【时间管理】第3章离散时间序列及其Z变换
离散时间信号z变换
3.2.4 Z变换旳性质和定理
1.线性
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
z b
z b
z a z a , z b; zb zb zb
Y (z) X (z)H (z) z z a z za zb zb
X (z)的极点与H (z)的零点相消，Y (z)
的收敛域扩大，为 z b .
y(n) x(n) h(n) Z 1[Y ( z)] bnu(n)
12.帕塞瓦定理(parseval)
6. 翻褶序列
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
1
1
1
Z[x(n)] X ( ) ;
z
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
0.5z 1)
(z
z2 2)(z
0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X (z) z ]z2
4 3
X (z)
1
A2 [( z 0.5)
第3章 离散信号的时域和Z域分析
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
离散时间序列的Z变换
z变换与傅里叶变换，拉普拉斯变换的关系
虚轴上的拉普拉斯变换对应与连续时间信 号的傅里叶变换 。 单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅 里叶变换 。 s平面的虚轴s=jω映射到z平面的单位圆 。 如果一个离散时间信号的傅里叶变换存在， 它在z平面的收敛域应包含单位圆。
5.2.2 常用序列的 变换 常用序列的z变换
.1 z变换的定义 变换的定义
X ( z) =
双 边
Im[z]
n = −∞
∑ x( n) z
∞
−n
X ( z ) = ∑ x (n) z −n
n =0
Im[z] Im[ ]
∞
单 边
a 0 b Re[z] 0 Re[z]
(a) 双边z变换的收敛域
(b) 单边z变换的收敛域
１.单位序列
z[δ (n)] = ∑ δ (n) z −n = δ (n) = 1
n =0 ∞
２.阶跃序列
Z [ε (n)] = ∑ ε (n) z
n =0 ∞ −n
= ∑ z −n =
n =0
∞
1 z = 1 − z −1 z − 1
3．指数序列
z[a n ε (n)] = ∑ a n z − n = ∑ (az −1 ) n
n =0 n =0 ∞ ∞
当|az-1|<1，即|z|>|a|时，级数收敛，其结果为
z 1 z[a ε ( n)] = = −1 1 − ( az ) z − a
n
常 用 序 列 的 Z 变 换 表
5.2.3 Z变换的性质 变换的性质
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
第3章-离散时间序列与Z变换1
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
第3章离散时间信号与系统的频域分析
结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
时域离散序列z变换公式
时域离散序列z变换公式时域离散序列z变换是数字信号处理领域中的重要概念，用于将离散时间序列转换为复频率域序列。
通过z变换，我们可以更好地分析和处理数字信号，从而在通信、控制、滤波等领域中发挥重要作用。
在进行时域离散序列z变换时，我们需要首先了解什么是离散时间序列。
离散时间序列是在离散时间点上取样得到的信号，通常用一个序列来表示。
这些时间点是离散的，而不是连续的，因此我们需要利用数学工具来对这些序列进行处理和分析。
z变换是一种广泛应用的数学工具，可以将离散时间序列转换为z 域中的复频率域序列。
通过z变换，我们可以将差分方程表示的离散系统转换为代数方程表示，从而更容易进行系统分析和设计。
在进行z变换时，我们需要考虑信号的采样频率、序列的长度以及信号的幅度和相位信息。
通过对这些信息进行变换，我们可以得到z域中的频谱信息，从而更好地理解信号的频率特性和频率响应。
通过z变换，我们可以实现数字滤波器的设计和分析。
数字滤波器在数字信号处理中起着至关重要的作用，可以帮助我们去除噪声、滤波信号以及实现频率域变换等功能。
通过z变换，我们可以将滤波器的传递函数表示为z域中的函数，从而更好地理解滤波器的频率响应特性。
除了滤波器设计，z变换还可以用于系统建模和控制器设计。
通过将系统的状态方程进行z变换，我们可以得到系统在z域中的状态空间表示，从而可以进行系统的稳定性分析和控制器的设计。
这对于控制工程师来说是非常重要的工具，可以帮助他们设计出稳定且性能优良的控制系统。
总的来说，时域离散序列z变换是数字信号处理中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间序列。
通过z变换，我们可以实现滤波器设计、系统建模和控制器设计等功能，为数字信号处理领域的研究和应用提供了重要支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解时域离散序列z变换的基本概念和应用。
第三章 Z变换
0 | z | Rx 2 0 | z | Rx 2
j Im[ z ]
左边序列 ROC示意图
Re[ z ]
Rx 2
3．2．5 双边序列的ROC
如果序列在整个区间都有定义，则称之为双边序列或无始无 终序列。
X(z)
如果
n
x (n )z n x (n )z n
n 0
n
1 z | z | 1 1 1 z z 1
1
|z| > 1
序列的单边ZT可以用双边ZT表示
Z[x(n)] Z B [x(n)u(n)]
而且，一个序列是因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u ( n )
一个序列是反因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u (— n — 1 )
（3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0
除外)
3．2．2 有限长序列的ROC
X(z)
n n1
x (n )z n
n2
（1） n1<0，n2>0 时，收敛域为 0 < | z | <∞( |z|=0, ∞ 除外) （2）n1<0， n2 ≤ 0 时， 收敛域为 0 ≤ | z | < ∞ ( |z|=∞ 除外) （3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0 除外)
a n , (n 0) x 1 (n ) 0, (n 0)
的ZT为：
X1 ( z)
n
x ( n) z
1
n
a z
Z变换及离散时间系统.
