2.1.1椭圆及其标准方程(第一课时)

如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 （3）当2a<2c时， 无轨迹 ； ；
（2）当2a=2c时，轨迹是以F1、 F2为端点的线段
；
二、基础知识讲解
1.椭圆定义：
平面上到两个定点的距离的
如图：
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
可得 | PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, | PO |
令b | PO | a c
2 2
a c
2
2
那么①式
x a
2 2

y b
2 2
1
(a>b>0)
2.椭圆的标准方程 y
M
焦点F1 ( c,0), F2 (c,0)
建立直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}
如何化简?
( x c ) y 2a
2 2 2 2 2
( x c) y
2 2
2
你能在图中找出 2 2 怎样判断a, b, c大小关系？ 整理得a cx a ( x c ) y 表示a，c， a 2 2 2 2， 2 c 2 4 2 2 2 2 2 2 两边平方得： 2a cx c x a x 2a cx a c a y a 的线段吗？2 2 y 整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a -c )
8. P是椭圆 x
2

y
2
4
3
1上的点，F1和F2是焦点，则
4 3 k PF1 PF2 的最大值是____，最小值是_____.
(2)
x
2

y
2
1
（2）x轴
( 2 ,0) ( 2, 0)
4
2
随堂练习
1.如果椭圆
x
2

y
2
100
36
1 上一点P到焦点F1的距
离 等 于 6, 则 点 P 到 另 一 个 焦 点 F2 的 距 离
是
14
。
随堂练习
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) a 4 , b 1 ,焦点在x轴上；
变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则
动点P的轨迹为（ B ）
(2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则
动点P的轨迹为（ D ）
2.方程
变式：
x
2

y
2
1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.
5
4k
k>0且k≠5/4
（1）方程
x
2

y
2
2

2
x b
2 2
1
a b 0
a b c
思考：方程Ax2+By2=C何时表示椭圆？
答：A、B、C同号且A、B不相等时。
四、针对性训练
（一）补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则 动点P的轨迹为（ A ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
。
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ), 求它的标准方程.
2 2
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x a
2 2

y b
2 2
1 (a b 0).
由椭圆的定义知
2a ( 5 2 2) (
2
3 2
)
(2) a 4 , c
(1 ) x
2
15 .
y 1
2
16 x
2
(2)
y 1
2
y
2
x 1
2
16
16
三、例题分析
例1.已知椭圆方程为
x
2

y
2
1 ,
25
16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3
; (-3,0)、(3,0) ,
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为
焦距为 6 。
2.椭圆的两种标准方程：
定 义 y
M
|MF1|+|MF2|=2a y
F2
M
图 形
F1
o
F2 x
o
F1
x
焦点及位置 判定
焦点F1 ( c,0), F2 (c,0)
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
y a
2
2 2
标准方程
a,b,c之间
的关系
x a
2 2

y b
2 2
1
a b 0
1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5
4k
取值范围.
（2）方程
x
2
k>5/4
y
2

1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆，
5
4k
求k的值.
k＝1/4
7.
神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以
地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地 面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为
m-n R，那么这个椭圆的焦距为___________千米.
x
2 2
F1
O
F2
x

y b
2 2
1(a b 0)
2
a
这里c a b
2 2
y
F2 M O F1
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
y
2 2
x

x b
2 2
1(a b 0)
2
a
这里c a b
2 2
典例分析
例1 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦 点坐标、焦距。 2 2 x y (1) 1 （1）y轴 （0,1） （0,-1） 3 4
B
C.6
3.当直线y kx 2的倾斜角大于45小于90时，它和 曲线2 x 3 y 6的公共点的个数为(
2 2
C )A.0B.1来自C.2D.不能确定
四、小结巩固
1.椭圆的定义：
平面上到两个定点的距离的和等于定长2a
(大于2c)的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
的动点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
问题: 求曲线方程的基本步骤？ 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， （1）建系设点; （2）写出条件； （3）列出方程； 2 2 2 2 （4）化简方程； 即 ( x c ) y ( x c ) y 2a （5）下结论。 2 2 2 2 ( x c ) y 2a ( x c ) y
MF1 MF 2 2a 2c
M
和等于定长2a,（大于|F1F2 |）
的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距
F1
2c
F2
（2c）。
y
M (x,y)
如图所示:F1、F2为两定点，且
|F1F2|=2c，求平面内到两定点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)
2
则( x c ) y 4a 4a ( x c ) y ( x c ) y
2 2
2
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0， 两边同除以a2(a2-c2)得:
x a
2 2 2 2
P
M (x,y)

y
2
F1 (-c,0) O
1 ①
F2(c,0) x
a c
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端 都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动 笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
引例:
平面内到定点的 距离等于定长的 点的轨迹是圆.
思考: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢？
探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一 周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
2
(
5 2
2) (
2
3 2
) 2 10
2
所以
a
10 .
又因为 c 2,所以 b 2 a 2 c 2 10 4 6. 因此, 所求椭圆的标准方程为
x
2

y
2
1.
10
6
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 ( , ) , 求它的标准方程. 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x a
2 2
5
3 2
2

y b
2 2
1 (a b 0).
又 焦点的坐标分别是 2,0), (2,0) c 2 (
a b 4
2 2
①
2 2
求椭圆标准方程的解题步骤：
又由已知
(5) 2 a
2
联立①②,
( 3 ) （1）确定焦点的位置； 2 ② 1 2 b （2）设出椭圆的标准方程；