、已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q ()= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}5、设集合{},A a b =，集合{}1,5B a =+，若{}2A B =，则A B =A ．{}1,2B ．{}1,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5 6、若集合AB BC =，则集合A,B,C 的关系下列表示正确的是。

教案-高中数学必修一讲义

合B的元素,我们就说集合A为集合B的子集:
如果集合A中存在不是集合B中的元素,则称集合A不
集合的运算
属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集.
系f,使对于集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
那么称对应为从集合A到集合B的个映
的一个映射.
函数的三要素（一）
函数的三要素（）
二.函数三要素
1.定义域
22.对应法则
例4试求下列分式函数的值域
函数的单调性初步
奇偶性引入图象直观
()
例1.
判断下列说法正确与否
函数的性质综合
指数运算
指数函数初步
对数运算。

人教版高中数学必修第一册同步讲义第一章 1.7 四种命题

1.7 四种命题①课文三点专讲重点:(1)四种命题及其关系.原命题：若p 则q 逆命题：若p 则q否命题：若⌝p 则⌝q 逆否命题：若⌝q 则⌝p(2)四种命题的关系.四种命题的关系如下表所示:(3)命题真假的判定.互为逆否命题具有相同的真假性.(4)反证法.要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法难点：反证法反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论考点:(1)考察逆命题、否命题与逆否命题.(2)四种命题的相互关系.应用四个重要结论解题.(3)反证法.该方法较为适用的题型为:①命题简单明了,没有更多的公理概念等依据可供论证的命题; ②结论本身是以否定形式出现的一类命题; ③有关结论是以“至多……”或“至少……”的形式出现的一类命题; ④关于惟一性、存在性的命题; ⑤结论的反面比原结论更具体、更容易研究和掌握.②练功篇典型试题分析例1. 写出命题“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2”的逆命题，否命题和逆否命题，并指出它们的真假.分析:此题的原命题中“在△ABC 中”是前提，在写这类命题的逆命题、否命题和逆否命题时一般保持不变.解析：原命题是真命题.逆命题为“在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°.为真命题.否命题为：“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则c 2≠a 2＋b 2”，是真命题.逆否命题为：“在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°，是真命题.例2. 判断下列命题的真假，并说明理由.(1)设a ，b ∈N *，如果a ＋b 是偶数，那么a 、b 都是偶数.(2)如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C.(3)如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0满足ac ＜0那么这个方程有实数根.(4)相似三角形一定是全等三角形.(5)合数必定是偶数.分析：在判断命题的真假时，应注意运用有关的概念、定理、公式等基本理论，对命题的条件和结论仔细分析，认真思考.并注意反例的运用. (1)取反例：a ＝1，b ＝3，（2）由集合的性质，可判定，(3)由ac ＜0⇒b 2－4ac ≥0，（4）相似三角形的对应边不一定相等，(5)反例：9是合数，但不是偶数.解析：(1)假命题.例如a ＝1，b ＝3，a ＋b ＝4为偶数.但a 、b 不是偶数.(2)真命题.设任x 0∈A ，∵A ⊆B .∴x 0∈B .又 ∵B ⊆C ，则x 0∈C .故A ⊆C 成立.(3)真命题.因方程中由ac ＜0⇒Δ＝b 2－4ac ≥0.故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根.(4)假命题.因相似三角形的对应边不一定相等.则不一定是全等三角形.(5)假命题.例如9是合数，但不是偶数.基础知识巩固1.有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）2.下面三个命题：（1）“若3=b ，则92=b ”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题．其中真命题的个数是 ( )A ． 0B ． 1C ． 2 D.．33.命题“能被4整除的数一定是偶数”，等价命题是（）A.偶数一定能被4整除B.不能被4整除的数一定不是偶数C.不能被4整除的数不一定是偶数D.4.下列命题中，正确的是( )①“若x2+y2 =0,则x , y全是0”的否命题②“全等三角形是相似三角形”的否命题③“若m＞1,则mx2－2(m+1)x+(m－3)＞0的解集为R”的逆命题④若“a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题A.①②③B.①④C.②③④D.①③④5.用反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理，公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④6.用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数7.给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是______.8.写出命题p：“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”的逆命题，否命题和逆命题，并分别判断它的真假.9.写出下列命题的否命题(1)有些三角形是直角三角形;(2)所有的质数都是奇数 .10.若x、y∈R+，且x+y＞2,求证：y x+1＜2与x y+1＜2中，至少有一个成立.③升级篇典型试题分析例3：写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题.