角中角(内含60,45度角)
三角函数特殊角值表高中
三角函数特殊角值表高中在高中数学学习中，三角函数是一个重要的概念，其中特殊角的数值是至关重要的。
特殊角值表是帮助学生快速查阅各角度对应三角函数值的重要工具。
本文将介绍一些高中数学中常用的特殊角值表。
一、主要特殊角在三角函数中，我们通常会用到一些特殊的角度，如0度、30度、45度、60度和90度。
这些特殊角度对应的正弦、余弦和正切值是我们计算过程中的基础。
1. 0度当角度为0度时，正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。
2. 30度当角度为30度时，正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为√3/3。
3. 45度当角度为45度时，正弦值为√2/2，余弦值为√2/2，正切值为1。
4. 60度当角度为60度时，正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。
5. 90度当角度为90度时，正弦值为1，余弦值为0，正切值为未定义。
二、特殊角值表下面是一个包含常见特殊角度的三角函数数值表：角度正弦值余弦值正切值0°01030°1/2√3/2√3/345°√2/2√2/2160°√3/21/2√390°10未定义通过这个特殊角值表，我们可以在计算过程中很方便地查找不同角度对应的三角函数数值，帮助我们更好地理解和运用三角函数的概念。
三、结语三角函数特殊角值表是高中数学中一个基础但重要的工具，帮助我们更好地理解和运用三角函数。
熟练掌握这些特殊角对应的数值，将有助于我们在解题中更加灵活和高效。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教案2
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教案2一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.2《30度、45度、60度角的三角函数值》教案2，主要介绍了特殊角度的三角函数值。
通过本节课的学习，使学生掌握30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值，并能运用这些特殊值解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念，对正弦、余弦、正切函数有一定的了解。
但是，对于特殊角度的三角函数值，学生可能还不太熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现并掌握特殊角度的三角函数值。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值，能熟练运用这些特殊值解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：掌握30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值。
2.难点：发现并证明30度、45度、60度角的三角函数值的特殊性。
五. 教学方法1.引导发现法：引导学生观察、思考、探究，发现特殊角度的三角函数值。
2.小组合作法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
3.讲解法：对学生的疑问进行讲解，帮助学生理解掌握知识。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、黑板。
2.学具：每人一份三角函数值表。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，复习上节课所学的三角函数基本概念，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（10分钟）教师展示30度、45度、60度角的三角函数值，让学生观察并思考这些特殊角度的三角函数值有什么特点。
3.操练（15分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过合作探究，发现并证明30度、45度、60度角的三角函数值的特殊性。
4.巩固（5分钟）教师通过提问方式，检查学生对特殊角度三角函数值的掌握情况。
2019春九年级下册北师大版数学课件：1.2.30°,45°,60°角的三角函数值(共15张PPT)
如右图，根据题意可知 ， 解： 1 AOD 60 30; OD 2.5m, 2 AC = 2.5 －2.165≈0.34(m).
所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
0
1 2
B
C
3 1 2 3 1 ( 3 1 ) 3 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝2 3. 3 3 1 2 2 1 2 3
观察一副三角板： 它们其中有几个锐角？分别是多少度？ (1)sin30°,sin45°,sin60°等于多少？ (2)cos30°,cos45°,cos60°等于多少？ (3)tan30°,tan45°,tan60°等于多少？ 你能对一直伴随我们学 三角 1 余弦 习的这副三角尺所具有的功 函数 正弦 正切 2 cos 能来个重新认识和评价？ tan α 锐角 sin α 3 3 α 根据上面的计算,完成右表: α 2 3 〈特殊角的三角函数值表〉 2 2 30 1 2 2 ° 1 3 3 45 2 2
1 3 2 2 解： 原式＝ 3 ( ) 1 2 ( 1) 2 3 2 2 2 2 2 ＝ 1 1 2(1 ) ＝2
(1) tan 2 cos30 0 解： 3 tan 2 0 2 tan 3
1 3 (1 3)2 4 3 1 3 ( 3 1) (2)方程的根为： x 2 2 1. x 3或 1. tan A的值是 3或
阅读课本内容，了解本节主要内容.
1 2
60°
2 2
45°
3 2
30°
3 3
<45°3直角来自角形中边与角的关系：锐角三角函数.
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边、 邻边和斜边之间的比值也随之确定.
