《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考04第四章 晶体结构中的缺陷

第四章 晶格结构中的缺陷

4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为

s

B k T s n Ne μ−=

其中s μ是形成一个空位所需要的能量。

证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为

!()!s !

s s N P N n n =− 由于s μ个空位的出现，熵的改变

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B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n Δ===−−−−− 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=−Δ=−−−−−s

要使晶体的自由能最小

B ()ln 0s s s s

T n F u k T n N ⎡⎤⎛⎞∂Δ=+=⎜⎟⎢⎥∂−⎣⎦⎝⎠n 整理得

s B k T s s n e N n μ

−=− 在实际晶体中，由于,

s n N <

B k T s n Ne μ−=

4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV ，若形成一个间隙原子的能量为4eV ，试分别计算1300K 时肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。已知，铜的熔点是1360K 。

解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为 s B k T s n Ne

μ−= 11B k T n Ne μ−= 得19231.21.61051.38101300 2.2510s

B k T s n Ne Ne

N μ−−××−

−−××===× 191231.2410161.381013001 3.2110B k T n Ne Ne N μ−−××−−−××===×

4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV 的势垒，原子振动频率为1012Hz 。试估算室温下放射性钠在正常钠中的扩散系数，以及373K 时的扩散系数。已知，形成一个钠空位所需的能

量时1eV .

解：（刘友之8.8）根据《固体物理学》4-24式，

22B ()/2021e 2

u E k T D a ν−+= 考虑沿[001]方向的扩散，()100/2 4.28210

/2a a m −==×，在室温300K 时 ()()

192322B 22B 2210(0.51)1.610/1.3810300()/()/21200202332111 4.23810e e 10e 222221.5310/u E k T u E k T a D a m s νν−−−−+××××−+−+−⎛⎞×⎛⎞===×⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

=× 在373K 时

()()

192322B 22B 2

210(0.51)1.610/1.3810373()/()/21200202282111 4.23810e e 10e 222221.2910/u E k T u E k T a D a m s νν−−−−+××××−+−+−⎛⎞×⎛⎞===×⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=× 4.4 在离子晶体中，由于电中性的要求，正、负离子多成对地产生，令sp n 代表正负离子

空位的数目，sp u 是产生一对缺陷所需的能量，N 是原有正、负离子对的数目，在理论上可推出：2sp

B u sp

k T n Be N −=

（1）试阐述产生正、负离子对后，晶体体积的变化

V V Δ，V 为原有的体积。 （2）在800℃时，用X 射线测定食盐的离子间距，再由此时测定的密度ρ算得分子量为

58.430±0.016，而用化学方法所测定的分子量是58.454，求在800℃时缺陷p n N

的数量级。 解：（参考方俊鑫电子版4.22）

（1）在弗兰克尔缺陷中，晶体的体积没有显著变化，而在肖特基缺陷中每产生一对缺陷同时便在晶体表面填了两个新的原子，增加了体积，也就减少了密度，在肖特基缺陷中所增加的体积为：

32sp V n a Δ=其中a 为正负离子间的距离。

晶体原来的体积是V

32Na =因此体积变化是 /2/sp B u k T sp

n V V Be N −Δ==

（2）这是一个著名的实验，证明食盐中有肖特基缺陷，因为X 光测点阵常数时，其值a 不随有无缺陷而改变，而用化学方法测密度则是真实的，每单位体积的质量V

m ，当晶体总质量m 不改变时，晶体的实际体积V 将随缺陷数目的改变而变化，即用化学方法测得密度ρ将由于缺陷的数目增加而变。设NaCl 分子量为M 1每个分子占体积为2a 3，令ρ为密度，则有：

是常数和因m a m a VM V m a M 332;2===ρ

0;

0sp n dV dM dV VdM MdV V M V +==−>=又因N

458.45458.43041058.454sp n dM N M −−∴=−=≅× 所以通过这个实验充分证明了空位的存在。通过密度的变化，说明空位存在的实验还有以下实验：在纯NaCl 或KCl 等晶体中掺入一些重量较大的正负离子杂质，例如CaCl 2，MgCl 2等不同价的正离子，似乎密度应该会增加些，增加的数量与加入MgCl 2的百分比成正比。有人用纯KCl 内加入CaCl 2掺杂KCl ，不仅密度不增加仅而减少；这说明Ca ++入K +的位置，为使电中性维持下去，必然使晶体中处于正格点位上的一些K +去掉，这就造成了K +空位，而使晶体体积增大，密度减小。

4.5 在一维晶格中，晶格粒子的势能曲线如图所示。设晶体中只有一种肖托基缺陷，格点上的粒子每秒从能谷1跳到能谷2的几率为

B W k T V P e l

−= 其中，l 为缺陷的最近邻格点数目。试推导

出扩散流密度和扩散系数的表达式。 解： 格点上的粒子每秒从能谷1跳到能

谷2的几率为P ，则格点上的粒子没跳跃一步所必须的时间为 1B W

k T l P e V

τ−== 根据式4-21，布朗形成的平方均值与扩散系数和扩散粒子完成一次布朗行程所需时间的统计平均值之间满足 22x D =

在肖托基缺陷中，满足

22x a =，V s N n τ=，s B k T s n Ne μ−= 得

22221112222s s B B W W k T k T k T s V n x V D a a e e e N l μμττB Va l +−−−===××=