第二章(网孔分析和节点分析)
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2、如何列出求解网孔电流的方程？
（a）网孔电流恒满足KCL。 i4
R4
（b）所需方程只能根据 KVL和元件VCR建立。
网孔电流方程是
+
以网孔电流来
us1
表示的KVL方程。 -
联合运用KVL和欧姆定律，得：
iM3
- R3 i3 i6+ us2
i1
iM2
i R2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM1
R1
i5
i2
网 孔1 网 孔2 网 孔3
解
含无伴电流源
i4
R4
提问1：
时用虚网孔法
网孔2的网孔方程还是有的，
iM3
该如何写？ 提问2：
+
- R3 i3 i6+ uiss2
i1
- 电解压 得如源网果孔u以s2电电，流流us？源1依i引s旧2替入，代电如压何变量uis，s11 加一个i5方iM程2 i2
R2
iM1
R1
网 孔2： iM2 iS1
用待求变量表示控制变量
解得 i1 1A , i2 3A
§2 节点电压法（节点分析 ，节点法）
基本要求： 熟练掌握用视察法列节点方程 掌握含受控源电路节点方程的列写 用虚节点法列写含无伴电压源支路的节点方程
1、支路电压与节点电压
（a）什么是节点电压？
i4
G4
设4为参考点，u14
即节点1的节点电压， 3
3、网孔方程的一般形式
具有m个网孔的线性电阻网络方程
R11 R12 L
R21
R22
L
M M O
Rm1
Rm2
L
R1m im1 vs11
R2m
im2
vs 22
M M M
Rmm
imm
vsmm
简写成
RI = VS
式中I 为网孔电流列向量， VS为网孔电压源列向量， 系数矩阵R称网孔电阻矩阵，为对称矩阵。
习题课
§2.1 网孔电流法（网孔分析，网孔法）
基本要求： 熟练掌握用视察法列网孔方程 掌握含受控源电路网孔方程的列写 用虚网孔法列写含无伴电流源支路的网孔方程
1、支路电流和网孔电流
i4
R4
iM3
+
- R3 i3 i6+ us2
i1
us1
-
iM2
i R2 M1
i5
i2
R1
（a）什么是网孔电流？ iM1、 iM2、iM3
G1n vn1 is11
G2n
vn2
is22
M M M
Gnn
vnn
isnn
可表示为
GV = IS
其中V称节点电压列向量，IS称节点电流源列向量， 系数矩阵G称节点电导矩阵,为对称矩阵。
Gii 称为第i个节点的自电导 (取+) Gij 是第i个节点与第j个节点的互电导 （取-） Gij = Gji，即节点电导矩阵具有对称性
记作uN1。
is1
2
G3 i3
is2
1
i1
G2
G1
（b）支路电压都可以用 节点电压来表示。
i2 4
如支路电压 u23 uN2 uN3
节点法不
（c）节点电压数必少于支路电压数
(n-1<b)
。
仅适用于 平面网络
（d）选择节点电压作为求解对象，可以减少
联立方程数，仍可求出所有支路电压、电流。
2、如何列出求解节点电压的方程？
R1 R2 iM1 R2iM2 uS2 R2 R3 iM2 R2iM1 R3iM3 uS1 R3 R4 iM3 R3iM2 uS2
已知各电压源 和电阻即可求
得iM1、 iM2 、
iM3 。
支路电流：i1 iM1,i2 iM2 iM1,i3 iM3 iM2 ,i4 iM3 ,i5 iM2 ,i6 iM3 iM1
第二章 网孔分析和节点分析
本章为上章§1—5“两类约束的应用”中所述 典型问题解法的继续。
§1—5所示2b法涉及联立方程数较多，本章所 示方法能达到同样目的而可减少所需联立方程数。
§1 网孔电流法（网孔分析，mesh analysis） §2 节点电压法（节点分析，node analysis） §3 含运算放大器电路的分析(自学)
如何列出求解节点电压的方程？(续)
整理后得：
i4
G4
G1 G4 uN1 G4uN3 iS2
3
2
1
G2 G3 uN2 G3uN3 iS2
is1
G3 i3
is2
i1
G4uN1 G3uN2 G3 G4 uN3 iS1
G2
G1