并判断其真假.分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性. 本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“⌝p 或⌝q ”，“p 或q ”的否定为“⌝p 且⌝q ”.解析：原命题：“若x ≥2且y ≥3则x ＋y ≥5”为真命题.逆命题为：“若x ＋y ≥5，则x ≥2且y ≥3”，为假命题.否命题是：“若x ＜2或y ＜3，则x ＋y ＜5.”其为假命题.逆否命题是：“若x ＋y ＜5，则x ＜2或y ＜3”其为真命题.例4. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：(1)如果x ＞－3，那么x ＋8＞0(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等.(3)矩形的对角线互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题. 一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p 或q ”与“⌝p 且⌝q ”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”.解析：(1)否命题是：“如果 x ≤－3，那么x ＋8≤0”原命题为真命题，否命题为假命题.(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等. 原命题为真命题，否命题也为真命题.(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”.原命题是真命题，否命题也是真命题.(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形.”原命题是假命题，否命题是真命题.知识应用与提升11. 给出以下四个命题：其中真命题是( )①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 12. 命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为A.a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数B.a +b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数C.a 、b 不都是偶数，则a +b 不是偶数D.a 、b 都不是偶数，则a +b 不是偶数13. 用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”如下：假设n 是奇数，则n =2k +1(k 是整数)，n 3＝(2k ＋1)3＝______，与已知n 3是偶数矛盾，所以n 是偶数.14. 用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A. a ，b 都能被5整除B. a ，b 都不能被5整除C. a ，b 不都能被5整除D. a 不能被5整除15. 给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0,则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)无实根”的否命题②命题“△ABC 中，AB =BC =CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题③命题“若a >b >0,则3a >3b >0”的逆否命题其中真命题的序号为__________.16. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.(1)若x 2＝1，则x ＝1.(2)对顶角相等.(3)等腰三角形的两腰相等.(4)x 2＋2x ＋8＞0的解集为空集.④闯关篇典型试题分析例5：若a 、b 、c 均为实数，且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．分析: 反证法是一种常用的数学方法，属于一种间接证法．当待证命题中出现“不可能”、“一定”、“至多”、“唯一”等词语时，常可考虑运用反证法．运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”⇒“不在”；“是”⇒“不是”；“都是”⇒“不都是”；“大于”⇒“不大于”；“所有的…”⇒“至少有一个不…”；“至少一个” ⇒“一个也没有”；“任意一个”⇒“存在某个不…”，等等．证明: （用反证法）假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，0,0b c ≤≤，则有0a b c ++≤．而222222236a b c x y y z z x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222x x y y z z π=-+-+-+()()()()2221113x y z π=-+-+-+-,所以 0a b c ++>，此与0a b c ++≤矛盾．故假设错误，从而原命题正确．评述:本题亦可直接转化为证明等价命题：0a b c ++>．．例6.若()22f x x ax a a =++-在[-1,1]上至少存在一点C 使()0f C >,求实数a 的取值范围.分析: 利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.解析：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()22f x x ax a a =++-在[-1,1]不存在点C 使()0f C >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .∴有()()1010f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩解之得11a a ≥≤-或故实数a的取值范围为()1a ∈- ..．知识拔高与创新17. 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一解B.有两解C.有三解D.至少有两解18. 已知两函数：2222132,3)31(2a x x y a ax x y ++=+--+=.