1 zN
, z 0
1 z 1
三、S、Z复平面间的映射关系 S平面到Z平面的映射是非单一的。
四、频率轴的定标
2.2 Z变换的定义域ROC
X (z) x[n]zn n
令 z re jω, z r.
z 变换收敛意味着:
X (z) x[n]zn x[n] z n
n
n
x[n] r n
例2. 左边序列：x[n] a nu[n 1],
1
X (z) a n z n n a 1 z n n1
ROC : a 1z 1,
i.e. z a .
X
(z)
1
1 az
1
.
唯一性问题
Z变换与F变换的关系
• DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 • DTFT : 在单位圆上的 z 变换。 • DTFT 存在 (i.e. 序列稳定 ) ROC 含单位圆。
(b) 再用观察法求x[n].
• 例1. X (z) e z1 , z 0.
(b) 时移 : x[n d ] z d X (z)
(c)
指数相乘:
z
n 0
x[n]
X(z /
z0 ),
ROC z0 ROCx
(d ) 微分 : nx[n] z dX (z) , ROC不变 dz
(e) 反序 : x[n] X (z 1 ), ROC 1/ ROC
( f ) 共轭 : x[n] X (z ), ROC 不变
Z变换是F变换的一般化、推广， 序列的F变换是在单位圆周（|Z|＝1）上 的Z变换。
(1) [n] 1, z C
(2)
u[n]
1
1 z
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的数学工具。
它在离散时间系统的分析和设计中起着重要的作用。
本文将介绍Z变换的定义、性质，以及如何利用Z变换分析离散时间系统。
1.Z变换的定义：Z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数。
假设有一个离散时间信号x[n]，经过Z变换得到的函数为X(z)。
其定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑(x[n]*z^(-n))其中，z是复变量，n为离散时间点。
2.Z变换的性质：Z变换具有许多重要的性质，其中一些性质与连续时间傅里叶变换类似，另一些则是离散时间系统的特有性质。
（1）线性性质：如果x1[n]和x2[n]是离散时间信号，a和b是常数，则有：Z{a*x1[n]+b*x2[n]}=a*X1(z)+b*X2(z)（2）平移性质：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x[n-m]的Z变换是z^(-m)*X(z)。
这意味着在离散时间域上的平移，在Z变换域上相当于乘以z的负幂次。
（3）初值定理和终值定理：如果x[n]的Z变换是X(z)，则有：x[0] = lim(z->∞) X(z)x[-1] = lim(z->0) X(z)（4）共轭对称性：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x*[n]（x[n]的共轭）的Z变换是X*(z)（X(z)的共轭）。
（5）频率抽样定理：如果x(t)是带限信号，那么它的频谱可以通过对x[n]进行离散化来获得，即X(jω)=X(e^(jωT))，其中T是采样间隔。
3.离散时间系统的分析：利用Z变换，可以对离散时间系统进行分析和设计。
通常，我们可以将离散时间系统看作是一个线性差分方程，通过对该差分方程进行Z变换，可以得到系统的传输函数H(z)。
离散时间系统的输入输出关系可以表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，Y(z)为输出信号，X(z)为输入信号，H(z)为系统的传输函数。
通过分析传输函数H(z)，我们可以确定系统的稳定性、频率响应、相位特性等。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是指在离散时间点上取值的信号。
它可以用一个数列来表示，其中每个数代表了在相应时间点上的信号取值。
离散时间信号在数字信号处理中起着重要的作用，因为它们可以通过数字系统来表示和处理。
离散时间信号的定义可以表示为x(n)，其中n是离散时间点的索引。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
