概率论中几个有趣的例子
全概率公式有趣例子
全概率公式有趣例子
1. 你知道抽奖的概率怎么算吗？就好比抽奖箱里有红、黄、蓝三种球，红的有 3 个，黄的有 2 个，蓝的有 5 个，那抽到红球的概率是多少呢？这
就可以用全概率公式啦！
2. 想想看啊，假如有好多扇门，每扇门后面有不同的东西，要你选择一扇门去打开，怎么知道自己得到好东西的概率呢？这和全概率公式很像呀！比如说有三扇门，一扇后面是大奖，其他两扇是小奖，每扇门被选中的概率不同，算大奖的概率时就可以用全概率公式，是不是很有意思？
3. 嘿，你不是喜欢玩扔骰子吗？要是有两个不一样的骰子，一个是六面的，一个是四面的，然后要算扔到某个数的总概率，这不就可以借助全概率公式嘛！比如说我们想知道扔到 3 的概率，这不就很神奇吗？
4. 哎呀呀，就像天气预报说今天下雨的概率会受到各种因素影响，比如云的多少啊、风的情况啊之类的，那要把这些因素都综合起来算最终下雨的概率，是不是和全概率公式很契合呢？
5. 你想想，你去超市买东西，不同品牌有不同的促销活动，你怎么算买到最划算东西的概率呢？这不就是全概率公式的用武之地嘛！例如有三个品牌，每个品牌打折的概率和力度都不一样，得好好算算呀！
6. 哈哈，好比你和朋友玩游戏，有不同的游戏环节和规则，每个环节成功的概率不一样，那整体赢下游戏的概率呢？全概率公式能帮你搞清楚哦！就像你要走过一段充满各种可能的路，全概率公式就是那个给你指引的明灯啊！
我觉得全概率公式就像一把神奇的钥匙，能打开很多看似复杂问题的大门，让我们清楚地看到各种可能性和概率，真的太好玩啦！。
概率论经典实例
概率论经典实例概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。
下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。
1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。
你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。
你当然想得到汽车。
当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。
你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。
此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。
但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。
由此看出，可能一号门的几率会大一点。
若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。
将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。
当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。
因此，选择二号门比较理智。
稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。
比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。
可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。
高中数学概率统计小故事
1.分赌本问题A ，B 二人赌博，各出注金a 元，每局每个人获胜的概率都是12，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=.把注金按)1(22+r r ︰)1(11+r r 之比分给A 和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之处，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎每个人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负.假如A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局.因此按二项分布，A 取胜的概率为r rr i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-.注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A ，B 在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601-1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数,,,≠xyx z y x xyz≠0和整数3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的成就，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然，由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)，这就是概率论的最重要的概念之一——(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a ，b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话相当有道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们想当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于2/1（其值为.0)36/35(124≈-≈0.491 4）.但从另一方面看，掷两颗骰子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的《机遇的规律》惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式g l T /2π=.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1若某人在赌博中以等概率12得a ，b 元，则其期望为2/)(b a +元.命题2若某人在赌博中以等概率13得a ，b 和c 元，则其期望为3/)(c b a ++元.命题3若某人在赌博中以概率p ,)1(=+q p q 得a ，b 元，则其期望为qb pa +元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle ，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中0=b 的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率得k a a ,,1 元，则其期望为11k k p a p a ++.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A ，B 二人约定按ABBAABBAABB …掷两颗骰子，即A 先掷一次，然后从B 开始轮流各掷两次.若A 掷出和为6点，则A 胜；若B 掷出和为7点，则B 胜.求A ，B 获胜的概率.A 在一次投掷时掷出和为6的概率36/5=A p ，而B 在一次投掷时掷出和为7的概率6/136/6==B p .记B B A A p q p q -=-=1,1，又记i e 为在第1i -次投掷完时A ，B 都未取胜，求在这一条件下A 最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：14433221,,,e q p e e q e e q e e q p e A A B B A A +===+=.由此容易得出略小于1/2.故此赌法对A 不利.机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年.