人口的logistic模型

第六次建模作业

组员:何睿洁 张鹏 刘顺 一.logistic 模型模拟

【摘要】物种种群数量的变化规律一直是我们所探究的问题，考虑到一些自然灾害和物种间的食物链或竞争关系，我们可以在一定条件下模拟某一种群的变化规律。对于人口的增长一直是一个热门话题，我们通过数据的统计和拟合可以总结出某地区的人口变化规律，并在其他地区进行模型检验，分析该动态机理模型是否在一定程度上成立。

【关键词】人口增长 数据统计 模型检验 动态机理模型

【问题重述】美国人口数据随时间的变化：

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850

3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123 132 151 179 204 227 251 281

【模型建立】首先我们可用微积分的思想将连续的微分方程离散化，不妨设x(n)表示第n 次普查所得人口数，根据logistic 模型 dy/dt=r(1-y/K)y 可得：

())())(1()()1(n x K n x r n x n x -=-+

进一步化简有

))(1()()()1(K n x r n x n x n x -=-+

令 )()()1(n x n x n x u -+=

，)(n x v =

可得： K

rv r u -= 【求解模型】现在我们可以用线性拟合，借助matlab 来进行运算得到r ,K

运行程序：

X=[3.9 ; 5.3 ; 7.2 ; 9.6 ; 12.9; 17.1; 23.2; 31.4; 38.6 ; 50.2 ; 62.9 ; 76.0 ; 92.0 ; 106.5; 123 ; 132 ; 151; 179 ; 204 ; 227 ; 251 ; 281];

Y=[]

for i=1:21

Y(i)=(X(i+1,:)-X(i,:))./(X(i,:));

Y=[Y ,Y(i)]

End

运行结果运用cftool 工具线性模拟:

Result

Linear model Poly1:

f(x) = p1*x + p2

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = -0.0009825 (-0.001254, -0.0007108)

p2 = 0.3178 (0.2832, 0.3525)

Goodness of fit:

SSE: 0.05449

R-square: 0.74

Adjusted R-square: 0.727

RMSE: 0.0522

（结果显然是有误差的）

再用非线性拟合，已知微分方程是dy/dt=r(1-y/K)y，它的解是y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]

下面用非线性拟合来实现并且用最小二乘法分析，matlab程序如

下：

function y=fun(b,t)

y=b(1)./((1+(b(1)./3.9-1).*exp(-b(2).*t)))

t=1:22;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123 132 151 179 204 227 251 281];

b0=[323.5,0.3178]

b=nlinfit(t,y,@fun,b0);

x1=1:22;

plot(t,y,'r*',x1,fun(b , x1))

er=y-fun(b , t);

Q=er*er';

Q =

771.3288

b =

366.7076 0.2530

运行结果：

根据上述步骤，这就得到我们模拟的美国人口增长的logistic模型的表达式:

dy/dt=0.2530*(1-y/366.7066)*y

【模型分析】

通过图像可以看出我们的模拟很大程度上是比较近似的，符合美国人口的增长模式，但是也是含有较大误差的。我们采取模型的离散化将微分方程用差分来代替必须基于很多假设上，并且这种离散化容易产生离群值的点；再用cftool工具拟合也会存在一定程度的误差。

二. 体重与人体摄取能量及运动的关系

【摘要】人体增重是一个相当复杂的人体生理学问题，涉及的因素包括日摄入量，日运动量，身体是否健康等。且对于不同人，遗传因素也占据了颇为重要的地位。本文用数学建模方法，从人体增重机理入手，抽取主要客观因素，提出适当的假设以回避次要因素的干扰，成功简化问题。

【关键词】动态机理模型平衡原理连续模型离散模型

【问题重述】

某人的食量是2500 cal/D, 其中1200cal 用于基本的新陈代谢。在健身训练中他所消耗的大约是16 cal/kg/D乘以他的体重(kg)，假设以脂肪形式贮藏的热量是100%有效，而1kg脂肪含热量10000 cal. 求出这个人的体重是怎样随时间变化的。（尝试用matlab 求解方程，解析解与数值解。）

【模型假设】

1.该人的能量储存形式仅考虑脂肪（生物学告诉我们，脂肪是人体主要储能物质）；

2.摄入能量向脂肪的转化以及脂肪向热能的转化率为100%；

3.该人的能量消耗只有基本代谢和健身；

4.将该人的体重直接与每天的脂肪增量相对应（这条假设或许是不合理）;

5.人体健康,既不影响食量与代谢量和脂肪的转化.

符号说明：