有限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取值范围在0到N-1之间，N为信号的长度。
而无限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取遍整个整数集。
离散时间信号的Z变换是一种重要的信号变换方法，它将离散时间信号转换为复变量的函数。
Z变换是一种在数字信号处理中常用的工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域，从而可以进行频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号x(n)的Z变换可以表示为X(z)，其中z为复变量。
Z变换的定义可以表示为：X(z) = Σ(x(n) * z^(-n))其中Σ表示求和符号，x(n)表示离散时间信号的取值，z^(-n)表示z的负幂次方。
Z变换的性质和连续时间信号的拉普拉斯变换类似，具有线性性、平移性、卷积性、频率抽样等性质。
Z变换将离散时间信号映射到复平面上的点，其中每个点对应离散时间信号在不同频率上的幅度和相位信息。
Z变换在信号处理中有广泛的应用。
它可以用于系统的频域分析，比如计算系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
Z变换还可以用于信号的滤波和等级控制，用于设计数字滤波器和控制器，从而实现对信号的调制和解调。
此外，Z变换还可以用于信号的压缩和编码，用于提取信号中的相关特征和压缩信号的数据量。
总而言之，离散时间信号及其Z变换是数字信号处理中的重要概念和工具。
离散时间信号可以用一个数列来表示，在离散时间点上取值。
而Z变换则将离散时间信号从时域转换到复频域，从而实现对信号的频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号及其Z变换的应用广泛，包括系统分析、信号滤波、信号压缩等领域。
第3章 离散时间序列及其z变换
R N (n) (n) (n N)
单边指数序列（1/2）
• 可表示为
x(n) an(n)
• 根据a的不同，序列值有多种不同的情况： 当| a | >1，序列发散；| a | <1，序列收敛；a > 0，序列值均为正；a < 0，则序列值正负 摆动，如图3.6所示
< ∞ 。由此，可得出下列重要性质：
复指数序列 （3/3）
• 如果把正弦或复指数信号经过取样，变换为离散 时间信号（序列），就相应地把无限的频率范围 （对于连续信号）映射（变换）到有限的频率范 围，明确这一变换的特点极为重要，它表明：在 进行数字信号分析和处理时，序列的频率只能在
ω0 或 0 ω0 2
• 矩形序列定义为
1 , 0 n N 1 R N (n) 0 , 其它n
0
图3.5
N-1
n
矩形序列
• 它从n = 0开始，直至n = N-1，共N个幅度为1的序 列值，其余均为零，如图3.5所示。若表示为RN (n-m)，则表示序列取值为1的范围是：m n N+m-1它在离散系统中的作用类似于连续系统中 的矩形脉冲
• ε(n)定义为
x(n) 1
1 , n 0 (n) 0 , n 0
-2 -1 0 1 2
n
图3.4 单位阶跃序列
• 如图3.4所示。它与连续系统中的单位阶跃 信号类似，但ε(t)在t = 0处为跳变点，其左、 右极限不相等，而ε(n)则在n=0处明确定义 为1
单位阶跃序列ε(n) （2/2）
正弦（余弦）序列（1/6）
• 正弦序列表示为 x(n) sin n0
• 余弦序列表示为 x(n) cos n0
信号处理及其应用：第3章 离散时间序列及其z变换
1 , 0 ,
n0 n0
Z[ (n)] (n)zn zn 1 z1 z2
2）右边序列 n<n1时，x（n）=0，是有始无终序列
17
x(n) {x(n) 0
n1 n n n1
X (z) x(n)zn
nn1
收敛域为以Rn为半径的圆外域
若n1≥0，即Rn<|z|≤∞;当n1=0，因果序列 若n1<0, 收敛域不包括z=∞，即Rn<|z|<∞。
18
3）左边序列
n>n2时，x（n）=0，是无始有终序列
n
11
X (z) Z [x(n)] x(n)z n
n
若换考，虑xa（Xt(）z) 是 Z因[x果(n)信] 号 ，x(n采)z用n 单边拉氏变
2）直接定义
n0
双边z变换 X (z) Z [x(n)] x(n)zn
单边z变换
n
X (z) Z [x(n)] x(n)zn
n0
