快速傅里叶变换FFT2

, k 0,1, , N / 4 1 k X 1 (k N / 4) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
直接按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次
复数加法。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
如前所述， N 点 DFT 的复乘次数等于 N2 。显Hale Waihona Puke Baidu，
把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大 减少。另外，旋转因子 WmN 具有明显的周期性和对称
性。其周期性表现为
mlN WN e j 2 ( mlN ) N
N 2M ,
M
为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
N x1 ( r ) x(2r ), r 0,1, 1 2 N x2 ( r ) x(2r 1), r 0,1, 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
kn kn X (k ) x (n )WN x (n )WN n n
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
kn X (k ) x(n)WN , k 0,1, , N 1 n 0 N 1
(4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，

由于
N / 2 1

r 0
x (2r )W
2 kr N

N / 2 1

r 0
k (2 r 1) x (2r 1)WN
N / 2 1

r 0
x1 ( r ) W
j 2 2 kr N
k N
N / 2 1

2 kr WN e
e
k N
r 0 2 j kr N 2
X(0) X(1) X(2) X(3)
WN
WN
1
0
X(4) X(5) X(6) X(7)
WN WN
3
2
图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4
长的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l ) x2 (2l )

i 0 i 0
kl x3 (l )WN / 4 DFT [ x3 (l )]
x4 (k )
N / 4 1

kl x4 (l )WN / 4 DFT [ x4 (l )]
同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和Wm N/2的对称 性 Wk+N/4 N/2=-Wk N/2 最后得到：
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
A
A＋ BC
B
C
A－ BC
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) N/2点 N/2点
X1 (0) X1 (1) X1 (2) DFT X1 (3) X2 (0) X2 (1) X2 (2) DFT X2 (3)

i 0
x3 (l )W
kl N /4
W
k N /2
N / 4 1

i 0
kl x4 (l )WN /4
k x3 ( k ) WN / 2 X 4 ( k ), k 0,1, N / 2 1
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中 x (k ) 3
N / 4 1
2 kr x2 ( r )WN
2 kr WN /2
所以
X (k )
N / 21

r 0
x1 ( r )W
kr N /2
W
N / 21

r 0
kr k x2 ( r )WN X ( k ) W /2 1 N X 2 (k )
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，
即
X 1 (k ) X 2 (k )
N 2
N / 2 1

r 0 r 0
kr x1 ( r )WN / 2 DFT [ x1 ( r )]
(4.2.5)
N / 2 1

kr x2 ( r )WN / 2 DFT [ x2 ( r )]
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言
DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换。因直 接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换 ( 简 称 FFT) 出现以前，直接用 DFT 算法进行谱分析和信号 的实时处理是不切实际的。直到 1965 年发现了 DFT 的 一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。
WN
k
k WN
，所以X(k)又可表示为
(4.2.7)
(4.2.8)
N X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k ) k 0,1, 1 2 N N k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 2 2
k N
N , l 0,1, , 1 x4 (l ) x1 (2l 1) 4
那么，X1(k)又可表示为
X 1 (k )
N / 4 1 N / 4 1

i 0
2 kl x1 (2l )WN /2
N / 4 1

i 0
k (2 l 1) x1 (2l 1)WN /2
e
j
2 m N
m WN
(4.2.2)
其对称性表现为
m WN WNN m
或者 [WN
N m
m ] WN
WN
m
N 2
m WN
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法 FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取 法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)。 下面先介绍DIF―FFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足