高考数学一轮复习专题：数列求和(教案及同步练习)

1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .

2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.

3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)

2.

(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)

6.

【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法

等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①

1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

；

②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1

2n －1－12n ＋1；

③

1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

(4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1

1－q .( √ )

(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1

n ＋1

)．( √ )

(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1

2

n .( × )

(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )

1．(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n

4

B.n 2＋5n

3

C.2n 2＋3n 4

D ．n 2＋n

答案 A

解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .

又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6.

即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝1

2

.

∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋7

4

n .

2．(教材改编)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和S n ＝2 017

2 018，则n 等于( )

A ．2 016

B ．2 017

C ．2 018

D ．2 019

答案 B

解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1，

S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

＝(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)

＝1－1n ＋1＝n n ＋1.

令

n n ＋1＝2 0172 018

，得n ＝2 017. 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －

1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B

解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋

1－2＋n 2

解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1

－2＋n 2.

5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π

2

，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008

解析 因为数列a n ＝n cos n π

2

呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4. 故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017

＝

2 0164×2＋2 017·cos 2 017

2

π ＝1 008.

题型一 分组转化法求和

例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n a

＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)

2＝n .

a 1也满足a n ＝n ，

故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .

记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2

＝22n ＋1

－2，

B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋

1＋n －2. 引申探究

本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n . 当n 为偶数时，

T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋

11－2＋n 2

＝2n ＋

1＋n 2

－2；

当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋

1－2＋n －12－n

＝2n ＋

1－n 2－52

.