惠更斯这一著作，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A ，根据某种理论，我们算出其概率为p A P =)(.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此理论的推论——p A P =)(是否符合.或者，一开始我们根本就不知道)(A P 等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题——检验与估计.这个检验与估计概率p 的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A 有概率)/(b a a p +=.如果不知道a ，b 的比值，则p 也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了N 次，发现白球出现N X 次，则用N X N /去估计p .这个估计含有一定程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N 愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不需他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第四部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，在此对伯努利其人及此书的整个面貌先做一点介绍.4. 伯努利的《推测术》伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的《机遇的规律》，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写《推测术》这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来负责这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.《推测术》一书共239页，分四个部分.第一部分(P 2～71)对《机遇的规律》一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P 72～137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138～209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210～239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”——大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第四部分.回到前面的缸中抽球模型：缸中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=.假设有放回地从缸中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p .这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缸中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证.例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置.在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具.这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据说是“充分随机”的方法产生的.在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象.伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性.其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η.这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N ).为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效.但他做这一模型限定与所用缸子模型的特殊性有关：必要时把缸中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小.二是伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事.因为由上式得.11c p N X P N +<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-ε （6）取c 充分大，可使(6)式右边小于η.另外要指出的是：伯努利使用的这个缸子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性.但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要.伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即(5)式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们欲证明的是当N 充分大时，N X N /和p 可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是,lim p N X N N =∞→ （7）而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N X N /总为1，不能收敛到1<p .或者退一步：要求(7)式成立的概率为1，这一结论是对的，但直到1909年才由波莱尔给予证明，证明的难度比伯努利的提法大得多.设想一下，如果当时伯努利就采用该提法，他也许在有生之年不能完成这一工作.由于波莱尔的结论比伯努利的结论强，现今人们又把他们的结论分别称之为强大数定律和弱大数定律.6. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律泊松（Possion ）的名字对学概率论与数理统计的人来说，可谓耳熟能详.原因主要在于泊松近似公式，以及更重要的是源于该近似公式的泊松分布，泊松分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布.泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况，现称泊松大数定律.继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后，丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式，但这些公式在现今的教科书上已很少提及，只有泊松近似公式则不然，其形式为,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= （11）其中Np N ∞→=lim λ，N k ,,2,1,0 =.公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式或泊松公式.它是泊松在1838年于《概率在法律审判的应用》一书中所引进，此公式适用于p 很小，N 很大而Np 又不很大时，这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足，因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候.不过，从历史上看，狄莫佛早在1712年已做出了这个结果.7. 贝叶斯及其传世之作托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701－1761)在18世纪上半叶的欧洲学术界，恐怕不能不算是一个很知名的人物.