正余弦定理的综合应用课件
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第4章第7节正弦定理余弦定理的综合应用课件共60张PPT
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之
间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
()
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
二、教材习题衍生
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝
45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知sin∠CDDAC＝sin∠ACCDA，
∴AC＝CDsi·ns∠in∠DACCDA＝25 2米． ∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25 2× 23＝252 6≈31米． ∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关 系为α＋β＝180°.( )
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(1)10 6 (2) 1241[(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×13＝
20， ∴由正弦定理sin∠BCCAB＝sin∠ABBCA，
∴BC＝ABsi·nsi∠n∠BCCAAB＝20×1
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件).
在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得
AB AC BC 2 AC BC cosACB 134.05 116.54 2134.05 116.54 cos 25
2 2
2
2
2
3233.95
所以ＡＢ≈５７（m）. 答：Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７m.
双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )．
在△A1B2B1 中，由余弦定理得
2 2 B1B2 ＝A1B1 ＋A1B2 A1B2· cos 45° 2－2A1B1·
2 ＝20 ＋(10 2) －2×20×10 2× ＝200， 2
例２、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出 呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该 渔轮在方位角为４５°，距离为10n mile的Ｃ 处，并测得渔轮正沿方位角为105 °的方向， 以９n mile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇 立即以２１n mile/h的速度前去营救．求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 北 0.1 °,时间精确到１min）
练习2
乙船按固定方向向匀速直线航行。当甲船位于A1处时， 乙船位于甲船的北偏西1050方向的B1处，此时两船相距 20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到 问乙船每小时航行多少海里？
如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，
甲船的北偏西1200方向的B2处，此时两船相距10 2海里，
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。
高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2， 求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定 理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三 角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两 边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角 和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求 角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角 形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以 利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的 三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此 外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断 三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌 握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。
正弦定理与余弦定理的应用优秀PPT课件
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析 由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，又 B＝30°，
∴AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案 A
2．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，
45和 60 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器
高1.5m,求烟囱的高。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
β 的关系为( )．
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析 根据仰角与俯角的定义易知 α＝β.
答案 B
3．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且
AC＝BC，则点 A 在点 B 的( )．
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
练习2
如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行， 乙船按固定方向向匀速直线航行。当甲船位于A1处时， 乙船位于甲船的北偏西1050方向的B1处，此时两船相距 20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到 甲船的北偏西1200方向的B2处，此时两船相距10 2海里， 问乙船每小时航行多少海里？
＝85°, ∠ ACD=47°, 则
∠ DＡＣ=4８°，又ＤＣ＝
正弦定理和余弦定理的应用PPT优秀课件