北师大版九年级下册数学：1. 2 30°,45°,60°角的三角函数值(共17张PPT)
问题：
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少?
450
450 ┌
300
600 ┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
c
a
┌
b
C
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°45°60°角的三角函数值
学习目标：
1、知识与技能 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应 的锐角的大小。
2、过程与方法 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能 够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义。
北师大版数学九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
回顾与思考
锐角三角函数定义
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
sinA=
sinB=
cosA=
cosB=
tanA=
tanB=
A
思考：sinA和cosB,有什么关系?
tanA和tanB，有什么关系？
B
1
2
3
3
2
3
450
2 2
2
2
1
600
3 2
1 2
3
例题解析：
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450.
注意事项 Sin00表示 (cos600)2,
北师大版九年级数学课件-30°、45°、60°角的三角函数值
解: (1)sin30°+cos45°
1 2 1 2 . 22 2
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 2
2
1 2
2
1
3 1 1 44
0.
如圖(1)所示,一個小孩蕩秋千,秋千鏈子的長度為2.5 m,當
秋千向兩邊擺動時,擺角恰好為60°,且兩邊的擺動角相同,
(2)45°角所在的直角三角形的兩直角邊相等.
能利用上面的性質得出sin 30°等於多少嗎?
我們不妨設30°角所對的邊為a(如圖所示),根據“直角三角 形中30°角所對的直角邊等於斜邊的一半”的性質,可得斜邊 等於2a,所以sin 30°= a 1 .
2a 2
根據畢氏定理得較長的直角邊長為 3a，所以cos
30°=
3a 2a
3 2
，tan 30°=
a 1 3.
3a 3 3
45°,60°角的三角函數值
【做一做】 (1)60°角的三角函數值分別是多少?你是怎樣得到的?
sin 60°= 3a 3 ，cos 60° a 1
2a 2
2a 2
，tan 60°
3a a
3.
(2)45°角的三角函數值分別是多少?你是怎樣得到的?
正切tanα
3 3 1
3
由於30°,45°,60°三個特殊角的三角函數值的分母都 可以變化成一樣的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角 的三角函數值可以利用口訣“一二三,三二一,三九二十七”
進行記憶.
計算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
如圖所示,設其中一條直角邊為a,則另 一條直角邊也為a,根據畢氏定理可得斜 邊為 2 a.由此可求得:
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教学设计一. 教材分析《30度，45度，60度角的三角函数值》是北师大版九年级数学下册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了特殊角的锐角三角函数定义的基础上进行的，通过本节的学习，使学生能够熟练掌握30度，45度，60度角的正弦、余弦、正切三角函数值，并能够运用这些值解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于特殊角的锐角三角函数定义有一定的了解。
但是，对于三角函数值的运用和理解还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索并掌握30度，45度，60度角的三角函数值，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握30度，45度，60度角的正弦、余弦、正切三角函数值，并能够运用这些值解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主探索、合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极向上的精神风貌。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握30度，45度，60度角的正弦、余弦、正切三角函数值。
2.难点：对于三角函数值的运用和理解。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考、交流，发现30度，45度，60度角的三角函数值。
2.合作交流法：学生在小组内进行合作交流，共同探讨问题，分享学习成果。
3.实践操作法：教师学生进行实践操作，使学生在实际操作中发现问题、解决问题。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、量角器等。
2.学具准备：学生自带三角板、直尺、量角器等。
3.教学课件：制作相关的教学课件，以便于学生更好地理解和学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾特殊角的锐角三角函数定义，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用三角板、直尺、量角器等教具，引导学生观察并发现30度，45度，60度角的三角函数值。
三角函数30度60度45度90度
三角函数30度60度45度90度一、引言三角函数是数学中的重要概念之一，它与三角形的关系密切相关。
在三角函数中，有一组特殊的角度，即30度、60度、45度和90度。
这些角度在三角函数中具有特殊的性质和应用。
本文将深入探讨这些特殊角度在三角函数中的意义和应用。
二、30度角的三角函数1. 正弦函数30度角的正弦函数记作sin 30°，其值为1/2。
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
在30度角的情况下，对边与斜边的比值恰好为1/2。
正弦函数在三角学中有着广泛的应用，例如在测量高度、距离等方面。
2. 余弦函数30度角的余弦函数记作cos 30°，其值为√3/2。
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
在30度角的情况下，邻边与斜边的比值恰好为√3/2。
余弦函数在三角学中也有着重要的应用，例如在计算力的分解、角度的计算等方面。
3. 正切函数30度角的正切函数记作tan 30°，其值为1/√3。
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
在30度角的情况下，对边与邻边的比值恰好为1/√3。
正切函数在三角学中常用于计算角度的倾斜程度、斜率等。
三、60度角的三角函数1. 正弦函数60度角的正弦函数记作sin 60°，其值为√3/2。
60度角的正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
在60度角的情况下，对边与斜边的比值恰好为√3/2。
正弦函数在三角学中常用于计算角度的高度、距离等。
2. 余弦函数60度角的余弦函数记作cos 60°，其值为1/2。
60度角的余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
在60度角的情况下，邻边与斜边的比值恰好为1/2。
余弦函数在三角学中也有着重要的应用，例如在计算力的分解、角度的计算等方面。
3. 正切函数60度角的正切函数记作tan 60°，其值为√3。
60度角的正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
在60度角的情况下，对边与邻边的比值恰好为√3。
初中九年级(初三)数学课件 30度,45度,60度角的三角函数值
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m, 扶梯的长度是多少?