在他生前，没有发表过任何的科学论著.那时，学者之间的私人通信，是传播和交流科学成果的一种重要方式.许多这类信件得以保存下来并发表传世，而成为科学史上的重要文献，例如，前面提到的费尔马和巴斯噶的通信、伯努利与莱布尼兹的通信等.但对贝叶斯来说，这方面材料也不多.在他生前，除在1755年有一封致约翰•康顿的信(其中讨论了辛普森有关误差理论的工作)外，历史上没有记载他与当时的学术界有何重要的交往.但他曾在1742年当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士），因而可以想到，他必定曾以某种方式表现出其学术造诣而被当时的学术界所承认.如今，我们对这个生性孤僻、哲学气味重于数学气味的学术怪杰的了解，是因他的一篇题为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chance(机遇理论中一个问题的解)”的遗作.此文发表后很长一个时期在学术界没有引起什么反响，但到20世纪以来突然受到人们的重视，成为贝叶斯学派的奠基石.1958年，国际权威性的统计杂志《Biometrika》（生物计量）重新刊载了这篇文章.此文也有中译本(见廖文等译《贝叶斯统计学——原理、模型及应用》的附录4，中国统计出版社1992年版）.此文是他的两篇遗作之一，首次发表于1764年伦敦皇家学会的刊物《Philosophical Transactions》上.此文在贝叶斯生前已写就，为何当时未交付发表，后来的学者有些猜测，但均不足定论.据文献记载，在他逝世之前4个月，他在一封遗书中将此文及100英镑托付给一个叫普莱斯的学者，而贝叶斯当时对此人在何处也不了然.所幸的是，后来普莱斯在贝叶斯的文件中发现了这篇文章，他于1763年12月23日在皇家学会上宣读了此文，并在次年得以发表.发表时普莱斯为此文写了一个有实质内容的前言和附录.据普莱斯说，贝叶斯自己也准备了一个前言.这使人们无法确切区分：哪些思想属于贝叶斯本人，哪些又是普莱斯所附加的.贝叶斯写作此文的动机，说法也不一.一种表面上看来显然的说法是为了解决伯努利和狄莫佛未能解决的、二项分布概率p的“逆概率”问题，因为当时距这两位学者的工作发表后尚不久，有人认为他是受了辛普森误差工作的触动，想为这种问题的处理提供一种新的思想.还有人主张，贝叶斯写作此文，是为了给“第一推动力”的存在提供一个数学证明.这些说法现在都无从考证.上面提到“逆概率”这个名词.在较早的统计学著作中这个名词用得较多，现在已逐渐淡出.顾名思义，它是指“求概率这个问题的逆问题”：已知事件的概率为p，可由之计算某种观察结果出现的概率如何.反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率p做出何种推断.推广到极处可以说，“正概率”是由原因推结果，是概率论；“逆概率”是由结果推原因，是数理统计.8. 拉普拉斯的“不充分推理原则”贝叶斯的遗作发表后很长一段时期，都没有得到学术界的注意，因而他的这种思想未能及早地发展成为一种得到广泛应用的统计推断方法.但是，也有些学者独立地朝这个方向思考，提出类似的思想并付诸实用，其中最重要的当属拉普拉斯.拉普拉斯在1774年的一篇文章中提出了所谓的“不充分推理原则”（principle of insufficient reasoning ）.他的思想大致如下：如果一个问题中存在若干个不同的原因(cause) n A A A ,,,21 ，则在没有理由认为其中哪一个特别有优势时，概率应各取n /1，即认为各原因有同等机会出现.在统计问题中，这里所说的不同“cause ”n A A A ,,,21 可看作代表未知参数的不同的可能值.以E 记在这原因下可能产生的事件(例如，在某参数值之下观察到的样本)，拉普拉斯提出：)|(/)|(i i A E P E A P 与i 无关. （12）用现今熟知的概率论知识很容易证明(12），但拉普拉斯在其文章中用了一个很复杂的证法.拉普拉斯的原则(12)可用于由)|(i A E P 推)|(E A P i ，这与贝叶斯的原则完全一样，也并未超出贝叶斯思想的范围.因此，现在统计学史上也把拉普拉斯视为贝叶斯统计的一个奠基者.9. 勒让德发明最小二乘法勒让德是法国大数学家，在数学的许多领域，包括椭圆、积分、数论和几何等方面，都有重大的贡献.最小二乘法最先出现在他于1805年发表的一本题为《计算彗星轨道的新方法》著作的附录中，该附录占据了这本长达80页著作的最后9页.勒让德在这本书前面几十页关于彗星轨道计算的讨论中没有使用最小二乘法，可见在他刚开始写作时，这一方法尚未在他头脑中成形.历史资料还表明，勒让德在参加测量巴黎子午线长这项工作很久以后还未发现这个方法.考虑到此书发表于1805年且该法出现在书尾的附录中，可以推测他发现这个方法应当在1805年或之前不久的某个时间.勒让德在该书72～75页描述了最小二乘法的思想、具体做法及方法的优点.他提到：使误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差（对决定参数的估计值）取得支配地位，而这有助于揭示系统的更接近真实的状态.的确，考察勒让德之前一些学者的做法，都是把立足点放在解出一个线性方程组上.这种做法对于误差在各方程之间的分布的影响如何，是不清楚的.在方法的具体操作上，勒让德指出，为实现20111()n i i ki k i x x x θθ=+++=∑最小而对各i θ求偏导数所形成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+∑∑==.,,1,,,1,0,,,,1,0110k j k r x x s k j s n i ji ri rj kr j r rj θθ （13）只涉及简单的加、乘运算，至于解线性方程组，这是当时已知的其他方法也难免的.现今我们把(13)叫做正则方程组，这是后来高斯引进的称呼.关于最小二乘法的优点，勒让德指出了以下几条：第一，通常的算术平均值是其一特例.第二，如果观察值全部严格符合某一线性方程，则这个方程必是最小二乘法的解.第三，如果在事后打算弃置某些观察值不用或增加新的观察值，对正则方程组的修改易于完成.从现在的观点看，这方法只涉及解线性方程组是其最重要的优点之一（其他的重要优点包括此法在统计推断上的一些优良性质，以及其广泛的适用性）.近年发展起来的，从最小二乘法衍生出的其他一些方法，尽管在理论上有其优点，可是由于计算上的困难而影响了其应用.最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到了欧洲一些国家的天文和地测学工作者的广泛使用.据不完全统计，自1805年至1864年的60年期间，有关这一方法的研究论文约250篇，一些百科全书，包括1837年出版的《不列颠百科全书》（第7版），都收进了有关这个方法的介绍.在研究论文中，有一些是关于。
有趣的概率问题
有趣的概率问题
概率是数学中的一个分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
在日常生活中，我们会遇到很多有趣的概率问题，下面就介绍一些常见的概率问题：
1、掷骰子问题：如果我们掷一个六面骰子，那么每个数字出现的概率是相等的，即1/6。
那么如果我们掷两个骰子，两个骰子点数之和为7的概率是多少呢？答案是1/6，因为掷两个骰子，总共有36种可能的结果，其中只有6种结果是点数之和为7的，所以概率为
6/36=1/6。
2、生日问题：如果一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少呢？答案是50.7%。
这个问题的解法比较复杂，需要用到排列组合的知识，有兴趣的读者可以自行搜索。
3、扑克牌问题：如果我们从一副扑克牌中随机抽取5张牌，那么这5张牌中有至少一张红桃的概率是多少呢？答案是52.5%。
这个问题的解法也比较复杂，需要用到加法原理和减法原理，有兴趣的读者可以自行搜索。
以上只是一些常见的概率问题，实际上概率问题的种类非常多，而且很多问题的解法都比较复杂，需要用到高等数学知识。
但是对于日常生活中的一些简单问题，我们可以通过简单的计算和推理来得到答案，这不仅可以锻炼我们的数学能力，还可以让我们更好地理解概率的应用。
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概率论中几个有趣的例子