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
4
34
因为0＜ ＜
所以当 ，5，
32
6
即∠AOB
5 6
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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因为0＜ ＜
所以当 ，5，
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即∠AOB
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25正弦定理、余弦定理应用举例PPT课件
.
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又又∠∠DDBBCC＝＝∠∠DDBBAA＋＋∠∠AABBCC＝＝3300°＋°＋(9(09°0－°－606°0)°＝)＝606°0, °B,CB＝C＝20203 ∠时里C＝DDD)D3)B．B6，×2点＝A＝0C又在∴故在∴故在∴故又在∴故∴°＋12需3,B又在∴故＝∠△C救△C救0B△C救需∠△C救∠D要0D∠△C救DDC9DDD援＋2D援D援要DD援AD＝＋0＝＝＝DD援＝1BBBB0＝BB船1船的船船BB小BCC3，C3船C32CC320CC3到0C＝00到0时到＝0到中＝时0(中到中＝((中(2海中0(海海海达－∠海间达达3－达,．∠3达∠,,,,里0C里(里C里C2里DCC°2海DDDDtDDBDD＋D＝D×D)DB)))B)，BD，2点，里，2，点＝2点A2点＝2＝＝点A(＝＝3＝3＝1A＝＝·9∴＋B∴00∴0需)需∴需∴30＋33B需需，B＝33CBB0°00需需∠需0D0要要－D要0需0需3∠·0DD要要1c00＋2＋×2＋要2A要oA＋(要＋＋＋226＋1要要A小1＋1＋sB10B1121的1小B的B的∠1小CB1°小B0的2的时C小B小B2C)2C时＝0C时2C＝2时＝时00D时C2时C0时)＝时003－时202时0间．3－．－B2－602×0间间3－－0．－．－间03－2间－C．0．°2t2B2°0＋12＝°2×22tt,2BB°2＋＝D＝2＝××tBtB＋B＝(×331D＝D×·9BD00C09(D333110··9(＝3310BCB003030＝1°·9·0B0000－B＝＝300·0CC01°c＝，×C2＝°－Co(33··61c小1－0c3s·××03·21co(o(1c×6∠°小小×0o(时ss6o()023小2s＝小∠0s∠D2°0(0时)时23∠海°)．0时∠B6＝0×)时DD)0＝)3C3D里．．°B)D12B3×6×)．,3B＝6．×0CCB)×0，12°C12C9C,°＝12＝012,＝B＝0B＝9C9，20C90＝09000＝0，0，230，20(，海0 3里
正弦定理、余弦定理的应用PPT教学课件
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
奴隶社会走向崩溃。
战国时期，社会经济继续向前发展，各诸侯国 新兴地主阶级进行了不同程度的变法，使封建 制度逐步得到确立。其中，以秦国的商鞅变法 最为彻底。春秋战国时期，诸侯争战连绵不断， 给广大劳动人民带来严重灾难，但客观上又促
进了民族融合，符合人民渴望统一的愿望。
大的冶炼场有工匠几百人
c.冶铁中心
楚国的宛、赵国的邯郸
②煮盐业山东海盐、山西的池盐和石盐
③手工艺品
丝麻织品、漆器
3.商业的兴盛 ①种类繁多
②封建城市兴起 齐国 临淄 赵国 邯郸 楚国 郢 魏国 大梁
小结：
春秋战国时期是我国奴隶社会瓦解，封建社会 形成时期。春秋时期，周王室不再受到尊崇， 出现诸侯争霸的局面，此时因铁器和牛耕的使 用，生产力得到发展，私田增多，井田制瓦解，
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
奴隶社会走向崩溃。
战国时期，社会经济继续向前发展，各诸侯国 新兴地主阶级进行了不同程度的变法，使封建 制度逐步得到确立。其中，以秦国的商鞅变法 最为彻底。春秋战国时期，诸侯争战连绵不断， 给广大劳动人民带来严重灾难，但客观上又促
进了民族融合，符合人民渴望统一的愿望。
大的冶炼场有工匠几百人
c.冶铁中心
楚国的宛、赵国的邯郸
②煮盐业山东海盐、山西的池盐和石盐
③手工艺品
丝麻织品、漆器
3.商业的兴盛 ①种类繁多
②封建城市兴起 齐国 临淄 赵国 邯郸 楚国 郢 魏国 大梁
小结：
春秋战国时期是我国奴隶社会瓦解，封建社会 形成时期。春秋时期，周王室不再受到尊崇， 出现诸侯争霸的局面，此时因铁器和牛耕的使 用，生产力得到发展，私田增多，井田制瓦解，
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正、余弦定理的综合应用 课件
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应根 据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；解 决平面向量与解三角形的交汇问题，应准确运用向量知 识将其转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理来求 解．
[变式训练] (全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边
分别为 a，b，c，已知 b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋
c2－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解析：因为 b sin C＋c sin B＝4a sin B·sin C，
所以 b sin
⇔C 为钝角；c2＜a2＋b2⇔C 为锐角．
4．三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝12bcsin A＝12ac·sin B＝12ab·sin C，即任意三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一 半． (2)S△ABC＝12a·h，其中 a 为△ABC 的一边长，而 h 为 该边上的高的长．
所以B→A·B→C＝B→A·B→C·cos B＝accos B＝21. 所以 ac＝35， 因为 cos B＝35， 所以 sin B＝45. 所以 S△ABC＝12acsin B＝12×35×45＝14. (2)因为 ac＝35，a＝7，所以 c＝5. 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
由正弦定理sinc C＝sinb B， 所以 sin C＝bcsin B＝452×45＝ 22. 因为 c＜b 且 B 为锐角，所以 C 一定是锐角． 所以 C＝45°.
归纳升华 1．解答向量与正、余弦定理的综合题的关键是揭开 向量的“伪装”，找到三角形的边角关系． 2．求向量数量积时应注意向量的方向． 3．利用余弦定理、正弦定理分别列方程，要有列方 程组、解方程组的意识．
正弦定理余弦定理的运用PPT优秀课件
2 20 21 1 4 3 sin 7 7 A C D s in sin (6 0 )
C
21
D
1 3 5 3 21 A D3 1 s in c o s 2 2 1 4 sin60 sin
20
14
B
6 . A B C 中 , B C C A 7 . 5 , C A A B 3 2 . 5 , A B B C 1 6 . 5 .求 A B C 最 大 的 内 角 .