小结 拓展
回味无穷
驶向胜利
▪ 直角三角形中的边角关系
的彼岸
B
看图说话:
c
直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. A
a
┌
b
C
特殊角300,450,600角的三角函数
300
(1)sin300等于多少?
(2)cos300等于多少?
450
(3)tan300等于多少?
450 ┌ 600 ┌
做一做P10
3
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少? (7)tan450,tan600等于多少? (8)cot450,cot600等于多少?
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂 直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端 A,B,夹角BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
A
┐
B
C
驶向胜利 的彼岸
独立
P13 习题1.3 3题 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
2
4 2 sin 2 300 cos2 600 2 cos2 450.
2
7 便是欣赏P11
真知在实践中诞生
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且 两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其
30度-45度-60度角的三角函数值
2
22
3 3 22
0
例：计算下列各值：
2.sin2 60 cos2 60
解：原式 ( 3 )2 ( 1 )2 22
31 44
1 sin2 600 (sin 600)2
3cos 600 3. 5sin 300 1
1
4.sin2 45 tan2 30
3 2 3 3
回顾与思考1
锐角三角函数定义
正弦,余弦,正切 :
sin A a , c
sin B b , c
cos A b , c
cos B a ,
A
c
tan A a , b
tan B b , a
B
c
a
┌
b
C
互余两角之间的三角函数关系 直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.
30度45度60度角的三角函数值30度角的三角函数值60度角的三角函数值120度角的三角函数值15度角的三角函数值37度角的三角函数值30度45度60度角的三角函数值90度角的三角函数值75度角的三角函数值40度角的三角函数值
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
2.300,450,600角的三角函数值
做一做P11 4
洞察力与内秀
特殊角的三角函数值表
要能记 住有多 好Βιβλιοθήκη 三角函数 正弦锐角α
sinα
300
1
2
450
2
2
600
3 2
余弦 cosα
3 2 2 2 1 2
正切 tanα
3 3
1
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系呢?