概率论中几个有趣的例子概率论中几个有趣的例子转载】概率论中几个有趣的例子[ 2021-6-3 13:06:00 | By: Byron ]作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics已经酝酿很长时间的本文终于出场了。
写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。
本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了）当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。
皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。
我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。
要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。
关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。
也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。
因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。
我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。
这些例子一律来自伟大的Durrett 的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。
例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。
日常生活中概率论的例子
日常生活中概率论的例子
1. 你知道吗，彩票就是日常生活中概率论的一个典型例子呀！每次买彩票的时候，我们都在赌那微乎其微的中奖概率，那种期待和紧张的心情，哎呀，真的是难以言喻！就好像在黑暗中寻找那一丝光芒一样。
2. 还有啊，天气预报其实也运用了概率论呢！它说今天有 80%的概率会下雨，这不就是在告诉我们有比较大的可能要带伞嘛！我们可不就根据这个来决定要不要带伞出门，这多重要呀！
3. 咱去超市抽奖也是一样的道理呀！你抽到大奖的概率可能很小很小，但还是会满心期待呢，万一自己就是那个幸运儿呢？这就跟从一堆糖果里找到那颗特别口味的一样，不试试咋知道呢！
4. 打篮球比赛的时候，投进三分球也有概率的问题呢！有时候手感好，那进三分球的概率就感觉大大增加了，这难道不是很神奇嘛！就好像突然有了魔力一样。
5. 考试蒙对题不也是概率论嘛！有时候瞎蒙也能蒙对，那可真是让人惊喜呀！但可不能完全靠蒙哦，还是要好好学呀！
6. 等公交车的时候，等很久都不来，这也是概率在作祟呀！有时候运气好，一出门车就来了，有时候就得等好久好久，真让人无奈呀！
总之，概率论在我们日常生活中无处不在呀，就像一个调皮的小精灵，一会儿给我们惊喜，一会儿让我们无奈，真是有意思极了！。
有关概率的趣味小故事
《有关概率的趣味小故事》嘿，朋友！今天来给你讲几个有关概率的趣味小故事，可有意思啦。
有这么一个事儿，有个小镇上举办抽奖活动。
一等奖是一辆超级酷炫的汽车。
好多人都去参加，那场面可热闹了。
有个小伙子也去凑凑热闹，他心里想着，说不定自己运气好，能把汽车开回家呢。
抽奖开始了，大家都紧张得不行。
这个小伙子也在心里默默祈祷。
结果呢，他没中一等奖，不过也别灰心嘛。
这抽奖啊，概率可不大，那么多人参加，能中一等奖的那可真是幸运儿。
就像在大海里捞针一样难。
但是呢，大家还是愿意去试试，为啥？因为有那个万一呀，万一自己就是那个幸运的人呢。
还有一个故事。
有个学校要选学生代表去参加一个重要的活动。
从全校学生里选，每个班都有机会。
有个班级的同学们都很期待，大家都觉得自己有可能被选上。
这就像玩游戏，不知道幸运会降临到谁头上。
其实啊，这也是个概率问题。
全校那么多学生，能被选上的毕竟是少数。
但是大家还是充满希望，都在努力表现自己，说不定自己就是那个幸运的代表呢。
最后，虽然不是每个人都能被选上，但是大家在这个过程中也学到了很多，变得更加优秀了。
再讲一个。
有个老爷爷喜欢买彩票，他每周都去买。
他的家人就说他，别浪费钱啦，哪有那么容易中奖。
老爷爷可不这么想，他觉得自己总有一天会中奖的。
虽然中奖的概率很低，但是他享受这个期待的过程。
有一次，老爷爷真的中了个小奖，高兴得像个孩子一样。
这概率啊，有时候就是这么神奇，说不定什么时候就给你一个惊喜。
你看，概率这东西，在我们生活中到处都有。
有时候它让我们充满期待，有时候又让我们有点小失落。
但是不管怎样，这些小故事都让我们感受到了生活的趣味。
浅谈生活中有趣的数学概率问题
浅谈生活中有趣的数学概率问题作者：付强来源：《试题与研究·教学论坛》2012年第12期所谓概率，通俗点说就是有多大的可能性。
生活中这类实例是很多的，让我们先举一个简单的例子：投一枚正反两面的硬币，结果正面向上的概率是多少？不用计算就能知道，这种可能性为一半，也就是说其概率为1[]2。
当然，即便生活中的概率问题也不都是这么简单，对于较复杂点的就需要我们动动脑筋了。
下面就让我们一起来看一看现实生活中有趣的几类问题吧！一、彩票问题“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。
买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。
如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。
很简单，只要花2元的人民币，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。
但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下。
大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码。
买一张彩票，你只需要选6个号、花1英镑而已。
在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6個小球的数字都被你选中了，你就获得了头等奖。
可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13983816种方法！这就是说，假如你只买了一张彩票，六个号码全对的机会是大约一千四百万分之一，这个数小得已经无法想象，大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会。
条件概率趣味例子
条件概率趣味例子1. 你知道吗，比如说抽奖的时候，一共有 10 个球，其中只有 1 个红球能中奖。
你先抽了一个没中，然后主持人在剩下的 9 个球中去掉了 8 个白球，这时候你再抽中红球的概率不就大多了嘛！这就是条件概率在起作用啊！2. 想象一下，你和朋友玩猜硬币正反的游戏。
前三次你都猜错了，你就觉得下一次猜中的概率会很大呢，哈哈，其实这也包含了条件概率呀！就好像一直下雨，你觉得接下来晴天的概率会大一点似的。
比如你说：“哎呀，总不能一直下雨吧，下次肯定是晴天啦！”3. 有一次我参加考试，前面几道题都很难，我做得不太好。
但我就想后面简单题答对的概率会变大吧！这不就是条件概率嘛，就好比走路摔了一跤，总觉得接下来会走得更稳啦！就像我当时对自己说：“前面这么难，后面肯定会容易些呀！”4. 去超市抽奖，前面已经有好多人没抽中大奖，你会不会觉得自己抽中大奖的概率变大了呢？这就是条件概率呀！就好像排队买好吃的，看到前面的人买了好多，你就觉得自己能买到的机会也大了呢。
例如你会说：“前面那么多人都没中，该轮到我啦！”5. 大家打篮球的时候，一个人连续几次投篮都不进，是不是觉得下一次投进的概率会增加呀？嘿嘿，这可不就是条件概率嘛！就跟等公交车似的，等了好久没来，就感觉下一刻车肯定会来啦。
就像球友会喊：“都不进这么多次了，这次肯定能进！”6. 玩猜数字游戏，你猜了几次都不对，然后根据提示再猜，这时候猜对的概率不就变了嘛。
这就是条件概率的魅力呀！好比找东西，找了一会儿没找到，后面再找就更有方向了。