z变换完成了离散信号由时域到z域的映射，z
|a|>1，序列发散；|a|<1，序列收敛。 a>0，序列值均为正；a<0，序列值正负 摆动。
4
5
5）斜变序列
r(n) n (n)
斜变序列与单位阶跃序列
n
r(n) (m 1) m0
(m 1) r(m) r(m 1)
6
6）正弦（余弦）序列
xn sin nw0
xn cos nw0
-π≤ω0≤π 或0≤ω0≤2π 3.1.3 序列的运算 1）相加及累加
z(n) x(n) y(n)
8
n
y(n) x(m) m
2）相乘与数乘
z(n) x(n) y(n)
常用序列的z变换
常用序列的z 变换1. 引言在信号与系统以及数学领域中，z 变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间序列的频域特性。
它被广泛应用于数字信号处理、控制系统、图像处理等领域。
本文将深入探讨常用序列的z 变换，包括定义、性质、求解方法以及应用。
2. 定义2.1 离散时间序列离散时间序列是指在一系列离散时刻上取值的序列，用数学表达式表示为{xn}。
其中，n 为整数，代表时刻。
2.2 z 变换z 变换是一种将离散时间序列转换到复平面上的数学工具。
它的定义如下：X (z )=∑x ∞n=−∞(n )z−n 其中，X(z)为z 变换的结果。
它是一个复数函数，与复变量z 相关。
x(n)为离散时间序列的取值。
3. 性质z 变换具有许多重要的性质，下面列举几个常用的性质：3.1 线性性质对于任意常数a 和b ，以及离散时间序列x(n)和y(n)，有以下关系： X (z )=aX 1(z )+bX 2(z )其中，X(z)为x(n)的z 变换结果，X1(z)为x1(n)的z 变换结果，X2(z)为x2(n)的z 变换结果。
3.2 移位性质离散时间序列的移位操作在z变换中可以用乘法来表示。
具体表达式如下：X(z)=z0−n X0(z)其中，X0(z)为x(n)的z变换结果，X(z)为x(n−n0)的z变换结果。
3.3 缩放性质离散时间序列的缩放操作在z变换中可以用z变量的幂函数来表示。
具体表达式如下：X(z)=X0(z n)其中，X0(z)为x(n)的z变换结果，X(z)为x(n/n0)的z变换结果。
3.4 差分性质差分操作在z变换中可以用除法来表示。
具体表达式如下：X(z)=X0(z)−X1(z)1−z−1其中，X0(z)和X1(z)分别为x(n)和x(n−1)的z变换结果，X(z)为x(n−1)的z变换结果。
4. 求解方法4.1 直接求解法直接求解法是指根据z变换的定义，逐项计算离散时间序列的z变换结果。
这种方法适用于简单的离散时间序列。
第3章 离散时间序列与Z变换2
z sin0 = 2 z 2z cos0+1
z>1
5、时域卷积定理
已知 x(n) X(z)
y(n) Y(z)
RX<z< RX+ RY<z< RY +
若 则
w(n)= x(n) y(n)
W(z)=X(z)Y(z) R<z<R+ R+ =min[RX +， RY+ ]
其中 R=max[RX ， RY ]
特别的，若有零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大。
例
1 1 z 1 y(n)=an u(n)an1u(n1) x(n)=u(n) X(z) =
z>1 (a<1) z > a
求 w(n)= x(n)y(n)
1 z 1 Y(z)= 1az1
d n z = x(n) dz n=
= n=
= z1 nx(n) zn = z1 Z[nx(n) ] n=
利用
z x(n)=u(n) X(z) = z 1
z>1
1 z d z nu(n) z = z = 2 dz z 1 (z 1) (z 1)2
有两个极点 v1= a v2= z/b |a| c 围线c内只有一个极点 v1= a |z/b| Re[v]
围线c内只有一个极点 v1= a，所以 W(z) = Res[X(v) Y(z/v)v1, 1 z /b a] = Res v a (z/b) v , a
1 z /b = (v a) v a (z/b) v 直接计算
c
第3章离散序列
Rr1<|z|<∞
Rr1<|z|<Rr2
Re(z)
Re(z)
Re(z)
Re(z)
a)有限长序列
b) 右边序列
c) 左边序列
d) 双边序列
结论：左内右外双边环有限长序列有限平面。
n n 例 求序列 x(n) a u(n) b u(n 1) 的Z变换，并确定其收 敛域，其中b>a>0.
