函数的切线与导数公开课优质课获奖课件
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高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
x
20/66
【解析】函数f(x)= ln x定义域为(0,+∞),且f′(x)=
x
令f′(x)=01,得xln2 xx=, e, 当x改变时,f′(x),f(x)改变情况如表:
21/66
x f′(x)
(0,e) +
e
(e,+∞)
0
-
f(x)
单调递增↗
1 e
单调递减↘
故当x=e时,函数取得极大值f(e)=1 ,无极小值.
28/66
(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.当x改变时,f(x)与f′(x)改
变情况以下表:
x f′(x)
f(x)
(-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
+
0
-
0
+
单调 递增
27
单调 递减
-5
单调 递增
29/66
即函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27, 当x=1时,f(x)有极小值-5.
9/66
2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)极值点? 提醒:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时才 称x0为极值点. 3.函数极大值一定大于极小值吗?
提醒:不一定,极值刻画是函数局部性质,反应了函数在 某一点附近大小情况,极大值可能比极小值还小.
10/66
【预习自测】 1.函数y=f(x)导数y′与函数值和极值之间关系 为( ) A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
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【解析】函数f(x)= ln x定义域为(0,+∞),且f′(x)=
x
令f′(x)=01,得xln2 xx=, e, 当x改变时,f′(x),f(x)改变情况如表:
21/66
x f′(x)
(0,e) +
e
(e,+∞)
0
-
f(x)
单调递增↗
1 e
单调递减↘
故当x=e时,函数取得极大值f(e)=1 ,无极小值.
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(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.当x改变时,f(x)与f′(x)改
变情况以下表:
x f′(x)
f(x)
(-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
+
0
-
0
+
单调 递增
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单调 递减
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单调 递增
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即函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27, 当x=1时,f(x)有极小值-5.
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2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)极值点? 提醒:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时才 称x0为极值点. 3.函数极大值一定大于极小值吗?
提醒:不一定,极值刻画是函数局部性质,反应了函数在 某一点附近大小情况,极大值可能比极小值还小.
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【预习自测】 1.函数y=f(x)导数y′与函数值和极值之间关系 为( ) A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
导数与切线方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
解：由导数的定义有
f '(x)＝lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2
x0
x
x0
x
lim x(2x x) 2x
x0
x
f '(1)＝f '(x) x1 2 (1) 2 f '(2) f '(x) x2 2 2 4
9/13
1、平均改变率
普通，函数 f (在x)区间上 [x1，x 平2 ]均改变率为
B
k y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
A x2-x1=△xx
x1
x2
6/13
我们把物体在某一时刻速度称为瞬时速度. 2.导数概念
普通地，函数 y =f(x) 在点x=x0处瞬时改变率
是
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f
x 我们发觉,当点Q沿着曲线无限靠近点P即
Δx→0时,割线PQ假如有一个极限位置PT.则我
们把直线PT称为曲线在点P处切线.
4/13
设切线倾斜角为α,那么 当Δx→0时,割线PQ斜率, 称为曲线在点P处切线斜 率.
y=f(x)
y
Q割
线
切T
线
P
o
x
即:
k切线
f
' (x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
(2)求平均变化率 y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数 f
( x0
)
lim
x 0
y x
.
注意:这里增量不是普通意义上增量,它可正也可负. 自变量增量Δx形式是多样,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应形式.
求导法则公开课一等奖课件省赛课获奖课件
i1k 1
ki
(4)
1 g(x)
g ( x) g2(x)
( g(x) 0 )
以n 3为例，可证(3)：
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x)
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) g(x)h(x)
h0
h
u(x h)v(x h) u(x)v(x)
lim
h0
h
[u(x h) u(x)]v(x h) u(x)[v(x h) v(x)]
lim
h0
h
lim
h0
v(
x
h
)
u(
x
h) h
u(
x
)
u(
x)
v(
x
h)
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
f ( x)在x处可导.