已知各电流源和电导(阻)
即可求得uN1、uN2、uN3，
（a）节点电压恒满足KVL。 i4
G4
（b）所需方程只能根据
KVL和元件VCR建立。 3
2
1
节 点1
i i1 i4 iS2 s1
G3 i3
is2
i1
节 点2 i2 i3 iS2
G2
G1
节 点3 i4 i3 iS1
i2 4
根据欧姆定律，得
G1uN1 G4 uN3 uN1 iS2 G2uN2 G3 uN2 uN3 iS2 G4 uN3 uN1 G3 uN2 uN3 iS1
（b）支路电流都可以用网孔电流来表示。
网孔分析 仅适用于 平面网络
（c）网孔电流数必少于支路电流数 (m<b) 。
（d）选择网孔电流作为求解对象，可以减少 联立方程数，仍可求出所有支路电流、电压。
支路电流： i1 iM1 , i2 iM 2 iM1 , i3 iM 3 iM 2 , i4 iM 3 , i5 iM 2 , i6 iM 3 iM1
Rii 称为第i个网孔的自电阻(取＋) Rij 是第i个网孔与第j个网孔的互电阻(同方向取-) Rij = Rji，即网孔电阻矩阵具有对称性
综上，网孔分析法是以各网孔电流作为未知变量来列写方程，所得方程称 网孔方程。从网孔方程求得网孔电流以后，再求出各支路电压和电流。
例题 若图中电压源us1换为电流源is1 ,求解网孔电流。
i2 4
进而求得支路电压、电流。
节点电压方程是 以节点电压来表示的KCL方程。
综上,节点分析法是以各节点的电位作为未知变量来列写节点方程 。从节点方程求得节点电压以后，再求出各支路电压和电流。
3、节点方程的一般形式
具有n个独立节点的网络矩阵方程为
G11 G12 L G21 G22 L
M M O Gn1 Gn2 L
例题
列出节点方程。
注意电压源有电流，设为i由其正极流出。
网 孔1：
R1 R2 iM1 uS2 R2iS1
网 孔3： R3 R4 iM3 uS2 R3iS1
由以上两式可分别求得iM1和iM3
例题 用网孔电流法求所示电路中的ix,已知r=8Ω。
解
10Ω
4V
含受控源时暂把受控 源看作独立源处理 6V
rix
i1
2Ω
4Ω
i2 ix
注意到 ix i2
（a）网孔电流恒满足KCL。 i4
R4
（b）所需方程只能根据 KVL和元件VCR建立。
网孔电流方程是
+
以网孔电流来
us1
表示的KVL方程。 -
联合运用KVL和欧姆定律，得：
iM3
- R3 i3 i6+ us2
i1
iM2
i R2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM1
R1
i5
i2
网 孔1 网 孔2 网 孔3
解
含无伴电流源
i4
R4
提问1：
时用虚网孔法
网孔2的网孔方程还是有的，
iM3
该如何写？ 提问2：
+
- R3 i3 i6+ uiss2
i1
- 电解压 得如源网果孔u以s2电电，流流us？源1依i引s旧2替入，代电如压何变量uis，s11 加一个i5方iM程2 i2
R2
iM1
R1
网 孔2： iM2 iS1
用待求变量表示控制变量
解得 i1 1A , i2 3A
§2 节点电压法（节点分析 ，节点法）
基本要求： 熟练掌握用视察法列节点方程 掌握含受控源电路节点方程的列写 用虚节点法列写含无伴电压源支路的节点方程
1、支路电压与节点电压
（a）什么是节点电压？
i4
G4
设4为参考点，u14
即节点1的节点电压， 3
3、网孔方程的一般形式
具有m个网孔的线性电阻网络方程
R11 R12 L
R21
R22
L
M M O
Rm1
Rm2
L
R1m im1 vs11
R2m
im2
vs 22
M M M
Rmm
imm
vsmm
简写成
RI = VS
式中I 为网孔电流列向量， VS为网孔电压源列向量， 系数矩阵R称网孔电阻矩阵，为对称矩阵。
习题课
§2.1 网孔电流法（网孔分析，网孔法）
基本要求： 熟练掌握用视察法列网孔方程 掌握含受控源电路网孔方程的列写 用虚网孔法列写含无伴电流源支路的网孔方程
1、支路电流和网孔电流
i4
R4
iM3
+
- R3 i3 i6+ us2
i1
us1
-
iM2
i R2 M1