D
C
2 2 2 A B C A B A C B C 2 A C B C c o s A C B
3 2 3 3 . 9 5 A B 5 7 ( m )答 . ( 略 )
P20练习1
6
P 例 2某 渔 轮 在 航 行 中 不 幸 遇 险 , 发 出 呼 救 信 号 , 我 海 军 舰 1 8 艇 在 A 处 获 悉 , 测 出 该 渔 船 在 方 位 角 为 4 5, 距 离 为 1 0 n m i l e 的 C 处 , 并 测 得 渔 船 正 沿 方 位 角 1 0 5的 方 向 , 以 9 n m i l e /h 的 速 度 向 小 岛 靠 拢 , 我 海 军 舰 艇 立 即 以 2 1 n m i l e /h 的 速 度 前 去 营 救 , 求 舰 艇 的 航 向 和 靠 近 渔 船 所 用 的 时 间 ( 精 确 到 0 . 1, 时 间 精 确 到 1 m i n ) . P20练习3，4
N
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
4
三角形中的计算问题
• • • • 面积计算公式： S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式：
C
21
D
1 3 5 3 21 A D3 1 s in c o s 2 2 1 4 sin60 sin
20
14
B
6 . A B C 中 , B C C A 7 . 5 , C A A B 3 2 . 5 , A B B C 1 6 . 5 .求 A B C 最 大 的 内 角 .
D
C
2 2 2 A B C A B A C B C 2 A C B C c o s A C B
3 2 3 3 . 9 5 A B 5 7 ( m )答 . ( 略 )
P20练习1
6
P 例 2某 渔 轮 在 航 行 中 不 幸 遇 险 , 发 出 呼 救 信 号 , 我 海 军 舰 1 8 艇 在 A 处 获 悉 , 测 出 该 渔 船 在 方 位 角 为 4 5, 距 离 为 1 0 n m i l e 的 C 处 , 并 测 得 渔 船 正 沿 方 位 角 1 0 5的 方 向 , 以 9 n m i l e /h 的 速 度 向 小 岛 靠 拢 , 我 海 军 舰 艇 立 即 以 2 1 n m i l e /h 的 速 度 前 去 营 救 , 求 舰 艇 的 航 向 和 靠 近 渔 船 所 用 的 时 间 ( 精 确 到 0 . 1, 时 间 精 确 到 1 m i n ) . P20练习3，4
N
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
4
三角形中的计算问题
• • • • 面积计算公式： S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式：
正弦定理、余弦定理的综合应用 课件
规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形 解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角 形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定 理，必要时也可以列出方程(组)求解．
解 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝ b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和 角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角 的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为
边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角 (如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出b与c， 在有解时只有一解
已知条件 应用定理
解 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得 a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1 ＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°， ∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
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[变式训练] 在△ABC 中，已知 AB＝436，cos B＝ 66，AC 边上的中线 BD＝ 5，求 sin A.
正余弦定理的综合应用
1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊 的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．
2．对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题， 一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为 边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的 有关知识，三角恒等变形方法、代替恒等变形方法等进 行转化、化简，从而得出结论．
正余弦定理Hale Waihona Puke 综合应用正余弦定理的综合应用
2．正弦定理及其变形
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝_2_R_． (2)a＝__2_R__s_in__A_，b＝__2_R__si_n__B_，c＝_2__R_s_in__C__．
3．余弦定理及其推论
b2＋c2－a2
(1)a2＝__b_2_＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s__A_，cos A＝___2_b_c____．
第一章 解三角形
正余弦定理的综合应用
[知识提炼·梳理] 1．三角形内的角的函数关系 在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C， 则有： (1)sin (A＋B)＝_s_i_n__C__，cos (A＋B)＝_－__c_o_s_C_，
(2)sin A＋2 B＝_co_s_C2___，cos A＋2 B＝_si_n_C2___．
正余弦定理的综合应用
(2)在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为_直__角__，c2＞a2＋b2 ⇔C 为钝角；c2＜a2＋b2⇔C 为_锐__角__．
正余弦定理的综合应用
类型 1 余弦定理的应用 [典例 1] 设 x，x＋1，x＋2 是钝角三角形的三边长， 求实数 x 的取值范围．
正余弦定理的综合应用