比如你会念叨：“都猜了这么多次了，这次肯定能中！”7. 掷骰子的时候，前几次都没掷出六点，你是不是就觉得接下来掷出六点的可能性大了呢？对呀，这就是条件概率在捣鬼呢！跟买彩票一个道理，买了很多次没中，就觉得下一次有希望呀。
就像玩家会说：“一直没六点，下把肯定是了！”8. 上课回答问题，前面几个同学都答错了，那你答对的概率是不是就相对提高了呢？哈哈，这就是条件概率啦！就像去旅游找景点，别人走错路了，你就觉得自己能找对似的。
浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题
浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。
尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。
现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。
关键词概率论偶然性趣味性随机On probability on the several interestingrandom chance problemAbstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts.Keywords probability thoery；contingency；interesting；random2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。
也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。
然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。
生活中有趣的概率论例子
生活中有趣的概率论例子•相关推荐生活中有趣的概率论例子概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等。
在我们的生活中无处不在。
自然界的现象分为确定性现象和随机现象两大类。
对于确定性现象就是在一定条件下必然发生的`现象，例如：太阳东升西落，水从高处流向低处等，也就是描述条件决定结果。
而随机现象是指在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，例如：抛掷一枚硬币，可能是正面也有可能是反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，可能是1，2，3，4，5，6点中任意一点，也就是条件不能完全决定结果。
概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科。
随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系，其数量关系无法用函数加以描述。
随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性，概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科。
随机现象又是由随机试验来进行研究的。
随机试验要求试验能在相同条件下重复进行多次；每次可能结果不止一个，并且事先能知道所有的结果；每次试验之前，并不知道哪个试验结果会发生。
随机试验在我们生活中无处不在。
例如：记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数；从一批灯泡中任取一只，测试其寿命等等。
我们把随机试验所有可能的结果组成的集合称之为样本空间。
所以在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间。
我们所研究一般的问题在概率论中称之为事件，它是样本空间的子集。
随机试验、样本空间与随机事件的关系就是每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件。
我们知道如果一个函数满足对任意事件的函数值大于等于0，样本空间的函数值为1并且对于可列个两两互不相容的事件满足函数的可列可加性，这个函数就记为事件的概率。
在概率中古典概型是经典模型。
有趣的概率问题解决关于概率的有趣问题
有趣的概率问题解决关于概率的有趣问题有趣的概率问题解析概率问题一直以来都是数学中的重要分支，它关乎我们对未知事件发生可能性的预估和分析。
而在这个过程中，我们常常会遇到一些有趣的概率问题。
本文将介绍几个有趣的概率问题，并对其进行详细解析。
问题一：生日悖论假设有一个房间里有23个人，那么至少有两个人的生日相同的概率有多大？这个问题看似简单，但是答案可能会让你惊讶。
解析：要解决这个问题，我们可以先考虑相反的情况，即所有23个人的生日都不相同。
那么第一个人的生日可以是任意一天，第二个人的生日就不能与第一个人相同，概率为364/365，同理第三个人的生日也不能与前两个人相同，概率为363/365。
依此类推，第23个人的生日不能与前22个人相同，概率为(365-22)/365。
所以所有人的生日都不相同的概率为(365/365) × (364/365) × ... × (343/365)。
而我们所求的是至少有两个人生日相同的概率，因此用1减去所有人生日都不相同的概率即可，即1 - [(365/365) × (364/365) × ... ×(343/365)]，计算结果约为0.507297。
也就是说，至少有两个人生日相同的概率达到了50.73%。
这个结果让很多人感到意外，因为我们通常以为需要至少有365个人才能有50%以上的概率有两个人生日相同。
这个概率问题就是生日悖论。
问题二：三门问题在电视节目中，主持人让参赛者选择三扇门中的一扇，其中一扇门后有奖品。
主持人会在参赛者选择后，打开剩下两扇门中的一扇，这扇门后没有奖品。
然后，参赛者可以选择是否更换选择，以获得奖品。
那么参赛者更换选择后获得奖品的概率比原来的概率大吗？解析：这个问题引发了很多争议和困惑，但实际上更换选择后获得奖品的概率确实大于原来的概率。
首先，我们考虑参赛者最初选择到奖品所在门的概率。
由于一开始有三扇门，所以参赛者选择到奖品的概率为1/3。
生活中的概率趣事
生活中的概率趣事1.安迪·鲁尼50-50-90规则“当你有50%的机会才对一件事时，那么也许有90%的可能你猜的是错的”也就是说，如果两件事机会均等，那么猜对事件发生的可能性微乎其微。
2.掷骰子问题甲、乙二人参与掷3颗骰子的游戏，如果三个数相加之和为9，则甲赢，如果三个数之和为10，则乙赢。
如果既不是9也不是10，那么继续投掷，这个游戏公平么？3.扔瓶盖的策略假设你和你的朋友准备用扔硬币的方法来解决你们之间的矛盾，恰巧两人都没有硬币，于是决定用扔瓶盖来代替硬币，但不能保证瓶盖正反两个事件的概率相等，有什么方法能保证结果的公平性么？4.令人匪夷所思的是，对一件事情解释得越详细，其可信度越低。
如果要让自己值得信赖，那就尽量避免细节化。
5.如果两个事件不能同时发生，那么它们一定是独立的吗？6.如果要保证至少两个人的生日为同一天的概率不小于50%，最少要多少个人呢？7.购物策略问题在前37%产品中选择最优惠的产品，再接下来的产品中有比这个产品更优惠的就买下来。
那么此时你赢的概率是37%。
这个策略是最优策略。
8.决斗问题A,B,C，三人决斗，假设A总能射中目标，B每次射中目标的概率是90%，而C则是50%。
从C开始，依次射击下一个人（除非他自己已经被击中了）。
那么C能幸存的最优策略是什么呢？9.细胞分裂假设有一种细胞，分裂和死亡的概率相同，如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少呢？10.把牌洗好并一张一张地把牌翻到正面。
在任何时候你都可以说“停，下一张是红色”，如果你是正确的，你赢，但你必须在某个时间点上说出来，如果我翻完51张牌你还没有叫停。
你就必须猜最后一张牌是红色的，除此之外，你可以自由运用任何策略。
那么最好的策略是什么呢？你赢的概率是多少？11.任何一个“理性的策略”只有在决定性条件发生时才会显示出优势，但是这种优势常常会因为决定性条件不发生而不起作用。
