第2章23知能优化训练

1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )

A ．360

B ．370

C ．380

D ．390

答案：C

2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( )

A ．25

B ．26

C ．27

D ．28

答案：D

3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.

解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝123a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，

d ＝2.

故a n ＝2n . 答案：2n

4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5.

解：d ＝a 7－a 57－5

＝20－142＝3， a 1＝a 5－4d ＝14－12＝2，

所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(2＋14)2

＝40. 一、选择题

1．(2011年杭州质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( )

A ．12

B ．10

C ．8

D ．6

解析：选C.d ＝a 3－a 2＝2，a 1＝－1，

S 4＝4a 1＋4×32

×2＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( )

A ．24

B ．27

C ．29

D ．48 解析：选C.由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝19，

5a 1＋10d ＝40.

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29. 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( )

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

解析：选B.S 10＝10(a 1＋a 10)2

＝5(a 2＋a 9)＝120.∴a 2＋a 9＝24. 4．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( )

A ．99

B ．66

C ．33

D ．0

解析：选B.由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，

得99a 1＋99×982

＝99. ∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46. 又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列．

∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322

×3 ＝33(48－46)＝66.

5．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项

解析：选A.∵a 1＋a 2＋a 3＝34，①

a n ＋a n －1＋a n －2＝146，②

又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，

∴①＋②得3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.③

S n ＝(a 1＋a n )·n 2

＝390.④ 将③代入④中得n ＝13.

6．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析：选B.由等差数列前n 项和的性质知S 偶S 奇＝n n ＋1

，即150165＝n n ＋1，∴n ＝10. 二、填空题

7．设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.

解析：由题意得a n ＋1－a n ＝2，

∴{a n }是一个首项a 1＝－7，公差d ＝2的等差数列．

∴a 1＋a 2＋…＋a 17＝S 17＝17×(－7)＋17×162

×2＝153. 答案：153

8．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝__________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6.①

S 5＝5a 1＋12

×5×(5－1)d ＝10.② 由①②得a 1＝1，d ＝12

. 答案：12

9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：由等差数列的性质知S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1.

又∵a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝－9，

∴S 16＝16(a 1＋a 16)2

＝8(a 1＋a 16)＝－72. 答案：－72

三、解答题

10．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n －2(n ∈N *)．

(1)写出该数列的第3项；

(2)判断74是否在该数列中．

解：(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.

(2)n ＝1时，a 1＝S 1＝－24，

n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24，

即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

－24，n ＝1，2n －24，n ≥2，

由题设得2n －24＝74(n ≥2)，解得n ＝49.

∴74在该数列中．

11．(2010年高考课标全国卷)设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝9，d ＝－2，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .

(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2

d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，

所以当n ＝5时，S n 取得最大值．

12．已知数列{a n }是等差数列．

(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；

(2)S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n .

解：(1)由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.

所以a 1＋a n ＝884

＝22. 因为S n ＝n (a 1＋a n )2

＝286，所以n ＝26. (2)因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，

所以S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.