材料力学第章梁的挠度和刚度计算

w ( x )
挠曲线近似微分方程
E Iw (x)M (x)
1 Mz (x)
EIz
* 思考： 1、 若M常量
2、 若 MM（ x）
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
E Iw (x)M (x)
E Iw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2

q B

Fab 6lE I
l

a
if a b th en
q m ax

F l2 16EI
6 最大挠度
w hen w1 0
F b x 2 F b l 2 b 2 0 2l 6l
x l2 b2 a l b a a 2b
3
3
3


Fb 6l
x3

Fb 6l
l2 b2
x
EIw2


Fb 6l
x3

1 6
F
x

a 3
Fb l 2 b2 x 6l
6 最大转角
E Iq A

E Iq
|x 0
Fab l
6l
b
E Iq B

E Iq
|xl

Fab 6l
l

a
if a b th en
q m ax
dx
Fra Baidu bibliotek
符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q]0.30
3，影响变形的因素
L1时 0,Q的影响 M的 只 3%有 h
由小变形条件 x不 ，计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
材料力学第章梁的挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设 小变形（小挠度）
q C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移
ww(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度
qtanqdwx

D1

0
EIw
1 qx4 24
ql 12
x3
C1xD1
ql2 C1 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E I w m a x E I w |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l 4 3 2 l 3 5 8 q 4 l E 2 I
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 Mz (x)
EIz
M>0
d
2w(x) dx2

0
小变形
1 w(x)
(1w2)32
w(x)
w 2 1 w (x)M z(x)
o
EIz
M<0
d
2w(x) dx2
0 x
w(x) Mz(x) EIz
7 梁两端的转角
EIqAEIq|x0q2l43 EIqBEIq|xl16ql3q4ll2q2l43 q2l43
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
和转角方程，最大挠度及最大转角。 a
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
A
F
D
B
M1
x

FAy x

Fb l
x
x 0, a
2、边界条件、连续条件
P
A
aC
B
x0,w0
L
x xL,w0
w
x a , w1 w2
w1 w2
D
w
P
L
x
x0,w0
x0,w q0
EIw (x)M (x)
* 注意问题
什么时候需要分段积分？
如何确定极值？
L1
A
C
L2
P
B
例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转
w max
x
Mxql x1qx2
22
w
L
FA

ql 2
FB

ql 2
3 微分方程的积分
4 边界条件、连续条件
E Iw (x)M x1qx2qlxEIw(0) 0 D1 0
2 2 EIw(l) 0
EIw

1qx3 6

ql 4
x2
C1
1 24
ql4

ql 12
l3
C1l
积分成数为
D 1D 2
D1 D2 0
C2x D2
C1 C2
Fb 6l
l2 b2
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1


Fb 2l
x2

Fb 6l
l2 b2
EIw2


Fb 2l
x2

1 2
F

x

a 2
Fb l 2 b2 6l
EIw1
2l 2
EIw1(0)0
C2EIw2(l)0
连续条件
D1 0
Fbl3 1Fl
6l 6 C2l D2 0
a3
再积分一次：
EIw 1 (a)EIw 2 (a) C 1C 2
EIw1


Fb 6l
x3

C1x

D1
EIw2


Fb 6l
x3

1 6
F
x

a3
EIw 1(a)EIw 2(a)
C1

1 2
P L2
C2


1 6
PL3
弹性曲线方程
w(x) Px2 (3Lx) 6EI
P L
x
最大挠度及最大转角
w
qmax
q(L)

PL2 2EI
wmax
w(L)

PL3 3EI
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端
截面的转角。
q0
解：1 确定反力
A
B
2 求出弯矩方程
角。 弯矩方程
P L
M (x)P (Lx)
x
w
微分方程的积分
E I w ( x ) M ( x ) P ( L x ) 边界条件、连续条件
EIw1 2P(Lx)2C1 EIw1 6P(Lx)3C 1xC 2
EIw(0)1 6PL3C20
EIw(0)1 2PL2C10
M2

x

Fb l
x

F

x

a
x a, l
3 微分方程的积分
l
FA

Fb l
EIw1(x)M1xFlbx
FB

Fa l
EIw2(x)M2xFlbxFxa
积分一次：
4 边界条件、连续条件
边界条件
EIw1 EIw2
Fbx2 2l
C1
Fbx2 1Fxa2
if a b then x a