求证：不论a 取怎样的实数，这两函数的图象至少有一个位于x 轴的上方.19. 已知a 、b 、c 是一组勾股数(即a 2＋b 2＝c 2)，求证：a 、b 、c 不可能都是奇数.20. 假设p 、q 都是奇数，求证：关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0无整数根.⑤行侠篇高考试题点击21.(2005江苏) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 .22. (2004江苏)若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的( )A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习反证法小游戏三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我由此可知，我的脸也给涂黑了这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了因此这是一种间接的证明方法显然这种证明方法也是不可缺少的像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“参考答案:1.7 四种命题1. C 解析：“所有”的否定是“至少有一个不”.2. Ｂ解析：（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题为真命题．3. D 解析：其逆否命题为“不是偶数一定不能被4整除”.4. B 解析：“若x 2+y 2 =0,则x , y 全是0”的否命题与若“a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题为真命题.5. D 解析:反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾的可以是所有的条件或相关的结论.6. D 解析: “2＋3是无理数”的否定是“2+3是有理数”.7. ①②④ 解析 ①Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0 ∴是真命题 ;②否命题为“若a ≤b ，则a +b ≤b +b ”是真命题;③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题;④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题.8. 逆命题：“若关于x 的方程x 2+x －m=0有实数根，则m ＞0”；否命题：“m ≤0，则关于x 的方程x 2+x －m=0没有实数根”；逆否命题：“若关于x 的方程x 2+x －m=0没有实数根，则m ≤0”.当m ＞0时，△=1+4m ＞0，方程x 2+x －m=0必有两个不等实根，故原命题及逆否命题是真命题.当方程x 2+x －m=0，有实数根时，△=1+4m ≥0，m ≥－41，而不一定要＞0，故逆命题及否命题是假命题.9. 解析:(1)这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.(2)这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的奇数不都是奇数”.10. 证明：假设都不成立，即yx +1≥2,x y +1≥2成立 ∵x ，y ∈R +,∴1+x ≥2y ,1+y ≥2x ,∴2+x +y ≥2x +2y ,∴x +y ≤2与已知x +y ＞2矛盾， ∴假设不成立，∴原结论成立.11. C 解析: “全等三角形的面积相等”的否命题；“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题都是假命题.12. A 解析:命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b不都是偶数”13. 2(4k3＋6k2＋3k)＋1解析: (2k+1)3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2(4k3＋6k2＋3k)＋114. B解析:“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”15. ①②③以上均为真命题.16. 分析：应先将原命题改写成“如果……，那么……的形式”然后再构造它的逆命题. 解析：(1)逆命题是“若x＝1，则x2＝1.”原命题为假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”.原命题为真命题，逆命题为假命题.(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形.”原命题是真命题，逆命题也是真命题.(4)逆命题是“空集是x2＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题.17. C 解析: “至多有两个解”包括了无解、有一解、有两解三种情形,其否定可以选有三解.18.证明:假设这两函数的图象没有一个位于x轴的上方,则有22144(10,4120,a aa aa a⎧≤-≥⎧+-⎪⎪⇒⎨⎨-≥≤≤⎪⎪⎩⎩或此不等式组的解集为∅,所以假设不成立.故这两函数的图象至少有一个位于x轴的上方.19. 证明假设a、b、c都是奇数∵a、b、c是一组勾股数，∴a2＋b2＝c2 ①∵a、b、c都是奇数，∴a2、b2、c2也都是奇数 ∴a2＋b2是偶数这样①式的左边是偶数，右边却是奇数，得出自相矛盾的结论.∴a、b、b不可能都是奇数.20. 分析：此题中含有否定用“无”，可考虑用反证法，另外关于有无整数根，可从已知方程的判别式与根和系数的关系入手分析证明之.证法一：只有在Δ＝p2－4q＝（p－m）2时((p－m)2表示完全平方数,其中由－4q＝－2pm ＋m2可知m应为偶数)才可能有整数根.化简上式得出p与q的关系：q＝p·2m－（2m）2，因p是奇数，不论2m是怎样的整数，都可得q为偶数，这与已知q为奇数相矛盾，则判别式Δ的值不会是一个完全平方数，故方程无整数根.证法二：假设方程有整数根α，无论α是奇数还是偶数，都必有α2＋pα＋q为奇数，这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.21. 若122,-≤≤baba则解析：由题意原命题的否命题为“若122,-≤≤baba则”.22. B解析设p为“若A则B”，则r、s、t分别为“若﹁A则﹁B”“若﹁B则﹁A”“若B 则A”，故s是t的否命题.。