12.如果让你任意把64颗米粒摆在一块棋盘上，你会空出多少格呢？如果事件成功的概率是百万分之一，你试了一百万次之后不成功的概率是多少呢？在科罗拉多州的杰克逊县随便选定一平方英里的范围，然后在里面溜达遇不到任何人的概率是多少？如果有人告诉你平均每一千年就会发生大规模的陨星撞击地球的事情，那么接下来的一千年里会有多少流星撞击地球呢？这些问题的答案都是37%13.小概率事件，我们切忌忽略他们，因为一个事件即使再稀有也不意味着它永远不会发生。
一些很有趣的概率学问题
一些很有趣的概率学问题说到概率，有些好玩的东西不得不提。
比如，你知道吗，23个人中至少两个人生日相同的概率竟然超过了1/2；假如你们班上有50个人的话，那更不得了，至少两人生日相同的概率达到97% ！如果你会计算这个概率问题的话，你可以亲自证实这一点。
本文适宜的读者是知道上述问题怎么算的高中朋友，上述问题也是高中阶段学的一些基本概率知识。
上面的问题都是简单概率，它包含了一个最基本的原则，即使没有系统地学习过，平常人们也都在无形之中使用它：概率等于你要算的东西除以总的数目。
比如。
我们要计算23个人中任何两个人都不在同一天生的概率。
假设2月29日与其它日期出现概率相同的话（这是为了便于计算我们做出的假设，它有悖于常理），那么它的概率为A(366,23)/366^23。
它约为。
因此，至少两人在同一天生的概率为=。
当然，对于“你要算的东西除以总的数目”的认识是片面的，比如“投两个骰子出现的数字和从2到12共有11种可能，问数字和大于10的概率”这一问题的答案并不是2/11，因为这11个点数和出现的概率不是相等的，我们只能从投出的两个数字共6*6=36种情况中进行统计，可能的情况只有(5,6)、(6,5)和(6,6) （不会有人说还有(6,7)之类的吧），答案应该是3/36=1/12。
这些都是废话，我不细说了。
但是，你有想过这个问题吗：要是这些数目是无穷的怎么办换句话说，统计的东西不是“离散”的怎么办比如看这样一个问题。
明天早上我要和MM约会，但是具体见面时间我忘了，好像是8:00-9:00的某个时候。
那么我随便在这个时段中选一个时间去等MM，最多等她半个小时，正好能见到MM的概率是多少（假设MM先到的话不会等我）。
这个问题和我们平时见到的问题不同的地方在于，它的“情况”是连续的，不是离散的，不能逐一统计数目。
咋办呢我们注意到，我的时间随机取一个，MM的时间随机取一个，对于某些组合我们是有缘分的（这些组合无穷多）。
25个生活中的趣味概率现象
25个生活中的趣味概率现象生活中有许多趣味概率现象，这些现象以其奇特、有趣的特点吸引着我们的注意力。
下面我将介绍25个生活中的趣味概率现象。
1. 扔硬币正反面概率：扔硬币时，正反面出现的概率是相等的，即50%的概率。
2. 骰子点数概率：投掷一个六面骰子，每个点数出现的概率是相等的，即1/6的概率。
3. 路口红绿灯：在路口等待红绿灯时，绿灯亮的概率要大于红灯亮的概率，因为红绿灯的设置是根据交通流量和时间来调整的。
4. 抽奖概率：参加抽奖活动时，中奖的概率是参与人数与奖品数量的比例。
5. 天气预报准确率：天气预报的准确率是根据历史数据和气象模型计算得出的，有一定的概率误差。
6. 网络延迟概率：在使用网络时，由于网络拥塞、信号干扰等原因，会造成网络延迟，其概率与网络质量和使用情况有关。
7. 打电话被接通概率：打电话时，对方接通电话的概率与对方是否在通话中、手机是否开机等因素有关。
8. 考试分数概率：在考试中获得某个分数的概率与试卷难度、个人水平等因素相关。
9. 交通事故发生概率：在道路上行驶，发生交通事故的概率与驾驶习惯、道路状况等因素有关。
10. 足球比赛胜负概率：参与足球比赛的球队获胜的概率与球队实力、比赛策略等因素有关。
11. 摇号买车概率：参与摇号购车的人获得车牌号的概率与摇号人数和可用车牌号数量有关。
12. 电梯停靠楼层概率：乘坐电梯时，电梯停靠在某个楼层的概率与乘客在各个楼层的分布情况有关。
13. 跳水奥运项目得分概率：参与跳水比赛的选手获得某个得分的概率与选手的技术水平和裁判的评分标准有关。
14. 电子产品损坏概率：使用电子产品时，产品损坏的概率与产品质量和使用方式有关。
15. 高速公路收费站车流量概率：在高速公路上行驶，通过收费站的车流量的概率与时间段和节假日等因素有关。
16. 股票涨跌概率：参与股票交易时，股票涨跌的概率与市场行情和公司业绩等因素有关。
17. 网购物品满意度概率：网购物品后满意度的概率与商品质量、卖家服务等因素有关。
几个有趣的概率悖论
·几个有趣的概率悖论所谓悖论，是一个逻辑学的术语，原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。
数学中经常有各种各样的悖论，有些在数学哲学史上产生过重要影响．一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深人的思考。
其中最有震撼力的一个悖论应该是罗素关于集合论的悖论，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”．概率论中也有一些有趣的悖论，下面列出几个以引发大家思考。
悖论一：A、B、C三个人被关在一个狱里。
第二天，三人中有一人且只有一人将被执行死刑，另外两人将被释放，而看守知道哪个人将被执行死刑，哪两个人将会获释。
A知道自己会被执行死刑的概率是，另外两人中至少一个人会被释放，于是A写了一封家书，想托B或C中能获释的一个人带出去。
A想问问看守，到底应该把信交给谁（即B和C到底谁能获释）。
看守想：“此时A被执行死刑的概率是，若我把B或C中那个会获释的人告诉了A，那么只有两人可能被执行死刑，A被执行死刑的概率就上升到了，如果自己隐瞒这个信息，A被执行死刑的概率还会是”。
现在的问题是，A 明明知道B和C中一定会有一个被释放，为什么自己不知道这个人是谁时，自己被执行死刑的概率是个人是谁时，自己被执行死刑的概率就上升到了，而知道了这了呢？或者说，两人中反正有一个肯定会被释放，知道不知道这个人的名字为什么会影响自己被执行死刑的概率呢？问题的答案是：看守的担心是没有必要的，不论他是否把B、C中一个会被释放的人的名字告诉A，A还是只有我们这样来分析：可能被可能情况序号执行死刑的人看守可能告诉A被释放的人。
出现这个事件的概率1aAB1bC2BC3CB如果A什被执行死刑（这个事的概率是选A还是选B是等可能的，因此，“件事的概率是），那么看守可以选择B或C告诉A，A被执行死刑且看守告诉A：B会释放”这的，也就是。
表中的其他情况可以类似的分析。
现在我们来看，如果看守告诉A，明天B会被释放，我们看看此时A被执行死刑的概率是多大。
概率小故事两则
概率小故事两则“犯人”的机智有一个古老的传说，一个正义之士因看不惯皇上的所作所为而得罪了他，并被关进了监狱，众人替他求情，皇上就给他出了个难题：给他两个碗，一个碗里装50个小黑球，另一个碗里装50个小白球，规则是把他的眼睛蒙住，要他先选择一个碗，并从这个碗里拿出一个球．如果他拿的是黑球，就要继续关在监狱；如果他拿的是白球，就将获得自由．但在蒙住眼睛之前，允许他用他希望的任何方式把球进行混合．这个犯人两眼直盯着两个碗，因为这关系到他今后的人生，他不得不慎重考虑．皇上说：“这就要看你的造化了，你挑一个碗并从里面拿出一个白球的概率是50%．”犯人紧锁眉头，“天无绝人之路”，他灵机一动，把所有的球都混合在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，对皇上说：“现在我获得自由的概率增大了．”的确如此，这时他选中装一个白球的碗的概率为21，如果他选了另一个碗，他还能以9949（接近21）的概率从碗里拿出一个白球，这样他获得自由的机会提高到21+21×9949≈43． 但他并不因此而满足，因为他仍有约41的概率选到黑球．怎样才能把获释的机会再扩大一点呢？“允许我用‘任何’方式把球混合，”犯人急中生智，突然大叫一声：“这下我有救了．”只见他把白球覆盖在黑球上，并拿一个白球放在另一个碗里，这样他获释的机会为100%．皇上大叫一声：“好，君无戏言，立刻放人．”这个故事的前半段用了概率知识，至于后半部分把白球覆盖在黑球上，则是运用了智谋．第十次投掷我们已经知道，一枚均匀的硬币有正、反两个面，因此随意掷出后任何一面朝上的概率都是21．现在假如你已经随意投掷了九次，每次的结果都是正面朝上，那么第十次随意掷出后是正面朝上的概率大还是反面朝上的概率大呢？如果我们肯定地知道掷出的硬币确实是均匀的，并且是随意投掷的，那么这枚硬币无论被掷多少次，也无论投掷的结果是哪一面朝上，在下一次投掷中正、反每个面的概率仍然都是21，一枚硬币根本不会对它过去被投掷的结果有任何的记忆！许多人很难相信这一点．在第一次世界大战中，士兵们以为他们躲在新弹坑中将比躲在老弹坑中更安全，因为他们这样推想：在很短的时间中，炮弹不可能恰好在同一地点上爆炸两次！一位母亲有5个孩子，全是女孩，她认为她的下一个孩子是男孩的可能性将大于21．在扑克牌等游戏中，人们也经常迷信某一偶然事件曾经出现了好多次，它再次出现的可能性就较小，这些想法都是没有根据的．现在考虑问题的另一方面．在投掷一枚具体的硬币时，很难判定它是否是均匀的．所以，如果前九次投掷的结果都是正面朝上，那么我们就有很强的理由怀疑这是一枚不均匀的硬币，倾向于正面朝上．因此，在第十次投掷时又出现正面朝上的概率要大于21．林跃陆。