i5
i2
R1
（a）什么是网孔电流？ iM1、 iM2、iM3
G1n vn1 is11
G2n
vn2
is22
M M M
Gnn
vnn
isnn
可表示为
GV = IS
其中V称节点电压列向量，IS称节点电流源列向量， 系数矩阵G称节点电导矩阵,为对称矩阵。
Gii 称为第i个节点的自电导 (取+) Gij 是第i个节点与第j个节点的互电导 （取-） Gij = Gji，即节点电导矩阵具有对称性
记作uN1。
is1
2
G3 i3
is2
1
i1
G2
G1
（b）支路电压都可以用 节点电压来表示。
i2 4
如支路电压 u23 uN2 uN3
节点法不
（c）节点电压数必少于支路电压数
(n-1<b)
。
仅适用于 平面网络
（d）选择节点电压作为求解对象，可以减少
联立方程数，仍可求出所有支路电压、电流。
2、如何列出求解节点电压的方程？
R1 R2 iM1 R2iM2 uS2 R2 R3 iM2 R2iM1 R3iM3 uS1 R3 R4 iM3 R3iM2 uS2
已知各电压源 和电阻即可求
得iM1、 iM2 、
iM3 。
支路电流：i1 iM1,i2 iM2 iM1,i3 iM3 iM2 ,i4 iM3 ,i5 iM2 ,i6 iM3 iM1
第二章 网孔分析和节点分析
本章为上章§1—5“两类约束的应用”中所述 典型问题解法的继续。
§1—5所示2b法涉及联立方程数较多，本章所 示方法能达到同样目的而可减少所需联立方程数。
§1 网孔电流法（网孔分析，mesh analysis） §2 节点电压法（节点分析，node analysis） §3 含运算放大器电路的分析(自学)
如何列出求解节点电压的方程？(续)
整理后得：
i4
G4
G1 G4 uN1 G4uN3 iS2
3
2
1
G2 G3 uN2 G3uN3 iS2
is1
G3 i3
is2
i1
G4uN1 G3uN2 G3 G4 uN3 iS1
G2
G1
已知各电流源和电导(阻)
即可求得uN1、uN2、uN3，
（a）节点电压恒满足KVL。 i4
G4
（b）所需方程只能根据
KVL和元件VCR建立。 3
2
1
节 点1
i i1 i4 iS2 s1
G3 i3
is2
i1
节 点2 i2 i3 iS2
G2
G1
节 点3 i4 i3 iS1
i2 4
根据欧姆定律，得
G1uN1 G4 uN3 uN1 iS2 G2uN2 G3 uN2 uN3 iS2 G4 uN3 uN1 G3 uN2 uN3 iS1
（b）支路电流都可以用网孔电流来表示。
网孔分析 仅适用于 平面网络
（c）网孔电流数必少于支路电流数 (m<b) 。
（d）选择网孔电流作为求解对象，可以减少 联立方程数，仍可求出所有支路电流、电压。
支路电流： i1 iM1 , i2 iM 2 iM1 , i3 iM 3 iM 2 , i4 iM 3 , i5 iM 2 , i6 iM 3 iM1
Rii 称为第i个网孔的自电阻(取＋) Rij 是第i个网孔与第j个网孔的互电阻(同方向取-) Rij = Rji，即网孔电阻矩阵具有对称性
综上，网孔分析法是以各网孔电流作为未知变量来列写方程，所得方程称 网孔方程。从网孔方程求得网孔电流以后，再求出各支路电压和电流。
例题 若图中电压源us1换为电流源is1 ,求解网孔电流。
i2 4
进而求得支路电压、电流。
节点电压方程是 以节点电压来表示的KCL方程。
综上,节点分析法是以各节点的电位作为未知变量来列写节点方程 。从节点方程求得节点电压以后，再求出各支路电压和电流。
3、节点方程的一般形式
具有n个独立节点的网络矩阵方程为
G11 G12 L G21 G22 L
M M O Gn1 Gn2 L
例题
列出节点方程。
注意电压源有电流，设为i由其正极流出。
网 孔1：
R1 R2 iM1 uS2 R2iS1
网 孔3： R3 R4 iM3 uS2 R3iS1
由以上两式可分别求得iM1和iM3
例题 用网孔电流法求所示电路中的ix,已知r=8Ω。
解
10Ω
4V
含受控源时暂把受控 源看作独立源处理 6V
rix
i1
2Ω
4Ω
i2 ix
注意到 ix i2