请记住：300 450 600 的三角函数值
30度45度60度角的三角函数值教案
30度45度60度角的三角函数值教案教案：30度,45度,60度角的三角函数值一、教学目标：1.了解和掌握30度,45度,60度角的三角函数值；2.能够灵活运用三角函数值求解实际问题。
二、教学重点和难点：1.掌握30度,45度,60度角的正弦、余弦和正切函数值；2.能够运用三角函数值求解实际问题，拓展思维。
三、教学过程：1.导入（5分钟）：通过问题导入，激发学生对三角函数值求解的兴趣。
例如：一棵高大的树离我们有多远？我们应该如何用三角函数值来求解？2.概念解释（10分钟）：介绍正弦、余弦、正切的基本概念和定义。
并通过图示解释三角函数值的意义。
3.认识30度、45度、60度角（15分钟）：通过正三角形的边长关系引导学生认识30度、45度、60度角的特殊性质，并指导学生观察和推理三角函数值的规律。
4.求解30度、45度、60度角的三角函数值（20分钟）：讲解和推导30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值，并给予大量的例题训练以巩固。
5.实际应用（20分钟）：通过生活中实际问题的引入，让学生运用三角函数值去解决实际问题。
例如：人站在一座山的底部，仰望山顶的高度为100米，那么他离山脚有多远？6.综合运用（20分钟）：设计综合运用的练习题，通过多种角度的综合运用，激发学生的思维能力和创造力。
7.拓展思维（10分钟）：给予拓展思维问题，引导学生运用已学的知识去解决较为复杂的问题。
8.总结（10分钟）：对本堂课所学内容进行总结，并强调重点、难点。
四、教学反思：1.教学过程中，通过问题导入和实际应用，有效激发了学生的学习兴趣，提高了学习的积极性；2.在教学中采用了多种教学方式，例如图示、例题训练以及实际应用和拓展思维问题，使学生能够更加深入理解并运用所学知识；3.在课堂中留出了充足的时间给学生思考和解决问题，有利于培养学生的创造思维和实际运用能力；4.教师在讲解过程中要注重引导学生发现规律和解决问题的思路，培养学生的自主学习能力。
鲁教版九年级数学上册30°、45°、60°角的三角函数值 (1)
30°、45°、60°角的三角函数值 (1)课时安排1课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.30°，45°，60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.°、45°、60°角的三角函数值的计算.°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教具重点°、45°、60°角的三角函数值.°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.CD ＝33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD =，则CD= atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢?[生]cos30°＝2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2323=a a ,cos60°=212=a a , tan60°＝33=aa. °＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°- 60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来 求45°45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a ，则另一条直角 边也为a ，斜边2sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sin αco αtan α30°21 23 33 45°22 22 1这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. °、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊. °、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示 (cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+, (2)sin 260°+cos 260°-tan45°=(23)2+(21)2-1=43 +41-1 ＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA ＝OD=2.5 m ， ∠AOD ＝21×60°＝30°， ∴OC=OD ·cos30°×23≈2.165(m). ∴≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝23-1=223-；(2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22； =22231-+2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)，所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23；cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21； tan30°=33，tan45° ＝1，tan60°=3.(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业习题1.3第1、2题 Ⅵ.活动与探究°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高? (精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.[结果]在Kt △BDE 中，BE=DB ·tan30°＝24×33=83m. ∵DF ＝BE ，∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m). ≈16.2(m). 板书设计§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角 的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形. °，45°，60°角的三角函数值列表如下：三角函数角角αsin αco αtan α30°21 23 33 45°22 22 160°23 21 3二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.三、实际应用 备课资料 参考练习1.(2003年石景山)计算：13230sin 1+-︒.答案：3-32.(2003年崇文)汁算：(2+1)-1+2sin30°-8答案：-23.(2003年某某某某)计算：(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1. 答案：25 4. (2003 年某某)计算：sin60°+︒-60tan 11答案：-21 5.(2003年某某某某)计算；2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.答案：-283+。
直角三角形中的特殊角度关系
直角三角形中的特殊角度关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形有一些特殊的角度关系，包括三角函数的定义、勾股定理以及特殊角度的正弦、余弦和正切值。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。
1. 正弦（Sine）：正弦函数表示直角三角形中，斜边与对边的比值。
设直角三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，斜边是c，则正弦函数的定义为sinθ = a/c。
2. 余弦（Cosine）：余弦函数表示直角三角形中，斜边与邻边的比值。
设直角三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，斜边是c，则余弦函数的定义为cosθ = b/c。
3. 正切（Tangent）：正切函数表示直角三角形中，对边与邻边的比值。
设直角三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，斜边是c，则正切函数的定义为tanθ = a/b。
二、勾股定理勾股定理是直角三角形中一个重要的定理，它描述了直角三角形两直角边的长度关系。
勾股定理可以表示为a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
根据勾股定理，我们可以计算出直角三角形中的各边长度，或者判断一个三边的长度是否能构成一个直角三角形。
三、特殊角度的正弦、余弦和正切值在直角三角形中，一些特殊的角度有确定的正弦、余弦和正切值。
这些特殊角度包括30度、45度和60度。
1. 30度角：在一个边长比为1：2：根3的等边三角形中，其中一个内角是30度。
在直角三角形中，30度角的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。
2. 45度角：在一个边长比为1：1：√2的等腰直角三角形中，其中一个内角是45度。
在直角三角形中，45度角的正弦值为1/√2，余弦值为1/√2，正切值为1。
3. 60度角：在一个边长比为1：根3：2的等边三角形中，其中一个内角是60度。
在直角三角形中，60度角的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。
九年级数学下册知识点--30°,45°,60°角的三角函数值
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角 三角 a 函数
sin a
30°
1 2
45°
60°
cos a
tan a
两点反思
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角 函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关 系、平方关系） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增 减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随 着角度的增大（或减小）而增__大__（__或_ 减小） ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _减__小__（__或增大）.
