数学必修1讲义

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合得含义:

一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。

2、集合得中元素得三个特性:

(1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。

(2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。

(3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。

3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。

(1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作:

(2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作:

4、集合得表示:

*用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5}

*常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集N*或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

(1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。

(2) 图示法:Venn图

(3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。

5、集合得分类:

(1)有限集含有有限个元素得集合

(2)无限集含有无限个元素得集合

(3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝

二、集合间得基本关系

1、包含关系

(1)子集:真子集或相等

(2)真子集

2、相等关系:元素相同

两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A

对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C

3、空集

结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集

*集合子集公式:含n个元素得集合子集有2ⁿ个,真子集有2ⁿ-1个

三、集合得基本运算

1、并集

2、交集

*性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B

AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B

3、全集与补集

*性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。

选择补充:集合中元素得个数:

四、函数有关概念

1、函数得概念:

设A、B就是非空得数集,如果按照某个确定得对应关系f,使对于集合A中得任意一个数x,在集合B中都有唯一确定得数f(x)与它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B得一个函数.记作: y=f(x),x∈A. kKSel3E。eF85hoe。

(1)其中,x叫做自变量,x得取值范围A叫做函数得定义域;

(2)与x得值相对应得y值叫做函数值,函数值得集合{f(x)| x∈A }叫做函数得值域.

2、函数得三要素:定义域、值域、对应法则

3、函数得表示方法:

(1)解析法:明确函数得定义域

(2)图像法:确定函数图像就是否连续,函数得图像可以就是连续得曲线、直线、折线、离散得点等等。

(3)列表法:选取得自变量要有代表性,可以反应定义域得特征

4、函数图象知识归纳:

(1) 定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中得x为横坐标, 函数值y 为纵坐标得点P(x,y)得集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)得图象.C上每一点得坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)得每一组有序实数对x、y为坐标得点(x,y),均在C上、bPJaKBE。QH81yPn。

(2) 画法: A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。

(3)函数图像变换得特点:

1)函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)

2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)

3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)

五、求函数解析式、定义域、值域

1、函数解析式子得求法:

(1)函数得解析式就是函数得一种表示方法,要求两个变量之间得函数关系时,一就是要求出它们之间得对应法则,二就是要求出函数得定义域、ZZULlwI。9xlNnJw。

(2)求函数得解析式得主要方法有:

1)待定系数法:用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数得某些特征求其解析式得题目。NHhH3Jn。V3FXkes。

2)换元法:用来处理不知道所求函数得类型,且函数得变量易于用另一个变量表示得问题。它主要适用于已知复合函数得解析式,但使用换元法时要注意新元定义域得变化,最后结果要注明所求函数得定义域。NfR4qwf。S4pkFWC。

3)配凑法:已知复合函数得表达式,要求解析式时,若表达式右边易配成得运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域得变化。bqV1vzQ。Bjbll5t。

配凑法也缊含换元得思想,只就是不就是首先换元,而就是先把函数表达式配凑成用此复合函数得内函数来表示出来,在通过整体换元。所以求函数解析式时,可以用配凑法来解决得,有些也可直接用换元法来求解。abjjEF9。h4dq0Bc。

4) 消元法:题给条件中,有若干复合函数与原函数混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。TzUeESq。irkQwVj。

消元法适用于自变量得对称规律。互为倒数,如f(x)、f(1/x);互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)得解析式。VLrHfGC。8LD1wL1。

5)赋值法:依据题条件得结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律得方法。

①所给函数方程含有2个变量时,可对这2个变量交替用特殊值代入,或使这2个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知得函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定。HULfvOE。vTVxUXI。

②通过取某些特殊值代入题设中等式,可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数得解析式。

2、定义域:能使函数式有意义得实数x得集合称为函数得定义域。

*求函数得定义域时列不等式组得主要依据就是:

(1)分式得分母不等于零;

(2)偶次方根得被开方数不小于零;

(3)对数式得真数必须大于零;

(4)指数、对数式得底必须大于零且不等于1、

(5)如果函数就是由一些基本函数通过四则运算结合而成得、那么,它得定义域就是使各部分都有意义得x得值组成得集合、PKCBva6。3vsewcK。

(6)指数为零底不可以等于零,