(完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线
高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by a x ，因式分解得到0x ya b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点
完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点左老师备战考高基础复资料-椭圆椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹。
这两个定点叫焦点，两定点间距离为焦距。
椭圆的标准方程分为焦点在x轴和焦点在y轴的情况，分别为x^2/a^2+y^2/b^2=1和y^2/a^2+x^2/b^2=1，其中a>b>0.椭圆的范围为x≤a。
y≤b或y≤a。
x≤b，顶点坐标为(±a。
0)和(0.±b)，对称轴为x轴和y轴，对称中心为原点O(0,0)，焦点坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)或F1(0,c)和F2(0,-c)，其中c为焦距的一半，即c^2=a^2-b^2，离心率为e=c/a，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆。
椭圆的准线为垂直于长轴且在椭圆外的直线，两准线间的距离为2b，准线方程为x=±a^2/c或y=±b^2/c。
椭圆上的点到焦点的最大（小）距离分别为a+c和a-c，椭圆的参数方程为x=acosθ。
y=bsinθ或x=bcosθ。
y=asinθ，其中θ为参数。
利用参数方程可以简便地求解椭圆上一点到直线Ax+By+C=0的距离，距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。
注意：文章中的公式可能无法正确显示，建议查看原文。
双曲线是一种常见的曲线形式，其方程可以表示为y=±(b/x)或x=±(b/y)，其中a和b为实数。
我们可以将其转化为一元二次方程，用判别式确定其位置关系。
如果二次项系数为零，则直线与渐近线平行。
另外，如果有相交弦AB，则其弦长可以表示为AB=1+k^2(x1+x2)^2-4x1x2，通径为AB=y2-y1.抛物线是另一种常见的曲线形式，其方程可以表示为y^2=2px或x^2=2py，其中p为正实数。
抛物线的焦点是其轨迹上与一定直线距离相等的点，而准线是该直线。
抛物线关于x轴对称，焦点在对称轴上，离心率为1，顶点到准线的距离等于焦点到准线的距离。
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F1F21的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：|MF,| |MF2| 2a 2a 2c将定义中的常数记为2a,贝①.当2a卩人时，点的轨迹是椭圆_____________双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：MF t - MF22a 2a 2c将定义中的常数记为2a，贝①.当2a FE时，点的轨迹是双曲线_____________________ ②•当2a |吋2时，点的轨迹是两条射线③.当2a卩占时，点的轨迹不存在焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mn 02 2与双曲线仔笃1共焦点的双曲线系方程可设为:a b2y1 ba kb kx22 2 2 2与双曲线笃 耸1共渐近线的双曲线系方程可设为： $ 爲a ba b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线I （I 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做AB x , x 2 p -2^（为弦AB 的倾斜角）sin直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A （x i ,y i ）,B x 2,y 2，则椭圆（或双曲线、抛 物线）的弦长公式：AB x , x 2| —k 2J x , x 2 2 4%卷—k22 2 2 2与椭圆負b 2 1共焦点的椭圆系方程可设为：和冷1 k b 2标准方程2y 2px (p o )图形焦点坐标(p ,0) 2 (匕0) 2 （0月2(0,上) 2准线方程x& 2x E 2 y 舟 yi范围x 0, y R x 0, y Ry 0,x Ry 0,x R对称性 关于x 轴关于y 轴顶点坐标 (0,0)焦半径M X o ,y o|MF | X 。
椭圆,双曲线,抛物线性质
1、范围:焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b;焦点在y轴上-b≤x≤b -a≤y≤a[1]2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）4、离心率：e=c/a 或e=√1-b^2/a^25、离心率范围 0<e<16、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆7.焦点(当中心为原点时)（-c，0），（c，0）或(0,c),(0,-c)切线法线定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。
若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P 的两侧，则∠APF1=∠BPF2。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。
若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
方程标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。
a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。
即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1。
高考数学椭圆、双曲线、抛物线的重点知识归纳和常用结论
高考数学椭圆、双曲线、抛物线的重点知识归纳和常用结论
椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. ②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
01
椭圆及其标准方程
02
椭圆的简单几何性质。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
双曲线椭圆抛物线知识点总结
双曲线椭圆抛物线知识点总结椭圆标准 方程（焦点在x 轴）)0(12222>>=+b a by a x （焦点在y 轴）)0(12222>>=+b a bx a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
{}a MFMF M 221=+()212F F a >第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
范 围 x a ≤ y b ≤x b ≤ y a ≤顶点坐标 )0,(a ± (0,)b ±),0(a ± (,0)b ±对 称 轴 x 轴，y 轴；长轴长为a 2，短轴长为b 2对称中心 原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c 2(,0)F c -1(0,)F c 2(0,)F c -焦点在长轴上，22c a b =-； 焦距：122F F c =离 心率a c e = (01e <<) ,ab a ac e 22222-==， e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆。
过椭圆上一点的切线12020=+byy a x x 利用导数 00221y y x xa b+= 利用导数双曲线双曲线标准方程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MFMF M 221=-()212F F a <第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。