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
1
cos 60 sin 60
1 tan 30
解：(1)1－2 sin30°cos30°(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
121 3 22
3 3 1 2 3
3
2
1 3 2
3 1 3
2 3 1
(3)
cos 60 1 sin 60
tan 30 a 3 3a 3
sin 60 3a 3 2a 2
cos 60 a 1 2a 2
tan 60 3a 3 a
设两条直角边长为a，则斜边长＝
60°
a2 a2 2a
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2 2a 2
45°
tan 45 a 1
a
归纳总结
练一练
1
1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=__2__.
3
2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=__3__.
三角形的角度定理与计算
三角形的角度定理与计算三角形是几何学中的基本图形，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，角度定理是研究三个角的关系的重要内容之一。
本文将介绍常见的三角形角度定理，并提供如何进行角度计算的方法。
一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理（也称为三角形内角和为180度定理）是指三角形内的三个角的度数之和等于180度。
这个定理非常重要，我们可以利用它来计算未知角的度数。
例如，我们假设一个三角形中两个角的度数已知，而第三个角的度数未知。
我们可以使用内角和定理来计算第三个角的度数。
假设已知的两个角度分别为α和β度，那么未知的第三个角度θ可以通过以下公式计算得出：θ = 180 - (α + β)二、三角形的外角和定理三角形的外角和定理指的是，三角形的一个内角的补角等于其余两个内角之和。
换句话说，三角形的任意一个内角的补角等于第三个内角。
利用三角形外角和定理，我们可以计算出三角形中未知角的度数。
假设一个三角形的两个内角的度数分别为α和β，而第三个角的补角的度数为θ。
根据外角和定理，我们可以得到以下公式：θ = α + β三、特殊三角形中的角度定理在一些特殊的三角形中，存在特殊的角度定理，可以帮助我们更加方便地计算角度。
下面是两个常见的特殊三角形及其角度定理。
1. 等边三角形等边三角形是指三个边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的度数都相等，都是60度。
这一特性可以用于解决一些涉及等边三角形的角度计算问题。
2. 直角三角形的角度定理直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，我们可以利用勾股定理和三角函数来计算角度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中未知角的度数。
通过已知直角三角形中两条边的长度，我们可以使用反三角函数（例如正弦、余弦、正切函数）来计算未知角的度数。
另外，直角三角形中的特殊角度30度、45度和60度也是常见的角度，我们可以利用这些特殊角度来计算其他角的度数。
四、角度计算实例为了更好地理解三角形的角度定理和计算方法，以下是一个角度计算的实例。
北师大版九年级数学下册：1.230°,45°,60°角的三角函数值教案
-余弦值：cos30°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2
-正切值：tan30°=1/√3，tan45°=1，tan60°=√3
2.学习如何运用三角函数值解决实际问题。
3.掌握特殊角三角函数值的应用，如计算直角三角形中未知边的长度等。
4.通过实际操作和练习，加深对特殊角三角函数值的理解和记忆。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《特殊角的三角函数值》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角函数在生活中的应用。
3.实践活动的组织与实施。在实践活动环节，学生们的参与度较高，但在小组讨论过程中，部分学生表现出依赖性，未能充分发表自己的观点。为了提高学生的积极性，我将在下一次的教学中，尝试设置更具挑战性的问题，并鼓励学生独立思考，增强他们的参与感。
4.学生小组讨论的引导。在讨论过程中，我发现自己在引导学生思考方面还有待提高。有时候，学生的思路可能会跑偏，而我未能及时发现并给予适当的引导。为了提高讨论效果，我将在以后的课堂中，加强对学生的关注，适时提问和引导，帮助他们更好地展开讨论。
4.培养学生的空间观念和几何直观，通过三角函数在现实生活中的应用，使学生感受数学与实际生活的紧密联系，增强数学在实际中的应用意识。
三、教学难点与重60°三个特殊角的三角函数值，包括正弦、余弦和正切的值。
1.230°,45°,60°角的三角函数值(教案)
此外，在小组讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是因为他们对主题不感兴趣或对知识点的理解不够深入。为了提高学生的参与度，我打算在下次课堂上尝试采用角色扮演的方法，让学生们置身于实际情境中，激发他们的学习兴趣。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和尺子来模拟直角三角形，并测量计算特殊角对应的边长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊角三角函数值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了30°，45°，60°角的三角函数值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些特殊角三角函数值的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《30°，45°，60°角的三角函数值》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算物体高度或距离的情况？”（如：测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索特殊角三角函数值的奥秘。
