基本初等函数经典总结

第十二讲 基本初等函数

一：教学目标

1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；

2、理解基本初等函数的性质；

3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数

二：教学重难点

教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用

三：知识呈现

1.指数与指数函数

1).指数运算法则：（1）r

s

r s

a a a

+=；

（2）()

s

r rs a

a =；

（3）()r

r r

ab a b =；

（4）m

n m

n

a a =；

（5）m n

n

m

a

a -

=

（6）

,||,n

n a n a a n ⎧=⎨

⎩奇偶

2). 指数函数：形如(01)x

y a a a =>≠且

2.1）对数的运算：

1、互化：N b N a a b log =⇔=

2、恒等：N a

N

a =log

3、换底： a

b b

c c a log log log =

指数函数

0

a>1

图 象

表达式 x y a =

定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1)

单调性

单调递减 单调递增

推论1 a

b b a log 1log =

推论2 log log log a b a b c c •= 推论3 log log m n

a a

n b b m

=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log +=

log log log a

a a M

M N N

=- 5、M n M a n a log log ⋅= 2）对数函数：

3.幂函数

一般地，形如 a

y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质：

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);

对数函

数

0

a>1

图 象

表达式 log a y x =

定义域 (0,)+∞

值 域 R

过定点 (1，0)

单调性

单调递减

单调递增

(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；

(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。

四：典型例题

考点一：指数函数

例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值范围是14⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判

断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

例2 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-． ∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1

x a a a

≤≤，即1t a a ≤≤．

∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1

x a a a

≤≤，即1a t a ≤≤，

∴ 1t a =时，2

max 11214y a ⎛⎫

=+-= ⎪⎝⎭

，

解得13a =或1

5

a =-（舍去），∴a 的值是3或13．

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令26x t -=，则1y t =-，

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，

． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 例4 求函数y ＝2

3231+-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.

分析 这是复合函数求单调区间的问题

可设y ＝u

⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2

-3x+2，其中y ＝u

⎪⎭

⎫ ⎝⎛31为减函数

∴u ＝x 2

-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2

-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y ＝u

⎪⎭

⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2

-3x+2,y 关于u 递减，

当x ∈(-∞，2

3

)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2

3

，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.

考点二：对数函数

例5 求下列函数的定义域 （1）y=log 2（x 2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x ）

（3）y= ．

解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．

（2）令 得

故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．