趣味概率
开
一 刻
据说有个人很怕坐飞机．说是飞机上有恐怖分子放炸弹 ．他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之 一．百万分之一虽然很小，但还没小到可以忽略不计的程度 ，所以他从来不坐飞机．可是有一天有人在机场看见他，感 到很奇怪．就问他，你不是说飞机上有炸弹吗？他说我又问 过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能性是百万分之一，但 每架飞机上同时有两颗炸弹的可能性只有百万的平方分之一 ，也就是说只有万亿分之一．这已经小到可以忽略不计了． 朋友说这数字没错，但两颗炸弹与你坐不坐飞机有什么关系 ？他很得意的说：当然有关系啦．不是说同时有两颗炸弹的 可能性很小吗，我现在自带一颗．如果飞机上另外再有一颗 炸弹的话，这架飞机上就同时有两颗炸弹．而我知道这几乎 是不可能的，所以我可以放心地去坐飞机．
二、谚语的“证明”
记“三个臭皮匠至少有一人能解决这个问题”为事件A， 则事件A的对立事件A 为“三个臭皮匠都不能解决这 个问题”，(每个人解决问题相互间没有影响)由独 立事件同时发生的概率得： A) (1 0.6)3 0.064 p(
又因为： P( A) 1 P( A) 所以： P( A) 1 0.064 0.936 即三个臭皮匠至少有一人解决这个问题的概 率为93.6%，超过诸葛亮的90%。所以“这 三个臭皮匠赛过诸葛亮”！
四、免费抽奖问题
8 2 C10 C10 同理获得三等奖的概率为： 3 2 10 0.02192 P C20
获得四等奖的概率为：
7 3 C10 C10 P4 2 0.155882 10 C20
获得五等奖的概率分两种情况：①编号相加得 70和80（他们的概率是相等的）②编号相加得 75，所以获得四等奖的概率为： 6 4 5 5 C10 C10 C10 C10 P5 2 2 0.238693 0.343718 0.821104 10 10 C20 C20
概率趣谈二三事
概率趣谈二三事概率和赌博1651年夏天，法国数学家、物理学家帕斯卡在前往浦埃托镇的旅行途中，偶然遇到了梅累。
梅累是一个贵族的公子哥儿，常常进出于赌博场中。
为了消磨旅途的寂寞，他大谈“赌博经”，并提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题，向帕斯卡求教。
问题是这样的：一次，梅累和赌友掷骰子，各押赌注32 个金币。
梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷出三次4点，就算赢了对方。
赌博进行了一段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点。
这时候梅累接到通知，要他马上去陪同国王接见外宾，赌博只好中断了。
请问，两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上一次6点就算赢，所以他有权分得梅累的一半，即梅累分64个金币的2/3，自己分64个金币的1/3。
梅累争辩说，不对。
即使下一次赌友掷出了4点，他还可以得1/2，即32个金币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，所以他应该分得64个金币的3/4，赌友只能分得64个金币的1/3。
两人到底谁说得对呢？大家知道，帕斯卡是十七世纪有名的“神童”数学家。
据说，他还是一个小孩子的时候，就独立地证明了“三角形内角和等于180”这个定理。
16岁时发现了“帕斯卡六边形定理”，并写成论文，笛卡儿竟然怀疑是帕斯卡父亲的作品。
图1 帕斯卡可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把这位“神童”数学家难住了。
他苦苦思考，不得要领。
一直想了两三年，到1654年才算有了一点眉目，于是写信给他的好友费马，两人开展了热烈的讨论。
讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的3/4，赌友应得64个金币的1/4（为什么？请读者用概率的知识算一算）。
这时有位荷兰的数学家惠更斯，在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。
讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年）这就是概率论的最早一部著作。
概率论现在已经成了数学里的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用。
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转载】概率论中几个有趣的例子
[ 2007-6-3 13:06:00 | By: Byron ]
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作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics
已经酝酿很长时间的本文终于出场了。
写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。
本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了）
当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。
皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。
我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。
要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。
关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。
也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。
因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。
我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。
这些例子一律来自伟大的Durrett的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。
例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。
大家把集合{1，…，n}想象为若干张扑克牌，每次我们等概率的取一张扑克牌，取完放回。
，意思就是手中取过k种不同的扑克牌所需的次数。
T(n) =t(n,n)表示取过所有扑克牌所需的次数。
X(n,k)=t(n,k)-t(n,k-1)，则X(n,k)服从参数是1-(k-1)/n的几何分布（思考题！），它的期望和方差可求，且容易发现X(n,1),…,X(n,n)相互独立，从而可以求出E
T(n),Var T(n)（习题！)。
且去证明依概率趋近于0.（数学基础稍微深一些的同学都知道，L2收敛蕴含依概率收敛）最终得到一个漂亮的结论：
依概率收敛于1.