45角知识点
45角知识点是什么？在数学中，我们知道角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
一个完整的角是由360度组成的。
然而，当我们谈到45角时，我们指的是一个特定的角度，即45度。
在这篇文章中，我将逐步解释关于45角的一些重要知识点。
1. 角的定义首先，让我们回顾一下角的定义。
角是由两条射线共享一个共同的端点所形成的图形。
这个共同的端点被称为角的顶点。
在45角中，射线的夹角为45度。
2. 45角的特征在45角中，两条射线形成一个直角。
直角是一个角度为90度的角。
因此，我们可以说45角是直角的一半。
由于45角的特殊性质，它在数学和几何中具有许多应用。
3. 45角的应用 45角在几何学中具有重要的应用。
它可以用于解决各种问题，例如测量、图形构建和旋转等。
下面是45角应用的一些示例：•测量：当我们需要测量一个角度为45度的角时，我们可以使用一个角度测量器或直尺来确定它的大小。
通过测量和记录角度，我们可以在各种数学和科学问题中使用这些值。
•图形构建：45角可以用于构建各种几何图形，例如正方形、菱形和直角三角形等。
例如，当我们构建一个正方形时，每个内角都是90度，因此每个角的一半是45度。
•旋转：在平面几何中，我们可以使用旋转操作来改变图形的位置和方向。
当我们将一个图形以45度的角度顺时针或逆时针旋转时，我们可以观察到图形的变化。
4. 45角的性质除了直角的一半外，45角还具有其他一些特殊性质。
下面是一些与45角相关的性质：•对称性：45角以其顶点为中心具有对称性。
这意味着，如果我们通过45角的顶点绘制一条直线，该直线将把角分成两个相等的部分。
•等腰性：45角是一个等腰角，这意味着两个相邻的边的长度相等。
在一个45度的角中，两个相邻的边都是相等的。
•三角函数：45角在三角函数中也起着重要的作用。
对于一个45角，正弦、余弦和正切值都是相等的，均为根号2的一半。
5. 45角的重要性 45角在实际应用中非常重要。
它在航空航天、建筑、地理和工程等领域中都有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角中角
一个大角内含一个其度数是大角度数一半的角，常用对称与旋转来解决问题。
如图，⊿ABC 是正三角形，⊿BDC 是以∠BDC=120°的等腰三角形,从点D 出发作一个60°的角,与边AB 、CA 分别交于点M 、N.试探究(1)线段MN 、BM 、CN 之间的数量关系,并说明理由;(2)若点M 、N 分别在线段AB 、CA 的延长线上,其他条件不变,再探线段MN 、MB 、CN 、之间的数量关系,请画出符合题意的图形并说明理由.
已知：△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．
（1）如图l ，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC ＝45°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，
求证：FG ＋DC ＝AD ；
（2）如图 2，若∠ABC ＝135°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，若AG ＝25，DC ＝3，将一个45°角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M 、N 两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P 、Q 两点，若NG ＝
2
3
，求线段PQ 的长．
C
A
B
E
F
M N 图①
C
A
B
E F M
N 图②
如图，⊿ABC 是等腰三角形，∠C=90°，
（1）操作并观察图形，图中将三角板45°顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 内部且两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕点C 在∠ACB 的内部旋转，观察点E 、F 位置变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果。
（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段是否满足EF 2
=EA 2
+FB 2
，如果能，试加以证明；如果不能，请说明理由。
25．（本小题10分）
已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线
AB
交于点M ，N ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时，如图①，求证：MN 2=AM 2+BN 2；
思路点拨：考虑MN 2=AM 2+BN 2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证DN=BM ，∠MDN=90°就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式MN 2=AM 2+BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
B
C
A。