证明：设在点可导，令
H (x) tan
H
(x)
f
(x) x
f ( x0 ) x0
,
x U
( x0 )
f (x0 ),
x x0
y f (x)
则因 lim H ( x) lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
f ( x0 ) H ( x0 )
x0 x x
所以H (x)在点 x0连续， 且 f (x) f (x0 ) H (x)(x x0 )， x U (x0 ) 反之，设存在H (x)， x U (x0 )，它在 x0点连续， 且 f (x) f (x0 ) H ( x)( x x0 ) x U (x0 )
ki
(4)
1 g(x)
g ( x) g2(x)
( g(x) 0 )
以n 3为例，可证(3)：
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x)
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) g(x)h(x)
h0
h
u(x h)v(x h) u(x)v(x)
lim
h0
h
[u(x h) u(x)]v(x h) u(x)[v(x h) v(x)]
lim
h0
h
lim
h0
v(
x
h
)
u(
x
h) h
u(
x
)
u(
x)
v(
x
h)
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
f ( x)在x处可导.
证明：设在点可导，令
H (x) tan
H
(x)
f
(x) x
f ( x0 ) x0
,
x U
( x0 )
f (x0 ),
x x0
y f (x)
则因 lim H ( x) lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
f ( x0 ) H ( x0 )
x0 x x
所以H (x)在点 x0连续， 且 f (x) f (x0 ) H (x)(x x0 )， x U (x0 ) 反之，设存在H (x)， x U (x0 )，它在 x0点连续， 且 f (x) f (x0 ) H ( x)( x x0 ) x U (x0 )
导数与函数切线问题 ppt课件
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
例题与练习：
练习:利用函数公式求函数导数
(1). f (x) 3x ln(x 1) (2). f ( x) 1 x2 ln(2x 1)
2
3. f (x) x3 ax2 b
导数与函数切线问题
知识点： 1.函数在一(x点 0, y0)处的导f数 '(x0), 就是函数在该点线 处斜 的率 切
为 y 2 x, 则 P的 坐 标 为 __0__, 0_____
6.函 数 f ( x ) 1 x 2 ln(2x 1)在 点 (1, f (1))处 的 切 2
线 方 程 为 __2_x___ 2y30
7.过 点 (1, 0)作 曲 线 y x 2的 切 线 ， 则 切 线 方 程
3 .关 于 过 点 P (x 0,y 0)的 切 线 问 题 :要 分 清 是 "在 点 型 "还 是 "过 点 型 "
在 点 型
题 意 明 确 某 点 P(x0,y0)是 切 点 ,具 体 文 字 表 示 为 : "在 P处 的 切 线 "或 "P为 切 点 "
过点型
即P(x0, y0)点不明示为切点,则P可以为切点 也可以不为切点，若点P不在曲线上，则P
2 .已 知 函 数 f(x )的 图 象 在 点 M 2 ,f(2 )处 的 切 线
7 方 程 是 x 2 y 4 0 ,则 f(2 )f2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3如 图.y f (x)是 可 导 函 数 ， 直 线 l是 曲 线 y f (x)在 x 4
y
5
4,5
处的切线，令g(x) f (x) , 3
例题与练习：
练习:利用函数公式求函数导数
(1). f (x) 3x ln(x 1) (2). f ( x) 1 x2 ln(2x 1)
2
3. f (x) x3 ax2 b
导数与函数切线问题
知识点： 1.函数在一(x点 0, y0)处的导f数 '(x0), 就是函数在该点线 处斜 的率 切
为 y 2 x, 则 P的 坐 标 为 __0__, 0_____
6.函 数 f ( x ) 1 x 2 ln(2x 1)在 点 (1, f (1))处 的 切 2
线 方 程 为 __2_x___ 2y30
7.过 点 (1, 0)作 曲 线 y x 2的 切 线 ， 则 切 线 方 程
3 .关 于 过 点 P (x 0,y 0)的 切 线 问 题 :要 分 清 是 "在 点 型 "还 是 "过 点 型 "
在 点 型
题 意 明 确 某 点 P(x0,y0)是 切 点 ,具 体 文 字 表 示 为 : "在 P处 的 切 线 "或 "P为 切 点 "
过点型
即P(x0, y0)点不明示为切点,则P可以为切点 也可以不为切点，若点P不在曲线上，则P
2 .已 知 函 数 f(x )的 图 象 在 点 M 2 ,f(2 )处 的 切 线