苏教版数学必修1讲义：第1章 1.2 第1课时子集、真子集

1．2子集、全集、补集第1课时子集、真子集1．理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1子集的概念及其性质阅读教材P8开始至例1，完成下列问题．1．子集(1)A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．(2)∅⊆A，即空集是任何集合的子集．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．3．集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){2,3}⊆{x|x2－5x＋6＝0}．()(2)∅⊆{0}．()(3)∅⊆{∅}．()【解析】(1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因∅是任何集合的子集，故(2)(3)正确．【答案】(1)√(2)√(3)√2．{1，a}⊆{1,2,3}，则a＝________.【解析】因为{1，a}⊆{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素，故a＝2或3.【答案】2或3教材整理2真子集的概念及性质阅读教材P8例1后一段至P9第一行，完成下列问题．1．真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．2．性质(1)∅是任一非空集合的真子集．(2)若A B，B C，则A C.集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．【解析】∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．显然A B.。

高中数学必修一讲义整合

1.1集合热门考点01 集合的基本概念元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．（4）常见数集及其符号表示【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（）．MB.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合中的元素个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．热门考点02 集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为或．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -．【典例3】（2010·陕西省高考真题（理））已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．热门考点03 集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示A B ⊆B A ⊇A B ⊆2{|320}A x x x =-+={|2}B x x a a A ==∈，()UA B（2）三种运算的常见性质，，，，，．，，．，，，．【典例5】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【典例6】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（） A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【典例7】（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，B ={4,5,6}，则()()U U A B ⋂等于（）A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{}7,8【典例8】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【总结提升】A A A = A ∅=∅ AB B A = A A A = A A ∅= A B BA =(C A)A U U C =U C U =∅U C U ∅=AB A A B =⇔⊆A B A B A =⇔⊆()U U UC A B C A C B =()U U U C A B C A C B =1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．热门考点04 集合中的“新定义”问题【典例9】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．第02讲常用逻辑用语1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p pq 且qp2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称命题和存在性命题(命题p 的否定记为⌝p ，读作“非p ”)[方法技巧]1.区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B A )，与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且AB )两者的不同.2.A 是B 的充分不必要条件⇔綈B 是綈A 的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.一、经典例题考点一充分条件与必要条件的判断【例1-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数()f x 定义域是R ，那么“()f x 是增函数”是“不等式()(0.001)f x f x <+恒成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数()f x 为R 上的增函数⇒不等式()(0.001)f x f x <+恒成立，反之不成立，∴“()f x 是增函数”是“不等式()(0.001)f x f x <+恒成立”的充分不必要条件.故选：A规律方法充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二全称量词与存在量词【例2-1】（2019·江苏省高二期中）命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为（） A ．[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>B ．[]1,3x ∀∉-，2320x x -+>C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+>D ．[]01,3x ∃∉-，200320x x -+>【答案】A【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．【例2-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题:p x R ∃∈，22x x > ，则p ⌝为（） A ．x R ∀∈， 22x x > B ．x R ∃∈，22x x < C ．x R ∀∈，22x x ≤ D ．x R ∃∈，22x x ≤【答案】C【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即x R ∀∈，22x x ≤.规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 考点三充分条件、必要条件的应用【例3-1】（2020·山东省高二期末）已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系．【答案】充分不必要【解析】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-．()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+ {}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件.【例3-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅰ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或.【解析】（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解，即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分 (2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以8分当时，解集为空集，不满足题意 9分当时，，此时集合则，解得12分当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥15分综上9144a a ><-或16分规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件. [思维升华]1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}； ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若BA⊂≠，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.[易错防范]1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.第 03 讲：一元二次不等式及简单不等式（其他不等式：高次）二、基础知识回顾1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法（1）.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0. （2）一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.3、．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0. (2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0.方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.(3)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(4)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .基本不等式及应用1、基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2、算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24 4、基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 5、几个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (2)b a ＋ab ≥2(ab >0)． (3)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．方法总结：1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。