2）根值判定法 n 当ρ＜1时级数收敛，ρ＞1时级数发散，ρ=1 时级数可能收敛也可能发散。
n
n | x ( n ) z |
lim n | an |
有限长序列： 有限的区间上有非零值,其Z变换为：
X ( z ) x(n) z n
n n1 n2
st
n
x( nTs ) (t nTs )e
dt
n
x(nTs )e snTs X (e sTs )
jTs
则
z e
sTs
e
( j )Ts
e
Ts
e
Hale Waihona Puke 令： r eTs Ts z re j
是离散系统和离散信号的圆周频率，单位为 rad. 是连续系统和连续信号的角频率，单位为 rad/s。
n
z
n0
n
z 1 , 1 1 z z 1
z 1
单位斜变序列
Z [nu(n)]
n0
1 z z n nz 1 2 (1 z ) ( z 1) 2
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则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。
正弦序列的周期性：
sinn0 sin(n N )0 要 满 足 ：N0 2m
即 ：2 N 0 m
或N 0 m 2
正 弦 序 列 是 周 期 序 列 的条 件 ：2 必 须 为 整 数 或 有 理 数 ！ 0
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 7、复指数序列
x(n) e j0n cos0n j sin0n
由 于n取 整 数 ， 则 有 ：
e e j0n
j0 (n 2k )
（k为 正 整 数 ）
由 此 可 得 ： 复 指 数 序 列在 频 域 是 以2为 周 期 的 周 期 函 数 ！
-2 -1 0 1 2 3 4
-0.28
56
7
8
9 10 11 12
-0.76
-0.91 -1
-0.54 -0.99
-0.76 -0.91
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
6、正弦、余弦序列 再例如：x(n) sin 1 n 5
即：2 10为无理数,不是周期序列。 0
即
的
0
有
效
取
值
区
间
为
：
0 或0 0 2
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
8、用单位脉冲序列 (n)表示任意的序列 x(n)
x(n) x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n)
sin 1 n
1
5
0.93 0.99 1 0.97 0.91
0.84 0.56 0.72 0.2 0.39
0.81 0.68 0.52 0.33 0.14
-2 -1 0 1
-0.39 -0.2
2
3
4
5
6
7
8
16 17 9 10 11 12 13 14 15 -0.06
-0.26
n
2019年8月9日星期五
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
6、正弦、余弦序列
例如： x(n) sin 4 n
11
即：2 11为有理数, 是周期序列（N 11, m 2)。 0 2
sin 4 n
11
1 0.91
0.99
0.91
0.76
0.54
0.28
n
二、基本序列（离散时间信号）
2、单位阶跃序列u(n)
1
u(n)
0
n
0 ,
也可表示
为
：u(n)
(n m)
n0
m0
u(n
k)
1 0
nk nk
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
3、矩形序列 RN (n)
1
RN
(n)
0
0 n N 1 (其 他n）
或 RN (n) u(n) u(n N )
R4(n) 1
01 23
n 2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
4、单边指数序列
x(n) anu(n)
anu(n)
anu(n)
1 0 a 1
x(1) (n 1) x(2) (n 2) x(k) (n k)
x(k) (n k) k
例如：
f (n)
3
f (n) 2 (3) (1) (2)
2
0 (1) 1 (0) 3 (1) (2) (2)
1
n -3 -2 -1 0 1 2
-1 -2
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算
1、相加
两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相加。
z(n) x(n) y(n)
n
序列的累加（求和）： y(n) x(m)
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 5、斜变序列
R(n) n u(n) 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
6、正弦、余弦序列
正弦：x(n) sinn0 余弦：x(n) cos n0 0 ——数字角频率。
sin n
n -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ts 闭合一次
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
1、单位抽样（脉冲）序列 (n)
(n)
1 0
n0 n0
(n
k)
1 0
nk nk
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
a 1 1
n -1 0 1 2 3
anu(n) 1
1 a 0
-1 0
12
3
n
n -1 0 1 2 3
anu(n)
a 1 1
n -1 0 1 2 3 4
-1
-1
anu(n)
a 1 1
n
-1 0 1 2 3
anu(n)
a 1 1
-1 0 1 2
3
n
-1
2019年8月9日星期五
只在离散时刻才有定义。工程上是从连续时间信号经抽样 得到的离散时间信号。
f (n) 3.1, 3.8, 4.3, 4.5, 4, 3.5, 2.5, 0.7
n0
f (t)
f (n)
4.5
R
4.3 4.5
4
3.8
4
3
f (t)
f (n)
3.1
3.5
2
S
2.5
1
0.7
0
t
每隔时间间隔
6
1
1
0.87
0.87
0.5
0.5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n
7 8 9 10 11 12
-0.5
-0.87 -1
-0.5
-0.5
-0.87
-0.87
-1
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
6、正弦、余弦序列
周期序列：如果对所有n存在一个最小的正整数N，使 下面等式成立：
第3章 离散时间信号及其Z变换
第1节 离散时间信号——序列 第2节 序列的Z变换及其性质 第3节 序列的Z反变换
2019年8月9日星期五
第3章 第1节 离散时间信号
一、序列——离散时间信号的定义 离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数
值的信号，简称离散信号，也称离散序列。 时间上离散的数据在时域内表示为离散时间信号，其