7 方 程 是 x 2 y 4 0 ,则 f(2 )f2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3如 图.y f (x)是 可 导 函 数 ， 直 线 l是 曲 线 y f (x)在 x 4
y
5
4,5
处的切线，令g(x) f (x) , 3
公开课(利用导数求切线)PPT课件
4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝____f′_(x_)_±__g_′(_x_)___； (2)[f(x)·g(x)]′＝___f′_(_x)_g_(_x_)＋__f_(_x)_g_′_(x_)___； f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (3)gf（（xx））′＝___________[g__（__x_）__]2__________ (g(x)≠0)．
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝__α_x_α_－_1__ f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝__－__si_n_x__ f′(x)＝__e_x_ f′(x)＝___a_xl_n_a__
1 f′(x)＝_x__
1 f′(x)＝__x_ln__a_
P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5， ∴切线方程为 y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点 P(x0，x30－4x20＋5x0－4)， ∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， ∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0， 或y＋2＝0.
2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝_f′_(_x0_)__．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
导数与切线方程PPT15页
拉ห้องสมุดไป่ตู้
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
导数与切线方程
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
导数与切线方程
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
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,则函数
f(x) 在区间 I 上为向下凸函数;
（2）"x ? I ,有f ⅱ( x) < 0
,则函数
f(x) 在区间 I 上为向上凸函数.
点 P 为拐点，拐点的二阶导数为0.
例2 已知曲线 S : f ( x) = e x - ax2 (a > 0添) 加文字 ，直y =线x +l:1
(1) 直线 l 与曲线 S 的位置关系是怎样的？
(2) 手绘草图分析直线 l 与曲线 S 公共点的个数.
(3)
证明：当a =
1 2
02时，直线
l
与曲线
S 有且仅有一个公共点.
小结 通过本节课的学习，你对切线有添哪加文些字认识？
02
作业
完成例2当 a ¹
1 2
时结论的代数添证加明文.字
02
谢谢！
函数的切线与导数
导数及其应用
导数概念
导数的实际背景 导数的定义
导数的几何意义
导数 导数运算 导数应用
基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
函数单调性与导数 函数的极值与导数 函数的最值与导数 函数的切线与导数
例1 + 3 x + 1
曲线在点 P 处的切线 . 02
o
割 线
T 切线
x
例1 已知曲线 S : f ( x) = x3 - 3 x2 + 3 x + 1
添加文字
P(
5 3
,
2)
的曲线 S 的切线方程.
，求过点
探究 两条切线与曲线 S 分别有几个公共点？
02
结论 若函数 f(x) 在开区间 I 存在
二阶导数，且
（1）"x ? I ,有f ⅱ( x) > 0
添加文字
与曾经学习过的圆、圆锥曲线的切线有什么不同？
当点Q( x0 + Vx, y0 + Vy) 曲线逐渐向点 P( x0 , y0 ) 接近时， 割线 PQ 绕着点 P 逐渐转动，当
沿着
y
y=f(x)
添加文字 Q
点 Q 沿着曲线无限接近于点P ,即
D x ? 0 时，如果割线 PQ 有一个
01
极限位置 PT ,那么直线 PT 叫做 P
添加文字
P(
5 3
,
2)
的曲线 S 的切线方程.
，求过点
总结 求在某点处的切线，这个点是切点，切线是唯一的；
求过某点的切线0，2这个点未必是切点，切线可能不唯一.
请用图形计算器画出曲线与两条直线，观察图形的位置关系
S : f (x) = x3 - 3x2 + 3x + 1 切线: y = 2 y、= 3 x - 3