数学必修1讲义

高一数学第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义：2.集合的中元素的三个特性：3.集合的表示：A={…}有法和法。

如：A={我校的篮球队员}，B={太平洋,大西洋}，C={x?R|x-3>2}★注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R4、集合的分类：(1)有限集含有个元素的集合；(2)无限集含有个元素的集合；(3)空集元素的集合。

例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能：（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

另外规定：空集是的子集。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA真子集:如果那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)规定:空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有个子集，个真子集性质：如果A?B,B?C,那么AC；如果A?B同时B?A那么AB 2．“相等”关系：A=B如：(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B即A B={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示SAS性质 A A=AA Φ=ΦA B=B AA B ⊆AA B ⊆B A A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B =C u (A B ) A (C u A)= A (C u A)=．记住这个结论：B B A A B A B A =⇔=⇔⊆例1：设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求例2：若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，求m 的值。

人A版数学必修1讲义：第1章 1.1.2 集合间的基本关系

1．1.2集合间的基本关系1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)[基础·初探]教材整理1子集与真子集阅读教材P6～P7第一段，完成下列问题．1．子集与真子集A B(或B A)用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合的相等(1)条件：A⊆B且B⊆A；(2)表示：A＝B；(3)Venn图：.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)0⊆{x|x<5，x∈N}．()(2)设A是一个集合，则A A.()(3)若集合A中有3个元素，则集合A共有7个真子集．()【解析】(1)×.“⊆”用来表示集合与集合间的关系，所以(1)错误．(2)×.集合A是它本身的子集，但不是真子集，故(2)错误．(3)√.若集合A的元素个数为n，则其真子集的个数为2n－1，(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2空集阅读教材P7第二段和第三段，完成下列问题．1．定义：不含任何元素的集合，叫做空集．2．符号表示为：∅.3．规定：空集是任何集合的子集．下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}【解析】满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.【答案】B教材整理3子集的性质阅读教材P7“思考”以下部分，完成下列问题．子集的性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.对于集合A，B，C，若A⊆B，且B C，那么A与C的关系是________．【解析】由子集的性质可知A C.。

