高一数学求函数解析式方法

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三.待定系数法
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
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例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
解得： f x 11 x
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五.赋值法
一般的，已知一个关于x,y的抽象函数 ，利用特殊值去掉一个未知数y，得 出关于x的解析式。
a
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已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f(xy)f(x) 2 x y y2y
且f (0)1，求 f ( x).
解： 令xy得
f(0)f(x)2x2x2x
3 2
x
3
当x∈[0,3]时，y
2 3
x
∴f(x)=
2 3
x 3, x [-2,0 - 2 x , x [0,3]
)
3
a
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a
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函数的解析式
轴为x=2，顶点坐标为（2,1）的 图象
解析式为y=(x-2)2+1，x≥1
当x＜1时，函数图象为是对称轴 x=0，顶点坐标为（0,1）的图象
解析式为y=x2+1，x＜1
函数的解析式为
{ y=x2+1，x＜1 y=(x-2)2+1，x≥1
a
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f（x）的图象如图，则f（x）=
当x∈[-2,0)时，y
∴f（x）=x2-1，
（x≥1）
a
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二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出 f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确 定新元t的取值范围。
a
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f(x1)x22x2，求f(x)及f(x+3)
令 tx1,则 xt1
ft fx 1 t 1 2 2 t 1 2 t2 1
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
a
3
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f( x1)x2 x，求 f (x)
的解析式
1）f（x+1）=x-3 2）f ( x 1) x2 x
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
x2 x 11 ( x 1)2 1
f xx21 y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的
取值范围
a
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已 f(x 知 1 ) x 2 3 x 2 ,求 f(x )
令t=x+1，则x=t-1 ∴f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2
=t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6 ∴f(x)=x2-5x+6
f(x)x2x1
a
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练习：已知函数 f (x) 对于一切实数 x, y 都有
f(x y ) f(y ) (x 2 y 1 )x成立，且 f (1) 0 1.求 f (0) 的值 2.求f (x)的解析式.
令x=1，y=0得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1) ×1
即0-f(0)=2解得f(0)=-2
令y=0得f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1) x
即f(x)-(-2)=x(x+1)
解得f(x)=x2+x-2
a
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六.根据图象写出解析式
观察图像的特点和特殊点，可用代入
法，或根据函数图像的性质进行解题。 注意定义域的变化。
a
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如下图，函数图象是两
个部分抛物线构成，求解：当x ≥ 1时，函数图象是对称
a1,b2,c1
f(x)x22x1a
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练习：1. 若 f(f(x) )4x1,求一f次 (x)的 函 解 数
设：f（x）=ax+b， 则f（f（x))=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=4x-1
∴a2=4,ab+b=-1
∴a=2,b=
1 3
或a=-2，b=1
f（x）=2x- 1 或f（x）=-2x+1
3
a
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2.已知函数 f ( x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f(x)的解析式
设f（x）=ax+b， 由题知：f（1）=2，f（2）=5 即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1 ∴f（x）=3x+b
a
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四.方程组法
求抽象函数的解析式，往往通过变 换变量构造一个方程，组成方程组 ，利用消元法求f（x）的解析式
求函数的解析式
a
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
a
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已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
解： f(x1)x22x2 x22x11 (x1)2 1
f(x)x21 f 3 10
a
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例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
f
x2f
1 x
3x
解:令 x 1
x
f(1)2f(x)31
x
x
联立方程，得：
f (x) 2 f ( 1 ) x
f ( 1 ) 2 f (x)
3x 3
x
x
解得 f(x)x 2 x
a
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练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x 联立方程组，得：33ff((x)x)f(f(xx))22xx