最新圆锥曲线-椭圆-双曲线-抛物线-知识点总结-例题习题精讲-详细答案
课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结教学提纲
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
高考数学复习：圆锥曲线
高考数学复习：圆锥曲线考点一：椭圆、双曲线、抛物线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2；③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a ，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .（3）与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p23、抛物线中的几何常用结论（1）设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦．①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．（2）过x 2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 【题型1圆锥曲线的定义及应用】容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于12F F 。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（2）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（3）顶点：焦点在$x$轴上时，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上时，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），反映了椭圆的扁平程度。
4、椭圆中的重要结论（1）过椭圆焦点的弦长：若弦过焦点$F_1$，则弦长$｜AB| ＝ 2a e(x_1 ＋ x_2)＄。
（2）椭圆上一点到焦点的距离：设椭圆上一点$P(x_0, y_0)＄，两焦点为$F_1$，＄F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2| ＝ aex_0$。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版汇编
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F,F2的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：［MF.I+|MF2| =2a(2a >2c)将定义中的常数记为2a，贝U：①.当2a FF时，点的轨迹是椭圆焦点位置不确定的椭圆方程可设为：mx2 ny2=1 m 0, n • 0,m = n2 2 2 2与椭圆笃每=1共焦点的椭圆系方程可设为：孚2y 1 k • —b2 a2 b2a+k b +k二、双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：| MF』-MF2| -2a 2a：：： 2C将定义中的常数记为2a，贝U：①.当2a £市』时，点的轨迹是双曲线______________2 与双曲线二ax2 a 2-k2y_ b2k渐近线方程by = ±—xaay =士一xbr通径2b2a焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mx2 - ny2 =1mn • 02 2与双曲线笃一耸=1共渐近线的双曲线系方程可设为:a b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线I （I不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做标准方程2y = 2 px( p > 0)2y = -2 px( p > 0)2x = 2 py( p >0)2x = —2 py( p a 0)—图形[K NT”J y /iPT——[厂。
:焦点坐标p(2,0)（号。
）p（0，#）2(0,」)2准线方程X」2x专y」2y」2范围x 兰0, y w R x^0,厂R y K0,x E R y 兰0,x^ R对称性关于x轴关于y轴顶点坐标(0,0)焦半径M (x o, yo )i MF j+p|MF|=—X。
埠MF= y°+£|MF= -y^p离心率e=122直线与抛物线相交于A（X i,yJ,B X2,y2，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式：AB =捲+X2 + p^-2^©为弦AB的倾斜角）sin a直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于A（X i,yd,B X2,y2 ,则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：AB =凶—xj J i +k2 = J* + x? f —4X[X2J i + k2。
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标准
方程
（焦点在 轴）
（焦点在 轴）
定 义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线 >0）交于 ，
则：（1） =
（2）
（3）通径长：
（4）焦点弦长
直线与抛物线的位置
抛物线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
切线
方程
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
椭圆上到焦点的最大（小）距离
最大距离为：
最小距离为：
相关应用题：远日距离
近日距离
椭圆的参数方程
（ 为参数）
（ 为参数）
椭圆上的点到给定直线的距离
利用参数方程简便：椭圆 （ 为参数）上一点到直线 的距离为：
直线和椭圆的位置
椭圆 与直线 的位置关系：
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
( )
( )
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
直线和双曲线的位置
双曲线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：
过双曲线上一点的切线
或利用导数
或利用导数
抛物线
抛
物
线
定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。
{ =点M到直线 的距离}
范围
对称性
关于 轴对称
关于 轴对称
焦点
( ,0)
( ,0)
(0, )
(0, )
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
相交弦AB的弦长
通径：
过椭圆上一点的切线
利用导数
利用导数
双曲线
双曲线
标准方程（焦点在 轴）
标准方程（焦点在 轴）
定义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。
范围
，
，
对称轴
轴， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0）( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
范 围
顶点坐标
对 称 轴
轴， 轴；长轴长为 ，短轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在长轴上， ； 焦距：
离 心 率
( ) , ，
越大椭圆越扁， 越小椭圆越圆。
准线方程
准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离Biblioteka