新教材人教A版数学必修第一册讲义1-5-1全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题1．x>2是命题吗？对任意的x∈R，x>2是命题吗？[答案]x>2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>2则是命题2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？[答案]命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．()(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．()(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．()(4)内错角相等是全称量词命题．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的内角和等于360°；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．[思路导引]找命题中的量词及其命题的含义．[解](1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[针对训练]1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y＝kx＋b为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x∈R，x2＋3≥3.[解](1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．[针对训练]2．判断下列全称量词命题的真假．(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.[解](1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．题型三存在量词命题真假的判断【典例3】判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.(4)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题．(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．[针对训练]3．判断下列存在量词命题的真假．(1)有些二次方程只有一个实根．(2)某些平行四边形是菱形．(3)存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x21>x22.[解](1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．(3)当x1＝－2，x2＝1时有x21>x22，故“存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x21>x22”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[解]∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．[变式]若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4.∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[针对训练]4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R 恒成立，并说明理由．[解]不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．[解]不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>t min.又t＝(x－1)2＋4，∴t min＝4，∴m>4.所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数[解析]D选项是存在量词命题．[答案]D2．下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．0 B．1C．2 D．3[解析]命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案]B3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是() A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3[解析]“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．[答案]C4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]∵对于任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.[答案]a≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．[解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题．(2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题． (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．课后作业(八)复习巩固一、选择题1．下列量词是全称量词的是( )A ．至少有一个B ．存在C ．都是D ．有些[答案] C2．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案] C3．下列命题是存在量词命题的是( )A ．一次函数的图象都是上升的或下降的B ．对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0C ．存在实数大于或者等于3D ．菱形的对角线互相垂直[解析] 选项A ，B ，D 中的命题都是全称量词命题，选项C 中的命题是存在量词命题．[答案] C4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0C ．∀x ∈Q ，x 2∈QD ．∃x ∈Z ，使x 2>1[解析] 首先D 项是存在量词命题，不符合要求；A 项不是真命题，因为当x ＝0时，x 2＝0；B 项也不是真命题，因为当x ＝y ＝0时，x 2＋y 2＝0；只有C 项是真命题，同时也是全称量词命题．[答案] C5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2>0C ．任意无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2[解析] 只有A ，C 两个选项中的命题是全称量词命题；且A 显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C 为假命题．[答案] A二、填空题6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．[解析]命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.[答案]∀x≤0，x3≤07．给出下列四个命题：①y＝1x⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．[解析]①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]①②④8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．[解析]①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x ＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x ∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x －1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．[答案]0三、解答题9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．(1)存在x，使得x－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形的两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．[解] (1)存在量词命题．如x ＝2时，x －2＝0成立，所以是真命题．(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．[解] (1)∀x ∈R ，使x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，使ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．如当a ＝0，b ＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，使13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．平面内，不相交的两条直线是平行直线[解析] A 中的命题是全称量词命题，但是a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C 中的命题是全称量词命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.[答案] D12．已知a >0，则“x 0满足关于x 的方程ax ＝b ”的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0[解析] 由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a 2－b 22a ，故此函数图象的开口向上，且当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，故∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0，故选C.[答案] C13．已知函数y ＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0的充要条件是x 20＋bx 0＋c <0有解，即b 2－4c >0,4c <b 2.所以当c <0时，一定有4c <b 2，即∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0.反之当∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0时，只要4c <b 2即可，不一定c <0.故选A.[答案] A14．若对于任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 依题意，得⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4－4a 2<0，即⎩⎨⎧ a <0，a <－1或a >1，∴a <－1.[答案] {a |a <－1}15．已知命题“∃x ∈R,2x ＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 由题意可得“对∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)2－4<0，得－1<a <3，即{a |－1<a <3}．。

高中数学必修一全套ppt课件讲义

2020/11/29
• 解析： A中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；B 中“平面直角坐标系中，坐标轴上的一些点”，元素不明确，故不能组成一个集合；C中的对象都是确定的而且是不同的，因而能构成集合；D中的对象高楼标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合．
• 答案: C
2020/11/29
是( )
①π∈R ②－ 5∉Q ③0∉N ④|－3|∈N*
⑤4∈{N}
A．1
B．2
C．3
D．4
2020/11/29
解答本题要先弄清“∈”和“∉”的区别与联系及特定的数集符号的含义，再进行判断.
2020/11/29
[解题过程] 从各数值特征及各符号含义切入判断，因为 π 是实数，－ 5是无理数，所以① ②正确；0 是自然数，所以③不正确；|－3|＝3 ∈N*，所以④正确；集合{N}中只有一个元素，就是自然数集 N，它以集合为元素，所以 4 不在该集合中，故⑤不正确，故选 C. 答案： C
集合是相等的．
一样
(3)集合与元素的表示
通常用_____________ 通常用 _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ a ，b ， c ， …表示集合中的元素．
小写拉丁字母
2020/11/29
2．元素与集合的关系
关系
文字语言
符号
属于
a属于集合A _a_∈__A_
2020/11/29
集合的确定
判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)2012 年英国伦敦奥运会所有参赛选手构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3) 3的近似值的全体构成一个集合； (4)全校身高超过 170 cm 的部分女生构成一个集合．

