汉克尔变换和贝塞尔函数

汉克尔变换

通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知ƒ(x)，如果

存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为ƒ(x)以K(s,x)为核的积分变换。

设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数，ƒ(x)定义于[0,+∞)，则称

为ƒ(x)的у阶汉克尔变换；而称

为h(t)的汉克尔反变换。存在以下性质:

特殊函数(贝塞尔函数):一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的，常见的有：Γ函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等等，通常也列入特殊函数。

贝塞尔函数在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时，引进了极坐标形式的波动方程

这里a为常数。采用分离变量法解这个方程,得到贝塞尔微分方程及贝塞尔函数。数年后J.-L.拉格朗日研究行星绕日问题，19世纪初期傅里叶研究圆柱体的热传导问题，都用到贝塞尔函数。所谓贝塞尔微分方程就是形如

的方程，这里v为常数。它的一个解是

称为第一类贝塞尔函数。当v不为整数时,它的另一独立解为

当v为整数n时，则规定

它们称为第二类贝塞尔函数。

设(z)为两个变量z，v的解析函数,满足一对递推公式

则称(z)为圆柱函数。J(z)及Y(z)均为圆柱函数。圆柱函数可以用来解在圆柱面上满足一定边界条件的拉普拉斯方程及波动方程。

设φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，…为在开区间(α,b))上有定义的实函数系，ω(x)为定义在(α,b))上的非负函数；如果对任何非负整数m≠n恒有

则称{φn(x)}为在区间(α，b))上以ω(x)为权函数的正交系。如果φn(x)恰为n次多项式，那么φn(x)称为正交多项式。

设v>-1,则J(z)的零点均为实数,且有无穷个正零点及负零点，其阶均为1。若以j1,j2,j3,…表示J(z)的正零点按上升顺序的排列,则当v固定时，{J(j n x)}是在(0,1)上以x为权函数的正交系。