重庆大学高数工学下期末试题五含答案

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XX 大学《高等数学（工学类）》课程试卷

A卷

B卷

20 — 20 学年第学期

开课学院:数统学院课程号:

考试日期:

考

试方式：

开卷

闭卷 其他

考试时间: 120 分钟

一、选择题(每小题3分,共18分)

1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=

(A)1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b

知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D

分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2.微分方程21x y '=的通解是(

).

(A) 1y C x =

+(B) 1

y C x

=+ (C)1C y x =-+ (D) 1

y x

C =-+

知识点:微分方程,难度等级:1. 答案:D

分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1

,y C x

=-+故应选(D).

3.设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则(

).Ω

=

(A) 4R π(B)443R π;(C)4 3

2 R π(D)42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案:A

4．若L 是上半椭圆cos sin x a t

y b t

=⎧⎨

=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为

(

).

(A)0 (B)2

ab π

(C)ab π (D)ab π-

知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C

分析:题中半椭圆面积为

,2

ab π

要用格林公式,添有向线段

1:0(:).L y x a a =-→

1

1

2,0.D

L L L dxdy ab π-+===⎰

⎰⎰⎰故选C.

命

题人

:

组

题人

:

审

题人:

命题时间:

教务处制

学院 专业、班 年级 学号 X X 考试教室

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

5.设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有34()0,L

x ydx xf x dy +=⎰

且(1)2,f =则()f x =().

(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x +(D)x

x 13+

知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.

答案:D

分析:由条件知,积分与路径无关,有

3(4)(())

.x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足

方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6.曲

面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积

(

).=

(A) π

(C)

知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B

分析:在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分

为

D

,选B.

二、填空题(每小题3分,共18分)

7.级数1

2(2)!n

n n n ∞

=∑的和为__________.

知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e

分析:111

21

.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞

∞

∞======-∑∑∑

8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,

sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪

=≤≤⎨⎪=⎩

的一

段.

知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案

：

2222(343

a b π

π+ 解:

弧长的微分为,ds =于是

22222222220

2()()(343

c

x y z ds a b t dt a b π

π

π++=+=

+⎰

9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.

知识点:平面方程,难度等级:2.

答案:20.y -=

分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100

i j k

n AB i =⨯=-=过

点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数z

y u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.

知识点:函数的方向导数.难度等级:1 答案：1.6

解:(1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333

αβγ-===

1

(1,2,1)(1,2,1)

1(1,2,1)(1,2,1)

1;2

ln 0;

z z z y y z u

y x x u

x x zy y ------∂=⋅=∂∂=⋅=∂

(1,2,1)(1,2,1)

ln ln 0.z

y z u x x y y z --∂=⋅=∂

111

.236

u a ∂

⇒

=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧,将

⎰⎰∑

++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为

__________.

知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555

P Q R dS ∑

++

⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函

数作内积即可,平面法向量为

{

,长度为5故得结果.

12.设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则

()xy yz zx dS ∑

++⎰⎰__________.=

知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3. 答案4. 分析:曲面关于x 轴对称

,xy yz +

为关于y 的奇函数,故只需算zx

的积分值

,

2cos 3422

cos .xy

a D zxdS d dr θ

ππθθ-∑

==

=

⎰⎰⎰⎰

三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线

(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤

的一拱.

知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2

分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解:由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是