高中数学必修一培优精品讲义

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---集合授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；③理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；④理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；⑤能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识概念（一）元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（二）集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集体系搭建（三）集合间的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }（四）集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．考点一：集合的含义与表示例1、设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例2、设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.例3、现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=________例4、设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤.其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3典例分析考点二：集合间的基本关系例1、已知集合A ＝{x|y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A∩B＝∅ C ．A ⊆B D ．B ⊆A例2、若{1},{1}P x x Q x x =<>-，则（）A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. Q P C R ⊆D. P C Q R ⊆考点三：集合的运算例1、角度1 50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（）A ．35B ．25C ．28D ．15例2、若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（）A. MN B. MN C. )()(N C M C U U ⋃ D. )()(N C M C U U ⋂例3、已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁UB)等于( ) A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6} D ．{2,3,5,6,8}考点四：补集思想的应用例1、已知集合2{|20},{|49},A x x x a B x a x a =++≤=≤≤-若,A B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是__________考点五：集合创新问题的探究例1、设数集31{|},{|},43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤且,M N 都是集合{|01}Q x x =≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的最小值是（）A ．13B ．23 C ．112 D ．512考点六：忽视空集例1、设{|26},{|23},A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆，则实数a 的取值范围是_________ 易失分提示：由B A ⊆可知，有B =∅和B ≠∅两种情况，容易忽略空集的情况.考点七：忽视集合中元素的三特性例1、设数集2{1,3,},{,1},A x B x ==且{1,3,}AB x =，则x 的不同取值的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x ∈A}，则A∩B=（） A ．{1} B ．{4} C ．{1，3} D ．{1，4}实战演练2、已知集合P={n|n=2k ﹣1，k ∈N +，k ≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x ∈P ，y ∈Q}中元素的个数为（） A ．147 B ．140 C ．130 D ．1173、已知全集U=R ，A=，B={x|lnx ＜0}，则A∪B=（）A ．{x|﹣1≤x ≤2}B ．{x|﹣1≤x ＜2}C ．{x|x ＜﹣1或x ≥2}D ．{x|0＜x ＜2} 4、若集合，B={1，m}，若A ⊆B ，则m 的值为（）A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．2或5、已知集合A={1，2}，B={x|ax ﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a 的取值个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁UA ＝________.7、已知有限集A={a 1，a 2，a 3…，a n }（n ≥2）．如果A 中元素a i （i=1，2，3，…，n ）满足a 1a 2…a n =a 1+a 2+…+a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合{，}是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *则{a 1，a 2}不可能是“复活集”； ④若a i ∈N *，则“复合集”A 有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）➢ 课后反击1、已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x ﹣1，x ∈A}，则A∩B=（） A ．{1，3} B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}3、设集合P={x|0≤x ≤}，m=，则下列关系中正确的是（）A ．m ⊆PB ．m ⊈PC ．m ∈PD ．m ∉P4、设集合A ＝{x|21－x >1，x ∈R}，B ＝{x|y ＝1－x2}，则(∁RA)∩B 等于( )A ．{x|－1≤x≤1}B ．{x|－1<x<1}C ．{－1,1}D ．{1}5、用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=，若A={x|x 2﹣ax﹣2=0，a ∈R}，B={x||x 2+bx+2|=2，b ∈R}，且A*B=2，则b 的取值范围（） A ．b ≥2或b ≤﹣2B ．b ＞2或b ＜﹣2C ．b ≥4或b ≤﹣4D ．b ＞4或b ＜﹣46、已知集合A ＝{x|1≤x<5}，C ＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C ，则a 的取值范围是________．7、设M 是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：（Ⅰ）对M 中任意元素a ，b ，c 都有（a#b ）#c=a#（b#c ）；（Ⅱ）对M 中任意两个元素a ，b ，满足a#b ∈M ．则称M 对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为． ①{﹣2，﹣1，1，2} ②{1，﹣1，0} ③Z ④Q．集合新定义题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．1、【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = （）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭战术指导直击高考2、【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63、【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（）（A ）{1} （B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，4、【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞5、【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]S (Summary-Embedded)——归纳总结考点一：集合的含义与表示考点二：集合间的基本关系考点三：集合的运算考点四：补集思想的应用考点五：集合创新问题的探究考点六：忽视空集考点七：忽视集合中元素的三特性重点回顾名师点拨集合题目的方法总结：一： (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．二：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．三：一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．学霸经验➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲---函数的基本概念授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域。