数学基础比较少的同学可以直接看这一行，我把这一行的实际意义说清楚：就是假设我们要收集的邮票有n张，而每次别人给我们提供的邮票恰恰是等概率的，那么要想把n张收集全，需要的时间依概率趋近于nlogn。
所以大家就可以发现，为什么我们想集齐比较少的邮票要比集齐多的邮票容易的多。
作为更为深层次的读者，我要说的是，在随机变量收敛性问题的研究中，独立性和矩总是常见的关注对象。
为什么我们非常喜欢方差这个概念呢？我想一个重要的性质就是：对于独立的随机变量，方差对和有分配律。
于是二阶中心矩才会成为最重要的矩。
通过对矩的估计把随机变量的收敛性问题，转化为实数序列的收敛性问题，最后完全是数学分析的东西，这种手段是屡屡使用的。
例2 非对称的简单随机游动问题：独立同分布，,
, .
对于数学基础不太好的同学，我简单介绍一下这个问题的背景，其实很好理解。
设有一个点在0时刻位于实轴的原点0处，它在每个时刻以概率p向右跳跃一个单位长度，以概率q向左跳跃一个单位长度，且跳
跃的方向与以前每次跳跃的情况是独立的。
表示的是：n时刻这个点所在的位置。
我们有如下非常精彩的结论：
1 , 的直观意思就是，这个点首次跳到x的位置的时刻。
那么对于任意
的，这里函数。
上面的这个等式的直观意义：a是负半轴上一点，b是正半轴上一点，点没到b之前先到a的概率被计算了出来。
得到这个结论最快的方法就是用鞅论。
鞅实在是一个漂亮的东西，而它的漂亮之处就在于它与停时结合在
一起后的巨大威力。
用N表示和中的较小值，则N是停时。
首先要说明的是N小于无穷大。
要得到这个结论，我掌握的有三种方法：
（1）通过EN小于无穷大，得到这个结论，这事实上是通过一个强的多的结论说明的，具体见Durrett书181页。
（2）通过鞅收敛定理，见Durrett书275页。
其中用了一个重要结论：一致有界的鞅序列必然一致可积（应该是很显然的吧，呵呵）。
（3）通过马氏链的性质：对于一个有可列状态，不可约的马氏链，用F表示状态空间的一个有限子集，设初始状态属于F,用T表示链首次离开F的时间，则一定有T小于无穷大。
（可以作为本科生三年级应用随机过程的习题，证之！）
2 即首次到达b点的平均时间是。
处理方法还是用鞅论，这里不再多说。
关于用鞅论解决马氏链问题的例子，我还推荐数学基础比较高的同学阅读Durrett书上的（1）M/G/1排队（282页，298页，309页）（2）生灭过程（295页，301页）
本来我认为这两个例子是更加漂亮的，但考虑到数学基础一般的同学的阅读水平，就不写了。
例3 遍历定理的一个应用（Benford定律）
首先提一个问题：随机选取一个正整数，它的第一位数字是1 的概率是多少？
很多同学会武断的回答：1/9.
可是你忘记了问我一个问题：你是如何随机选取的？
也许你会说：这还用问？就是等概率的选取呗。
可是不要忘记，对于可列状态的状态空间，不存在一个概率测度，使得它在任意两个单点集上的概率相同！（思考题！）
其实一个直观的想法是：我们考虑前n个正整数中（均匀分布是可能的），首位数字是1的概率记为f(n),然后把f(n)的极限作为我上面所提问题的答案。
可是随后会不幸的发现，极限是不存在的！
于是作为习题，设前ｎ个正整数中，首位数字是１的概率记为,则的上极限是5/9,下极限
是1/9，且对于任意属于区间[1/9,5/9]的实数a，都存在的子序列，它的极限就是a。
类似的，记
前n个正整数中，首位数字是2的概率是,其上极限是10/27,下极限是1/18.（作为数学分析的习题！）
但是，当我们转而思考这样的等比序列，1，2，4，8，16，…记这个序列的前n项中首位数字是1的概率
为,则是有极限的，且极限是.一般地，对于任意一个非10的整数次幂的正整数q，
考虑以1为首项，以q为公比的等比数列，它的前n项中首位数字是k的概率为,则的极
限是. （证明不可能在这里给出了，大家只管从结论中去欣赏概率论之美吧！）
这个结论是非常漂亮的！叙述是非常简单的，意义是非常直观的，但并不是容易猜到的，证明所需的背景——遍历定理又是极其深刻的。
读来畅快淋漓！
今年春天，陈大岳教授（陈大岳教授的书目和学习指南）对我说，在现代概率论的研究中，遍历定理显现
的越发重要。
当看到上面这个结论后，我初步认识到遍历定理内涵的深刻和丰富。
以上仅选取三个概率论的基本例子，它们的结论的直观易懂与其所需理论背景的负责程度形成了鲜明的对比，体现了概率论作为一个数学分支的美妙。
管中窥豹，可见一斑，希望能以此激发大家深入学习概率论的兴趣，使不同数学基础的同学都能有所收获。