高一数学必修一讲义之1.4指数及指数函数

1.4指数&指数函数
）和两种不同对于指数式来说，式子
）正整数指数幂
）无理指数幂：
定义若（，
为奇数，用符号表示次方根，这时．
，用符号表示
①
②
③（
④（
一般地，指数函数在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
6.利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数；其次比较大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
三、典型例题剖析
例1. (1)化简.
(2)计算.
例2．若的值．
例3．如图是指数函数（1）（2），（3）（4）的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是（）
A．B．
C．D．
例4．已知，求函数的最大值和最小值.
例5．已知f(x)＝（a>0且）．
（1）求f(x)的定义域、值域．
（2）讨论f(x)的奇偶性．
（3）讨论f(x)的单调性．。

人教B版数学必修一(讲义)：第1章1.1.2 集合的表示方法

1.1.2 集合的表示方法1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法. 思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示] ①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x －7<3的解集吗？为什么？[提示] 不能．由不等式x －7<3，得x <10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．1．集合{x |x 2－4x ＋3＝0}用列举法表示为( )A ．{1,3}B ．{x |x ＝1，x ＝3}C ．{x 2－4x ＋3＝0}D ．{x ＝1，x ＝3}A [解方程x 2－4x ＋3＝0得x ＝1或x ＝3，应用列举法表示解集为{1,3}．]2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，用自然语言描述M 应为( )A ．满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合B ．满足y ＝x 2的所有自变量x 的取值组成的集合C ．函数y ＝x 2图象上的所有点组成的集合D ．以上均不对A [由于集合M ＝{y |y ＝x 2}的代表元素是y ，而y 为函数y ＝x 2的函数值，则M 为满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合．]3．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．]【例1】 (1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合C .[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点为(1,4)，所以C ＝{(1,4)}．使用列举法表示集合时，需要注意几点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序．(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.【例2】 (1)小于100的所有非负整数的集合；(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合； (5)被5除余3的所有整数组成的集合；(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝2y ＝0. (5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}.(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等.2．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合； (3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合．[解] (1)正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)要使y 有意义，必须使分母不为0，即x 2＋x －6≠0，可得x ≠2且x ≠－3，故集合可表示为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠－3}．(3)第一、三象限的角平分线应是直线y ＝x ，故集合为{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R ，y ∈R }.[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．【例3】集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集.(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).3．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于1且小于7的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．1．本节课的重点是掌握用列举法和描述法表示集合，难点是对描述法表示集合的理解及两种表示法的灵活运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)列举法表示集合的注意点．(2)描述法表示集合的注意点．3．本节课的易混点是点集与数集，易错点是描述法表示集合中除代表元素以外的字母而未加说明.1．思考辨析(1)集合{0}∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}4．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。

数学必修1讲义

高中数学全套讲义 必修1 集合 基础学生版

(精校版讲义)高中数学必修一 第1章第1讲集合的概念(可直接打印)

高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)

教案-高中数学必修一讲义

人教版高中数学必修第一册同步讲义第一章 1.7 四种命题

苏教版数学必修1讲义：第1章 1.2 第1课时 子集、真子集

高中数学必修一讲义整合

数学必修1讲义

人A版数学必修1讲义： 第1章 1.1.2 集合间的基本关系

新教材人教A版数学必修第一册讲义1-5-1全称量词与存在量词

高中数学必修一全套ppt课件讲义

高中数学必修一培优精品讲义

高一数学必修一讲义之1.4指数及指数函数

人教B版数学必修一(讲义)：第1章1.1.2 集合的表示方法

高中数学全套讲义必修1 集合基础学生版

(精校版讲义)高中数学必修一第1章第1讲集合的概念(可直接打印)

苏教版数学必修1讲义：第1章 1.2 第1课时子集、真子集

人A版数学必修1讲义：第1章 1.1.2 集合间的基本关系